导数在不等式证明中的应用
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题
导数在解决不等式问题中起着非常重要的作用，利用导数可以轻松地证明和解决各种
不等式问题。
本文将通过一些具体的例子，来展示导数在不等式问题中的应用。
我们来看一个简单的例子：证明当x>0时，e^x\geq1+x。
我们可以利用导数来证明这
个不等式。
我们计算e^x和1+x的导数，分别为e^x和1。
然后我们发现e^x-1\geq x，这意味着在x>0时，e^x\geq1+x。
这样就利用导数证明了这个不等式。
除了证明不等式，我们还可以利用导数来解决不等式问题。
我们要求解不等式
x^2-5x+6>0。
我们可以通过求解x^2-5x+6的导数来判断x^2-5x+6的增减性。
首先求导得
到2x-5，然后令2x-5=0，解得x=\frac{5}{2}。
这说明在x<\frac{5}{2}时，x^2-5x+6<0，而在x>\frac{5}{2}时，x^2-5x+6>0。
不等式x^2-5x+6>0的解集是x<\frac{5}{2}或
x>\frac{3}{2}。
第三讲 导数的应用--不等式证明(教师版)
【答案】
f
( x)
1 x 1
1
x x 1
∴当 1 x 0 时， f (x) 0 ，即 f (x) 在 x (1,0) 上为增函数
当 x 0 时， f (x) 0 ，即 f (x) 在 x (0,) 上为减函数
故函数 f (x) 的单调递增区间为 (1,0) ，单调递减区间 (0,)
1
【答案】B
解析：设 gx
f x ， gx
x
f xx
x2
f x 0 ，函数 gx 是单调递减函数，那么定
义在 0, 上的函数，不等式 f x xf 1 等价于 f x f 1 0 x 1 ，解集为
x1
0,1 ，故选 B.
【变式 1-3】函数 f (x) 的导函数为 f '(x) ，对 x R ，都有 f '(x) f (x) 成立，若 f (2) e2 ，
3
题型二：利用导数证明不等式 方法一：主要是移项法构造函数，通过利用导数研究函数的性质求函数的最值证明不等式
在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该 函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明 转化到求函数的最值上来.
2
【例 2】已知函数 f (x) ln(x 1) x ，求证：当 x 1时，恒有1 1 ln(x 1) x x 1
∵ f (2) e2 ，∴ g2 1，∴ x 2 ，故选：A．
【变式 1-4】已知定义域为 R 的偶函数 f x ，其导函数为 f x ，对任意 x 0, ，
均满足：xf x 2 f x ．若 g x x2 f x ，则不等式 g 2x g 1 x 的解集是（ ）
浅析导数在不等式证明中的应用
浅析导数在不等式证明中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它可以证明许多数学定理，也是很多学科研究的基础。
比如，在做不等式证明时，导数会保证证明的连贯性和有效性。
误差分析和最优化问题是数学研究中常常遇到的问题，解决这些问题的关键在于找到较好的函数，以便评估结果的可靠性。
一个函数对于给定的变量可以描述为一个函数模型，那么我们可以利用导数来推测变量之间的关系，其中，导数也可以证明不等式定理。
在不等式领域，可以借助导数分析函数的变化情况，找出函数拐点或者极值，以证明不等式定理。
此外，导数也可以用来证明概率采样的中心极限定理，以及熵的最小值定理。
更重要的是，导数还有助于优化不等式的解，例如证明梯度下降优化算法最优解是全局最优解，以此来满足最优性原理要求。
总之，导数是研究数学问题中一个不可缺少的重要概念，它在不等式证明中的作用是非常重要的。
特别是，根据导数的微分性质，可以衡量函数变化的快慢，从而有效解决不等式证明问题。
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用摘 要本文归纳、介绍了用导数证明不等式的几种证明思路和证明方法.使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题.关键词 导数; 不等式; 函数在数学学习中,不等式是证明定理与公式的工具,不等式的证明又蕴涵着许多数学做题的技巧.其证明方法有很多且难易不同,所用技巧也不相同.结合对微分学的学习发现导数在不等式的证明中有着广泛的应用.本文我们就导数在不等式证明中的应用作以下五方面的归纳,分别介绍具体的证明思路和证明方法.1 利用函数单调性证明不等式该方法使用于某区间I 上成立的函数不等式,一般地,证明区间I 上的不等式()()f x g x >时,可以选择()()()F x f x g x =-作为辅助函数.对()F x 求导，判断()F x '是大于0或小于0,判定()F x 的单调性,从而证明不等式.定理 [1]1 设函数)(x f 在区间I 上可导,则)(x f 在I 上递增（递减）的充要条件是()0(()0)f x f x ''><.例1 设0>x ,证明不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-成立. 