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高一数学讲义幂函数

幂函数

知能点全解：

一、定义：一般地，我们把形如()a y x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。二、性质：

1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；

2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数

3、幂函数的图像及其奇偶性：

令a q

p

=（p 、q 互质）

a <0

y x =（p 、q 互质）

p 、q 是奇数

p 是奇数、q 是偶数

p 是偶数、q 是奇数

三、如右图,,,,,a b c d e f 的大小关系为： a b c d e f <<<<<

典型题型全解

题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析及时演练：

1、下列函数中，定义域和值域不同的是（）

y x = 2、下列命题中正确的是（）

A 、当0n =时，函数n y x =的图像是一条直线

B 、幂函数的图像都经过点()()0,0,1,1

C 、幂函数的图像不可能出现在第四象限

D 、若幂函数n y x =是奇函数，则n y x =在其定义域上一定是增函数 3、下列函数中，不是幂函数的是（）

D 、1y x -= 4、下列函数中，定义域为R 的是（）

y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 5、若()

1x --有意义，则x ∈ 。 6、()2

m f x x ++=的定义域为。

7、值域是()0,+∞的函数是（）

题型二：幂函数的图像

例 1：右图中是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取12,2

±±四个值，则相应于曲线

1234,,,C C C C 的n 依次为（）

A 、112,,,222--

C 、11,2,2,22--

D 、112,,2,22--

及时演练：

,,,,,,,y x y x y x y x y x y x y x y x ---========填入对应图像下面。

y x =（m 为不为零的偶数，n 为奇数，且0mn <），那么它的大致图像是（）

（A ）（B ）（C ）（D ）

3、在同一坐标系内，函数a y x =（0a ≠）和1

=+的图像应是（）

（A ）（B ）（C ）（D ） 4、函数()1,2n

y x n N n -=∈>的图像大致形状是：

（B ）（C ）（D ）

5、幂函数m n y x =（m 、n 为互质的正整数）图像如图，则m 、n 之间的关系为（）

A 、m 、n 为奇数，01m

<< B 、n 为奇数，m 为偶数，1m n >

C 、n 为奇数，m 为偶数，01m n <<

D 、n 为偶数，m 为奇数，01m

y x =的图像关于对称。

7、使23x x >成立的x 的取值范围为。

8、如果幂函数a y x =的图像，当01x <<时，在直线y x =上方，那么a 的取值范围为。 9、幂函数p y x =与q y x =的图像都经过定点，若它们在第一象限部分关于直线y x =对称，则,p q 应满足的条件是。题型三：函数值的大小比较例 2 ：比较下列各组数的大小

3.1-；（2）78

19⎛⎫- ⎪⎝⎭ ；（3）23

23-⎛⎫- ⎪⎝⎭和23

6π-⎛⎫- ⎪⎝⎭

4.1,3.8-和()351.9-

解：（1）函数32

=在()0,+∞上为减函数，又3 3.1<，所以32

8-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数78

y x =在()0,+∞上为增函数，又1189>，则778

1189⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1189⎛⎫⎛⎫

-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

0,+∞上为增函数，

高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版

第12讲幂函数、函数与方程（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、幂函数的定义与性质 1．幂函数的定义一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 如y=x 2,y=x 2 1,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2 1,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表:

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1. 图2-3-1 幂函数的性质小结：（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大. 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大. （3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 二、函数和方程１．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点零点存在性定理： ①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴

和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。

高一数学讲义幂函数

幂函数知能点全解：一、定义：一般地，我们把形如()a y x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。二、性质： 1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1； 2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数 3、幂函数的图像及其奇偶性：令a q p =（p 、q 互质） a <0 0 1 q p y x =（p 、q 互质） p 、q 是奇数 p 是奇数、q 是偶数 p 是偶数、q 是奇数 y x = 0y x = 三、如右图,,,,,a b c d e f 的大小关系为： a b c d e f <<<<<

典型题型全解题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析及时演练： 1、下列函数中，定义域和值域不同的是（） A 、13y x = B 、12y x = C 、53y x = D 、 23 y x = 2、下列命题中正确的是（） A 、当0n =时，函数n y x =的图像是一条直线 B 、幂函数的图像都经过点()()0,0,1,1 C 、幂函数的图像不可能出现在第四象限 D 、若幂函数n y x =是奇函数，则n y x =在其定义域上一定是增函数 3、下列函数中，不是幂函数的是（） A 、y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 4、下列函数中，定义域为R 的是（） A 、32 y x = B 、3y x = C 、2x y = D 、1y x -= 5、若() 1 3 1x --有意义，则x ∈ 。 6、()2 1 m m f x x ++=的定义域为。 7、值域是()0,+∞的函数是（） A 、125x y -= B 、113x y -⎛⎫ = ⎪ ⎝⎭ C 、12x y =- D 、23 y x = 题型二：幂函数的图像例 1：右图中是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取12,2 ±±四个值，则相应于曲线 1234,,,C C C C 的n 依次为（） A 、112,,,222-- B 、11 2,,,222-- C 、11,2,2,22-- D 、112,,2,22-- 及时演练： 1、将1113 2 213 2 2 ,,,,,,,y x y x y x y x y x y x y x y x ---========填入对应图像下面。

