【全国百强校】衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学(文)试题版答案
2016～2017学年度第二学期高三年级二调考试一、选择题ABCCD ADDCB CD二、填空题5 2- 4 191622=+y x . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 解：（1）当日需求量n ≥20时，利润y=1000；当日需求量n ＜20时，利润y=50n ﹣20（20﹣n ）=70n ﹣400；（4分） ∴利润y 关于当天需求量n 的函数解析式y=（n ∈N *）（2）（i ）这100天的日利润的平均数为=937；（9分）（ii ）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19个，故当天的利润不少于900元的概率为P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）19. （本题满分12分）（1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE BB ⊥，因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥，因为,AB AC OB OC ==，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又2211,5AO AB BO AA =-==，得2155AO AE AA ==．．．．．．．．5分 （2）由已知可得11ABB A Y 的高2212262()55h =+=，11BCC B Y 的高222215h =+=⇒2S =⨯侧()265454565⨯+⨯=+．．．．．．．12分 20. （Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分 21.若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0，3a -）单调递减，在（3a -，1）单调递增，故当x =3a-时，()f x 取的最小值，最小值为()3a f -=21334aa -+. ①若()3af -＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点. ②若()3af -=0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点； ③若()3af -＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分故)max3+12+4t t-=.。
河北省衡水中学高二下学期期中考试(数学文).doc
河北省衡水中学高二下学期期中考试（数学文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间1。
第Ⅰ卷（选择题 共70分）一、 选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1． 高三某班有50名学生，其中男生30人，女生为了调查这50名学生的身体状况，现采用分层抽样的方法，抽取一个容量为本，则男生被抽取的人数是（ ） A ．10 B ．12 C ．8 D ．62.在84)21(xx +的展开式中有理项的项数共有（ ）项。
A ．8B ．3C ．2D ．03.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ．540B ．300C ．180D ．1504．605.1的计算结果精确到0．０１的近似值是（ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.345. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++213()a a -+的值为： （ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、26．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为101，响第一声时不接响第二声时被接的概率为103，响前两声时不接响第三声时被接的概率为52，则电话在响三声内被接的概率为（ ）A ．53B ． 107C ． 54D ．17．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ）12527.12536.12554.12581.D C B A8．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)55,65,65,75,[)[)75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图，则这人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是（ ）A ．5B ．8C ．13D ．17第8题9．曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y10.甲、乙两种冬小麦实验品种连续x 年的平均单位面积产量如上：试根据这组数据估计哪一种小麦品种产量较稳定（ ）。
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二下学期开学考试数学理试题 含答案 精品
启用前绝密河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试高二（理科）数学注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟 2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.已知m 为正数，则“1m >”是“11lg 1m m+< ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（ ）A. 2B.C. 1D.3. 如图，空间四边形OABC 中，点,M N 分别在,OA BC 上， 2OM MA =，BN CN =，则MN = ( )A.121232OA OB OC -+ B. 211322OA OB OC -++ C. 111222OA OB OC +- D. 221332OA OB OC +-4. 设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）上一点， 12,F F 分别是左右焦点，I 是12PF F ∆的内心，若1IPF ∆， 2IPF ∆， 12IF F ∆的面积123,,S S S 满足()1232S S S -=，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 4D.5.如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到直线BD APC ∠的最大值为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6.如图，在长方体ABCD A B C D '-'''中，点,P Q 分别是棱,BC CD 上的动点，4,3,BC CD CC '===直线CC '与平面'PQC 所成的角为030，则PQC ∆'的面积的最小值是（ ）A.B. 8C.D. 10 7.如图，60°的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A. B. 7C. D. 98.已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形， AD ⊥平面ABC ， 26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A. 48πB.C. 24πD. 16π9.若直线()2y k x =-与曲线y = ）A. k 有最大值3，最小值3- B. k 有最大值12，最小值12-C. k 有最大值0，最小值D. k 有最大值0，最小值12-10.在四面体ABCD 中， ,E G 分别是,CD BE 的中点，若AG xAB yAD zAC =++，则x y z ++=（ ）A.13 B. 12C. 1D. 211.若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为A. 1B. 5C.D. 3+12.