证明 令2)1ln()(xx x x f +-+=,显然.0)0(=f 当0>x 时,有 01111)(2>+=+-+='xx x x x f从而)(x f 在),0(+∞内严格递增,又)(x f 在0=x 处连续,所以,当0>x 时,.0)0()(=>f x f即 .2)1ln(2x x x ->+ （1） 设)1(2)1ln()(2x x x x x g ++-+=,则0>x 时,0)1(2)1(2)1(2111)(2222<+-=+-+⋅+-+='x x x x x x x x g 所以)(x g 在),0(+∞内递减,又)(x g 在0=x 处连续,故0>x 时,有0)0()(=<g x g即 )1(2)ln(2x x x x +-<（2）由（1）、（2）可知,当0>x 时,有)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-. 注 构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的.为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形.2 利用函数的极值证明不等式此法使用范围也是在某区间上成立的不等式,这里所作的辅助函数()F x 比较的不是函数的端点,而是极值和最值.定理]1[3 设函数)(x f 在点0x 连续,在某邻域),(00δx U 内可导,)1(若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则)(x f 在点0x 取得极小值.)2(若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则)(x f 在点0x 取得极大值.定理]1[4 设函数)(x f 在0x 的某邻域),(0δx U 内一阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .)1(若0)(0<''x f ,则)(x f 在0x 取得极大值. )2(若0)(0>''x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.例3 证明：121-p ≤p p x x )1(-+≤1.,10≤≤x 1>p .分析 由待证不等式建立辅助函数,当)(x f 在定义域内可导时,只须解方程()0f x '=得出稳定点,再对每个稳定点应用定理3或定理4判定是否为极值点,求出极大（小）值,再借助函数的单调性证明不等式成立.证明 引入辅助函数)(x f =ppx x )1(-+,则有])1([)(11----='p p x x p x f ,求得稳定点21=x , 又0)1()[1()(]22>-+-=''--p p x x p p x f故21=x 是)(x f 在)1,0(的唯一极值点,且有极小值121)21(-=p f ,而1)1()0(==f f 为)(x f 在]1,0[上最大值,于是有121-p ≤p p x x )1(-+≤1.例4 设12ln ->a 为任一常数,试证：当0>x 时，xe ax x <+-122. 证明 当0>x 时,取2()21xf x e x ax ≡-+-.因0)0(='f ,所以只要证明当0>x 时022)(>+-='a x e x f x,或0)(min 0>'>x f x令 02)(=-=''xe xf ,解得稳定点 2ln =x 当2ln <x 时,0)(<''x f 2ln >x 时,0)(>''x f所以,2ln =x 是)(x f 的最小值点.即有 a f x f x 22ln 22)2(ln )(min 0+-='='>02)2ln 1(2>+-a 故 当0>x 时,xe ax x <+-122成立.注 利用最值证明不等式,如果函数()()()F x f x g x =-在I 上不是单调函数,要证在I 上有()()f x g x ≥成立,不妨证明()F x 在I 上的最小值0()0F x ≥；要证在I 上有()()f x g x ≤成立,不妨证明()F x 在I 上的最大值0()0F x ≤.4 利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论.定理]6[5 )(x f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--. 例5 利用)(x f ln x =-(0)x >是凸函数,证明：1212nnx x x λλλ≤ 1122n n x x x λλλ+++ .其中0i x >,0i λ>,11nii λ==∑.证明 因为)(x f ln x =-(0)x >是凸函数,所以詹森不等式11()()nni iiii i f x f x λλ==≤∑∑成立.即 1122ln()n n x x x λλλ-+++ ≤1122[ln ln ln ]n n x x x λλλ-+++1122ln()n n x x x λλλ-+++ ≤1212ln()n n x x x λλλ-亦即 1122ln()n n x x x λλλ+++ ≥1212ln()n n x x x λλλ从而 1212nnx x x λλλ≤ 1122n n x x x λλλ+++注 如果)(x f 是I 上凸（凹）函数,那么由定义,对于I 上的任意两点1x ,2x 总有12121212()()()()()(())2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥, 所以只需证明)(x f 在I 上是凸（凹）函数即可证上述不等式.6 利用两导数的不等性证明不等式使用该方法，可以有待证不等式建立两个再端点值相等的函数，比较两函数导数的大小 ，应用下面定理证明不等式.