高一数学知识点总结：幂函数

高一数学知识点总结：幂函数高一数学知识点总结：幂函数数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高一数学知识点：幂函数，希望对大家有帮助! 定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞),时间管理.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;

10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。知识梳理一、幂函数的定义一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。二、幂函数的图像 α取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。

比如幂函数112 3 4 ,,y x y x y x - ===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数（3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近 . 四、幂函数的运算（一）两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。（二）有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质 n 为奇数 n 为偶数

高一数学常见幂函数知识点

高一数学常见幂函数知识点引言：数学是一门高深的学科，也是人类认识和改造世界的强大工具。在高中数学中，幂函数是一个非常重要的概念。本文将介绍高一数学中常见的幂函数知识点，包括幂函数的定义、图像、性质以及应用等方面，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。一、幂函数的定义： 1. 幂函数是指函数表达式为y=axⁿ（a≠0）的函数，其中的n是指数，表示自变量x的次数。 2. 当指数n为正整数时，幂函数是一种多项式函数。当指数n 为负整数时，幂函数是一种有理函数。当指数n为零时，幂函数是一种常数函数。 3. 幂函数的定义域为全体实数。二、幂函数的图像： 1. 当指数n为正整数时，幂函数的图像与多项式函数的图像类似，具有特定的性状。 a. 当n为正偶数时，幂函数的图像对称于y轴。

b. 当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称。 c. 当n为正整数时，幂函数的图像接近于x轴，并且随着x 的增加而逐渐上升或下降。 2. 当指数n为负整数时，幂函数的图像具有特殊的性质。 a. 当n为负偶数时，幂函数的图像接近于x轴，并且随着x 的增加逐渐上升或下降。 b. 当n为负奇数时，幂函数的图像接近于x轴，并且随着x 的增加而逐渐下降或上升。三、幂函数的性质： 1. 幂函数的奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是偶函数；当指数n为奇数时，幂函数是奇函数。 2. 幂函数的单调性：当指数n为正数时，幂函数随着x的增加而递增；当指数n为负数时，幂函数随着x的增加而递减。 3. 幂函数的零点：当指数n为正数时，幂函数有且只有一个零点，即x=0；当指数n为负数时，幂函数没有零点。 4. 幂函数的极限值：当指数n为正数时，当x趋近于正无穷大时，幂函数也趋近于正无穷大；当x趋近于负无穷大时，幂函数趋近于0。

数学高一上册知识点幂函数

数学高一上册知识点幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，在高一上册的数学学习中，幂函数的概念和性质需要我们深入理解和掌握。本文将围绕幂函数的定义、图像特征、基本性质以及幂函数的应用方面展开讨论。一、幂函数的定义对于任意的实数a（a>0且a≠1）和实数b（b是任意实数），幂函数可以表示为 y=a^b。其中，a被称为底数，b被称为指数。幂函数的定义域一般为实数集。二、幂函数的图像特征 1. 当底数a>1时，随着指数b的增大，幂函数的增长速度也增大；当指数b<0时，幂函数的函数值趋于0，且在x轴的正半轴上递减。 2. 当0

4. 当a=-1且b是奇数时，幂函数的图像在整个定义域上均与x 轴相交；当b是偶数时，幂函数的图像在负半轴与x轴相交，在整个定义域上与x轴相切。 5. 当a<0且a≠-1时，幂函数的图像与a>0时的情况相似，但在定义域内有对称性。三、幂函数的基本性质 1. 幂函数的奇偶性：当指数b为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数b为偶数时，幂函数关于原点对称。 2. 幂函数的单调性：当底数a>0且a≠1时，幂函数随着指数b 的增大，在定义域内递增或递减；当底数a<0时，幂函数在定义域内具有单调性，方向由指数的奇偶性决定。 3. 幂函数的零点和极限：当指数b>0时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当指数b<0时，幂函数在x趋于0时函数值趋近于∞ 或者趋近于0。四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有许多应用。例如，金融领域的复利计算、物理学中的指数增长模型、生物学中的细胞分裂等等。幂函数的特性使得它在描述和解决这些问题时具有较高的准确性和实用性。

