隐马尔可夫模型参数估计
多个观测序列来求解hmm模型参数的方法
多个观测序列来求解hmm模型参数的方法标题：利用多个观测序列求解隐马尔可夫模型参数的方法隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，广泛应用于序列数据的建模。
在实际应用中，我们通常需要利用多个观测序列来估计HMM的参数。
本文将介绍一种有效的方法，帮助读者了解如何使用多个观测序列求解HMM模型参数。
一、HMM模型简介隐马尔可夫模型是一种概率图模型，包括一个隐藏的马尔可夫链和一个观测序列。
模型参数包括初始状态概率分布、状态转移概率矩阵和观测概率矩阵。
给定观测序列，我们的目标是求解这些参数。
二、多个观测序列求解HMM参数的方法1.确定模型结构在求解参数之前，需要先确定HMM的结构，即状态数量和观测符号数量。
这通常依赖于先验知识或通过实验来确定。
2.初始化参数为模型参数赋予一个初始值。
初始状态概率分布可以均匀分配，状态转移概率矩阵和观测概率矩阵可以随机初始化。
3.期望最大化（EM）算法期望最大化（Expectation-Maximization，EM）算法是一种广泛应用于参数估计的迭代算法。
以下是利用EM算法求解HMM参数的步骤：（1）E步：计算在当前参数下，观测序列的隐藏状态的后验概率。
对于每个观测序列，计算如下：- 初始状态概率分布：P(q1|O)- 状态转移概率矩阵：P(qi+1|qi,O)- 观测概率矩阵：P(Oi|qi)（2）M步：根据后验概率更新模型参数。
更新公式如下：- 初始状态概率分布：πj = Σ(P(q1|O)) / N，其中N为观测序列的数量。
- 状态转移概率矩阵：aji = Σ(P(qi+1|qi,O)) / Σ(P(qi|O))，其中i和j表示状态。
- 观测概率矩阵：bj(k) = Σ(P(Oi|qi)) / Σ(P(qi|O))，其中k表示观测符号。
4.迭代优化重复执行E步和M步，直至模型参数的更新量小于一个预设的阈值。
在这个过程中，模型参数将逐渐收敛到最优值。
隐马尔可夫模型的基本用法
隐马尔可夫模型的基本用法隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel，HMM）是一种用于描述随机过程的概率模型，它在自然语言处理、语音识别、生物信息学、金融分析等领域得到了广泛应用。
本文将介绍隐马尔可夫模型的基本概念、数学表达、参数估计、解码算法等内容，希望对读者理解和应用该模型有所帮助。
一、隐马尔可夫模型的基本概念隐马尔可夫模型是一个二元组（Q, O, A, B, π），其中：Q = {q1, q2, …, qN}是状态集合，表示模型中可能出现的所有状态；O = {o1, o2, …, oT}是观测集合，表示模型中可能出现的所有观测；A = [aij]是状态转移矩阵，其中aij表示从状态i转移到状态j的概率；B = [bj(k)]是观测概率矩阵，其中bj(k)表示在状态j下观测到k的概率；π = [πi]是初始状态概率向量，其中πi表示模型开始时处于状态i的概率。
隐马尔可夫模型的基本假设是：每个时刻系统处于某一状态，但是我们无法观测到该状态，只能观测到该状态下产生的某个观测。
因此，我们称该状态为隐状态，称观测为可观测状态。
隐马尔可夫模型的任务就是根据观测序列推断出最有可能的隐状态序列。
二、隐马尔可夫模型的数学表达隐马尔可夫模型的数学表达可以用贝叶斯公式表示：P(O|λ) = ∑Q P(O|Q, λ)P(Q|λ)其中，O表示观测序列，Q表示隐状态序列，λ表示模型参数。
P(O|Q, λ)表示在给定隐状态序列Q和模型参数λ的条件下，观测序列O出现的概率；P(Q|λ)表示在给定模型参数λ的条件下，隐状态序列Q出现的概率。
P(O|λ)表示在给定模型参数λ的条件下，观测序列O出现的概率。
根据贝叶斯公式，我们可以得到隐状态序列的后验概率：P(Q|O,λ) = P(O|Q,λ)P(Q|λ)/P(O|λ)其中，P(O|Q,λ)和P(Q|λ)可以通过模型参数计算，P(O|λ)可以通过前向算法或后向算法计算。
隐马尔科夫模型(原理图解)
1 (3)
2 (3)
S S3 2
3 (3)
S3 S2
T (3)
S3
S S3 2
z S S 2 2
a3-0 a4-0
a11 a12 a a 21 22 aN 1 aN 2
E
A转移概率矩阵
SN
…
O1
O2
…
S3 N
SN
M
BN *M
OM
OM