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中， 1AB =， BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD ∆的面积最小时，棱1CC 的长为A.B. C. 2 D. 第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年河北省衡水中学高二下期末考试复习卷数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年河北省衡水中学高二下期末考试复习卷数学（文）试题（解析版）一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =--≤，(){|ln 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ） A. ()13， B. (]13， C. [)12-， D. ()12-， 【答案】C【解析】由题意可得：{}|13A x x =-≤≤，{}|2B x x =<，结合交集的定义可得：{}|12A B x x ⋂=-≤<，表示为区间的形式即：[)1,2-. 本题选择C 选项.2．如图，已知AB a = ，AC b = ，4BC BD = ，3CA CE = ，则DE =（ ）A. 3143b a -B.53124a b - C. 3143a b - D. 53124b a -【答案】D【解析】由题意可得：()3344DC BC b a ==- ，1133CE CA b ==-，则：()315343124DE DC CE b a b b a =+=--=- .本题选择D 选项.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=52，a 2+a 4=54，则Sn a n=（ ）A. 4n −1B. 4n −1C. 2n −1D. 2n −1 【答案】D【解析】试题分析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1(1+q 2)=52a 1q (1+q 2)=54，解得 a 1=2q =12，∴S n a n =a 1(1−q n )1−q a 1q n −1=2×(1−12n )1−122×(12)n −1=2n −1.故选D ．【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前n 项和公式．4．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C【解析】根据分层抽样性质，设抽取的一级教师人数为m ，则120901207538m=++，解得16m =，故选择C.5．已知不等式2201x m x ++>-对一切()1x ∈+∞，恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 6m >-B. 6m <-C. 8m >-D. 8m <- 【答案】A【解析】不等式即：21221111m x x x x ⎛⎫>--=--++ ⎪--⎝⎭恒成立， 则max 221m x x ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭结合1x >可得：10x ->，由均值不等式的结论有：12112161x x ⎛⎫⎛⎫--++≤-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2x =时等号成立，据此可得实数m 的取值范围是6m >-. 本题选择A 选项.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .6．已知函数()cos2f x x x =-的图象在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则正数a 的取值范围是（ ）A. 5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,由222262k x k πππππ-≤-≤+,得63k x k ππππ-≤≤+，因为在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增， 533{51226a a a ππππ≤⇒≤≤≥7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】C【解析】如图还原几何体，A C=3,A B=4,A A′=5，红色线表示削下去的部分，剩下的蓝色的线为三视图的几何体，∠C A B=900，所以几何体的体积是V=12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C.8．执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b==，则输出的n=（）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】 执行该程序框图，可知第1次循环：1161624,248,22a b n =+⨯==⨯==；第2次循环：1242436,2816,32a b n =+⨯==⨯==；第3次循环：1363654,21632,42a b n =+⨯==⨯==；第4次循环：1545481,23264,52a b n =+⨯==⨯==；第5次循环：12438181,26412822a b =+⨯==⨯=， 此时a b ≤成立，输出结果5n =，故选B.9．已知函数()2x xe ef x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-，()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得()f x 为奇函数，且是增函数，由12120x x x x +>⇒>-()()()122f x f x f x ⇒>-=-，同理可得()()23f x f x >-，()()31f x f x >-，三式相加化简即可得正解.10．已知点()M a b ，与点()01N -，在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是9344⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】将N 点坐标代入直线方程有：04590++=>， 据此由M 点的坐标可得：3450a b -+<，说法①错误；当a>0时,结合3450a b -+<可得354a b +>，则35544a ab a ++>+>，a+b 既无最小值，也无最大值，故②错误； 很明显点N 与坐标原点位于直线的同侧，设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则1d ==，而点M 与坐标原点位于直线的异侧，故221a b +>,说法③正确；当a>0且a≠1时,11b a +-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率，如图所示： 当a=0,54b =时,1914b a +=--,又直线3x−4y+5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围是9344⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故④正确。
河北省衡水市安平中学2017-2018学年高二下学期期中考试文科数学试题(含精品解析)