定理]4[7设函数(),()f x g x 满足:（1）在区间[,]a b 上可导;（2）在半开区间(,]a b 上有,()()f x g x ''>; （3）()()f a g a =, 则,在[,]a b 上,有()()f x g x >.证明 设()()()F x f x g x =-,则在[,]a b 上,有()()()0F x f x g x '''=->因而，()F x 是(,]a b 上的增函数另一方面,()()()0F a f a g a =-=,且lim ()()0x a F x F a +→==,故()F x 在[,]a b 上递增且()0F a =于是,当(,]x a b ∈时,(,]x a b ∈,即()()f x g x >.此定理具有明显的几何意义:如果曲线(),()y f x y g x ==,都过一点(,())M a f a ,且当a xb <≤时,曲线()y f x =的切线斜率大于曲线()y g x =的切线斜率,则曲线()y f x =必在曲线 ()y g x =的上方.类似地可以得到定理]3[8 设函数(),()f x g x 满足: （1）在区间[,]a b 上可导;（2）在半开区间[,)a b 上,有()()f x g x ''<; （3）()()f b g b =, 则, 在[,]a b 上,有()()f x g x >.例8 证明3sin 6x x x ->. (0)x <证明 设3(),6x f x x =- ()sin g x x =,显然(0)(0)f g =,对(),()f x g x 求导得，2()12x f x '=-,()cos g x x '=为在(,0)-∞上判断()f x '与()g x '的大小,在求一次导数,得()f x x ''=-，()sin sin()g x x x ''=-=-因0x <，即0x ->，故sin()x x ->-.又因为(0)(0)1f g ''==,在(,0)-∞上应用定理7即知()()f x g x ''<,再在(,0)-∞上应用定理7,知()()f x g x >，即3sin 6x x x -> (0)x <.以上介绍了六种应用导数证明不等式的方法,并且举例说明了其证明思路及方法,体现了导数在证明不等式中的应用,关于文献[5]、[7]、[8]、[10]中给出的方法对于知识理论研究具有十分重要的价值.证明不等式的方法有很多种,在这里只介绍了其中的六种方法,对于文献[9]中的介值性的应用，其用来证明不等式的应用还有待于研究.在证明不等式中，通常需要根据待证不等式构造辅助函数,然后借助导数知识分别利用相应的方法去证明,许多情况下可以应用多种方法综合地进行证明.参考文献[1] 华东师范大学数学系.编数学分析上册[M]. 北京: 高等教育出版社,2001,119-156.[2] 裴礼文.数学分析内容、方法与技巧[M].（上）北京: 高等教育出版社,1993,170-205.[3] 邵剑等.大学数学考研专题复习[M]. 北京: 科学出版社,2001,300-309.[4] 周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报,2000,39(3):107-111.[5] 赵朋军.用导数证明不等式[J].商洛师范专科学校学报,2005,19(1):96-98.[6] 刘绛玉,郝香芝,陈佩宁.不等式的证明方法[J].石家庄职业技术学院学报,2001,16(6):39-41.[7] 刘恒群.用导数研究不等式[J].宁夏工学院学报,1997,9(1):63-64.[8] 梁俊平.导数在不等式证明中的应用[J].龙岩师专学报,1997,15(3):167-170.[9] 苏农.关于导数的介值性的简单应用[J].高等数学研究,2006,9(5):55-56.[10] 尚肖飞,贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法[J].太原教育学院学报,2002,20(2):35-37.。
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用齐雨萱高中数学学习中，不等式是研究各项数学问题的基础工具，不等式证明是一种常见数学题型，也是同学们较为头疼的数学题型之一，要想提高自身的不等式证明准确率和效率，就必须充分掌握运用导数理论展开科学解题，导数理论证明不等式是最为高效和基本的一种解题方法，合理利用导数工具进行不等式实践证明，能够有效将不等式证明过程从困难转化为简单，帮助自身建立起更好的数学自信心，并提高数学解题综合能力。
本文将对导数在不等式证明中的应用展开分析与探讨，为不等式证明过程提供一定借鉴与参考。
1 合理运用导数单调性证明不等式在实践计算函数某个区间导数最大值或者小于0时，可以通过合理运用导数单调性展开科学高效证明。
首先，必须准确计算出该函数在此区间中表现出来的递减或者递增过程，这样才能够顺利证明不等式问题。
在日常证明数学不等式过程中，要学会结合不等式的不同特点，合理运用不同形式构造出对应的函数，同时科学采用导数工具去证明出实际构造出函数的单调性，这样一来就能够根据函数单调性特征去完成对该不等式的有效证明，提高整个证明解题过程的效率。