O OT-1 b11 b12 3 b1M b b b2 M 21 22 b O 2 NM bN 1 bN OM M
a1N a2 N aNN
a0N
…
1 (4)
S4S
…
N
2 (4)
S4S
…
3 (4)
S4S
…
T (4)
S4 S
…
B生成概率矩阵
SN a05
N
N
N
a5-0
1 (5)
S5
？S
2 (5)
1
O1
O2
O3
t=3
2
+Pr(O, 路径Q NT |)
t=4
N
O4
共 N 个可能路径（指数级计算） P(O| ) T (k) ak 0 t (k ) t 1 (l ) alk bk (ot ) k 1 l 1
N
T
N=5, T=100, => 计算量10^72
aT5
BN *M
2 (5)
S5 O 3
3 (5)
S5 OT-1
T (5)
n阶隐马尔可夫模型的参数估计
南京邮电大学硕士学位论文n阶隐马尔可夫模型的参数估计姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2011-03摘 要本文给出了n 阶隐马尔可夫模型()n HMM 的定义及结构。
在传统的隐马尔可夫模型及二阶隐马尔可夫模型2()HMM 的基础上，研究了n 阶隐马尔可夫模型的前向、后向算法，Baum —Welch 算法，并导出了n HMM 在单观测序列培训和多观测序列培训两种情况下的参数重估公式。
最后，研究了与观测信息相关的n 阶隐马尔可夫模型()n n HMM ⨯以及混合n 阶隐马尔可夫模型()n MHMM 的Baum —Welch 算法。
论文主要分为五个部分。
第一部分阐述隐马尔可夫模型理论的发展以及国内外研究现状，引出本文的研究背景，然后介绍了一种约束最优化方法。
第二部分主要介绍n 阶隐马尔可夫模型的前向、后向算法。
第三部分首先介绍n 阶隐马尔可夫模型的Baum-Welch 算法，紧跟着给出n 阶隐马尔可夫模型的参数重估公式，最后介绍重估公式的物理含义。
第四部分给出n 阶隐马尔可夫模型在多观测序列培训情况下的参数重估公式。
第五部分给出与观测信息相关的n 阶隐马尔可夫模型以及混合n 阶隐马尔可夫模型的定义及结构，进而研究n n HMM ⨯以及n MHMM 的前向、后向算法，Baum —Welch 算法，并分别推导出了它们的参数重估公式。
关键词：前向、后向算法；Baum —Welch 算法；多观测序列；Baum 辅助函数ABSTRACTThis paper describes the structure of nth-order hidden markov model on condition that observation noise is not independent of the markov chain, and then researches the forward-backward algorithm and the Baum-Welch algorithm of the model, and derives the parametric estimation equations for the model assuming one observable sequence only. Furthermore, nth-order hidden Markov model is trained with multiple observable sequences and several new formulae solving model training problem are derived. Finally , the paper researches the Baum-Welch algorithm of nth-order hidden markov model relation with the observations ()n n HMM ⨯ and mixture of nth-order hidden markov model ()n MHMM .This paper is divided into five parts as follows:The first part describes the development of hidden markov model theory and related research at home and abroad, then introduces the study background of this