初三数学几何动点题及方法

（2）将图 1中的BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，
（3）将图 1中的BEF绕B点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线 段，
F
B 图2
C
【思路分析】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到 旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边 的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就 想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票 的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。 连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个 梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的 垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1 ）当MN // AB时，求t的值
（2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形
A D N
B
M
C
【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动， 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目 来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意 味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的 条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也 是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问 题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也 是一大热点。第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是 一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。你需要仔细把握翻折过程中哪些条件 发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的， 所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之 间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的， E在BC上和 E在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏。
（ 1 ）求证：梯形 ABCD是等腰梯形； 设PC x，MQ y，求y与x的函数关系式；
（2）动点P、Q分别是在线段 BC和MC上移动，且MPQ 60 保持不变。
（3）在（2）中，当y最小值时，判断 PQC的形状，并说明理由。
A
M
D
B
60° P
Q
C
【思路分析】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重 点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角 形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运 动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪 里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两 条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相 似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.
图2
【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃 至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以 难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形 态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个 将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.总结这种问题 的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对 运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨 论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种 关系。 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目 间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间 的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表 现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图 示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样 的状况，是否能想到就成了关键。
A F B G D E C
【思路分析】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时 的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
【例3】如图，在梯形 ABCD中，AD // BC，AD 2，BC 4，点M是AD的中点 MBC是等边三角形
A F E B
G
D
C
【例5】已知正方形 ABCD的边长是6cm, 点E是射线BC上一个动点，连接 AE交 射线DC与点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在B' 处。
BE （1 ）当 1时，求CF的长； CE BE （2）当 2时，求sinDAB'的值； CE BE （3）当 x时(点C与E不重合），请写出 ABE翻折后与正方形 ABCD CE 公共部分的面积 y与x的关系式。
A
D N
B
M
C
A
D N
B
E
M
C
【例 2】在 ABC中， ACB = 45．点 D（与点 B、 C不重合） 为射线BC上一动点， 连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF。 （1 ）如果AB AC，如图一，且点 D在线段BC上运动。试判断线段 CF与BD之间的 位置关系，并证明你的 结论。 （2）如果AB AC，如图二，且点 D在线段BC上运动，（ 1 ）中的结论是否成立， 为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在的直线与线段 CF所在的直线相交于 P，设AC 4 2，BC 3， CD x, 求线段CP的长（用含x的式子表示）
A M G E F D
N C
B 图2
【思路分析】如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在△BEF的 旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造 一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CDH全等，利用角度变 换关系就可以得证了。 H
【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静 止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的 变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂 直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简 单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
专题讲解——几何动点
【例一】如图，在梯形 ABCD中，AD // BC，AD 3，DC 5，BC 10 梯形的高为4，动点M从B点出发沿线段 BC以每秒2个单位长度的速度向终 点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段 CD以每秒1个单位长度的速度向终 点 D运动。设运动的时间为 t（秒）。
A
M
D
B
60° P
Q
C
【思路分析】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得 的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就 变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。
A
M
D
60° B
Q
P
C
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现 特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求 解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不 变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下 来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E作EF BD交BC于F， 连接DF，G为DF中点，连接EG，CG。
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（1 ）直接写出线段 EG与CG的数量关系； 连接EG，CG，你在（ 1 ）中得到的结论是否发 生变化？写出你的猜想 并加以证明； 问（ 1 ）中的结论是否仍成立 ？
A D G E B 图1 C E F B 图3 C A G E F D A D