初中数学 之化动为静
中考＂临时抱佛脚＂：中考数学重要考点分析
中考＂临时抱佛脚＂：中考数学重要考点分析[数学篇]细节上下功夫，对80%中考题心中有数如何做到胸有成竹地走进考场，要在细节上下功夫，对百分之八十的中考题做到心中有数。
一、了解试卷命题原则，明确试卷结构推测今年数学中考的题量仍旧为25题，选择题为6题（每题4分，共24分），填空题为12题（每题4分，共48分），简答题共4题（每题10分，共40分）解答题共3题（12分+12分+14分=38分）。
容易题、中档题和较难题坚持在8：1：1的水平。
考试时刻100分钟，答题时刻大致分配如下：选择题、填空题大约用20分钟时刻；简答题每题约5分钟，用时20分钟；解答题平均约20分钟一题，共计60分钟。
总的时刻分配因人而异，比如选择题和填空题，关于中档水平以下的同学能够适当多用一点儿时刻，在那个地点尽可能拿分；关于水平比较高的同学，选择题和填空题不能费时太多，不然解答大题就会感到时刻紧张。
但总的原则是以准确为主。
我们要训练在20分钟之内完成共计72分的选择题和填空题，做到准确、迅速、整洁。
相当一部分同学的分数不高，许多是会做的题做错，专门是基础题。
究其缘故，有属于知识方面的，也有属于方法方面的。
因此，要加强对以往错题的研究，找错误的缘故，对易错的知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。
同学们可几个人一起互提互问，在争辩和研讨中矫正。
找准了错误的缘故，就能对症下药，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。
二、重视试卷中的创新试题试卷的创新部分会显现在选择题和填空题的最后几题。
大致类型有：（1）平面图形的运动问题：考查平移、翻折、旋转的本质属性：运动中的不变量。
关键是按照题意正确画出图形和进行差不多图形分析。
（2）分类讨论问题：考查如何分类，如何做到分类的不漏、不重。
（3）新题型：一类是查找规律，另一类是阅读明白得。
但试卷绝大部分题目差不多上差不多题型。
三、把握简答题的差不多题型四道简答题大约在六种题型里选择。
第19题在实数的运算和式的运算中选其一；第20题在解方程（组）或解不等式组中选其一；第21、22题在一次函数、反比例函数；锐角三角比；统计和解直角三角形的运用中四选二。
运用动静结合策略解初中数学平面几何动点问题
运用动静结合策略解初中数学平面几何动点问题苏㊀雅(扬州大学数学科学学院ꎬ江苏扬州２２５１００)摘㊀要:平面几何是初中数学中的重点内容之一.其中ꎬ动点问题常常在中考数学中作为压轴题出现ꎬ这类试题能有效考查学生分析和解决问题的能力ꎬ较好地渗透了分类讨论㊁数形结合㊁化归等数学思想.动点问题较为复杂ꎬ导致很多学生遇到相关题目时无法及时找到解题思路.为了帮助学生提高解题能力ꎬ本文对中考中平面几何动点问题常考的两大类题型ꎬ以２０２１年两道中考题为例加以分析ꎬ并向学生讲解相关的解题策略.关键词:平面几何ꎻ动点ꎻ初中数学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０８－００２９－０３收稿日期:２０２２－１２－１５作者简介:苏雅(１９９８.７－)ꎬ女ꎬ研究生ꎬ从事初中数学教学研究.１ 化动为静 动边转移求解范围问题例１㊀(２０２１年徐州市中考第２８题)如图１ꎬ正方形ＡＢＣＤ的边长为４ꎬ点Ｐ在边ＡＤ上(点Ｐ不与点ＡꎬＤ重合)ꎬ连接ＰＢꎬＰＣꎬ将线段ＰＢ绕点Ｐ顺时针旋转９０ʎ得到ＰＥꎬ将线段ＰＣ绕点Ｐ逆时针旋转９０ʎ得到ＰＦ.连接ＥＰꎬＥＡꎬＦＤ.图１(１)求证:әＰＤＦ的面积Ｓ＝１２ＰＤ２ꎻＥＡ＝ＦＤꎻ(２)如图２ꎬＥＡꎬＦＤ的延长线交于点Ｍꎬ取ＥＦ中点Ｎꎬ连接ＭＮꎬ求ＭＮ的取值范围.解㊀(１)①如图３ꎬ过Ｆ作ＦＨʅＰＤ交ＰＤ的延长线于点Ｈ.易证әＰＣＤ≅әＦＰＨꎬ图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３ʑＦＨ＝ＰＤꎬʑＳәＰＤＦ＝１２ＰＤ ＦＨ＝１２ＰＤ２.②同理ꎬ过Ｅ作ＥＫʅＰＡ交ＰＡ的延长线于点Ｋꎬ则әＰＫＥ≅әＢＡＰꎬ易证ＡＫ＝ＰＤ＝ＦＨꎬＫＥ＝ＡＰ＝ＤＨꎬ易得ＡＥ＝ＤＦ.(２)如图３ꎬ过Ｆ作ＦＧʅＫＥꎬ易证四边形ＦＨＫＧ为矩形ꎬʑＧＦ＝ＫＨ＝８ꎬＧＫ＝ＦＨ.设ＡＫ＝ＰＤ＝ＦＨ＝ＫＧ＝ｘꎬʑＫＥ＝ＡＰ＝４－ｘꎬＧＥ＝ＫＥ－ＫＧ＝(４－ｘ)－ｘ＝４－２ｘ.在ＲｔәＥＧＦ中ＥＦ＝ＧＥ２＋ＧＦ２＝４ｘ－２()２＋６４０<ｘ<４()ꎬ９２ʑ８ɤＥＦ<４５ꎬȵәＡＫＥ≅әＦＨＤꎬʑøＥＡＫ＝øＤＦＨꎬ又ȵøＤＦＨ＋øＦＤＨ＝９０ʎꎬ易证øＭＡＤ＋øＡＤＭ＝９０ʎꎬʑøＥＭＦ＝９０ʎꎬ又ȵＮ为ＥＦ中点ꎬʑＭＮ＝１２ＥＦɪ[４ꎬ２５).评析㊀此类题目要学会从题干中找信息ꎬ将需要求证的结果作为目标ꎬ去寻找与之相关的参数ꎬ前两问都是要证明边与边的关系ꎬ应将不易求证关系的边进行转移ꎬ并利用边的关系构造或寻找全等三角形进行求解ꎻ第三问ꎬ常见的求动线段范围的方法有:将动线段的一端点转移使之变成定点ꎬ另一端点转移到固定直线上ꎬ即变成了点到直线的距离.也可将其整体转移至一个新的直角三角形中ꎬ利用勾股定理和代数求解.本题中出现了中点ꎬ可联想到中位线或直角三角形斜边ꎬ将所求动线段进行整体转移ꎬ再构造直角三角形ꎬ利用代数求解.变式１㊀如图４ꎬ边长为６的正方形ＡＢＣＤ中ꎬＥ为ＢＣ的中点ꎬＦ为正方形内一点且ＥＦ＝２ꎬ连接ＤＦꎬ以ＤＦ为边在右侧作正方形ＤＦＧＨꎬ则ＥＨ的最小值为(㊀㊀).