dissertation. In the end, a kind of constrained optimization method is presented.The second part focuses on the forward-backward algorithm of nth-order hidden markov model.Firstly the third part introduces the Baum-Welch algorithm of nth-order hidden markov model, followed the model parameter estimation equations. Finally it ’s the introduction of the physical meaning of the model.The fourth part derives the parametric estimation equations for nth-order hidden markov model assuming multiple observable sequences.In the fifth part, the paper describes the structures of n n HMM ⨯ and n MHMM , and derives the update parametric estimation equations for these two models according to Baum-Welch algorithm.Keywords: forward-backward algorithm; Baum-Welch algorithm; multiple observable sequences; Baum auxiliary function缩略词南京邮电大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
HMM隐马尔可夫模型解析课件
的颜色为O1，并把球放回缸中 n 根据描述缸的转移的概率分布，随机选择下一口缸，
重复以上步骤。
n 为最观后察得值到序一列个O描。述球的颜色的序列O1,O2, … ，称
HMM实例——约束
在上述实验中，有几个要点需要注意：
n (a)转移矩阵没有零值 的Markov链
n (b)转移矩阵有零值的 Markov链
n (c)和(d)是左-右形式表 示的Markov链
HMM实例
Urn 3 Urn 2 Urn 1
Veil
Observed Ball Sequence
HMM实例——描述
n 设有N个缸，每个缸中装有很多彩球，球的颜色 由一组概率分布描述。实验进行方式如下
的统计特性，即状态转移概率确定；这个 状态产生的输出亦为随机的，取决于该状 态生成语音观察量的概率。
n 无跨越模型符合人类的语音特点，广泛应 用于语音识别中。
n 有跨越用于反映音素在发音中可能被吸收 或删除的情况。
Two types of HMM
n State-emission HMM (Moore machine):
n X(t+1) = f(X(t) ) n 现实中存在很多马尔可夫过程
马尔可夫链
n 时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链
n 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2, …}
n 在时间集T1 = {0,1,2, …}上对离散状态的过程相继观察的结果
n 链的状态空间记做I = {a1, a2, …}, ai∈R.
隐马尔可夫模型 Hidden Markov model
HMM（隐马尔可夫）推导（下）-参数估计（EM）