安平中学2017-2018学年第二学期期中考试高二数学(文科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.1.若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D. (【答案】D【解析】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的考点：不等式性质2.2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程是( )A. y＝x－2B. y＝x＋2C. y＝x－2(2≤x≤3)D. y＝x＋2(0≤y≤1)【答案】C【解析】分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.详解：因为，所以y＝x－2，因为，所以2≤x≤3,因此选C.点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．3.3.设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b(a－b)·a2<0，必要性不成立；故选A.视频4.4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为( )A. 3B. 2C. 12D. 12【答案】C【解析】【分析】利用三元的均值不等式即可求得最小值．【详解】，当且仅当时等号成立，故选C．【点睛】一般地，如果是正数，那么（当且仅当时等号成立），进一步地，（1）如果（定值），那么有最小值，当且仅当时取最小值；（1）如果（定值），那么有最大值，当且仅当时取最大值．5.5.直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )A. 相切B. 相离C. 直线过圆心D. 相交但直线不过圆心【答案】D【解析】【分析】把圆的参数方程改写成直角方程，利用圆心到直线的距离与半径的大小来判断它们的位置关系．【详解】圆的方程是，故圆心到直线的距离为，所以直线与圆是相交的．又，故直线不过圆心，故选D．【点睛】参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，消参数的方法有：（1）加减消元法；（2）平方消元法；（3）反解消元法；（4）交轨法．6.6.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为( )A. 9B. 8C. 3D.【答案】A【解析】【分析】利用柯西不等式可得最小值．【详解】因为当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故选A．【点睛】一般地，如果，是实数，那么，进一步地，（1）如果，那么有最小值，当且仅当时取最小值；（1）如果，那么有最大值，当且仅当时取最大值．7.7.下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )A. (t为参数)B. (t为参数)C. (t为参数)D. (t为参数)【答案】C【解析】【分析】消去参数检验所得方程是否为．【详解】对于A，消去参数后得到，不符合；对于B，消去参数后得到，不符合；对于C，消去参数后得到，符合；对于D，消去参数后得到，不符合；故选C．【点睛】直线的参数方程有多种，特别地，当直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角）时，那么表示与之间的距离．8.8.设，下面四个不等式中，正确的是（）①；②；③；④A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④【答案】C【解析】试题分析：由题，则说明两个数同号，易判断①，正确；②错误；③；错误；④正确. 故选C.考点：绝对值不等式的性质．9.9.A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的参数方程可设动点，故的最大值归结三角函数的最值问题．【详解】设，则，整理得到，所以，此时．故选C ．【点睛】椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角．我们常通过椭圆的参数方程把椭圆上的动点的横纵坐标用参数的三角函数来表示．10.10.若，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据可以得到，从而①④正确，②③错误．【详解】因为，故，所以，故①正确，③错误．又，故，故④正确．又，故，故②错误，综上，①④正确，故选B．【点睛】本题考察不等式的性质，属于基础题．11.11.已知直线l：(t为参数)和抛物线C：y2＝2x，l与C分别交于点P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )A. 4＋B. 2(2＋)C. 4(2＋)D. 8＋【答案】C【解析】分析：先将直线参数方程化为标准方程，再代入抛物线方程，根据参数几何意义求点A(0，2)到P1，P2两点距离之和.详解：因为直线l：(t为参数)，所以直线l：(m为参数)代入抛物线方程得，因此点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是选C.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.12.12.过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】【分析】抛物线的标准方程是，故焦点坐标为，直线的参数方程为（为直线的倾斜角），代入抛物线方程得到关于的方程，其两个根为，再利用求出．【详解】消去参数得到抛物线方程为：，设直线的参数方程为（为直线的倾斜角），故，设两个根为，则且，因，故，或者，故选B．【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.13.已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．【答案】.【解析】【分析】先求出的直角坐标，再求出的斜率．【详解】，故，故，填．【点睛】本题考察椭圆的参数方程，属于基本题．14.14.已知点M的极坐标为，则它化成直角坐标为________．【答案】.【解析】【分析】利用把点的极坐标转化直角坐标．【详解】，故，填．【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．15.15.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)．①；②；③(1，0)；④(1，π)【答案】②.【解析】【分析】先求出圆的直角方程，从而得到圆心的直角坐标后再转化为极坐标.【详解】因为，故，因此，故圆心为，其极坐标为，故填②.【点睛】一般地，表示圆心为且半径为的圆，表示圆心为且半径为的圆.注意这两个圆都过极点.16.16.设a+b=2,b>0,则+的最小值为.【答案】【解析】由a+b=2,b>0.则+=+=++,由a≠0,若a>0,则原式=++≥+2=.当且仅当b=2a=时,等号成立.若a<0,则原式=---≥-+2=.当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时,+取最小值.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17. 将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.18.18.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程.(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.【答案】(1) =1, x-2y-6=0.(2) 点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为.【解析】【分析】（1）先根据变换得到，再利用把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利用的参数方程为设出动点，再利用点到直线的距离公式得到距离的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得的参数方程为 (为参数)，即.直线化为直角坐标方程为.(2)设点，由点到直线的距离公式得点到直线的距离为因为，故而.【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如，动点在椭圆，可设动点为，又如动点在双曲线，可设动点为. 19.19.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|P A|·|PB|的值.【答案】(1) , x2+y2-2x-4y-11=0.(2)3.【解析】【分析】（1）利用公式写出直线的参数方程.再利用平方消元法消去曲线的参数可得曲线的直角方程.（2）利用直线参数方程中参数的几何意义把归结为，其中是把直线的参数方程代入曲线后得到的关于参数的方程的两个根.【详解】(1)由曲线的参数方程 (为参数)，得普通方程为，即.直线经过定点，倾斜角为,直线的参数方程为 (是参数).