Ａ.６２－２㊀Ｂ.３５＋２㊀Ｃ.３２＋２㊀Ｄ.３１０－２图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬ连接ＣＨ㊁ＡＦꎬ延长ＢＡ使ＭＡ＝ＥＣꎬ连接ＭＦꎬ易证әＡＤＦ≅әＣＤＨＳＡＳ()ꎬʑＡＦ＝ＣＨꎬøＤＡＦ＝øＤＣＨ.易证әＭＡＦ≅әＥＣＨＳＡＳ()ꎬʑＦＭ＝ＥＨ.当Ｍ㊁Ｅ㊁Ｆ三点共线时ꎬＥＨ最小ꎬ此时ＥＨ＝ＭＥ－ＥＦ＝３１０－２.故此题选Ｄ.评析㊀求动线段最小值问题归属于范围问题.看到中点ꎬ尝试将动线段利用中位线或直角三角形斜边定理进行转移ꎬ此题这两种方法都无法做到ꎬ该题目中出现了两个正方形ꎬ且有一共同顶点ꎬ此时必有全等出现ꎬ可以联想到利用全等将所求动线段进行转移ꎬ出现了 隐藏 әＥＦＭꎬ可利用三角形三边关系进行求解.２ 以静制动 从特殊点剖析动点轨迹ꎬ求路径问题㊀㊀例２㊀(２０２１年连云港市中考第２７题)在数学兴趣小组活动中ꎬ小亮进行数学探究活动.(１)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＥ是边ＡＣ上的一点ꎬ且ＡＥ＝１ꎬ小亮以ＢＥ为边作等边三角形ＢＥＦꎬ如图６所示ꎬ求ＣＦ的长.图６(２)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＥ是边ＡＣ上的一个动点ꎬ小亮以ＢＥ为边作等边三角形ＢＥＦꎬ如图６所示ꎬ在点Ｅ从点Ｃ到点Ａ的运动过程中ꎬ求点Ｆ所经过的路径长.(３)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＭ是高ＣＤ上的一个动点ꎬ小亮以ＢＭ为边作等边三角形ＢＭＮꎬ如图７所示ꎬ在点Ｍ从点Ｃ到点Ｄ的运动过程中ꎬ求点Ｎ所经过的路径长.图７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８(４)正方形ＡＢＣＤ的边长为３ꎬＥ是边ＣＢ上的一个动点ꎬ在点Ｅ从点Ｃ到点Ｂ的运动过程中ꎬ小亮以Ｂ点为顶点做正方形ＢＦＧＨꎬ其中点Ｆ㊁Ｇ都在直线ＡＥ上ꎬ如图８所示.当点Ｅ到达点Ｂ时ꎬ点Ｆ㊁Ｇ㊁Ｈ与点Ｂ重合.则点Ｈ所经过的路径长为ꎬ０３点Ｇ所经过的路径长为.解㊀(１)易证әＡＢＥ≅әＣＢＦＳＡＳ()ꎬʑＣＦ＝ＡＥ＝１.(２)易证әＡＢＥ≅әＣＢＦＳＡＳ()ꎬʑＣＦ＝ＡＥꎬøＢＣＦ＝øＡ＝６０ʎꎬʑøＦＣＥ＝１２０ʎꎬʑøＦＣＥ＋øＡ＝１８０ʎꎬʑＣＦʊＡＢꎬʑ点Ｅ在点Ｃ处时ꎬＣＦ＝ＡＣꎬ点Ｅ与点Ａ重合时ꎬ点Ｆ与点Ｃ重合.ʑＦ的运动路径为ＡＣ＝３. (３)如图９ꎬ取ＣＢ中点ꎬ连接ＨＮ.易证әＭＤＢ≅әＮＨＢＳＡＳ()ꎬʑøＮＨＢ＝øＭＤＢ＝９０ʎꎬ点Ｍ在点Ｃ处时ꎬＨＮ＝３３２＝ＣＤꎬ点Ｍ在点Ｄ处时ꎬ点Ｎ与点Ｈ重合ꎬʑＮ的路径长为ＣＤ＝３３２.图９㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１０(４)如图１０ꎬ取ＡＢ中点ＰꎬＢＣ中点Ｋꎬ连接ＦＰꎬＨＫꎬ易证әＢＨＫ≅әＢＦＰＳＡＳ()ꎬʑＫＨ＝ＰＦ＝１２ＡＢ＝３２ꎬʑＨ的轨迹为一段圆弧ꎬ点Ｅ在点Ｂ处时ꎬ点Ｆ㊁Ｇ㊁Ｈ与点Ｂ重合ꎬ点Ｅ在点Ｃ处时ꎬøＦＢＥ＝４５ʎꎬＫＨʅＢＣꎬ点Ｈ的路径长为３π４.易证әＡＢＦ≅әＣＢＨＳＡＳ()ꎬʑøＢＨＣ＝øＡＦＢ＝９０ʎꎬ从而Ｃ㊁Ｇ㊁Ｈ共线ꎬʑＯＧ＝１２ＡＣ＝３２２ꎬʑＧ的轨迹也为一段以Ｏ为圆心ꎬＯＣ长为半径的１/４圆弧ꎬʑＧ的路径长为３２π４.评析㊀当出现两个有共同顶点的同类多边形(一般为三角形或四边形)时ꎬ一定有全等出现ꎬ如果没有ꎬ可以构造全等三角形.路径长度ꎬ就是要找到所求点运动的全过程所对应的线段长.该题中前两问都是简单的单一直线运动ꎬ只需要找到所求点的初始与终止位置ꎬ求出对应的线段长度ꎬ即为路径长度.第三问点的运动稍微复杂ꎬ当所求点位置不好确定时ꎬ可以构造与所求点相关的线段ꎬ来判断其运动轨迹ꎬ发现所求点的运动轨迹均为单一方向的圆弧ꎬ找到其初始位置与终止位置即可求解.３反思总结ꎬ提高学生解题能力对于动点问题ꎬ学生首先要能够明辨题目中的变量和不变量.只有分清楚变量和不变量才能够化动为静ꎬ将所求的变量转化到恒定的不变量上.具体问题中通常是将运动的点或边ꎬ转移到不变的边上ꎬ这样问题也就迎刃而解了.其次ꎬ动点在运动过程中的特殊点ꎬ也是解题的突破口之一ꎬ要抓住关键点ꎬ将一般情况特殊化ꎬ观察运动过程ꎬ进而能够发现动点的运动规律.对于与函数有关的动点问题ꎬ要尝试建立动点运动过程中的函数关系ꎬ利用函数性质进行求解.只要掌握了动点问题的解题策略ꎬ不论动点怎么动ꎬ我们都能以不变应万变ꎬ顺利求解此类试题.动点问题常常较为综合ꎬ求解过程也要运用多种数学知识ꎬ所以能有效地考查学生的数学知识和数学能力ꎬ有效区分不同考生的数学学习水平ꎬ为中学阶段的选拔提供一定依据.教师在教学中要注意培养学生的几何素养ꎬ有意训练学生的动态思维ꎬ将动点问题中的 动 与条件中的 静 结合起来ꎬ学会运用数形结合等数学思想方法ꎬ再结合专项训练ꎬ一定可以提高学生对动点问题的求解能力.参考文献:[１]王中文.初中数学动点问题的解题策略[Ｊ].读与写(教育教学刊)ꎬ２０１２ꎬ９(０３):１１５. [２]陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１８(０６):１４３－１４４.[责任编辑:李㊀璟]１３。
动点题初二数学技巧
动点题初二数学技巧解决动点问题的关键是“动中求静”。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