高一数学知识点幂函数

高一数学知识点：幂函数掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是精品学习网高中频道为大家整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则 x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，

高一数学幂函数知识点归纳大全

高一数学幂函数知识点归纳大全在高一数学学科中，幂函数是重要的一个知识点。幂函数是指形如 y = ax^n的函数，其中a和n是实数，且a≠0，n≠0。一、幂函数的定义及性质幂函数的定义就是函数的定义，即y = ax^n，其中a称为幂函数的底数，n称为指数。幂函数的性质有以下几点： 1. 当n为正整数时，幂函数表示乘方运算，例如y = 2x^3表示x的 3次方。 2. 当n为负整数时，幂函数表示倒数，例如y = 2x^-2表示x的倒数的平方。 3. 当n为分数时，幂函数表示根式，例如y = 2x^(1/2)表示x的平方根。 4. 当n为零时，幂函数表示常数函数，即y = a，其中a为常数。二、幂函数图像特征 1. 当a>0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向上，且对称于y轴。 2. 当a>0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向上，且不对称于y 轴。 3. 当a<0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向下，且对称于y轴。

4. 当a<0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向下，且不对称于y 轴。三、幂函数的变换幂函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到其他函数形式。 1. 平移：平移是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右移动。例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标减2，可以得到y = 2(x-2)^3，实现了向右平移2个单位。 2. 伸缩：伸缩是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右拉长或缩短。例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标扩大为原来的2倍，可以得到y = 2(2x)^3，实现了横向的伸缩。 3. 翻转：翻转是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右翻转。例如，对于函数y = 2x^3，将函数的图像上下翻转，可以得到y = - 2x^3，实现了关于x轴的翻转。四、幂函数的应用 1. 金融领域：在复利计算中，幂函数常被用于计算投资收益和贷款利息。 2. 自然科学领域：幂函数经常出现在自然界的现象中，如物体的自由落体运动中，下落距离与时间的关系可以用幂函数表示。 3. 经济学领域：幂函数常被用于经济增长模型和市场供需曲线等方面的研究。

高一数学上册幂函数知识点

高一数学上册幂函数知识点幂函数是一种常见的函数形式，由于其在数学和实际问题中的广泛应用，掌握幂函数的知识点对高一学生来说至关重要。本文将介绍高一数学上册幂函数的主要知识点，包括定义、性质以及解题方法等。 1. 幂函数的定义幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数，x为自变量。在幂函数中，底数x通常为正实数，指数a可以是正数、负数或零。 2. 幂函数的图像与性质（1）当指数a为正数时，幂函数的图像呈现递增的趋势。若指数a大于1，则曲线斜率较大；若指数a介于0到1之间，则曲线斜率较小。（2）当指数a为负数时，幂函数的图像呈现递减的趋势。（3）当指数a为零时，幂函数的图像为一条水平直线。 3. 幂函数的基本性质

（1）定义域：对于幂函数f(x) = x^a，其定义域为所有使得 x^a有意义的实数x。（2）值域：幂函数值域的范围可以是整个实数轴，或者是一个区间，具体取决于底数的正负和指数的奇偶性。（3）对称性：当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称；当指数a为偶数且底数x为正数时，幂函数关于y轴对称。 4. 幂函数的运算法则（1）幂函数的加法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的和函数是h(x) = x^a + x^b。（2）幂函数的乘法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的乘积函数是h(x) = (x^a)(x^b) = x^(a+b)。（3）幂函数的倒数：若f(x) = x^a 为幂函数，则其倒数函数是g(x) = 1/f(x) = 1/(x^a) = x^(-a)。 5. 幂函数的解题方法（1）求函数的定义域：根据幂函数的定义，求解所有使得x^a 有意义的实数x即可得到函数的定义域。

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结高一数学知识点─ 幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数类型，在高一数学课程中占据重要地位。幂函数的表达形式为$f(x) = ax^b$，其中$a$和$b$为常数（$a \neq 0$）。一、幂函数的定义域和值域幂函数$f(x) = ax^b$的定义域为实数集，即$(-\infty, +\infty)$。幂函数的值域则取决于$a$和$b$的取值范围。当$b > 0$时，幂函数的值域为$(0, +\infty)$。此时，函数图像从第三象限逐渐上升到第一象限。当$b < 0$时，幂函数的值域为$(-\infty, 0)$。此时，函数图像从第一象限逐渐下降到第三象限。二、幂函数的对称性幂函数的对称性可以分为以下两种情况： 1. 当$b$为偶数时，幂函数$f(x) = ax^b$关于$y$轴对称。即对于任意$x$都有$f(-x) = f(x)$。 2. 当$b$为奇数时，幂函数$f(x) = ax^b$关于原点对称。即对于任意$x$都有$f(-x) = -f(x)$。三、幂函数的增减性与极值