(2)将直线的参数方程代入，整理得，设方程的两根分别为，则，因为直线与曲线相交于两点,所以.【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．20.20.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.(1)求证：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）可变形为，利用基本不等式可证．（2）可变形为，利用基本不等式可以得到，再根据，，可以得到，，，从而，故可求所需范围．【详解】（1）证明：∵，∴，又，所以，故，也就是．(2)解：由题意可知，，∴，也就是，当且仅当时取等号，∴．∵，∴ .同理，.∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】基本不等式有如下变形：（1）（）；（2）；上述不等式体现了代数式和与积两种形式之间的转化，解题中注意对代数式和或积的结构分析.21.21.已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【答案】（1）曲线Ｃ的参数方程为为参数）；直线的普通方程为2x+y-6=0.（2）最大值为；最小值为．【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值．试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为．（2）曲线上任意一点到的距离为．则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程．22.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2（1）求C2的方程（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【答案】（1）（为参数）（2）【解析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以即从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
河北衡水市安平中学2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)
安平中学2017-2018学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1＝( )A. 0B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为列方程求解即可.【详解】因为所有随机变量对应概率的和为，所以，，解得，故选B.【点睛】本题主要考查分布列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.2. 若随机变量X～B（n，0.6），且E（X）=3，则P（X=1）的值是（）A. 2×0.44B. 2×0.45C. 3×0.44D. 3×0.64【答案】C【解析】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故选C．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．3.3.下列说法正确的是( )A. 相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B. 独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C. 相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能是错误的D. 独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【答案】C相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用；独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义，故正确答案为C.4.4.已知回归直线方程，其中且样本点中心为，则回归直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程，将样本点的中心坐标代入，即可求得回归直线方程.【详解】回归直线方程为，样本点的中心为，，，回归直线方程，故选C.【点睛】本题主要考查回归方程的性质以及求回归方程的方法，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.5.5.已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826.若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( )A. 0.135 9B. 0.135 8C. 0.271 8D. 0.271 6【解析】【分析】根据变量符合正态分布和所给的和的值，结合原则，得到，两个式子相减，根据对称性得到结果.【详解】随机变量符合正态分布，，，，，，故选A.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.6.6.如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（）A. 0.504B. 0.994C. 0.496D. 0.06【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．故选B．考点：相互独立事件同时发生的概率．【名师点睛】1．对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立；2．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P（B），P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P（A）×P（B）3．若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．4．若P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．7.7.如图所示的5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A. 相关系数变大B. 残差平和变大C. 变大D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．详解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小．故选B．点睛：本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属基础题.8. 已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝()A. －1.88B. －2.88C. 5. 76D. 6.76【答案】C【解析】试题分析：因为随机变量X～B(6,0.4)，所以，.故选C.考点：1、离散型随机变量的分布列（二项分布）；2、离散型随机变量函数的方差.9.9.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（当且仅当a=，b=时取等号）∴ab的最大值为．故答案：D．考点：离散型随机变量的期望与方差．10.10.下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】C【解析】①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．综上可知：其中正确命题的是①③．故答案为C11.11.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）=P（B）=1-P（.B）=1-∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）=考点：条件概率与独立事件12.12.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X 的均值是( )A. 20B. 25C. 30D. 40【答案】B【解析】抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为，所以X～B.故E(X)＝80×＝25.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.13.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是.【答案】【解析】试题分析：依题意可知甲中靶与乙中靶是相互独立事件，且他们中靶的概率分布为0.8，0.7。