考点一：创建动点问题的函数解析式(或函数图像)函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。
考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。
动态几何特点--问题背景就是特定图形，考查问题也就是特定图形，所以必须把握住不好通常与特定的关系;分析过程中，特别必须高度关注图形的特性(特定角、特定图形的性质、图形的特定边线。
)动点问题一直就是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相近三角形、平行四边形、梯形、特定角或其三角函数、线段或面积的最值。
考点三：双动点问题动态问题就是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量小,其中以有效率多样而闻名的双动点问题更沦为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处置信息的能力建议更高低;解题时须要用运动和变化的眼光回去观测和研究问题,发掘运动、变化的全过程,并特别高度关注运动与变化中的不能变量、维持不变关系或特定关系,颤抖中取静,晴中求动.解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” 、“写” 、“选”。
初中数学动点问题解题技巧--Du
欢迎阅读动点问题解题技巧以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题。
动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻。
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目，注重对几何图形运动变化能力的考查。
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也31.2.a+b 。
3例1 且（1（2（3）甲、乙分别从A 、B 两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s ，乙的速度是2个单位长度/s ，求相遇点D 对应的数．练习1 已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。
⑴若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；⑵数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。
若不存在，请说明理由？⑶当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？二、求最值问题利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______ .特点：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。
初中数学动点问题解题技巧--Du
动面问题解题本领之阳早格格创做以疏通的瞅面商量几许图形部分顺序的问题，称之为动背几许问题.动背几许问题充分体现了数教中的“变”与“没有变”的战谐统一，其个性是图形中的某些元素（面、线段、角等）或者某部分几许图形按一定的顺序疏通变更，进而又引起了其余一些元素的数量、位子闭系、图形沉叠部分的里积或者某部分图形等爆收变更，然而是图形的一些元素数量战闭系正在疏通变更的历程中却互相依存，具备一定的顺序可觅.所谓“动面型问题”是指题设图形中存留一个或者多个动面,它们正在线段、射线或者弧线上疏通的一类启搁性题目，注沉对于几许图形疏通变更本领的考查.办理那类问题的闭键是动中供静,机动使用有闭数教知识办理问题. 正在变更中找到没有变的本量是办理数教“动面”商量题的基础思路,那也是动背几许数教问题中最核心的数教真量.从变更的角度战疏通变更去钻研三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对于称、动面的疏通”等钻研脚法战要领，去探索与创造图形本量及图形变更，正在解题历程中渗透空间概念战合情推理.那些压轴题题型繁琐、题意革新，脚法是观察教死的分解问题、办理问题的本领，真量包罗空间概念、应蓄意识、推理本领等.从数教思维的层里上道需要具备以下思维：分类计划思维、数形分离思维、转移思维、函数思维、圆程思维.罕睹的动面问题一、数轴上的动面问题数轴上的动面问题离没有启数轴上二面之间的距离.为了便于对于那类问题的分解，先精确以下3个问题：1.数轴上二面间的距离，即为那二面所对于应的坐标好的千万于值，也即用左边的数减去左边的数的好.即数轴上二面间的距离=左边面表示的数—左边面表示的数.2.面正在数轴上疏通时，由于数轴背左的目标为正目标，果此背左疏通的速度瞅做正速度，而背左疏通的速度瞅做背速度.那样正在起面的前提上加上面的疏通路途便不妨间接得到疏通后面的坐标.即一个面表示的数为a，背左疏通b个单位后表示的数为a—b；背左疏通b个单位后所表示的数为a+b.3．数轴是数形分离的产品，分解数轴上面的疏通要分离图形举止分解，面正在数轴上疏通产死的路径可瞅做数轴上线段的战好闭系.例1如图．