集合论初步
第二讲 集合论初步
ì ï x Q =ï íq q = ï y ï î
（0,1）开区间的实数集：
and
ü ï x, y Î I, y ¹ 0ï ý ï ï þ
R = {0.x1 x2 xk x1 , x2 , , xk , Î {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}}
E
3.1. 集合间的关系
包含：A，B 是集合。如果
AÇ B Ì B 。
A
B
由于 A, B 是任意两个集合，所以不妨取（如文氏 图所示）
AÇ B = Æ ，
这样就有
Æ = AÇ B Ì A
同理有
Æ = AÇ B Ì B
（2） Æ1 是空集， Æ2 是集合（空集是集合的一种） 。根据（1） ，
Æ1 Ì Æ2 ；
同理
Æ2 Ì Æ1 。
这样根据集合相等的定义就有
A = {2, 4, 6,8,10} ，
又如
B = {a,e,i,o,u}
表明集合 B 中有 5 个元素：
a, e, i, o, u 。
根据以上集合的表示，我们有
2Î A , 3Ï A；
以及
eÎB , bÏ B
条件限定法：
集合
A = {2, 4, 6,8,10}
可以表示为
A = { x x Î I, 2 £ x £ 10} or
A- B
<图 1-1-C>
AÌE
A 的补集就定义为 E 中不属于 A 的元素。 补集：A 是元素取自于 E 的集合，
A
A
A = { x Î E x Ï A}
为 A 的补集。 图 1-2 给出了集合并、交、差和补运算的文氏图。 <图 1-2-D>
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理化建立、发展阶段等方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派的无理数概念。
然而，真正系统化的集合论始于19世纪末的德国。
1874年，Cantor首次提出了集合的概念，并开始研究无限集合的性质。
他的工作为集合论的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合：集合是指由确定的对象组成的整体。
可以用描述性的方式或罗素概括法来定义一个集合。
2. 元素：集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物，包括数、字母、其他集合等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
4. 并集：两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。
5. 交集：两个集合的交集是指包含两个集合共有元素的集合。
6. 补集：对于给定的全集，一个集合的补集是指全集中不属于该集合的元素构成的集合。
四、集合论的公理化建立为了确保集合论的严密性，20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化建立。
在此过程中，提出了多个集合论公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统。
这些公理系统为集合论提供了一套严格的逻辑基础，确保了集合论的内在一致性。
五、集合论的发展阶段1. 初步发展阶段：Cantor的工作为集合论的初步发展奠定了基础，他提出了无限集合的概念，并研究了不同无限集合之间的势（基数）的比较。
2. 公理化建立阶段：20世纪初，集合论开始进行公理化建立，确立了集合论的基本概念和公理系统。
3. 集合论的危机：20世纪初，罗素悖论的出现引发了集合论的危机。
罗素悖论是指由Bertrand Russell提出的一个关于自指的集合的悖论，揭示了集合论的潜在矛盾性。
集合论初步知识和集合运算规律
集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。
集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。
–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。
–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
–无穷集合：包含无限多个元素的集合。
3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。
–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。
–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。
–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。
–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。
4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。
–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。
–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。
–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。
–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。
以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。
数学分析_郇中丹_01_集合论初步
集合运算的性质 (II)
• • • • • 9. =E, E= 10. (aAa)= aAa 11. (aAa)= aAa 12. AB=(A\B)(B\A) 证明举例：3, 4, 5, 8, 10. 强调
– 如何证明集合相等 – 利用运算的定义
• 习题：6,7,9,11,12
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A B, 也就是 A B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的交: aIAa=aAa={x | "aI, xAa} • I为自然数时的记法
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的并： aIAa=aAa={x | aI, xAa} • I为自然数时的记法
与映射相关的术语
• 考虑映射f: AB. 有"xA, ! yB使得 (x,y)f.