HMM（隐马尔可夫）推导（下）-参数估计（EM）HMM (隐马尔可夫) 推导 (下) - 参数估计 (EM)回顾 HMM上篇介绍了HMM这样的⼀种时序类模型, 即描述了⼀些观测现象的产⽣, 是由我们很难观测到的 "隐变量因⼦", 产⽣的, 同时这些隐变量因⼦之间的变化也有⼀个状态转移概率的过程.HMM 的推导过程, 也就两个部分, Z 过程 (推断过程) 和 Estimation(参数估计)过程.上篇对于 Z 过程, 有通过类似于枚举法和⼀种 DP (动态规划) 算法来求解最好的 Z, 其前提假设是模型的参数 (初始状态, 状态转移概率矩阵,发射概率) 已知下来求解的. 嗯. 推导思路过程有点类似之前的 XGBoost 算法, 也是先假定, 再推导, 在证明假设前提这样的套路, 过程⼜⽤到了 EM算法来求解.如果我是⾯试官, 问HMM, 这相当于将 EM 和 DP 算法同时问了, 这样的问题就很有质量哦.12⽉底恰好tableau⽼铁跟我分享动态规划,果然数学系就是不⼀样, ⽤爬n阶楼梯来说明, 斐波那契数. DP的核⼼思想就是将问题规模不断缩⼩求解, 不同于递归哈, 后⾯可以单独举个 DP 栗⼦.so, 本篇就来整⼀波, 如何进⾏参数求解.θ=(π,A,B)假设有5个状态, 同样是扔2个硬币π表⽰初始状态, 如: π=[0.8,b,c,d,e]A 表⽰两个状态的转移矩阵; 是⼀个 5x5 的⽅阵B 表⽰发射概率 (隐含规则->观测的概率值); 是⼀个 5x2 的矩阵如果是词性分析, 则矩阵就⾮常⼤了, 如果观测是连续型则需要⽤概率分布来描述了.对于, HMM, 要求解出这3个参数, 主要有两个步骤, 或者说是2个关键点:给定模型的参数, 找出最适合的 Z => Inference (推断过程)估计模型参数的θ => Parameter Estimation (估计过程)Complete VS lncomplete "Z"Z 就是隐变量, X 是对应的观测值.X 已知, Z 已知, 则通过简单的频率统计即可求解出参数X 已知, Z 未知, 则通过 EM 算法求解. (E 步更新发射概率, M 步更新参数值, 这样循环交替直到收敛, 即得参数发射概率就是隐变量 z1 -> x1 (观测值) 的概率. 可参考EM篇的扔硬币, 上帝视⾓, 事先知道试验结果是由哪个硬币产⽣的, 或知道概率. (如第1次是 "正", 我知道有 70% 概率来⾃ A 硬币, 30%概率来⾃ B硬币, 这个概率矩阵 [0.7, 0.3] 就是发射概率)转移概率描述状态之间的变化规律. 如还是扔硬币, 每次对 A, B 硬币的选择策略不同, 如 AAB, ABA ... 的场景, 可通过转移概率矩阵来描述.ps: ⽼铁昨天问我是数论强, 还是分析强...嗯, 我只想说, 作为⽂科⽣(商科), 只是熟练使⽤数学⼯具⽽已....另外想分享⼀点⼯具论, 在我眼⾥, 数学符号, 公式, 代码, 其实本质都是⼀样的, 就是⼀个靠谱的⼯具, ⽬标都是为了对现实世界的另⼀种刻画. 当然世界很⼤, 可以感性认知, 也可理性认知, 探索的过程是其乐⽆穷的. 我感觉⾃⼰内⼼还是⼀个⽂艺青年的特征, 追求内⼼的感受, 也有故作伤春悲秋....不说这些了..Complete "Z"假设有 3个观测样本, Z 是已知时:s1:z : 1, 1, 2, 2, 2, 3x : a, b, a, c, c, bs2:z : 2, 1, 3, 3, 2x : a, a, c, b, as3:z : 1, 1, 3, 2x : b, a, a, c在 z 已知道的这种上帝视⾓下, 求解参数 (初始状态, 状态转移矩阵, 发射概率) 就是词频统计, 然后归⼀化作为概率值 , ⾮常容易的.为了⽅便简单演⽰, 假设样本空间就是上⾯这3个样本, 观测值和其隐变量状态都是已知的.⾸先来估计π (初始状态) 即每⼀个样本(向量 1x3) 的第⼀状态分量的频数统计, (约定先⾏后列哦)状态1状态2状态3频次210然后再归⼀化得到初始状态 (向量) :π=[23,1 3,3]接着来估计 A (状态转移矩阵), 状态与状态间的, 即 3x3 的矩阵. 同时, 状态要横向来看, 统计是先⾏后列--->状态1状态2状态3状态1212状态2121状态3021按⾏进⾏归⼀化即可得到概率 (严格来说, "频率" 应该更适合, 但我们通常都是⽤样本估计总体, 也说得通哈)--->状态1状态2状态3状态12/51/52/5状态21/42/41/4状态30/32/31/3最后来估计 B (发射概率矩阵), 即每个状态下, 每个观测值的概率, 即可 3x3 的矩阵 (统计也是约定, 先⾏后列哈)--->a b c状态1320状态2303状态3121同样按⾏做归⼀化可得到发射概率矩阵 B:--->a b c状态13/52/50/5状态23/60/63/6状态31/42/41/4因此, 在已知 Z 的情况下, 要做的就是直接统计出了模型的参数: 初始概率状态(向量), 状态转移概率 (矩阵), 发射概率 (矩阵). 站在上帝视⾓, 果然爽歪歪. 此处突然想到了基本经济社会问题. 