行列式的计算方法总结 毕业论文
行列式的计算与技巧 毕业论文
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文行列式的计算与技巧The calculation of determinantand the skill姓名：* ***学号：090*0*0**2学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：*完成时间：2013-3-11行列式的计算与技巧【摘要】行列式是代数的一个重要的内容，也是讨论线性方程组的一个非常有力的工具,在数学的许多分支上有着极其广泛的应用。
同时，行列式的计算非常的灵活多变，有很强的技巧和规律性。
本文则主要讨论行列式的一些常用的方法，并坚持从实例出发，在以上几种常用方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法。
如：三角形法、升阶法、数学归纳法、递推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通过以上这些方法基本可以解决一般的n阶行列式的计算问题。
【关键词】行列式递推法范德蒙行列式降阶法The calculation of determinant and the skill【Abstract】Determinant is an important content of algebra, and discussthe system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very flexible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives several calculation methods of the determinant are discussed. Such as: the triangle method, order method, mathematical induction, recursive method, extraction factor method, vandermonde determinant method, the split line method, and so on, through the above these methods can solve the general basic n-th-order determinant calculation problem.【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant，Order reduction method目录1 引言 (1)2行列式的定义 (1)2.1 用定义法计算行列式 (1)3 行列式的相关性质 (3)3.1利用相关性质得到几种特殊解法 (3)3.1.1对角线法则计算行列式 (3)3.1.2 三角形法计算行列式 (3)3.1.2.1箭形(或爪形)行列式 (4)3.1.3加边法（升阶法）计算行列式 (5)3.1.4 分解行列法(又称拆项法)计算行列式 (6)3.1.5降阶法计算行列式 (7)4递推法计算行列式 (9)5 特征值法计算行列式 (10)6 数学归纳法计算行列式 (10)7 提取因子法计算行列式 (11)8 利用范德蒙行列式计算行列式 (12)9 利用拉普拉斯展开定理计算行列式 (14)10 因式分解法计算行列式 (15)11 乘法定理法（行列式乘积法）计算行列式 (16)12 小结 (17)参考文献 (18)1 引言行列式是一个基本的数学工具，是线性代数的重要研究对象，无论是在高精尖端科学领域，还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着广泛的应用。
行列式的计算方法小论文
行列式的计算方法行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
并举出了几种常见的行列式应用。
关键词：排列 行列式 行列式计 行列式计算的基本方法：基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法等1、利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2、 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b ba b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a3、代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iinn n nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000nn n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a bD a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.4、范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏参考文献[1] 蒋省吾． 杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10 [2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996. [3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5] 同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999. [6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. [7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988. [8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997. [9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.。
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式计算方法研究毕业论文
行列式计算方法研究毕业论文目录摘要………………………………………………………………………………………...错误!未定义书签。
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第1章行列式的计算方法 (1)第1节利用行列式定义与性质计算 (1)第2节化三角形法 (3)第3节降阶法 (4)第4节递推公式法及数学归纳法 (5)第5节利用德蒙行列 (7)第6节行列式的特殊计算法 (8)第2章行列式的应用 (11)第1节行列式在代数中的应用 (11)第2节行列式在几何中的应用 (12)第3节行列式在多项式理论中的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)第１章 行列式的计算方法第1 节 利用行列式定义与性质计算定义1[1] 对任何n 阶方阵()ij nA a =，其行列式记为ij nA a = ．()()121212121n n n nt p p p ij p p p np p p A a a a a ==-∑ ．其中12n p p p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n项)全体求和．性质1 行列互换，行列式不变，即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=.性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立．性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号． 性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0．性质4 用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************=. 