A、B、C三面正在数轴上，A表示的数为-10，B 表示的数为14，面C正在面A与面B之间，且AC=BC．（1）供A、B二面间的距离；（2）供C面对于应的数；（3）甲、乙分别从A、B二面共时相背疏通，甲的速度是1个单位少度/s，乙的速度是2个单位少度/s，供相逢面D对于应的数．训练1已知数轴上二面A、B对于应的数分别为—1，3，面P为数轴上一动面，其对于应的数为x.⑴若面P到面A、面B的距离相等，供面P对于应的数；⑵数轴上是可存留面P，使面P到面A、面B的距离之战为5？若存留，哀供出x的值.若没有存留，请道明缘由？⑶当面P以每分钟一个单位少度的速度从O面背左疏通时，面A以每分钟5个单位少度背左疏通，面B一每分钟20个单位少度背左疏通，问它们共时出收，几分钟后P面到面A、面B的距离相等？二、供最值问题利用轴对于称本量真止“搬面移线”供几许图形中一些线段战最小值问题.利用轴对于称的本量办理几许图形中的最值问题借帮的主要基础定理有三个：（1）二面之间线段最短；（2）三角形二边之战大于第三边；（3）垂线段最短.供线段战最小值问题不妨归纳为：一个动面的最值问题，二个动面的最值问题.例2如图，正圆形ABCD的里积为12，△ABE是等边三角形，面E正在正圆形内，正在对于角线AC上有一动面P，使PD+PE的值最小，则其最小值是______ .个性：已知二个定面位于一条曲线的共一侧，正在曲线上决定一动面的位子，使动面与二定面线段战最小，供出最小值.思路：办理那类题脚法要领是找出其中一定面闭于曲线的对于称面，连结那个对于称面与另一定面，接曲线于一面，接面即为动面谦脚最值的位子.训练2如图，等边△ABC的边少为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动面，E是AC边上一面，若AE=2，当EF+CF 博得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45°例3如图，∠AOB=30°，内有一面P且OP=√6，若M、N为边OA、OB上二动面，那么△PMN的周少最小为（）A．2√6 B.6 C. √6/2 D. √6个性：已知一个定面位于仄里内二相接曲线之间，分别正在二曲线上决定二个动面使线段战最小.思路：那类问题通过干那一定面闭于二条线的对于称面，真止“搬面移线”，把线段“移”到共背去线上去办理.训练3 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB里里的一个定面，且OP=2，面E、F分别是OA、OB上的动面，若△PEF周少的最小值等于2，则α=（）A．30° B.45° C.60° D.90°例4正在钝角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的仄分线BC于D，M、N分别是AD与AB上动面，则BM+MN 的最小值是_________ ．个性：二动面正在二条曲线上，定面战其中一个动面共线，供没有共线动面分别到定面战另一动面的距离战最小值.思路：（1）利用轴对于称变更，使没有共线动面正在另一动面的对于称面与定面的连线段上（二面之间线段最短）.（2）那条线段笔曲于另一动面的对于称面地圆曲线时，二线段战最小，最小值等于那条垂线段的少.训练4如图，正在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的仄分线接BC于面D，若面P、Q分别是AC战AD上的动面，则CQ+PQ的最小值是______.三、动面形成特殊图形问题此类问题背景是特殊图形,考查询题也是特殊图形,所以要掌控佳普遍与特殊的闭系;分解历程中,特地要闭注图形的个性(特殊角、特殊图形的本量、图形的特殊位子).分解图形变更历程中变量战其余量之间的闭系，或者是找到变更中的没有变量，修坐圆程或者函数闭系办理.1掌控疏通变更的形式及历程;思索疏通初初状态时几许元素的闭系，以及可供出的量.2先决定特定图形中动面的位子,绘出切合题意的图形——化动为静.3根据已知条件，将动面的移动距离以及办理问题时所需要的条件用含t的代数式表示出去.4根据所供,利用特殊图形的本量或者相互闭系，找出等量闭系列出圆程去办理动面问题.例5如图，正在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5 ，∠C=30°.面D从面C出收沿CA目标以每秒2个单位少的速度背面A 匀速疏通，共时面E从面A出收沿AB目标以每秒1个单位少的速度背面B匀速疏通，当其中一个面到达末面时，另一个面也随之停止疏通.设面D、E疏通的时间是t秒（t＞0）.过面D做DF⊥BC于面F，对接DE、EF.（1）供证：AE=DF；（2）当t为何值时，△DEF为曲角三角形？请道明缘由.例6如图，面A正在Y轴上，面B正在X轴上，且OA=OB=1，通过本面O的曲线L接线段AB于面C，过C做OC的垂线，与曲线X=1相接于面P，现将曲线L绕O面转动，使接面C从A背B疏通，然而C面必须正在第一象限内，并记AC的少为t，分解此图后，对于下列问题做出商量：（1）当△AOC战△BCP齐等时，供出t的值.（2）通过动脚丈量线段OC战CP的少去推断它们之间的大小闭系？并道明您得到的论断.坚韧提高1.如图正在钝角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的仄分线接BC于面D,M、N分别是AD、AB上的动面，则BM+MN的最小值是________.2.