初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双

（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：

如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE.

（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.

（2）分别连接AD 、DF 、AF ， AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：

（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中， PQ 的中点O 所经过的路径的长。

图1

F

E

D

C

A

B

P

(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.

【答案】（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析； （3）PQ 的中点O 所经过的路径的长为6π；

（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为113． 【解析】

试题解析：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x ，则PB=8-x ，

根据题意得这两个正方形面积之和=x 2

+（8-x ）2

=2x 2

-16x+64=2（x-4）2

+32， 所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ． 依题意画出图形，如图所示．

图3

O

H

G F

E D C

A B

P

M

N

图2

O

Q

C

D A

B

P P

设AP=a ，则PB=BF=8-a ． ∵PE ∥BF ，

∴

PK AP

BF AB =

， 即88PK a a =-， ∴PK=(8)8

a a -，

∴DK=PD-PK= a-(8)8

a a -=2

8a ， ∴S △APK =12PK•PA=12•(8)8

a a -•a=2(8)16a a -，S △DFK =12DK•EF=12•2

8a •（8-a ）=2(8)16a a -，

∴S △APK =S △DFK ；

所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为：

3

4

×2π×4=6π；

（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为113．

如图，分别过点G 、O 、H 作AB 的垂线，垂足分别为点R 、S 、T ，则四边形GRTH 为梯形．

如图，作点M 关于直线XY 的对称点M′，连接BM′，与XY 交于点O ．

由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．

在Rt △BMM′中，由勾股定理得：BM′=2

2

113MM BM '+=． ∴OM+OB 的最小值为113． 考点：四边形综合题．

原创模拟预测题2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当y=

3

4

时，x 的取值是【 】

A. 1

B. 1

4

C. 1或3

D. 3

【答案】C。

【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，分类思想的应用。

故选C。

原创模拟预测题3.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=

30，动点P从点B出发，沿B-C-D 的路线向点D运动。设△ABP的面积为y (B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为【】

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。

【分析】当点P在BC上运动时，如图1，

∵△ABP的高

1

PE BP sin PBE BP sin A x

2 =⋅∠=⋅∠=，

∴△ABP的面积

1111

y AB PE=2x x 2222

=⋅⋅⋅⋅=。

当点P在BC上运动时，如图2，故选C。