电路分析第2章 网孔分析和节点分析PPT课件
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第2章网孔分析和节点分析方法
im1 im2
im3
R1i1 + R5i5 + R4i4 − u s1 = 0 R2i2 + R5i5 + R6i6 − u s 2 = 0 R3i3 + R4i4 − R6i6 + u s 3 = 0
把i4,i5,i6代入左边的KVL ,i6代入左边的KVL 代入左边的 方程，并整理， 方程，并整理，可以得到关 的方程， 于im1,im2,im3的方程，即网 孔方程： 孔方程：
一、网孔电流
n=4 ;b=6 若i1，i2，i3已知， 则：
i 4 = i1 + i 3 i 5 = i1 + i 2 i = i − i 2 3 6
支路电流 i4、i5、i6 可以用另外三个 i1、i2、i3 的线性组合来表示。 的线性组合来表示。
启示？
im1
im2
1、网孔电流的概念： 、网孔电流的概念： 沿着网孔边界流动的 假想电流， 假想电流，其方向可以任 意假定。 意假定。 2、网孔电流是完备的： 、网孔电流是完备的： 各支路电流均可用网 孔电流求出； 孔电流求出；
推广到m个网孔的网孔方程: 推广到 个网孔的网孔方程: 个网孔的网孔方程
R11im1 + R12 im 2 + ... + R1m imm = u S11 R i + R i + ... + R i = u 21 m1 22 m 2 2 m mm S 22 .......... .......... .... Rm1im1 + Rm 2 im 2 + ... + Rmm imm = u Smm
解得： I 2 = 2 A
I1 = −0.4 A I = I1 + I 2 = 1.6 A
im3
R1i1 + R5i5 + R4i4 − u s1 = 0 R2i2 + R5i5 + R6i6 − u s 2 = 0 R3i3 + R4i4 − R6i6 + u s 3 = 0
把i4,i5,i6代入左边的KVL ,i6代入左边的KVL 代入左边的 方程，并整理， 方程，并整理，可以得到关 的方程， 于im1,im2,im3的方程，即网 孔方程： 孔方程：
一、网孔电流
n=4 ;b=6 若i1，i2，i3已知， 则：
i 4 = i1 + i 3 i 5 = i1 + i 2 i = i − i 2 3 6
支路电流 i4、i5、i6 可以用另外三个 i1、i2、i3 的线性组合来表示。 的线性组合来表示。
启示？
im1
im2
1、网孔电流的概念： 、网孔电流的概念： 沿着网孔边界流动的 假想电流， 假想电流，其方向可以任 意假定。 意假定。 2、网孔电流是完备的： 、网孔电流是完备的： 各支路电流均可用网 孔电流求出； 孔电流求出；
推广到m个网孔的网孔方程: 推广到 个网孔的网孔方程: 个网孔的网孔方程
R11im1 + R12 im 2 + ... + R1m imm = u S11 R i + R i + ... + R i = u 21 m1 22 m 2 2 m mm S 22 .......... .......... .... Rm1im1 + Rm 2 im 2 + ... + Rmm imm = u Smm
解得： I 2 = 2 A
I1 = −0.4 A I = I1 + I 2 = 1.6 A
电路分析基础第二章(李瀚荪)PPT学习教案
线性
c
电阻 网络
Ik
N
d
(a)
R12 I2
R1 j I j
j支路 a ijk Ij b
R1k Ik
k支路
c
线性
–
电阻 网络
Ik
uk
N
+
d (b)
R1l Il 0
R21I1 R22I2
R2 j I j
R2k Ik
R2l Il 0
第13页/共49页
R11I1
j列 R1 j I j
k列 R1k Ik
R1l Il 0
对称阵，且 互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic (4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic (5) 校核
选一新回路 U =?=E
第7页/共49页
R3
I3
_ Ui +
R4
+ US1
_
R1
IS R2 _
I1
US2
R5
I2
第11页/共49页
2. 2 互易定理 (Reciprocity Theorem)
第一种形式: 激励电压源，响应电流
图a电路中，只有j支路中有电压源uj，其在k支路中产
生的电流为 ikj 。 图b电路中，只有k支路中有电压源uk，其在j支路中产生