通过去科学准确判断出函数单调性，就可以比较出区间大小，同时在该区间中融入不等式，有效将不等式与函数结合在一起，除此之外，要正确认识到利用导数单调性进行证明不等式能够为自身提供极为实用的解题思路，无论是多复杂的曲线，往往只需要经过两个步骤就可以实现对不等式题目的高效准确证明。
这两个解题步骤是先将不等式与函数有机结合起来，接着准确判断出该函数在对应区间的单调性。
比如，当遇到这个问题时，已知X〉0,证明X-X2/2-1N （1+X）〈0，我们在证明这个不等式的时候，可以合理利用导数单调性去进行有效证明。
在相应单调区间内，通过判断函数是递减还是递增去得出该不等式是否成立。
证明解题步骤如下所示：假设函数f(X)=X-X2/2-1N（1+X）(X〉0),则f （X）=X-X2/2，当X〉0时，f（X）〈0，这样我们就能够准确判定出f（X）在X〉0区间中该函数是一种递减的发展趋势，X=0可以去除函数的最大值，通过f（X）〈f(0)有效证明出f（X）〈0成立，并且也能够准确证明出X-X2/2-1N（1+X）〈0是成立的。
导数在证明不等式中的有关应用
导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。
具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。
例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。
通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。
因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。
因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。
进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。
因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。
2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。
其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。
考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。
如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。
这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。
我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。
因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。
根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。
例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用在数学中，导数是一种评估函数变化速度的工具。
它可以用于证明不等式，特别是在优化问题中非常有用。
本文将探讨导数在不等式证明中的应用，并通过例子来说明其重要性。
在证明不等式时，我们通常需要使用比较函数值的差异来推断函数的相对值。
导数的主要作用是帮助我们研究函数的增减性质，进而推导出不等式。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设我们需要证明当$x>0$时，函数$f(x) = \ln(x)$是递增的。
我们可以通过求导来证明。
首先，求导$f'(x)$：$$f'(x) = \frac{1}{x}$$我们可以发现，$f'(x)>0$对于$x>0$始终成立。
这意味着函数$f(x)$在该区间是递增的。
因此，我们可以得出结论：当$x>0$时，函数$f(x) = \ln(x)$是递增的。
这个例子展示了导数在证明函数性质中的应用。
接下来，我们将探讨导数在不等式证明中的更广泛应用。
一种常见的应用是利用导数研究函数的凹凸性质。
如果一个函数在一些区间上是凹的，那么它的导数在该区间上是递增的。
反之，如果函数在一些区间上是凸的，那么它的导数在该区间上是递减的。
考虑一个例子：证明函数$f(x)=x^2$在$x>0$时是凹的。
首先，求导$f'(x)$：$$f'(x)=2x$$然后，求二阶导数$f''(x)$：$$f''(x)=2$$我们可以看到$f''(x)>0$，对于$x>0$恒成立。
这意味着函数$f(x)$在该区间上是凹的。
因此，我们可以得出结论：当$x>0$时，函数$f(x)=x^2$是凹的。
这个例子显示了利用导数来证明函数的凹凸性质的方法。
凹凸性质在不等式证明中非常有用，因为它可以帮助我们推断函数值的大小关系。
另一个应用是利用导数求解优化问题中的最值。
如果一个函数在一些点处取得极小值，那么它的导数在该点处为零或不存在。
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
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导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。