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二6月调研考试数学(理)试题(含精品解析)
2017-2018学年第二学期6月调研考试卷高二理科数学试题注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卷上,写在其它地方无效.第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.1.若，，则等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件概率公式可得：故答案选2. 三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25B. 26C. 36D. 37【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
考点：本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用。
点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解。
视频3.3.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )A. 180B. －180C. 45D. －45【答案】A【解析】根据二项式定理知，故选A.4.4.若复数满足，其中为虚数单位，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算计算即可.【详解】故选B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.5.5.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到的值．【详解】根据所给的三对数据，得到∴这组数据的样本中心点是∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，属基础题．6.6.设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望,所以二项分布的方差，应填选答案C。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学(理)试题
河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =<，{|21,}xB y y x A ==-∈，则AB =（ ）A ．(,3)-∞B ．[2,3)C ．(,2)-∞D ．(1,2)- 2.已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的虚部是（ ） A ．13i - B ．13i + C ．13i -+ D ．13i --3.有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出152m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A ．34 B ．38 C ．316π D ．12332π+ 4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5、2，则输出的n =（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．55.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12(2)n n S a n =+≥，且12a =，则20S =（ ） A ．1921- B ．2122- C. 1921+ D ．2122+6.已知圆C ：224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48(,)99B ．24(,)99C. (2,0) D ．(9,0) 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53 C. 63 D ．838. 212()log (21)f x ax x =+-，22sin(2)6()sin 3cos x g x x x π++=+，若不论2x 取何值，对12()()f x g x >任意173[,]102x ∈总是恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．7(,)10-∞-B ．4(,)5-∞- C. 63(,)80-+∞ D ．404(,)495-- 9.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记2(1,2,,10)i i m AB AP i =∙=，则1210m m m +++的值为（ ）A ．153B ．45 C. 603 D ．18010.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，若动点(,)P x y 满足等式22(22)(83)0f x x f y y +++++=，则x y +的最大值为（ ） A ． 265- B ． -5 C. 265+ D ．5 11.数列{}n a 满足143a =，*1(1)()n n n a a a n N +=-∈，且12111n nS a a a =+++，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3} C. {1,2} D ．{0,2}12.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||OM MF 的最大值为（ ） A ．33 B ．63 C. 233 D ．263第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若,x y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师最多 人． 14.已知函数2()2sin()12f x x x x π=-+的两个零点分别为,()m n m n <，则21nmx dx -=⎰．15.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为 ． 16.已知是定义在R 上的函数，且满足①(4)0f =；②曲线(1)y f x =+关于点(1,0)-对称；③当(4,0)x ∈-时，2||()log (1)xx x f x e m e=+-+，若()y f x =在[4,4]x ∈-上有5个零点，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量(3sin ,1)m x ω=，2(cos ,cos 1)n x x ωω=+，设函数()f x m n b =∙+．（1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[0,3]ω∈时，求函数()f x 的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 18. 如图，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=，且2SA AB BC CD ===，E 是边SB 的中点．（1）求证：//CE 平面SAD ；（2）求二面角D EC B --的余弦值大小．19. 某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为1ξ（万元）的概率分布列如表所示：且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为(01)p p <<和1p -，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与2ξ的关系如表所示：（1）求,m n 的值； （2）求2ξ的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）20. 