的电流为 ijk 。
k支路
k支路
j支路 a
uj + – b
I
I3 b=3 , n=2 , l=3
R11
R22
E1
E2
R3
变量：I1 , I2 ,
I3
第2章 网孔分析和节点分析法
。然后
，取b点为参考点，用Ga 表示节点a的节点电压，按式 (2―12)列出节点电压方程为
1 1 1 ( )U a I s1 I s I s 2 R1 R2 R3
求得节点电压
I s1 I s I s 2 4.5 3 1 Ua 6V 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) R1 R2 R3 2 4 3
节点(电压)方程一般形式 ： G11Un1+G12Un2+G13Un3=is11
G21Un1+G22Un2+G23Un3=is22
G31Un1+G32Un2+G33Un3=is33 自电导G11、G22 、G33 ：与相应节点连接的全部电 导之和，符号取“+”号； 互电导G12、G13 、G21 、G23 、G31 、G32 ：1、2、3 相关节点之间的所有电导之和，符号取“-”号； 等效电流源iS11、iS22 、iS33 ：节点1、2、3的等效电 流源，是流入相应节点的各电流源代数和。
以网孔1为例：
(R1+R5+R4)il1-R4il2+R5il3=0
一般形式 R11il1+R12il2+R13il3=us11
il1
方程左边： 自阻R11 : 该网孔所有支路电阻的总和. 互阻R12、 R13 : 与该网孔共有支路上的电阻
il2
il3
方程右边：网孔1的电压 源之和（网孔电流从正 极流出为正，否则为 负）。
I
IS R
º
转换
+ RIS
I
º
_ R
º
º
无伴电流源： 只属一个网孔：
例1 如图电路，用网孔法求电流I。
电路分析第2章电路分析方法.ppt
I1=(U2 – U3)/4=(1 – 21)/4= – 5A
I2= –(1/3)U3= – 7A
12A
若选3为参考点，列节点电压方程
节点1 (1/3)U1= – 4 – 12 +Io
节点2 (1/4)U2= 4 – Io 辅助方程 U2 – U1=1
U1 – 3Io = – 48 U1+4Io =15 U1 = – 21V U2= – 20V 12A I1=U2/4= – 20/4= – 5A I2=U1/3= – 21/3= – 7A
令 R11=R1+R4+R5
i1 R1
R2 i2
为第一网孔的自电阻
令 R12= R21 = R5 为一、二两网孔中互电阻
令 R13 =R31 =－R4
+
US1
iA
–
–+ US4
R4
i5
R5
iB
i4 R6 i6 iC
+ –US2
为一、三两网孔中互电阻
令 uS11= uS1-uS4 为第一网孔中电压源电压升的代数和
- G5u1 - G3u2 + (G3 + G4 + G5 )u3 = 0
1. 自电导×节点电位 + 互电导×相邻节点电位 = 流进 该节点的电流源电流代数和。 2. 自电导均为正值，互电导均为负值。
例1 求图示电路中I1及I2。 解：若选1为参考点，列节点电压方程
– 1V+
节点2
U2=1V
节点3 (1/3+1/4)U3 – (1/4) U2=12 U3=21V
名称 放大倍数(增益) 输入电阻 输出电阻
典型值 105-107 106-1013 10-100
《电路分析》第二章 网孔分析和节点分析
有6条支路、4个节点，共可建立3个 网孔方程根据元件VAR 、KVL列出以
下方程组：
对于回路Ⅰ 对于回路Ⅱ 对于回路Ⅲ
( R1 R2 Rg )i ( Rg )i ( R1 )i 0
( R3 R4 Rg )i ( Rg )i ( R3 )i 0
当电路中不含受控源时，R矩阵（称为电阻矩阵）为对称 矩阵，含受控源时，R矩阵不对称。
网孔分析法计算步骤：
1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网 孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部 互电阻项均取负号。 2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3．求解网孔方程，得到各网孔电流。 4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5．用VCR方程，求得各支路电压。
如果电路有m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为
