量子力学期中考试考试
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
大学量子力学期中期末考试试卷及答案解析 (6)
1. 能级简并、简并度。
（5分）答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。
把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
（5分）解： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ,3,2,1,82222==n a n E n μπ3. 二电子体系中，总自旋 21s s S+= ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
（5分）解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩4. 对于阶梯形方势场⎩⎨⎧><=ax V a x V x V ,,)(21 ，如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？（5分） 解：定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。
5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角d Ω中被测到的几率为()220d ,,d P r r r ψθϕ∞=Ω⎰。
（5分）6. 给出如下对易关系：（5分）[],0,,,2,y z z y x zy z xx p z p iy L ixi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦7. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()*(),()()()d n n n a x x x x x ψψψψ==⎰。
闽江学院2010级物本量子力学期中考试试卷
2010级物本量子力学期中考试试卷一、填空 ( 3*10 = 30分 )1. 用波函数 Ψ（r,t ）来描述微观粒子的量子态。
当Ψ（r,t ）给定后，如果测量其位置，粒子出现在x 点的几率密度为_____________.2. 态的迭加原理. 如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c 1Ψ1+c 2Ψ2+ c 3Ψ3…=∑c i Ψi 也是体系的一个可能状态。
当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率_____处在迭加之前的各个态Ψi 。
3. 算符 F ∧本征方程F λλλ∧ψ=ψ.λ称为__________，一般有多个，甚至无穷多个。
ψλ称为_________的、属于本征值为λ的___________,也有多个，甚至无穷多个. 有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。
若一个本征值对应的不同本征函数数目为N ，则称____________。
4. 能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒,这种现象称为____________.5. 厄米算符的定义式为 *_____________F dx ψφ∧=⎰;厄米算符的三个基本性质：实数性，__________, __________________。
6. 力学量用厄米算符表示. 在________表象中,-==∧∧i p r r ,，原则上可以得出所有力学量算符 (,)___________F F r p ∧∧∧∧==7. 坐标算符x 的本征态.设坐标算符x 的本征函数为)(x x 'ψ，本征值为x '，则本征方程为 ____________ . 利用δ函数的性质可得 ()___________x x ψ'=8. 在_______表象中,动量算符x p ∧的本征方程 )()(x p x xi x x p x p ψψ=∂∂-,对应本征值x p 的本征函数()_____________x p x ψ=. 为具有确定动量x p 的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为δ函数，故取归一化因子为π21=C ， 归一化为 **()()__________x x p p x x dx ψψ'=⎰9. 任意状态下力学量的可能值.微观粒子处于力学量算符∧F 的本征态n ϕ时，力学量与本征值有确定的对应。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
量子考试题及答案
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性？A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案：D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数？A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案：D3. 量子力学中，哪个算符代表粒子的位置？A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案：C4. 量子力学中，哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响？A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案：D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程？A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，粒子的状态由______描述，而粒子的物理量由______表示。
答案：波函数；算符2. 根据量子力学，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为______。
答案：海森堡不确定性原理3. 在量子力学中，粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。
答案：薛定谔4. 量子力学中的______原理指出，一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。
答案：态叠加5. 量子力学中，粒子的波函数必须满足______条件，以保证物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化三、计算题（每题10分，共20分）1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为L。
求该粒子在基态时的能量和波函数。
答案：粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2)，波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L)，其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。
2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动，其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。
求该粒子的能级和相应的波函数。
答案：粒子的能级En = (n + 1/2)ħω，其中n = 0, 1, 2, ...，波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x)，其中Hn(x)是厄米多项式。
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
量子力学期中考试试题
物理常数：光速：8
1
2.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：34
6.62610
h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：
231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：19
1.60210
e C -=⨯
一、填空题：
1、 量子力学的基本特征是 。
2、 波函数的性质是 。
3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。
4.一粒子用波函数Φ(,)
rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
5、线性谐振子的零点能为 。
6、厄密算符的本征值必为 。
7、氢原子能级n =5
的简并度为 。
8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
9、测不准关系反映了微观粒子的 。
10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。
11. 通常把 称为束缚态。
12. 波函数满足的三个基本条件是： 。
13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。
15. 坐标与动量的不确定关系是： 。
16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。
17. 何谓定态： 。
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2. 简并、简并度。
3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。
4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。
5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=
，写出粒子位于dx x x +~间的几率。
6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
7. 写出三维无限深势阱
⎩⎨
⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c
z b y a x z y x V
中粒子的能级和波函数。
8. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱
⎩⎨
⎧><∞<<=a x x a
x x V 2,0,20,
0)(
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
9. 何谓几率流密度？写出几率流密度）（t r j ,
的表达式。
10. 写出在z σ
表象中的泡利矩阵。
11. 电子自旋假设的两个要点。
12.
）
（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
13. 写出电子自旋
z
s 的二本征态和本征值。
14. 给出如下对易关系：
[][][][][][]?
,?,?
,?,?,?,2
======y
z
y
x
x
z
y
x
y s s L L L L p z p y σσ
16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(
r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,( r ψ及 23
)2/,(⎰
- r r d ψ分别表示什么样的物理意义。
18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H 有什么样的要求？
22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。
23. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )
()(ψψ，
写出展开式系数
n c 的表达式。
24. 一维运动中，哈密顿量 )
(x V m p H +2=2
，求[][]?
,?
,==H p H x
25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？
27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系。
28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？
29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
二、计算题：
1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123
T J 10923.0--⋅⨯=B μ，
求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
2. .证明在定态中，几率流与时间无关。
3. 一粒子在一维势场 ⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00
)(中运动，
（1）求粒子的能级和对应的波函数。
（2）若已知0t =时，该粒子状态为：()()121
,0()()2
x x x ψψψ=
+，求t 时刻该粒子的波函数； （3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。
4.一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，求与此对应的量子体系
在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 5. 设t=0时，粒子的状态为
]
cos [sin )(212
kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。
6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
7. 设氢原子处于状态 ),()(2
3),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
（一）.已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
（二）. 设氢原子在0=t 时处于状态
),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=
Y r R Y r R Y r R r ，求
1、0=t 时氢原子的E 、2L
ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L
ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。
（六）、当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的
一次项。
（十）、在z S ˆ表象中，求自旋算符S ˆ在}cos ,cos ,{cos γβα=n 方向投影算符
γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆz y x n S S S n S S ++=⋅= 的本征值和相应的本征态。
（十四）、
有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
（十五）、
试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221
)(x m x V ω=
]
（十八）、在z σ
ˆ表象中，求x σˆ的本征态。