推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0． 推论2 若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0． 性质5 行列式具有分行相加性，即nnn n n n na a a cbc b c b a a a21221111211+++=nn n n n n a a a b b b a a a212111211+nnn n n n a a a c c c a a a212111211. 性质6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变， 即nnn n kn h k in i i nnn n n kn k k kn in k i k i na a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a212121112112121221111211=+++. 例1[1] 计算行列式0005004003002000=D . 解 展开式中项的一般形式是12341234j j j j a a a a .显然，如果51≠j ，那么011=j a ，从而这个项都等于零．因此只需考虑51=j 的那些项；同理，只需考虑24j =，33j =，42j =这些列指标的项．这就是说行列式不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)3421(=τ这一项前面的符号应该是正的，所以1205432=⋅⋅⋅=D .例2[2] 计算n 级行列式cdddd c d dd d c dd d d c d =.解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是c ，其余1-n 个是d . 根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第n 列也加到第一列，即得cddddn c d c d dn c dd c d n c dd d d n c d )1()1()1()1(-+-+-+-+= =[]11(1)11d d d d c d d d c n d d c d ddddc+-. 把第二行到第n 行都分别加上第一行的-1倍，就有[]dc dd c d d dc d d d d n c d ----+= 00001)1(.根据例1得[]1)()1(---+=n d c d n c d .把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和, 进而使行列式简化以便计算．例3 计算行列式332132213211λλλ+++=a a a a a a a a a D .解332322321332132213210λλλλλ+++++=a a a a a a a a a a a a a a a D=[]3233221321))((a a a a a -+++λλλλλ.第2节 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式．对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第n 行（或第n 列），然后再化简．例１ 计算行列式0112032120113110--=D . 解 4132310311020112423212-----=--↔r r r r r r D132014003110201123243----=+-r r r r 25132003110401143432-----=+↔r r r r =50. 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式．但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再化为三角形行列式．例2 计算行列式xa a a a x a a aa x a a a a x D =.解 它的特点是各列元素之和为)3(x a +，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出)3(x a +，得xaa a ax a a aa x a x a D 1111)3(+=．将第一行乘以)(a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则ax a x a x x a D ---+=00000001111)3(=3))(3(a x x a -+.第3节 降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用行列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开．例1 计算行列式4122743221010113-=D . 解221132214)1(21211432010021143223134--=---+--=c c c c D213767)1(22137067013423132-=----=---+-+=r r r r .第4节 递推公式法及数学归纳法应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，1n -阶或1n -阶与2n -阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．使用递推方法首先要利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般直是用来证明行列式等式．例1 计算n 阶行列式4314314314=n D ． 解 按第一列展开2113443143143140134----=-=n n n n D D D D ．于是有32211333------=-=-n n n n n n D D D D D D =1312=-=D D ，及)(3)(3322211------=-=-n n n n n n D D D D D D =n n D D 3)(3122=-=- ．从上两式削去1-n D ，得)13(211-=+n n D ． 对于形如 的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式21--+=n n n D D D βα，然后采用如下方法求解．方法1 如果n 较小，则直接递推计算．方法2 用第二数学归纳法：即验证1=n 时结论成立，设k n ≤结论成立，若可证明出1+=k n 时结论也成立，则对任意自然数结论也成立．方法3 将21--+=n n n D D D βα变形为)(211----=-n n n n pD D q pD D ，其中α=+q p ，β=-pq ．由韦达定理知p 和q 是一元二次方程02=--βαx x 的两个根．确定p 和q 后，令1)(--=n n pD D x f ，利用)1()(-=n qf n f 递推求出)(n f ，再由)(1n f pD D n n +=-递推求出n D ．方法4 设n n D x =，代入021=----n n n D D D βα，得021=----n n n x x x βα，因此有02=--βαx x （称为特征方程），求出根1x 和2x （假设21x x ≠），则1122n n n D k x k x =+这里1k ,2k 可通过取1n =和2n =来确定．例2 求n 阶行列式的值0110110110110=n D .解 按第一行展开得2--=n n D D ，即.02=+-n n D D 作特征方程012=+x 解得i x i x -==21,，则n n n i b i a D )(-⋅+⋅= )1(当1=n 时，01=D ，代入)1(式得;0=-ib ia 当2=n 时，12-=D ，代入)1(得1-=--b a 联立求解得21==b a ，故1()2n nn D i i ⎡⎤=+-⎣⎦． 例3 计算n 阶行列式xa a a a a x x xD n n nn +---=--12211000010001． 解 用数学归纳法 当2=n 时21122)(1a a x x a x a x D ++=+-==212a x a x ++.假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211 .则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11+++=k k k D xD D=1111)(+--+++++k k k k k a a x a x a x x =12111+-++++++k k k k k a x a x a x a x .