已知，数轴上面A正在本面左边，到本面的距离为8个单位少度，面B正在本面的左边，从面A走到面B，要通过32个单位少度．（1）供A、B二面所对于应的数；（2）若面C也是数轴上的面，面C到面B的距离是面C到本面的距离的3倍，供面C对于应的数；（3）已知，面M从面A背左出收，速度为每秒1个单位少度，共时面N从面B背左出收，速度为每秒2个单位少度，设线段NO的中面为P，线段PO-AM的值是可变更？若没有变供其值．3.如图，正在仄里曲角坐标系中，面A(3，0)，B(33，2)，C（0，2)．动面D以每秒1个单位的速度从面0出收沿OC 背末面C疏通，共时动面E以每秒2个单位的速度从面A出收沿AB背末面B疏通．过面E做EF上AB，接BC于面F，连结DA、DF．设疏通时间为t秒．(1)供∠ABC的度数；(2)当t为何值时，AB∥DF；4.如图，△ABC是边少为6的等边三角形，P是AC边上一动面，由A背C疏通（与A、C没有沉合），Q是CB延少线上一面，与面P共时以相共的速度由B背CB延少线目标疏通（Q没有与B沉合），过P做PE⊥AB于E，对接PQ 接AB于D．（1）当∠BQD=30°时，供AP的少；（2）当疏通历程中线段ED的少是可爆收变更？如果没有变，供出线段ED的少；如果变更请道明缘由．知识拓展正在曲角三角形中，二条曲角边的仄圆战等于斜边的仄圆.用数教谈话表示：已知正在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对于边为a、b、c.供证：a2＋b2=c2.。
动点问题求最小值的做法思路
动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。
这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。
2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。
这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。
3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。
这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。
4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。
这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。
5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。
这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。
6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。
这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。
7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。
通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。
初中数学动点问题的解题策略
初中数学动点问题的解题策略陈福德(甘肃省民乐县初级实验中学ꎬ甘肃张掖７３４５００)摘㊀要:初中阶段ꎬ动点问题属于一种比较复杂的变换问题ꎬ涵盖了圆㊁三角形㊁直角坐标系等知识点ꎬ很多学生很难把握动点问题中的变量与不变量ꎬ因而不能有效地解决动点问题.教师应从动点问题的本质出发ꎬ依据学生的知识情况和思维能力ꎬ引导学生掌握正确的解题方法ꎬ发展学生的思维能力ꎬ有效提高学生综合运用数学知识解决动点问题的能力.关键词:动点问题ꎻ解题指导ꎻ教学策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１４－０００２－０３收稿日期:２０２３－０２－１５作者简介:陈福德(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ甘肃省民乐人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学动点问题一直都是数学教学重点ꎬ也是学生不易解答的难点.动点问题不仅具有综合性和复杂性ꎬ还蕴含了化归㊁数形结合㊁分类讨论等数学思想ꎬ需要学生有较高的信息处理能力和知识综合应用能力.因此ꎬ教师要结合动点问题的特点和本质ꎬ引导学生对其进行分析和探讨ꎬ渗透相应的数学思想方法ꎬ锻炼学生的思维ꎬ引导学生以动态的㊁综合的视角去分析和解决动点问题ꎬ提高学生的解题能力.１联系生活ꎬ有效解决问题新课程下ꎬ有些题目不但考查学生的基础知识和运算能力ꎬ而且将数学问题融合到实际的生活情境中ꎬ要求学生能够从中提取出有效的信息ꎬ并对其进行分析ꎬ形成数学问题或模型ꎬ然后运用所学理论解决实际问题ꎬ提高数学知识的应用能力ꎬ实现学以致用的目的[１].在生活中ꎬ常常存在一些运动现象ꎬ学生要能结合具体的情境ꎬ对生活现象进行抽象和概括ꎬ并将其转化为动点问题ꎬ这样才能利用已有的数学知识分析和解决问题[２].