R11i1 R12i2 R1m im u s11 R i R i R i u 21 1 22 2 2m m s 22 R i R i R i u m2 2 mm m smm m1 1
电流源 的电压
I m1 I m 2 7
（补充方程）
本例中电流源接在公共支路上，注意应假设电流源的电压， 并增加补充方程。
解法二：重选独立回路法
2Ω
Im3 +
7V 1Ω
Im1
U
+ -
3Ω 7A 1Ω
-
2Ω
Im2
使电流为一个回路所拥有，则该电流就是电流源电流，可减 少一个方程。
解法三：变形电路
R5i A ( R2 R5 R6 )iB R6iC us 2
下方程组：
对于回路Ⅰ 对于回路Ⅱ 对于回路Ⅲ
( R1 R2 Rg )i ( Rg )i ( R1 )i 0
( R3 R4 Rg )i ( Rg )i ( R3 )i 0
当电路中不含受控源时，R矩阵（称为电阻矩阵）为对称 矩阵，含受控源时，R矩阵不对称。
网孔分析法计算步骤：
1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网 孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部 互电阻项均取负号。 2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3．求解网孔方程，得到各网孔电流。 4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5．用VCR方程，求得各支路电压。
如果电路有m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为
R11i1 R12i2 R1m im u s11 R i R i R i u 21 1 22 2 2m m s 22 R i R i R i u m2 2 mm m smm m1 1
电流源 的电压
I m1 I m 2 7
（补充方程）
本例中电流源接在公共支路上，注意应假设电流源的电压， 并增加补充方程。
解法二：重选独立回路法
2Ω
Im3 +
7V 1Ω
Im1
U
+ -
3Ω 7A 1Ω
-
2Ω
Im2
使电流为一个回路所拥有，则该电流就是电流源电流，可减 少一个方程。
解法三：变形电路
R5i A ( R2 R5 R6 )iB R6iC us 2
第二章 网孔分析和节点分析
un3 20 50 105 175V U un3 1 20 195V
I ( un 2 90) / 1 120 A
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＋
un1 100V
1 － U 20A ＋ 3 2 2
－
100V
1
5.节点分析和网孔分析的比较:
1.网孔分析只适于平面电路；
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同
Rkk:自电阻(为正)
Rjk ＝Rkj :互电阻
- : 流过互电阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关
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2. 网孔分析法的一般步骤（只适于平面电路）：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，并确定其绕行方向；
(2) 对m 个网孔，列写网孔方程（实质是KVL方程）； 自电阻、互电阻、电压升。方程个数为b-(n-1)。 (3) 求解上述方程，得到m个网孔电流； (4) 求各支路电流(用网孔电流表示)； (5) 其它分析。
(2) 用节点电压表示控制量。
u3 un 3 i un 2 R2
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I
例
求U和I 。 应用节点法。
1
－ 90V ＋ 2
un 2 100 110 210V
注：与电流源串接的 电阻不参与列方程
0.5un1 0.5un 2 un3 20
＋ － 110V
b ( n 1)
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 + – iM2 i3
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
(R1+ R2) iM1-R2iM2=uS1-uS2
i M1
R3
uS2
第二章(网孔分析和节点分析)-PPT文档资料
2-9
i4 i3 i2
G4 2 1
is1
G3
is2
G2 4