如图，曲线Γ由曲线22122:1(0,0)x y C a b y a b+=>>≤和曲线22222:1(0,0,0)x y C a b y a b-=>>>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点．（1）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆的面积的最大值． 21. 设(4)ln ()31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,)x ∈+∞，()(1)f x m x ≤-恒成立，求m 的取值范围； （3）求证：*1ln(41)16()(41)(43)ni in n N i i =+≤∈+-∑． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与12,C C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．（1）分别说明12,C C 是什么曲线，并求a 与b 的值； （2）设当4πα=时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-时，l 与12,C C 的交点分别为22,A B ，求直线1212,A A B B 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<． （1）证明：1()()2f x f x+-≥； （2）若不等式1()(2)2f x f x +<的解集是非空集，求a 的范围．试卷答案1-12 DABCC AADDA BC 13. 10 14. 2π 15. 6349π 16. 42[3,1){}e e ----17. 解：向量(3sin ,1)m x ω=，(cos ,cos 21)n x x ωω=+，2()3sin cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=∙+=+++3133sin 2cos 2sin(2)22262x x b x b πωωω=+++=+++（1）∵函数()f x 图象关于直线6x π=对称，∴2()662k k Z πππωπ∙+=+∈，解得：31()k k Z ω=+∈，∵[0,3]ω∈，∴1ω=，∴3()sin(2)62f x x b π=+++，由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈．（2）由（1）知3()sin(2)62f x x b π=+++，∵7[0,]12x π∈， ∴42[,]663x πππ+∈， ∴2[,]662x πππ+∈，即[0,]6x π∈时，函数()f x 单调递增； 42[,]663x πππ+∈，即7[,]612x ππ∈时，函数()f x 单调递减． 又(0)()3f f π=，∴当7()0()312f f ππ>≥或()06f π=时函数()f x 有且只有一个零点． 即435sinsin326b ππ≤--<或3102b ++=， 所以满足条件的335(2,]{}22b -∈--． 18．（1）证明：取SA 中点F ，连接EF ，FD ，∵E 是边SB 的中点，∴//EF AB ，且12EF AB =，又∵90ABC BCD ∠=∠=，∴//AB CD ，又∵2AB CD =，即12CD AB =∴//EF CD ，且EF CD =，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴//FD EC ，又FD ⊆面SAD ，CE ⊄面SAD ，∴CE ∥面SAD ． （2）解：在底面内过点A 作直线//AM BC ，则AB AM ⊥，又SA ⊥平面ABCD ， 以,,AB AM AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设2AB =，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(1,0,1)A B C D E ， 则(0,2,0),(1,0,1)BC BE ==-，(1,0,0),(1,2,1)CD CE =-=--，设面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n BE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即200y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，则1z =，∴(1,0,1)n =．同理可求面DEC 的一个法向量为(0,1,2)m =，10cos ,5||||n m n m n m ∙<>==， 由图可知，二面角D EC B --是钝二面角， 所以其平面角的余弦值为105-． 19.解：（1）由题意得：0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，得：0.5,0.1m n ==．（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204.0，2(41.2)(1)[1(1)](1)P p p p p ξ==---=-222(117.6)[1(1)](1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-2(204.0)(1)P p p ξ==-所以2ξ的分布列为2ξ41.2 117.6 204.0P(1)p p -22(1)p p +-(1)p p -（3）由（2）可得：222()41.2(1)117.6[(1)]204.0(1)E p p p p p p ξ=⨯-+⨯+-+⨯-21010117.6p p =-++根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需12()()E E ξξ<，即21201010117.6p p <-++，得0.40.6p <<．因为22()1010117.6E p p ξ=-++，所以当12P =时，2()E ξ取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%.20.（Ⅰ）2222223620416a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩， 则曲线Γ的方程为221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=> （Ⅱ）曲线2C 的渐近线为b y x a =±,如图，设直线:()bl y x m a=- 则2222()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222()0x mx m a ⇒-+-= 22222(2)42()4(2)022m m a a m a m a ∆=-∙∙-=->⇒-<<又由数形结合知m a ≥，∴2a m a ≤<设点112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则1222122x x mm a x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴12022x x m x +==，00()2b b my x m a a =-=-∙ ∴00b y x a =-，即点M 在直线by x a=-上. （Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲线221:1(0)2016x y C y +=≤，点4(6,0)F 设直线1l 的方程为6(0)x ny n =+>22221(45)4864020166x y n y ny x ny ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩222(48)464(45)01n n n ∆=-∙∙+>⇒>设3344(,),(,)C x y D x y ，由韦达定理：34234248456445n y y n y y n -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴2234343421||()416545n y y y y y y n --=+-=+11414221434221111||||||8165645224545CDF CF F DF F n n S S S F F y y n n ∆∆∆--=-=∙-=∙∙∙=++ 令210t n =->，∴221n t =+， ∴1216456459494CDF t S t t t∆=∙=∙++∵0t >，∴9412t t +≥，当且仅当32t =，即132n =时等号成立 132n =时，∴1max 1165645123CDF S ∆=∙= 21.