幂函数$f(x) = ax^b$的增减性与$b$的正负性相关。 1. 当$b > 0$时，幂函数在定义域上是递增函数。随着$x$的增大，函数值也随之增大。 2. 当$b < 0$时，幂函数在定义域上是递减函数。随着$x$的增大，函数值反而减小。对于幂函数$f(x) = ax^b$而言，只有$b > 0$且$a > 0$时，才会存在极大值；只有$b < 0$且$a < 0$时，才会存在极小值。四、幂函数的图像特征对于幂函数$f(x) = ax^b$，根据参数$a$和$b$的取值范围，其图像可以表现出不同的特征。 1. 当$a > 0$，$b > 1$时，函数图像呈现上升的指数形态。 2. 当$a < 0$，$b > 1$时，函数图像呈现下降的指数形态。 3. 当$a > 0$，$0 < b < 1$时，函数图像呈现上升的曲线形态，趋近于$x$轴。 4. 当$a < 0$，$0 < b < 1$时，函数图像呈现下降的曲线形态，趋近于$x$轴。五、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有着广泛的应用，以下是几个常见的例子：

高一数学幂函数知识点

高一数学幂函数知识点一、幂函数的定义和特点幂函数是指形如y = ax^b的函数，其中a和b都是常数，且a 不等于0。幂函数的特点是可变基和可变底，并且具有以下几点性质： 1. 当a>0且b>0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递增的； 2. 当a>0且b<0时，幂函数的图像在整个正数域上都是单调递减的； 3. 当a<0且b为整数奇数时，幂函数的图像在整个实数域上都是单调递增的； 4. 当a<0且b为整数偶数时，幂函数的图像在正数域上是单调递减的，而在负数域上是单调递增的。二、幂函数的图像变换对于幂函数y = ax^b，我们可以通过对参数a和b进行变换来得到新的幂函数的图像。常见的图像变换有：

1. 平移：在x轴上平移时，将x替换为x-h，其中h为平移的距离；在y轴上平移时，将y替换为y-k，其中k为平移的距离。 2. 垂直伸缩：在y轴方向上的伸缩，将y替换为ay，其中a为缩放因子。 3. 水平伸缩：在x轴方向上的伸缩，将x替换为hx，其中h为缩放因子。三、幂函数的求导对于y = ax^b来说，其中a和b都是常数。求导的过程如下： 1. 对于a的求导：由于a是常数，所以导数为0； 2. 对于x的求导：由于x的幂函数为x^b，所以导数为 b*ax^(b-1)。

根据以上计算规则，我们可以得到幂函数y = ax^b的导函数为 dy/dx = b*ax^(b-1)。四、幂函数的应用幂函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是几个常见的应用领域： 1. 金融领域：幂函数可以用来描述贷款利率、投资回报率等与时间和资金量相关的关系。 2. 生物学领域：幂函数可以用来描述生物种群的增长规律、物种多样性与面积关系等。 3. 经济学领域：幂函数可以用来描述收入分配、市场需求和供给等经济现象。 4. 物理学领域：幂函数可以用来描述粒子在力场中的运动规律、声音强度与距离关系等。总结：

高一数学知识点幂函数知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中 a为常数。在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。一、幂函数的定义和性质幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。以下是幂函数的一些基本性质： 1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。当a为正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。 2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域也是全体实数集。 3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时，幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。 4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则幂函数在定义域上是递减函数。 5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当 a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(- 1,1)。

二、幂函数的图像与变换 1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。 2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。 3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。若倍数k > 1，函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。三、幂函数与指数函数的关系指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。 1. 指数函数与幂函数的转化：指数函数可以通过对幂函数的变形得到，而幂函数也可以通过对指数函数的变形得到。例如，指数函数y = a^x可以通过取对数变形为幂函数y = log(a)x，其中log(a)为以a为底的对数函数。 2. 幂函数的求导：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，我们可以先对该函数取对数，然后再对其求导。这样可以简化幂函数的求导过程，变成对数函数的求导，即y = a*ln(x)。四、幂函数应用举例