i1
G1
根据欧姆定律，得
G u G u u i 1 N1 4 N3 N 1 S2 iS2 G u G u u 2 N2 3 N2 N3 iS1 G u u G u u 4 N3 N1 3 N2 N3
解
提问1： 网孔2的网孔方程还是有的， 该如何写？
i4 i3 i2
R4
iM3
+
R3
提问2： 如果以电流源is2替代 电压源us2，us1依旧，如何 解得网孔电流？
i6 + us2 i
R2
- i
1
u iss11
-
iM2
i5
iM1
R1
网孔 2 ： i i M2 S1 网孔 1 ： R R u R i 1 2 i M1 S2 2 S1 网孔 3 ： R R u R i 3 4 i M3 S2 3 S1
2-7
（1）支路电压与节点电压
（2）如何列出求解节点电压的方程？
（1）支路电压与节点电压
（a）什么是节点电压？
2-8
i4 i3 i2
G4 2 1
设4为参考点，u14 3 即节点1的节点电压， i s1 记作uN1。
（b）支路电压都可以用 节点电压来表示。
G3
is2
G2 4
i1
G1
如支路电压 u u u u u 23 24 43 N2 N3
已知各电压源 和电阻即可求 得iM1、 iM2 、 iM3 。
支路电流： i i , i i i , i i i , i i , i i , i i i 1 M1 2 M2 M1 3 M3 M2 4 M3 5 M2 6 M3 M
第二章网孔分析与节点分析
1 0 1 U=US 2 7 64 0 406 P70 6 70 420 W 0 6 7
I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A 6 11 7 I3 I1 I 2 6 2 4 A
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
电流源看作电 压源列方程
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A 6 11 7 I3 I1 I 2 6 2 4 A
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
电流源看作电 压源列方程
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
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例1：P64，例2-1；例2：P66，例2-2；例3：P67，例2-3 例4：P67，例2-4；例5：P68，例2-5
例6：试列写下图所示电路的网孔方程组
R1
R4
+
IS
解：
US1
-
(R1 + R3 + R5) I1-R5 I2-R3I3= US1
I1
R5
I2
R3
R6
I2 = -IS
+US2-
R2 I3
课件制作：高洪民
6
§2-1 网孔分析法
二.网孔方程的建立
应用KVL列回路电压方程
令 R11=R1+R4+R5 为第一网孔的自电阻 令 R12= R21 = R5 为一、二两网孔中互电阻
+
i1
R1
US1
iA
-
R4
R2 i2
i5
R5
iB R6
-US4+
i4 iC
i6
+ US2 -
R13= R31 = R4
例8 电路如图示，已知Us=5V，R1=R2=R4=R5=1Ω，
R3=2Ω，μ=2。求U1＝？ 解： (R2+R4)I1-R4I2-R2I3= -μU2
+μU2-
R5
-R4I1+(R3+R4+R5)I2-R3I3= -US
- R3I1 - R6I2 + (R2 + R3 + R6 )I3 = U S2
IS = I2 - I1 辅助方程
R1
R4
可见，电流源IS在中 间支路时，可设一电压
+ US1
列入方程，再列一辅助
-
I1
IS
R3
U0
R6
I2 R5
方程。
+US2-
R2 I3
14.11.2020
课件制作：高洪民
10
§2-1 网孔分析法
第二章 网孔分析和节点分析
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 ） §2-5
网孔分析法 互易定理 节点分析法 含运算放大器的电阻电路（大纲不要求
电路的对偶性
运用独立电流、电压变量的分析方法 便于应用计算机程序进行电路分析
14.11.2020
1
§2-1 网孔分析法
一.网孔电流（mesh current)是一组完备的独立变量 网孔电流是沿着网孔边界（支路）流动的电流
1.完备性
i1 = i A i4 = iA - iC + i1 R1
R2
i2
i5
+