不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。
其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。
导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。
不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。
本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。
这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。
对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。
一、利用导数的定义证明不等式定义 设函数()f f x =在点0x 的某领域内有定义,若极限()()000limx x f x f x x x →-- 存在 则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x 令 0x x x =+∆，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则上式可改写为()()()00'000limlim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx∆∆的极限。
这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数()'0f x 则为f 在0x 处关于x 的变化率。
以下是导数的定义的两种等价形式：（1）()()()0'00limx x f x f x f x x x →-=-（2）()()()0'00lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆例1: 设()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =+++，并且()sin f x x ≤，证明：1221n r r nr +++≤证明 ()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =++，可得出()00f =，因为 ()'12cos 2cos2cos n f x r x r x nr nx =+++,则 ()'1202n f r r nr =+++又由导数的定义可知()()()()000limlim lim0x x x f x f f x f x x x x→→→-==- ()'0sin 0lim1x xf x→=≤= 所以 ()'01f ≤， 即可得 1221n r r nr +++≤.例2、 已知函数()21ln 2f y y y =+，求证: 22211,ln 32y y y y >>+. 分析 令()2221ln 32h y y y y =--，(1,)y ∈+∞，因为()1106h =>,要证当1x >时，()0h x >,即()()10h x h ->,只需证明()h y 在(1,)+∞上是增函数。
证明 令()2221ln 32h y y y y =--，则()'212h y y y y =--，因为 当1y >时, ()322'21(1)(21)0y y y y y h y y y---++==> , 所以()h y 在(1,)+∞上是增函数， 就有()()1106h y h >=>,3221ln 032y y y -->，即可得22211,ln 32y y y y >>+.注:证明方法为先找出0x ，使得()'0y f x =恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。
二、利用微分中值定理证明不等式证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商()()f b f a b a --或()()()()f b f ag b g a --的不等式，则可尝试利用中值公式()()()'f b f a f b aξ-=-或者 ()()()()()()''f b f a fg b g a g ξξ-=- 并做适当的放缩到待证不等式中 1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 若函数满足如下条件: (i)f 在闭区间[a,b]上连续； (ii)在开区间(a,b)内可导， 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得()()()'f b f a f b aξ-=-例3、 证明对一切1h >-,0h ≠成立不等式()ln 11hh h h<+<+ 证明 设()()ln 1f x x =+，则()()ln 1ln 1ln11hh h hθ+=+-=+，01θ<< 当0h >时，由01θ<<可推知111h h θ<+<+，11h h h h hθ<<++ 当10h -<<时，由01θ<<可推得1110h h θ>+>+>,11h h h h hθ<<++ 从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2．