（Ⅰ）'24(4ln )(31)3(4)ln ()(31)x ax x x a xx f x x +++-+=+ 由题设'(1)1f =，∴414a+= ∴0a =. （Ⅱ）4ln ()31x x f x x =+，[1,)x ∀∈+∞，()(1)f x m x ≤-，即14ln (32)x m x x≤--设1()4ln (32)g x x m x x=---，即[1,)x ∀∈+∞，()0g x ≤. 2'224134()(3)mx x m g x m x x x-+-=-+=，'(1)44g m =- ①若'0,()0m g x ≤>，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾②若(0,1)m ∈，当2'243(1,),()03m x g x m+-∈>，()g x 单调递增，()(1)0g x g >=，与题设矛盾.③若1m ≥，当'(1,),()0x g x ∈+∞≤，()g x 单调递减，()(1)0g x g ≤=，即不等式成立 综上所述，1m ≥ .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时， 1m =时， 11ln (32)4x x x ≤--成立. 不妨令4143i x i +=-，*i N ∈，所以4116ln 43(41)(43)i i i i i +≤-+-， 4116ln43(41)(43)+≤-+- 421162ln423(421)(423)⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯- 431163ln 433(431)(433)⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯- ………… 4116ln 43(41)(43)n n n n n +≤-+- 累加可得∴*1ln(41)16()(41)(43)n i i n n N i i =+≤∈+-∑ 22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】(Ⅰ) 1C 是圆，2C 是椭圆当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a ，因为这两点间的距离为2，所以3a =； 当2πα=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ，因为这两点重合，所以1b =.(Ⅱ) 1C ，2C 的普通方程分别为221x y +=和2219x y += 当4πα=时，射线l 与1C 的交点1A 的横坐标为22x =，与2C 的交点1B 的横坐标为'31010x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的交点2A ，分别与1A ，1B 关于x 轴对称因此直线12A A 、12B B 垂直于极轴，故直线12A A 和12B B 的极坐标方程分别为2sin 2ρθ=，310sin 10ρθ= 23．(Ⅰ)函数()||,0f x x a a =-<则1111()()||||||||||f x f x a a x a a x a a x x x x+-=-+--=-++≥-++ 111||||||2||||2x x x x x x=+=+≥∙= (Ⅱ) ()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<当x a ≤时，()223f x a x a x a x =-+-=-， 则()f x a ≥-， 当2a a x <<时，()2f x x a a x x =-+-=-， 则()2a f x a -<<-； 当2a x ≥时，()232f x x a x a x a =-+-=-， 则()2a f x ≥-， 于是()f x 的值域为[,)2a -+∞ 由不等式1()(2)2f x f x +<的解集是非空集， 即122a >-， 解得1a >-，由于0a <，则a 的取值范围是(1,0)-.。
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【全国百强校】衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）
A．B．C．D．
2. 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
3. 设复数满足（为虚数单位），则（）
A．B．
C．D．
4. 用反证法证明命题“若，则
”时，下列假设的结论正确的是（）
A．B．
C．D．
5. 方程（为参数）表示的曲线是( )
A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆
6. 若，，，则，，的大小关系是
（）
A．B．C．D．
7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）
A．7 B．8 C．11 D．15
8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥
，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）
A．B．
C．D．
9. 设函数，则函数的所有极大值之和为A．B．C．D．
10. 已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
，M是曲线C上的动点．以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为
，则点M到点T的距离的最大值为（）A．B．C．D．
11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）
B．
A．
D．
C．
12. 已知函数，若关于的方程
由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
D．
A．B．C．
二、填空题
13. 复数（其中为虚数单位）的虚部为__________．
14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．
15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____．
16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．
三、解答题
17. 设复数，当实数取何值时，复数对应的点：
（1）位于实轴上？
（2）位于第一、三象限？
（3）位于以原点为圆心、4为半径的圆上？
18. 已知数列的前项和为，且满足，.
（1）写出，，，并推测数列的表达式；
（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.
19. 在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为
（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与
空气质
量指数
空气质量等级级优级良
级轻度
污染
级中度
污染
级重度
污染
级严重
污染
该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
（Ⅱ）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．
21. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点
为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点,求的取值范围.
22. 已知，函数.
（Ⅰ）若函数在上递减, 求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求的最小值的最大值；
（Ⅲ）设，求证：.。