例１㊀Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地之间的距离相等ꎬ都为６０ｋｍꎬ三地连线构成一个等边三角形ꎬ已知自行车的速度为２０ｋｍ/ｈꎬ电动车的速度为３０ｋｍ/ｈꎬ已知Ｐ骑自行车ꎬＱ骑电动车ꎬ在某一时刻ꎬＰ㊁Ｑ二人同时出发ꎬＰ从Ｂ地出发向Ａ地运动ꎬＱ从Ｃ地出发向Ｂ地运动ꎬ那么ꎬ在Ｐ㊁Ｑ二人到达目的地前:(１)是否会形成等边三角形ＰＱＢꎬ如果会ꎬ请计算出Ｐ㊁Ｑ二人出发后经过的时间ꎬ如果不会ꎬ请说明理由.(２)若某一时刻ꎬＰ㊁Ｑ二人与Ｂ地组成的三角形ＰＱＢ为直角三角形ꎬ求Ｐ㊁Ｑ运动的时间.分析㊀题目以运动为背景ꎬ考查学生的信息提取能力和知识综合应用能力ꎬ依据题目信息ꎬ可以将Ｐ㊁Ｑ二人运动的方向在图中画出来ꎬ如图１所示ꎬ当三角形ＰＱＢ为等边三角形的时候ꎬ需要满足ＰＢ＝ＢＱ＝ＱＰꎬ这样通过题中的数据计算即可.而当三角形ＰＱＢ为直角三角形的时候ꎬ分为øＢＰＱ和øＢＱＰ为直角两种情况ꎬ学生需要分类讨论ꎬ这样才能够全面的解答问题.图１２解㊀(１)设Ｐ㊁Ｑ二人出发后经过ｔ小时后ꎬ会形成等边三角形ＰＱＢꎬ此时ＰＢ＝ＢＱꎬ即２０ｔ＝６０－３０ｔꎬｔ＝６５ꎬ所以ꎬＰ㊁Ｑ二人出发后经过６５小时ꎬ可以形成等边三角形ＰＱＢ.(２)当øＢＰＱ＝９０ʎ时ꎬ由于Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地构成一个等边三角形ꎬ所以ꎬøＢ＝６０ʎꎬ则øＢＱＰ＝３０ʎꎬ因此ＢＱ＝２ＢＰꎬ设Ｐ㊁Ｑ运动的时间为ｔꎬ则６０－３０ｔ＝２ˑ２０ｔꎬｔ＝６７ꎻ当øＢＱＰ＝９０ʎ时ꎬ由于Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地构成一个等边三角形ꎬ所以ꎬøＢ＝６０ʎꎬ则øＢＰＱ＝３０ʎꎬ因此２ＢＱ＝ＢＰꎬ设Ｐ㊁Ｑ运动的时间为ｔꎬ则２ˑ(６０－３０ｔ)＝２０ｔꎬｔ＝３２ꎻ所以ꎬ当Ｐ㊁Ｑ二人与Ｂ地组成的三角形ＰＱＢ为直角三角形ꎬＰ㊁Ｑ运动的时间为６７或３２小时.２动中寻静ꎬ找到解题关键动点问题的难点在于某一个或几个点处于运动状态ꎬ动点在不同位置会出现不同的图形ꎬ以此增加了问题的难度ꎬ使问题复杂化ꎬ学生不易从中找出解题的思路和方法ꎬ常常不能有效地解决问题[３].动静结合是初中动点问题的突出特点ꎬ在分析动点问题时ꎬ要结合动点运动的轨迹或规律ꎬ分析动点运动到某一状态时出现的特殊位置或数量关系ꎬ将运动的点转化为静态的点ꎬ以静制动ꎬ将运动的问题化为静态的问题ꎬ找到解决问题的关键点ꎬ然后运用数学知识进行综合分析ꎬ这样才能够动静结合ꎬ从动中寻找不动ꎬ从而有效解决动点问题[４].例２㊀如图２所示ꎬ在长为３３ꎬ宽为３的矩形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ边上有一个动点Ｅꎬ现在连接ＡＥꎬ并将三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠ꎬ使得点Ｂ落在图中的Ｆ处.(１)假设动点Ｅ运动到ＢＣ中点时ꎬ将三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠ꎬ判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系. (２)假设三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠后ꎬＢ点落在矩形ＡＢＣＤ的内部点Ｆ处ꎬ此时ＣＤ＝ＦＤꎬ则ＢＥ的长为多少?分析㊀(１)判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系ꎬ需要利用折叠方面的性质ꎬ因此连接ＢＦꎬ得到ＡＥʅＢＦꎬＢＥ＝ＥＦꎬ因为Ｅ为ＢＣ中点ꎬ可以得到ＢＥ＝ＥＦ＝ＣＥꎬ三角形ＥＢＦꎬＦＥＣ为等腰三角形ꎬ利用等腰三角形和三角形内角和知识可以判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系.(２)过点Ｆ做ＡＢ的平行线分别交ＡＤꎬＢＣ于ＭꎬＮꎬ利用折叠性质求出ＡＭꎬＦＭꎬＦＮ等线段的长度ꎬ然后在直角三角形ＦＥＮ中ꎬ利用勾股定理可以求出ＦＥ的长度.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３解㊀(１)如图３所示ꎬ连接ＢＦ交ＡＥ于Ｈ点ꎬ由折叠的性质可知ꎬＡＥʅＢＦ于Ｈ点ꎬＢＥ＝ＥＦꎬ因为Ｅ为ＢＣ中点ꎬ则ＢＥ＝ＥＦ＝ＣＥꎬ所以ꎬøＥＢＦ＝øＥＦＢꎬøＥＦＣ＝øＦＣＥꎬ在әＢＦＣ中ꎬøＣＢＦ＋øＢＦＣ＋øＦＣＢ＝１８０ʎꎬøＢＦＥ＋øＥＦＣ＝øＢＦＣꎬ即øＣＢＦ＋øＢＦＥ＋øＥＦＣ＋øＦＣＢ＝１８０ʎ则øＢＦＥ＋øＥＦＣ＝９０ʎꎬ所以ＦＣʅＢＦꎬ则ＦＣʊＡＥꎬ因此ＡＥ与ＦＣ的位置关系为平行.(２)过点Ｆ做ＡＢ的平行线交ＡＤꎬＢＣ于ＭꎬＮꎬ则ＭＮʅＡＤꎬ如图４所示ꎬ依据折叠性质可得ＡＢ＝ＡＦꎬ四边形ＡＢＣＤ为矩形ꎬ所以ꎬＡＢ＝ＣＤꎬＡＤ＝ＢＣꎬ因为ＣＤ＝ＦＤꎬ所以ꎬＡＦ＝ＤＦꎬ在әＡＤＦ中ꎬ因为ＭＮʅＡＤꎬ则ＡＭ＝ＤＭ＝１２ＡＤ＝３３２ꎬ在ＲｔәＡＦＭ中ꎬＡＭ２＋ＭＦ２＝ＡＦ２ꎬ所以ＭＦ２＝３２－(３３２)２＝９４ꎬ则ＭＦ＝３２ꎬ因为ＭＮʊＡＢꎬ所以ＭＮ＝ＡＢꎬ则ＦＮ＝ＭＮ－ＭＦ＝３２ꎬ依据折叠性质可知ꎬＢＥ＝ＦＥꎬ则在ＲｔәＥＦＮ中ꎬＥＮ２＋ＦＮ２＝ＥＦ２ꎬ由ＡＢʊＭＮꎬＡＢＣＤ为矩形可得ＢＮ＝ＡＭꎬ则ＥＮ＝ＢＮ－ＢＥꎬ因此(３３２－ＢＥ)２３＋(３２)２＝ＢＥ２ꎬ所以ＢＥ＝３.