第5节 利用德蒙行列式德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点，因次遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或者递减的行列式时，可以考虑将其转化为德蒙行列式并利用相应的结果求值．定义 1 德蒙行列式()1232222123111111231111n n ijnj i nn n n n na a a a D ab a a a a a a a a ≤≤----==-∏．例1 计算行列式2122122111222212121111111------+++++++++=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D． 解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得德蒙行列式112112222121111---=n nn n n n x x x x x x x x x D=1()i j j i nx x ≤<≤-∏，其中“∏”表示连乘号．第6节 计算行列式杂例计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法．当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算．要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分别为1-n 个元素的倍数的情况．例1[3] 计算行列式db aD +++=111111111．解 给原行列式加边dba D +++=1110111011101111=+->ir r i 11db a 0010010011111---=+++121313111c c a c c dc c b db a d b a 000000001111111+++=abd d b a )1111(+++．例2[3]计算行列式229132413232213211x x D --=．解 由行列式定义知D 为x 的4次多项式,当1±=x 时，1，2行相同，有0=D ，所以1±=x 为D 的根；当2±=x 时，3，4行相同，有0=D , 所以2±=x 为0D =的根．故0D =有4个1次因式：1x +，1x -，2x +，2x -．设)2)(2)(1)(1(-+-+=x x x x a D ，令0=x ，则129132513232213211-==D ，即，12)2)(1(1-=--⋅⋅a ，所以3-=a ．所以)2)(2)(1)(1(3-+-+-=x x x x D ．当行列式各行(列)和相等，且除对角线外其余元素都相同可采用如下步骤． (1)在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ,使新行列式D *除主对角线外,其余元素均为0；(2)计算D *的主对角线各元素的代数余子式()ij 1,2,,A i n =；(3) ∑=*-=nj i ij A x D D 1．例 3[3] 求行列式的值n 111211212111n n D n --=-．解 在n D 上的各个元素上加上（-1）后()()1(1)2001-n 001-n 0D1(1)1-n 0n n n n n -*==--．又12)1(11,21)1()1(-----====n n n n n n n A A A ，其它的是零，所以()()()()()()()()()1211211111)1(1121n -----*--=--+--=+=-∑n n n n n n nnij ij n n n n n A D D n ．以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于具有不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式．当某行或某列含有较多的零元素，可采用降阶的方法每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义．第2章 行列式的应用第1节 行列式在代数中的应用2.1 用行列式解线性方程组如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* ，的系数行列式0≠D , 那么，这个方程组有解，并且解是唯一的，可表示为DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 ． 例1[4] 求一个二次多项式()f x ，使(1)1f =-，(1)9f -=，(2)3f =-． 解 设所求的二次多项式为，2012()f x a x a x a =++，则有012012012(1)1(1)9(2)423f a a a f a a a f a a a =++=-⎧⎪-=-+=⎨⎪=++=-⎩ ，可求得系数行列式11111160421D =-=≠，所以可用克拉默法则求解，又11119116321D -=-=-， 211119130431D -==--， 311111918423D -=-=-． 解得101D a D ==,215D a D ==-,323Da D==． 于是所求的二次多项式为2()53f x x x =-+．2.2 用行列式证明恒等式我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零，利用行列式的这些性质，我们可以构造行列式来证明等式．例2 已知0a b c ++=，求证abc c b a 3333=++． 证明 令abc c b a D 3333-++=，则0111)(=++=++++++==acb b ac c b a acbb ac c b a c b a c b a ac bb a cc b a D ，命题得证．第2节 行列式在几何中的应用利用行列式我们可以解决集合中的一些问题，例如求平面三角形面积，在解析几何中用行列式表示直线的方程，以及三线共点和三点共线的几何问题，接下来我们就来讨论一下行列式在这几方面的应用．1[5]用行列式表示三角形的面积以平面三点),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x R 为顶点的PQR ∆的面积S 是11121332211y x y x y x ． 证明 将平面),(11y x P ,),(22y x Q ,),(33y x R 三点扩充到三维空间，其坐标分别为),,(11k y x ，),,(22k y x ，),,(33k y x ，其中k 为任意常数, 由此可得)0,,(1212y y x x PQ --=，)0,,(1313y y x x PR --=．),0,0(13131212y y x x y y x x PR PQ ----=⨯．PQR ∆面积为><=PR PQ S ,21313121221yyxxyyxx----==1313121221yyxxyyxx----=11121332211yxyxyx.例1 （2001年全国高考试题）设抛物线pxy22=（0p>）的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线交于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且xBC//轴，求证AC 经过原点．证明设A、B两点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，由于点C在抛物线的准线上，且xBC//轴，则),2(2ypC-，由抛物线焦点弦性质221pyy-=，得122ypy-=，故ccccaaaayxyxyxyxyxyx+-ccccyxyxyxyx01111+-=22)22(112211221=-=+=ypyppyypypy，所以AC经过原点．2[5]用行列式表示直线方程直线通过两点),(11yxP和),(22yxQ的直线方程为11221101x yx yx y=)1(证明由两点式，直线PQ方程为221212x x y yx x y y--=--．将上式展开并化简，得2122121=+-+--xyyxyxyxxyxy，此式可进一步变形为0111122112121=+-y x y x x x yy y x，此式为行列式)1(按第三行展开所得结果，原式得证．