– – – – – – 元素y叫做x在映射F下的像, 并且记为y=f(x) 元素x叫做元素y在映射f下的一个原像 A叫做映射f的定义域 f(A)={yB | xA, y=f(x)}叫做f的值域 xA叫做自变量的值(简称自变量) y=f(x)叫做函数在x处的值
现代数学方法：集合论+公理化
• 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的。
集合论初步
数的 ❖ 证明：利用高度h=|m|+n ❖ 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
❖ 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并集仍 然是可数的
5. 集合的势
❖ 等势的概念 ❖ 自然数和有限集 ❖ 可数集 ❖ 幂集 ❖ 不可数集
等势的概念
❖ 如何说清有限集: 自然数的构造 ❖ 数数射,就说A与B是对等的或等势的. 记做A~B. ❖ 等势的性质:
1. 自返性: A~A; 2. 对称性: A~BB~A; 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
公理、并集公理、幂集公理、无穷公理（归 纳法）、公式F的替换公理、正则公理、选 择公理
现代数学方法：集合论+公理化
❖ 集合是定义任何数学对象的原始概念。数学 上说，任何数学概念都是用集合定义的，简 单地说，任何数学对象都是某种类型的集合。
❖ 数学系统都以公理化的形式和精神来陈述的 探索的。
数学严格性与实用的妥协
❖ 笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手段之 一
4. 映射和函数
❖ 映射的现代定义和传统定义 ❖ 与映射相关的术语 ❖ 映射的分类
映射的现代定义和传统定义
❖ 映射的定义: 集合A, B的笛卡尔积AB的 子集f叫做集合A到集合B的映射, 如果下 列条件成立: xA, ! (x,y) f
❖ 映射、函数和变换等等说法在现代数学 的意义下是同义词，在实际使用中有所 侧重
❖ I为自然数时的记法
集合的差运算和余(补)运算
❖ 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元 素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记 作A\B, 也就是
03-公理集合论初步_
其中
9
1
是
func(y)[dom(y)=3(x)-{I}[ran(y)Nx,
定义一个函数使得有给定的定义域及值域.
9
2
是
] z(zNx[\ z=I>y(z)Jz),
指定了取值特点.
□
含义
选择公理保证存在选择函数: 假设 a 是一个非空集合, 则存在一个选择函数
f: 2a-{I} > a, x s f(x).
使得 f(x)Jx .
□ 应用
□
公理的相容性
有限性质 假设 Uf 是以下集合
3(I)P3(3(I))P3(3(3(I)))Pl
它是由一些有限集合构成的, 将 J 解释为一般意义下的元素属于 集合, 则可得集合论语言的一个模型:
〈Uf, J 〉.
这一类集合满足除无穷公理之外的所有公理, 有以下性质: 这样的有限个有限集合的并集还是有限的. 这样的有限集合的子集还是有限的. 这样的有限集合的幂集还是有限的. 这样的有限集合在任意函数之下的象还是有限的.
所以这些公理: 是相容的 不能推出存在无限集合 不能推出无穷公理
□ 无穷公理 ZFC 的相容性是不可证的.
□ 非空集合 对于集合论模型
〈{I},J〉.
空集公理、外延公理、并集公理、子集公理、替换公理、正规公 理、选择公理都成立, 同时以下语句成立:
] x(x=I).
所以上述公理不能推出存在非空集合.
9
2
是公式
] uvw(<u,v>Ja[<u,w>Ja>v=w).
公式 92 表示第二坐标具有唯一性.
□
定义域 a) 表示函数 a 的定义域:
离散数学集合论初步59页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
集合初步
选择公理
• 类：其元素是集合的集合，记为
•
积空间和商空间
映射类型：单射、满射、双射
部分与整体
无穷大的世界里，部分可能等于整体。
“整体多于部分”这一法则被破坏， 表明无限集合具有本质上异于有限集合 的特性。从有限过渡到无限，完全符合 辩证的规律——性质的质变。
奇怪的旅店
Hilbert 旅馆
• 这(可数)无穷多位旅客想每个人可数无数 间房来安排他们的亲戚朋友。女儿想了很 久，终于想出了办法。 后来，女儿进入大学数学系。有一天， [ a, b] Cantor教授上课，他问：“要是区间 上每一点要占一个房间，是不是还能安 排？”她绞尽脑汁，也无法安排。 不可数
Hale Waihona Puke 总结：办法: 她把一号房间的旅客移至二号 房间，二号房间的旅客移至三号房间， 等等。这一来，新客就住进了已被腾空
的一号房间。
然后，店主便离开自己的办公台，很 不好意思的叫醒了旅客，并请他们换一换 房间：他要每一号房间的旅客搬到房间号 比原来高一号的房间去。
Hilbert旅馆
• 又来了(可数)无穷多位要求订房间的客人， 旅店的女儿采用如下办法: 一号房间的旅客移到二号房间，二号房间 的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移 到六号房间，等等。现在，所有单号房间 都腾空出来了。从而新来的无穷多位客人 可住进去了。
二、集合上的拓扑结构
度量空间
有了开集的概念，就可以定义闭集、映射的连续 等等概念
直线上的开集、闭集和完备集
拓扑空间
欧式空间的重要定理
三、集合的测度
直线上集合的测度
• 可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的 “可加”集合类 • 的确存在不可测集合，如商集合[0,1]/Q • 在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广， 其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。