就是, 你所掌握资源越多, 就越有发⾔权, 做事情成功的概率必然很⼤和相对轻松.Incomplete "Z"⽽我们⾝处的现实世界, ⼏乎是没有上帝视⾓的. 它只存在于理论的乌托邦世界. 于是在现世的洪流, 我们通常只是看到观测到的现象, ⽽⽆法得知现象背后的上帝,是如何扔骰⼦的, 即便如此, 我们依旧去进⾏⼀个逼近, 利⽤智慧, 嗯, 说得有⾼⼤上, 这⾥其实就⽤到 EM 算法来进⾏⼀个参数估计即可.(x,z)−简单统计−θ⽽,(x,)−how−θF/B 算法 ( Forward And Backward)就要要计算出p(z k|x) 即在给定 x 的情况下, 可以计算任意时刻状态下的 z 的期望通过 F/B 算法, 可以计算出: p(z k=1|x),p(z k=2|x),....p(z k=m|x)也就是说, 通过观测 X, 计算出了 Z, 然后简单统计则可估计出模型的参数, 再来捋⼀波条件F / B : p(z|x)Forward : ⽤来计算p(z k|x1...k)Backward : ⽤来计算p(x k+1,...n|z k)如何将它们关联起来呢, , 涉及条件概率, 同时也会想到贝叶斯公式呀.p(z k|x)=p(z k,x) p(x)这⾥的 x 表⽰所有的 n 个样本嘛, 因此为了和 F, B 产⽣联系, 可以将 x 进⾏划分 (展开).p(z k,x)=p(z k,x1...k,x k+1...n)=p(z k,x1...k) p(x k+1...n|z k,x1..k)可以省略掉x1...k考虑条件独⽴的情况下, 其对条件概率是没有影响的.=p(z k,x1...k) p(x k+1...n|z k)为啥是条件独⽴成⽴?因为, directional separation 性质: (嗯, 就可理解为条件独⽴的⼀种更⾼级的⼀个性质), ⽤处就是帮助我们来判断多个变量中, 有哪⼀些变量之间, 是有条件独⽴的性质的, 或者是把很多的变量看作⼀个集合.我们在谈条件独⽴的时候, 通常是以单个变量来参照的. 然⽽涉及多个变量, 则需⽤的 D-separation 性质了呀. 嗯....举个栗⼦, 假设我有两波变量, 然后通过 D-separation 性质, 可以帮我们判断, 其中⼀波变量, 是否对其条件概率产⽣了影响. 算是⼀个更加泛化的⼀个条件独⽴性质.在本例中, 我们把 X, 拆分成了x1...k−1,x k,x k+1...n在 D-separation 性质中, x k这个分割点被称为 Block , 如果当存在变量 (可以多个) x - Block - y 且指向关系是 x -> Block -> y 的时候, 则可以认为, x(变量集合) 是条件独⽴于 Block 的. 因此可以省略掉. (具体D-separation 性质证明, 后⾯再补⼀波百度吧, 先⽤上再说)最终p(z k,x)=p(z k,x1...k) p(x k+1...n|z k) 即通过计算 Forward 和 Backward 完成最终求解.重要信息,再重复⼀遍: 我们为了计算p(z|k) 其实只需要计算出 Forward 和 Backward 即可, 这也就是通过 X 计算出了 Z, 从⽽依上 complete 的简单统计, 求解出模型参数然后关如何去定义 Z 的个数, 其实是⼀个超参数, 有点类似于 EM算法中, 最开始 E部的初始值, ⼈⼯可以根据经验来控制的.⼩结然后好像有点⼤篇幅的在弄 F/B 算法, ⽽开篇主要想阐明参数估计的核⼼是 EM算法, 那体现在何处呢? 我们捋⼀波求解参数的过程:⾸先, 我们是要通过在给定 X 的情况下, 求解出 Z 的期望, 这个求解过程⽤到了 F/B 算法;其次, 我们通过已知 (X, Z) 来求解出了参数θ这, 不就是 EM 算法的 E步和 M 步了呀.最后, 其实还遗留了⼀个问题, 就是如何求解 F/B 嗯, 想⼀波先. 框架是没问题了, 这就跟写代码⼀样, 逻辑结构, 模块划分已经搭起来了, 然后就是慢慢去找别⼈的代码来复制粘贴的过程, 先想⼀波哈.Processing math: 100%。
故障诊断领域中的隐马尔可夫模型参数估计
故障诊断领域中的隐马尔可夫模型参数估计隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种常用于建模和解决序列数据问题的统计模型。
在故障诊断领域，HMM被广泛应用于故障识别和预测，通过对系统状态和观测数据进行建模和分析，实现对系统故障的诊断和预测。