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结高一数学知识点-幂函数知识点总结幂函数是高中数学中一种重要的函数类型，它在各种实际问题中的应用十分广泛。本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，包括幂函数的定义、性质、图像和应用等方面。一、幂函数的定义幂函数是指形如y = a^x的函数，其中a是一个正实数且a≠1，x是自变量，y是因变量。其中，a被称为底数，x是指数。二、幂函数的性质 1. 定义域和值域：对于底数为正实数且不为1的幂函数，它的定义域是全体实数，值域是(0, +∞)。当底数为负实数时，定义域为奇数次幂的负实数和偶数次幂的非负实数，值域与正实数的幂函数相同。 2. 单调性：当底数a>1时，幂函数递增；当00时，幂函数是奇函数；当底数a<0时，幂函数是偶函数。 4. 零点与解集：当底数a>0时，幂函数在x=0处有零点；当底数 a<0时，对于偶数次幂的幂函数在x=0处有零点。 5. 渐近线：当底数a>1时，幂函数的图像有一个水平渐近线y=0；当0

三、幂函数的图像幂函数在平面直角坐标系中的图像特点如下： 1. 当底数a>1时，随着x的增大，幂函数的值也逐渐增大，当x趋近于无穷大时，y趋近于无穷大。 2. 当0

第12讲幂函数-人教A版高中数学必修一讲义(解析版)

知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象： (2)幂函数的性质：幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 2 1 x y y ＝x － 1 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向 1.幂函数的概念数学抽象水平1 水平1 1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。 2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。 3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分 2.幂函数的图像与性质直观想象水平1 水平2 3.幂指数对图像的影响数学运算水平1 水平1 4.幂函数的凸凹性数学运算水平1 水平1 第十二讲幂函数知识通关

{y|y∈R，且y≠0} 奇 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2， y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝________. 解析： (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案(1)B (2)5或－1 【变式训练1】（1）幂函数) (x f的图像过点)9 ,3(3，则 ) ( )8(= f A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 （2）设}1 , 2 1 ,3,2,1{- ∈ α，则使函数αx y=的定义域为R且函数αx y=为奇函数的所有α的值为（） A .3,1 - B. 1,1 - C. 1,3 D. 3,1,1 -

幂函数知识点总结5篇

幂函数知识点总结5篇在平时的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。想要一份整理好的知识点吗？的我精心为您带来了5篇《幂函数知识点总结》，如果能帮助到亲，我们的一切努力都是值得的。高一数学幂函数知识点总结篇一 1、函数的单调性（局部性质）（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法： a.任取x1，x2D，且x1 b.作差f(x1)-f(x2)；

c.变形（通常是因式分解和配方）； d.定号（即判断差f（x1）-f(x2)的正负）； e.下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。 (B)图象法（从图象上看升降） (C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同增异减' 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。 8、函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。利用定义判断函数奇偶性的步骤： a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； b.确定f(-x)与f(x)的关系； c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若

高中数学第三章函数的概念与性质幂函数讲义新人教A版必修一第一册

3．3 幂函数最新课程标准：通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．状元随笔幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二幂函数的图象与性质状元随笔幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α 是增函数；当α<0时，y ＝x α 是减函数．

[教材解难] 教材P 90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． [基础自测] 1．在函数y ＝1x 4，y ＝3x 2，y ＝x 2 ＋2x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：函数y ＝1x 4＝x －4 为幂函数；函数y ＝3x 2 中x 2 的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y ＝x 2 ＋2x 不是y ＝x α (α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y ＝1与y ＝x 0 ＝1(x ≠0)不相等，所以y ＝1不是幂函数．答案：B 2．幂函数f (x )的图象过点(3，3 9)，则f (8)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 解析：设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，由函数的图象过点(3，39)，可得39＝3α ，∴α＝2 3 ，则幂函数f (x )＝x 23，∴f (8)＝82 3＝4. 答案：C 3．已知幂函数f (x )＝(m 2 －3m ＋3)x m ＋1 为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．3 解析：∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1 为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2 －3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2 为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数 f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A. 答案：A 4．判断大小：0.20.2 ________0.30.2 . 解析：因为函数y ＝x 0.2是增函数，

高一数学重要知识点：幂函数

高一数学重要知识点：幂函数函数，最早由*清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。以下是为大家分享的高一数学重要知识点：幂函数，供大家参考借鉴，欢迎浏览! 幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域*质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特*：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶*来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时

函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。

高一数学知识点之幂函数的定义与性质

高一数学知识点之幂函数的定义与性质高一数学知识点之幂函数的定义与性质定义：形如=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的`定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=-，则x=1/（x^），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，

+∞）。因此可以看到x所受到的限制于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<；0和x>；0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。

高一数学幂函数ppt

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