使用柯西中值定理证明不等式 定理 设函数f 和g 满足 (i)在[a,b]上都连续； (ii)在(a,b)内都可导；(iii)()'f x 和()'g x 不同时为零； (iv)()()g a g b ≠，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()''f f b f a g g b g a ξξ-=- 例4、证明不等式()arctan ln 11yy y+>+ (0)y > 分析 该不等式可化为()()1ln 11arctan y y y++> (0)y >可设 ()()()1ln 1f y y y =++，()arctan g y y =，注意到()()000f g ==，故可考虑对()()()()00f y f g y g --使用柯西中值定理证明 如上分析构造辅助函数()f y 和()g y ，则对任意0y >，由柯西中值定理，存在(0,)y ξ∈，使得()()()()()()1ln 10arctan 0y y f y f y g y g ++-=-()()''21ln(1)11f g ξξξξ++==+ 2[1ln(1)](1)1ξξ=+++>.三、利用函数的单调性证明不等式证明思路 首先根据题设条件及所证不等式，构造适当的辅助函数()f x ，并确定区间[a,b]；然后利用导数确定()f x 在[a,b]上的单调性；最后根据()f x 的单调性导出所证的不等式.1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式 例5 证tan 2sin 3y y y +≥，其中[0,)2y π∈分析 欲证()()()f y f a a y b ><≤，只要证()f y 在[a,b]上单调递增，即证'()0f y >即可．若'()f y 的符号不好直接判定，可借助于''()f y ，以至于3()f y 进一步判定. 证明 令()tan 2sin 3f y y y y =+-，则 ()'2sec 2cos 3f y y y =+-，()()''32sin sec 1f y y y =-于是[0,)2y π∈时，()''0f y >，有()'f y 单调增加所以()()''00f y f >=,有()f y 单调增加，可推得()()00f y f >=， 即tan 2sin 3y y y +≥.2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 例6、已知,b c R ∈,e b <，求证：c b b c >为(e 自然对数的底) 证明 设()ln ln ()f x x b b x x b c =->>则 ()'ln bf x b x =-，就有 b e >，x b >因为 ln 1b >,1bx <,所以 ()'0f x >，则()'f x 在(,)e +∞上递增；又因c b >，所以()()f c f b >，就有ln ln ln ln 0c b b c b c b c ->-= 从而有ln ln c b b c >， 即c b b c >.注: 对于一些不易入手的不等式证明, 可以利用导数思想,先通过特征不等式构造一个函数, 再判定其函数单调性来证明不等式成立,这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。
构造辅助函数有以下几种方法:1.用不等式的两边“求差”构造辅助函数；2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数；3.根据不等式两边结构构造“形似”辅助函数；4.如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.四、利用泰勒公式证明不等式证题思路 若()f x 在(a,b)内具有(n+1)阶导数，0(,)x a b ∈，则()()()()'000f x f x f x x x =+-+()()''2002!f x x x -++()()()()()()11000!1!n n nn f x f x x x x n n ξ++-+-+其中ξ介于0x 与x 之间．例7、 设()f y 在[0,1]上二阶可导，()()010f ==,且()[0,1]max 1y f y ∈=，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()''8f y ≤-.证明 因()f y 在[0,1]上二阶可导，故在[0,1]上连续, 据最值定理，必(0,1)c ∃∈使得()f c 为最大值，即()f c =1，且有()'0f c =. 而()f y 在y =1的一阶泰勒展式为()()()()()()''2'2f f y f c f c y c x c ξ=+-+-，其中ξ介于c 与y 间分别在上式中令01y y ==与得()()''2111010,(0,)2f f c c ξξ=+=∈，()()()2''2211110,(,1)2f f c c ξξ=+-=∈. 故当1(0,]2c ∈时，()''1228f cξ=-≤-，当1(,1)2c ∈时, ()()''22281f c ξ=-<-- ， 所以存在12()(0,1)ξξξ∈或,使得()''8f y ≤-.注: 用泰勒展式证明不等式的方法是将函数()f x 在所给区间端点或一些特点( 如区间的中点，零点) 进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。