量子力学期中考试考试教学教材

量子力学期中考试考
试
量子力学期中考试试题
物理常数：光速：8
1
2.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：34
6.62610
h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：
231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：191.60210e C -=⨯
一、填空题：
1、量子力学的基本特征是 。

2、波函数的性质是 。

3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。

4.一粒子用波函数Φ(,)ρ
rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。

5、线性谐振子的零点能为 。

6、厄密算符的本征值必为 。

7、氢原子能级n =5
的简并度为 。

8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。

9、测不准关系反映了微观粒子的 。

10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。

11. 通常把 称为束缚态。

12. 波函数满足的三个基本条件是： 。

13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。

15. 坐标与动量的不确定关系是： 。

16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。

17. 何谓定态： 。

1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

2. 简并、简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。

4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。

5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=ϖ
，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

7. 写出三维无限深势阱
⎩⎨
⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c
z b y a x z y x V
中粒子的能级和波函数。

8. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱
⎩⎨
⎧><∞<<=a x x a x x V 2,0,20,
0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

9. 何谓几率流密度？写出几率流密度）（t r j ,ϖ
ϖ的表达式。

10. 写出在z σ
表象中的泡利矩阵。

11. 电子自旋假设的两个要点。

12.
）
（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
13. 写出电子自旋
z
s 的二本征态和本征值。

14. 给出如下对易关系：
[][][][][][]?
,?,?,?,?,?,2
======y
z
y
x
x
z
y
x
y
s s L L L L p z p y σσ
16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(ηϖηϖ
ϖ
r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)
2/,(ηϖr ψ及 23
)2/,(⎰-ηϖr r d ψ分别表示什么样的物理意义。

18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H 有什么样的要求？
22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。

23. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )
()(ψψ，
写出展开式系数
n c 的表达式。

24. 一维运动中，哈密顿量 )
(x V m p H +2=2
，求[][]?,?,==H p H x
25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？
27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ˆ之间的测不准关系。

28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？
29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

二、计算题：
1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123
T J 10
923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与
K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

2. .证明在定态中，几率流与时间无关。

3. 一粒子在一维势场 ⎪⎩
⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00
)(中运动， （1）求粒子的能级和对应的波函数。

（2）若已知0t =时，该粒子状态为：(
))12,0()()x x x ψψψ=
+，求t 时刻该粒子的波函数； （3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。

4.一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，求与此对应的量子体
系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 5. 设t=0时，粒子的状态为
]cos [sin )(212
kx kx A x +=ψ
求此时粒子的平均动量和平均动能。

6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

7. 设氢原子处于状态 ),()(2
3),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均
值。

（一）.已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

（二）. 设氢原子在0=t 时处于状态
),()(21
),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=
Y r R Y r R Y r R r ，求
1、0
=
t时氢原子的E、2Lˆ和z Lˆ的取值几率和平均值；
2、0
>
t时体系的波函数，并给出此时体系的E、2Lˆ和z Lˆ的取值几率和平均值。

（六）、当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
3
3
3
2
2
2
1
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。

（十）、在z S
ˆ
表象中，求自旋算符S
ˆ
在
}
cos
,
cos
,
{cosγ
β
α
=
n
ρ
方向投影算符
γ
β
αcos
ˆ
cos
ˆ
cos
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
n
S
S
S
n
S
S+
+
=
⋅
=
ρ
ρ
的本征值和相应的本征态。

（十四）、
有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
（十五）、
试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能
2
2
2
1
)
(x
m
x
Vω
=
]
（十八）、在z
σˆ表象中，求
x
σˆ
的本征态。