HMM由状态空间、观测空间、状态转移概率、观测概率和初始概率组成。
在故障诊断中，状态空间表示系统的可能状态，观测空间代表可以观测到的系统输出。
状态转移概率描述了系统在各个状态之间的转移概率，观测概率表示给定状态下观测到某个输出的概率，初始概率表示系统初始状态的概率分布。
在实际应用中，参数估计是构建HMM模型的关键步骤之一。
参数估计的目的是通过观测数据来估计HMM模型中的参数值，从而使模型更加准确地反映实际系统的行为。
常用的参数估计方法包括最大似然估计（MLE）和期望最大化（EM）算法。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它的基本思想是选择使得给定观测数据出现概率最大的参数值。
在故障诊断中，最大似然估计可以通过计算给定参数下观测数据序列出现的概率，并选择使该概率最大化的参数值。
该方法需要计算模型的状态转移概率和观测概率，可以通过统计观测数据序列中各个状态之间的转移次数和观测值出现的次数来进行。
然后根据统计结果，计算状态转移概率和观测概率的估计值。
最大似然估计方法的优点是简单易用，但它对于初始状态的估计比较困难。
期望最大化算法是另一种常用的参数估计方法，它可以同时估计HMM模型中的状态转移概率、观测概率和初始概率。
期望最大化算法是一种迭代算法，它通过多次迭代计算模型的期望值和最大化值来估计参数。
在每次迭代中，通过前向-后向算法计算观测数据序列出现的概率，并计算每个状态在每个时刻的后验概率。
然后，根据这些后验概率，更新模型的参数值。
通过多次迭代，可以逐渐改善参数的估计结果，使模型更加准确。
除了最大似然估计和期望最大化算法，还有其他一些用于HMM参数估计的方法，如贝叶斯估计和最大后验概率估计。
高斯隐马尔可夫模型em算法
高斯隐马尔可夫模型em算法
EM算法（Expectation Maximization）是一种优化迭代策略，特别适合于数据集不完全的情况。
在高斯隐马尔可夫模型（Gaussian Hidden Markov Model, GHMM）中，EM算法被用于估计模型的参数。
在EM算法中，有两个主要的步骤：E步（Expectation Step）和M步（Maximization Step）。
在E步中，根据已经观测的数据，估计出模型的参数。
具体来说，对于高斯隐马尔可夫模型，E步会计算给定观测数据和当前参数值下隐藏状态的概率。
在M步中，使用在E步中得到的参数估计值来重新估计缺失的数据。
对于
高斯隐马尔可夫模型，M步会最大化关于观测数据的对数似然函数。
这两个步骤会反复进行，直到模型的参数收敛。
具体的算法步骤如下：
1. 随机初始化模型的参数的初值，设置最大迭代次数，输入观测数据X，联合分布p(x,z)，条件分布p(zx)。
其中z是观测不到的数据，x是可以观测的数据。
2. 进行E步骤：求解期望值。
如果是高斯混合模型，求解条件分布p(zx)的期望值。
3. 进行M步骤：极大化对数似然函数。
求导等于0即可，可以得到相应的参数。
如果是高斯混合模型，则公式如下：θ^MLE = arg max θ
P(X∣θ)θ^MLE=θargmaxP(X∣θ)。
4. 重新代入求解，如果目标参数收敛则可以退出。
以上内容仅供参考，建议查阅高斯隐马尔可夫模型的相关书籍或者咨询数学领域专业人士获取更准确的信息。
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隐马尔可夫模型参数估计
隐马尔可夫模型参数估计是指在隐马尔可夫模型中，根据观
测数据估计模型参数的过程。
隐马尔可夫模型是一种概率模型，
它用来描述一个隐藏状态序列的概率分布，它可以用来描述一个
隐藏状态序列的概率分布，以及它们之间的转移概率。
隐马尔可
夫模型参数估计是一个复杂的过程，它需要根据观测数据来估计
模型参数，以便更好地描述隐藏状态序列的概率分布。
隐马尔可夫模型参数估计的方法有很多，其中最常用的是最
大似然估计法。
最大似然估计法是一种概率模型参数估计的方法，它的基本思想是，根据观测数据，求出使得观测数据出现的概率
最大的模型参数。
另外，还有一些其他的参数估计方法，比如最
小二乘法、最小化KL散度等。
隐马尔可夫模型参数估计的结果可以用来描述隐藏状态序列
的概率分布，以及它们之间的转移概率。
此外，它还可以用来预
测未来的状态，以及推断未知的状态。
因此，隐马尔可夫模型参
数估计是一个非常重要的过程，它可以帮助我们更好地理解隐藏
状态序列的概率分布，以及它们之间的转移概率。