3[6] 三线共点 平面三条互不平行的直线,0,0,333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =． 4[6] 三点共线平面三点),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x R 在一直线的充要条件是1122331101x y x y x y =． 第3节 行列式在多项式理论中的应用实系数二元二次多项式F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22在复数域是否可以分解因式，是初等数学的一个重要问题，它不仅关系到因式分解，而且关系到判别方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示曲线的类型及解二元二次方程，能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性．例1[7] 求证)()()()(222cz by ax cy bx az cx bz ay cz by ax ++-++++++++))(())(()(cy bx az cz by ax cy bx az cx bz ay cx bz ay ++++-++++-++ ))((222222xz yz xy z y x ac bc ab c b a ---++---++=．证明 左边cxbz ay cz by ax cy bx az cy bx az cx bz ay cz by ax ++++++++++++=111xb a y ac z c b z a c y c b x b a cy bx az z a c y c b x b a z c b y b a x a c cz by ax )()()()()()()()()()()()(01-------+-+-++-------+-+-++= xb a y ac z c b z a c y c b x b a z a c y c b x b a z c b y b a x a c )()()()()()()()()()()()(-------+-+--------+-+-=⎝⎛------+------+------+------=)()()()()()()()(222a c b a c b a c z b a a c a c c b y a c c b c b b a x c b b a b a a c ⎝⎛------+⎪⎪⎭⎫------+ ⎝⎛------+⎪⎪⎭⎫------+)()()()()()()()(b a b a a c a c yz a c a c c b c b b a c b a c b a xy c b c b b a b a xz c b a c b a c b ⎪⎪⎭⎫------+)()(xy b a b a c b a c z b a a c a c c b y a c c b c b b a x c b b a b a a c )()()()()()()()(222------+------+------+------=xz c b a c b a c b yz b a c b a c b a )()()()(------+------+))((222222xz yz xy z y x ac bc ab c b a ---++---++=．结论本文对行列式的计算方法进行了概括和总结，主要从n阶行列式的特点出发，通过例题的形式列举了行列式的几种主要计算方法．不仅较完满地解决了一些较难的求解问题，而且解决了代数，解析几何等方面的问题，从数形结合方面又开辟了新的思考途径，使得行列式的作用不仅限于对方程组的研究，在初等数学的各个方面也看到了行列式的妙用．参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数(第三版) [M],: 高等教育出社,(2003)：27-38[2] 乔林，关于行列式的定义及其计算方法 [J],科技信息,2007(25)：[3] 万广龙，行列式的计算方法与技巧 [J]，China's Foreign Trade ，2011(04)[4] 梁波，例谈行列式的几个应用 [J]，学院学报，2006，(4)：27-28[5] 汤茂林，行列式在初等代数中的巧用 [J]，师学院学报，2008，(3)：9-10[6] 周立仁，行列式在初等数学中的几个应用 [J]，理工学院学报，2008，(4)：17-18[7] 彭丽清，行列式的应用 [J]，师学院学报，2005，(5)：40-41致谢在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到付丽老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，向她表示衷心的感谢！我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成．感谢师长，同学，朋友们给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们！。
行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文
ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算技巧——毕业论文.doc
2016届本科毕业论文行列式的计算方法姓名：____ *** ____________ 院别：____数学与信息科学学院________ 专业：____数学与应用数学____________ 学号：___ 0000000000______________ 指导教师：__ __ *** ___ ____ 2016年 5月 1日2016届本科生毕业论文目录摘要.................................................... 错误!未定义书签。
关键词....................................................... 错误!未定义书签。
Abstract ..................................................... 错误!未定义书签。
Key words .................................................... 错误!未定义书签。
0 引言....................................................... 错误!未定义书签。
1 基本理论................................................... 错误!未定义书签。
2 行列式的计算技巧........................................... 错误!未定义书签。
2.1 化三角形法........................................... 错误!未定义书签。
2.2 递推法............................................... 错误!未定义书签。
2.3降阶法............................................... 错误!未定义书签。
行列式的计算方法研究毕业论文
昆明学院2010 届毕业设计（论文）设计（论文）题目行列式的计算方法研究姓名学号 S006054127所属系数学系专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班指导教师2010年 5 月摘要在线性代数中，行列式是个函数。
在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。
行列式的概念出现的根源是解线性方程组。
本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。
其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。
最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。