图４３巧妙转化ꎬ求最值在初中数学动点问题中ꎬ求最值是常见的类型ꎬ要求学生能够从不同的层次和角度去思考问题的解决方法ꎬ运用数形结合㊁化归等数学思想ꎬ将复杂㊁运动的问题巧妙地转化为静态的问题ꎬ然后依据初中数学知识点有效地解决问题[５].一般来说ꎬ应把所求最值问题转化为两点间的距离ꎬ然后依据题设条件求取最值.因此ꎬ教师要因地制宜ꎬ引导学生依据题设条件对问题进行巧妙转化ꎬ这样才能够化动为静ꎬ有效地解决点点㊁点线㊁线线之间的最值问题.例３㊀在棱长为２的菱形ＡＢＣＤ中ꎬ已知øＤＡＢ＝６０ʎꎬＡＣ为菱形ＡＢＣＤ的一条对角线ꎬＰ为ＡＣ上的一个动点ꎬ且Ｐ不与ＡꎬＣ点重合ꎬＥ为ＡＢ上的一个动点ꎬ且Ｅ不与ＡꎬＢ点重合ꎬＦ为ＢＣ上的一个动点ꎬ且Ｆ不与ＢꎬＣ点重合ꎬ连接ＰＥꎬＰＦꎬ求ＰＥ＋ＰＦ的最小值.图５分析㊀本题中有三个动点ＰꎬＥꎬＦꎬ直接求ＰＥ＋ＰＦ的最小值并不现实ꎬ因此需要对问题进行转化ꎬ如图５所示ꎬ由于ＥꎬＦ在ＡＣ的同侧ꎬ因此要想求最小值ꎬ应该将ＥꎬＦ转化到ＡＣ的两侧ꎬ通过两点间的线段求最小值ꎬ以ＡＣ为对称轴做Ｅ的对称点Ｅᶄꎬ连接ＦＥᶄꎬ则ＦＥᶄɤＰＥ＋ＰＦꎬ当Ｐ点在ＦＥᶄ与ＡＣ交点处取等号ꎬ这样就将两条线段的长度和转化为一条线段的长度问题ꎬ由于ＡＢＣＤ为菱形ꎬ当ＦＥᶄ与ＡＤ垂直时ꎬＦＥᶄ的值最小ꎬ也就是ＰＥ＋ＰＦ的最小值.解㊀以ＡＣ为对称轴做Ｅ的对称点Ｅᶄꎬ由于ＡＢＣＤ为菱形ꎬ因此Ｅᶄ在ＡＤ上ꎬ则ＰＥ＝ＰＥᶄꎬＰＥ＋ＰＦ＝ＰＥᶄ＋ＰＦꎬ连接ＦＥᶄꎬ则ＰＥᶄ＋ＰＦȡＦＥᶄꎬ由于Ｅ是ＡＢ上的动点ꎬ因此Ｅᶄ是ＡＤ上动点ꎬ当ＦＥᶄ与ＡＤ垂直时ꎬ即Ｅᶄ达到Ｅ０的位置ꎬＦＥᶄ最短ꎬＦＥᶄ＝ＡＢｓｉｎ６０ʎ＝３ꎬ即ＰＥᶄ＋ＰＦȡ３ꎬ当Ｐ点位于ＦＥᶄ与ＡＣ交点且ＦＥᶄʅＡＤ时取等号ꎬ所以ꎬＰＥᶄ＋ＰＦ最小值为３.总之ꎬ在初中动点问题中ꎬ常常包含着丰富的数学思想方法ꎬ需要学生能够从不同的角度对问题进行分析和探索ꎬ将动点问题转化为静态问题ꎬ找准试题的关键点ꎬ突破试题的难点ꎬ这样才能够有效地解决问题.教师要关注动点问题的育人价值ꎬ引导学生以静制动ꎬ依据试题的条件和设问的角度ꎬ寻找最佳的试题解决思路ꎬ强化学生对于数学思想的理解ꎬ培养学生的思维能力ꎬ帮助学生解决动点问题ꎬ提高学生的数学知识综合应用能力.参考文献:[１]唐静ꎬ姜锐武.探究初中数学中动点问题的解法[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１６):１２２.[２]黄欲涵.问题特征解读ꎬ方法关联探究:以动点线段和最值问题为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(１１):８６－８８.[３]曹伟林.例谈初中数学的解题指导策略:以 动点问题 为例[Ｊ].数学大世界(上旬)ꎬ２０２１(０１):６９.[４]赵玉叶.初中数学中 含有一个动点的线段和(差)的最值问题 的解题策略[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２１(３２):８６－８８.[５]孙世军.浅谈初中数学动点问题的解题策略[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０１５(２３):６５.[６]杨道林.初中数学动点问题解析与思路探讨[Ｊ].新校园(中旬)ꎬ２０１６(０５):１０７.[责任编辑:李㊀璟]４。
动中求静,静中求解——初中数学动点问题探究
162动中求静，静中求解——初中数学动点问题探究★ 宋璐欣动点问题是初中数学的重要内容，动点问题的解决涉及的数学知识繁多，对于中学生而言具备一定难度。
本文就此展开了具体论述，从数学思想方法运用的角度为动点问题的解决提出了一些建议，以期改善学生数学学习效率。
近年来，初中数学动点问题成为中考热点，也同样是教师的教学难点之一。
动点问题不仅包含了“点”的知识，更需要涉猎“线”和“面”的知识点，往更深处研究，实际上就是在谈几何的问题。
长远来看，掌握动点问题的解决不仅是学生的重要学习任务，更是数学教师必须要解决的问题。
一、当前初中数学教学中动点问题解决所面临的困境（一）学生对数学概念认知模糊就教学实践来看，多数学生在遇到动点问题时，最大的问题出在审题不清上。
相比于一般的数学问题而言，动点问题中包含的数学概念既有常量又有变量，且它们之间的关系通常是隐性的，需要学生深入发掘。
部分学生在读题时不仅难以完整把握题目所给出的变量和常量，更不能发现其中隐含的数学关系，导致解题无能。
（二）缺乏空间思维的培养动点问题所描绘的数学情境是抽象的、不断变化的，思考和解题时都需要学生展开丰富的联想，但有的学生空间想象力有限，对于动点问题中的运动情境难以达到透彻的理解。
数学教师在平常的教学工作中也缺乏对学生空间思维的培养，学生学习状态趋于被动，更依赖于教师的帮助，而不愿意主动思考和探究，思维闭塞，这也是制约学生解答动点问题的主要原因之一。
（三）缺乏快速有效的解题思路不管面临任何类型的数学题目，学生首要找到解题思路，才能逐步找到解题出口，快速有效的答题。
就学生难以解答动点问题的根源看来，是他们对不同类型的数学题目及其解题方向没有真正地把握，所以在解题时没有方向，这也反映出学生的数学知识基础还不够扎实，数学素养有待提升。
二、解决动点问题的策略探究整合上述学生在解决动点问题时所面临的困境及原因后，初中数学教师就要对自身教学工作作出相应的调整，指导学生从以下方面探究解决对策：（一）以静制动，理清数量关系动点问题的关键虽然在于“动”，但学生也要避免思维上的局限，将视野完全集中于“动”的研究之上，这样就容易让学生无法感知一些静态的数学数量。