i2 = i B i3 = i C
i5 = iA +iB i6 = iB + iC
US1 -
iA R4
R5
iB R6
-US4+
i4 iC
i6
US2 -
网孔电流一旦求 出，各支路电流就可
+US3-
R3
i3
求得。
14.11.2020
为一、三两网孔中互电阻 R23= R32 = R6 为二、三两网孔中互电阻
+US3-
R3
i3
(R1+R4+R5)iA+R5iB-R4ic= uS1- uS4
令 uS11= uS1-uS4 为第一网孔中电压源电压
R5iA+(R2+R5+R6) iB+ R6iC = uS2
升之和
-R4 iA +R6iB+( R3+ R5+R6)i C =uS3+ uS4
- R3I1 - R6I2 + (R2 + R3 + R6 )I3 = U S2
可见，电流源IS在边沿 支路时，可以减少方程数。
14.11.2020
课件制作：高洪民
9
§2-1 网孔分析法
例7：试列写下图所示电路的网孔方程组
解：
(R1 + R3 )I1 - R3I3 = U S1 - U 0
(R4 + R5 + R6 )I2 - R6I3 = U 0
+
i1
R1
R2
i2
i5
+
US1 -
iA R4
R5
iB R6
US2 -
-US4+
i4 iC
i6
14.11.2020
+US3-
R3
i3
课件制作：高洪民
4
§2-1 网孔分析法
网孔方程的建立：
2.变量：网孔电流（参考方向与回路绕行方向一致）
3.方程结构：网孔数个KVL电压方程（欧姆定律）
4.矩阵形式
+
i1
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2
§2-1 网孔分析法
一.网孔电流是一组完备的独立变量
2.独立性 网孔电流从一 +
i1
R1
R2
i2
i5
+
个节点流入又从这
US1 -
个节点流出，所以
它不受KCL的约束。
iA R4
-US4+
R5
i4 iC
iB R6
i6
US2 -
-i1-i2+ i5= 0
-iA-iB +(iA+iB)=0
R1iA+R5(iA+iB)+R4(iA-iC)+uS4 -uS1=0 R2iB+ R5(iA+iB)+R6(iB+iC)-uS2 =0
i1
R1
iA R4
-US4+
i5 R5
i4 iC
R2
i2
iB R6
i6
+ US2 -
R3iC -uS3-u S4+R4(iC-iA)+R6(iB+iC)= 0 +US3-
R1
Rm•Im=Um US1
iA
其中：
-
R4
R2
i2
i5
R5
iB R6
+ US2 -
Rm为网孔电阻矩阵，
-US4+
i4 iC
i6
Im为网孔电流向量，
Um为节点电压源向量
+US3-
R3
i3
14.11.2020
课件制作：高洪民
5
§2-1 网孔分析法
二.网孔方程的建立
+
应用KVL列回路电压方程 US1
-
14.11.2020
课件制作：高洪民
7
§2-1 网孔分析法
二.网孔方程的建立
1、自电阻*网孔电流+互电阻*相邻网孔电流
=网孔中电压源电压升之和；
2、自电阻总为正值。Self Resistance
互电阻（公用电阻）则有正有负，两网孔电流流过互电 阻时，方向相同则取正, 方向相反时取负
Mutual Resistance
R3
i3
(R1+R4+R5)iA+R5iB-R4i c= uS1- uS4 R5iA+(R2+R5+R6) iB+ R6iC = uS2
等号左端是网孔中全部电 阻上电压降之和，等号右 端为该网孔中全部电压源
-R4 iA +R6iB+( R3+ R5+R6)i C =uS3+ uS4 电压升之和。
14.11.2020
+
R11iA+R12iB+R13iC=uS11 US1 R21iA+R22iB+R23iC=uS22 -
R31iA+R32iB+R34
-US4+
i5 R5
i4 iC
R2 i2
iB R6
i6
+ US2 -
14.11.2020
+US3-
R3
i3
课件制作：高洪民
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§2-1 网孔分析法
+US3-
R3
i3
网孔电流彼此独立无
关，所以网孔电流是一组
完备的独立变量。
14.11.2020
课件制作：高洪民
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§2-1 网孔分析法
二、网孔方程的建立
1、方法：选择电路的网孔电流作为独立变量，
对各个网孔列写电压（KVL）方程，由于平面电路的
全部网孔为一组独立回路，因此可以得到一组完备的
独立电流方程，从而求解电路中的待求量。