关健词：行列式计算方法方法举例AbstractIn linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.Keywords:Determinant Calculation motheds illustrate with examples目录前言 (1)第一章普遍法求行列式1.1利用行列式的定义直接计算 (2)1.2利用行列式的性质计算 (2)1.3化为三角形行列式 (3)1.3.1直接化为阶梯型 (3)1.3.2相同去项化上三角形 (4)第二章特殊法求行列式2.1降阶法（按行（列）展开法） (5)2.1.1先简后展 (5)2.1.2 按第一行（列）展开 (6)2.2 递（逆）推公式法 (7)2.2.1等差数列递推 (7)2.2.2“一路直推” (9)2.2.3对角递推 (9)2.3利用德蒙行列式 (11)2.3.1变形德蒙行列式 (11)2.3.2 系数德蒙行列式 (12)2.3.3利用行列式性质凑德蒙行列式 (13)第三章其他方法求行列式3.1加边法（升阶法） (14)3.1.1“0”和“字母”加边 (14)3.1.2“0”和“1”加边 (14)3.2 数学归纳法 (16)3.2.1第一数学归纳法 (16)3.2.2第二数学归纳法 (17)3.2.3猜测归纳法 (17)3.3拆开法 (19)3.3.1对角拆开 (19)3.3.2按行（列）拆 (19)参考文献.............................................................................................21. 辞. (22)前言在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作)det(A。
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1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
即nnnj n nj nj nn njn n jn j nn njnj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a12221111112221111112222111111+=+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。
所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。
性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
2 行列式的计算方法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。
2.1 化三角形法[6]化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1 浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值， 12312341345121221n n n n D n n n -=--分析：显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始，每一列与它一列中有n -1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n -1列开始乘以－1加到第n 列，第n -2列乘以－1加到第n -1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)111111111112111110003111120001111100010000001000020011(1)2000200000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅- 。
问题推广：例1中，显然是1,2，…，n -1, n 这n 个数在循环，那么如果是12,,10,,--n n a a a a 这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？我们把这种行列式称为“循环行列式”。
从而推广到一般，求下列行列式0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a aa a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
解：令0121101223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即1=n u ），则有1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅===⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=+++这里因为所以用到等）12011122111()n n n n n n u a a u a u u u a u a u -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦211()n u f u u u -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1011()n n f u a a u a u --=+++其中 。
2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw w w k n n nw w w ππ-==≠<<设 +i 为n 次本原单位根 所以有 。
于是 互异且为单位根 。
记)1,1,0(,1)1(2-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n j w w w w n j j j ， 方阵),,,(110-=n w w w w ，则由上述知：j i j w w f w A ⋅=⋅)(，故),,,(110-=n Aw Aw Aw Aw ))(,)(,)((111100--⋅⋅⋅=n n w w f w w f w w f00111()(,,,)()n n f w w w w w f w --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然 为范德蒙行列式， 0,w ≠所以1A (1)()(),n w w f f w f w A w -=⋅⋅⋅⋅=⋅从而有 1(1)()()n n A D f f w f w -==⋅⋅⋅所以 。
又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反，所以例1与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应，(1)(2)'21n n nn D D --而 （－），即得， )()()1()1(12)2)(1(---⋅⋅⋅⋅-='n n n nw f w f f D 。
从而当01121(,,,)(1,2,,)1,(1)()123,(1)122k n n a a a n u w n n f u u u nuf n --==≠+=++++=+++=时，对单位根总有 ，21()()1()1n f u uf u u u u n n nf u u--=++++-=--=- ，所以 。
1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n --=-=-=-=++++-=-==∏∏而又因为 令 ，则有： ＋＋＋ 。
从而有12)1(1112)1(1212)2)(1(12)2)(1('21)1()1(2)1()1()111111()(2)1()1()()()1()1(---=---------⋅+⋅-=-⋅+⋅-=-⋅⋅-⋅-⋅-⋅+⋅-=⋅⋅⋅⋅-=∏n n n n k kn n n n n n n n n n n n n wn n n ww w n n n w f w f f D与例1的答案一致。
2.2 按行（列）展开法（降阶法）[3][12]设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 或()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个1n -阶行列式计算。
若继续使 用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。
但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。
因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。