中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初中九年级数学“一题一渔”之化动为静
动点问题的解决思路和方法——化动为静、化不定为固定同学们大家好：我们知道由动点问题是中考压轴题中一类重要的问题，动点问题可以产生答案不唯一存在（有时称为发散思维或分类讨论），也可以产生求最大值、最小值问题，还可以产生求运动轨迹的长度、面积的大小等等。
动点问题对我们大多数同学来说都比较怵头，是考察同学们对数学思想方法掌握程度和数学素养、能力高低的重要载体材料。
那么如何才能在这些题目中找到解题规律轻松突破困境呢，我想：“化动为静、化不定为固定”是同学们在专题学习中应该重点培养的的数学能力。
同学们，我们知道，动点问题的思路往往是由“动点”向“静点”的变化，动的问题产生的“存在性”问题，动的过程中有静的成分和时刻，“静点”其实就是“固定点”问题，唯一不确定的是“未知数”也就是“方程”的存在性问题。
同学们，我们就以2017年济南市中考第29题为例开启本节课的学习，同学们请看题。
（2017济南）．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交BC于点D，tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CP A＝90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CP A＝90°，可得PC2+P A2＝AC2，可得22+（m ﹣6）2+22+m2＝42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x＝m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC＝DH＝6，∵tan∠DAH＝＝2，∴AH＝3，∵OA＝4，∴CD＝OH＝1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CP A＝90°，∴PC2+P A2＝AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，解得m＝3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（还可以构造相似来解决问题：解法2：设P（2，m）．∵∠CPA＝90°△PCG∽△APF∴m-62= 2m化简得：m2-6m-4=0解得：m＝3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y＝﹣x+4，x＝1时，y＝3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3＝﹣2+8﹣m，∴m＝3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，当x＝m时，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．同学们，通过对本题的分析我们可以看出本解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，动点问题是用静止的方程来解决的。
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如何才能在这些题目中找到解 题规律轻松突破困境呢？
我想：“化动为静、化不定为 固定”是同学们在以后专题学习中 应该重点培养的认知能力。
（2017 ·济南）如图1，矩形OABC的顶点 A，C的坐标分别为（4，0），（0，6）， 直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，
抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
初中数学九年级(下) 化动为静解题策略
动点问题是中考压轴题中一类重要的 问题，同时也是难点问题。因为动点的不固 定性会产生不同的解题情境和答案（发散思 维或分类讨论），动点也会产生求运动轨迹 长度或运动过程中形成几何图形面积的最大 值、最小值问题等等。
动点问题是考察同学们对数学思想方法 的掌握程度和数学素养、能力高低的重要载 体材料。
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式； （2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°， 求所有符合条件的点P的 坐标； （3）如图2，点E（0，4），连接AE， 将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2． ①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
化动为静、化不定为固定
动点——不确定性 静点——固定性 未知——方程性
同学们，通过对本题的分析我 们可以看出本解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，动点问 题是用静止的点来解决的。你掌 握了吗？
谢谢同学们的聆听， 祝同学们学习步。
再见！