三角形的证明及旋转专题.docx
全等三角形-全等三角形与旋转问题
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．知识点睛中考要求全等三角形与旋转问题【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心( )．A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到G FE D C BA重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对KGFEDC BA【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．M D NEC BFA【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【补充】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【例8】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例9】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例11】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例12】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BA【例13】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化M N CBA【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ． ⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【例14】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【例15】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60︒的MDN∠，点M、N分别在AB、AC上，求AMN∆的周长．NMD CBA【例16】在等边ABC∆的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC∆外一点，且60MDN∠=︒，120BDC∠=︒，BD CD=，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN∆的周长与等边ABC∆的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时QL=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BE+FD;FEDCBA(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCBA【例17】平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．FE DC B【例18】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD∆也是等边三角形．EKHCDBA【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =GHFMEDBA【补充】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．OGFEDCA【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．EDCBA【例21】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBA【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．ABCDE【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．月测备选DFEC AB。
初中数学：利用旋转证明三角形全等综合证明题专题
已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD=BC ，△ABD ≌△E BC 吗？为什么？如图，已知ΔABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，B F=AC ， ∠CAG=∠F ，请你判断AG 与AF 是否相等，说明理由。
如图，∠A ＝∠B ，∠1＝∠2，EA ＝EB ，你能证明AC ＝BD 吗？∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，D 、A 、E 在一条直线上．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．已知：∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．ABCDE1 2两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90∘，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(2)证明：DC⊥BE.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,点D. F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90∘后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数。
如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F. 求证：PM=QM.如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB，MD. (1)求证：BE=DC；(2)求证：∠MBE=∠MDC如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE 于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE 的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF，（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD 间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．。
三角形的证明及旋转专题
三角形的证明及旋转专题一、选填：1．△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4B．4或5C．5或6D．62．（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，△BAC=54°，点D为AB中点，且OD△AB，△BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将△C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C 与点O恰好重合，则△OEC为度．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．4．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．5．如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标．6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．7．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．二、解答题：8．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．（1）求证：①△BCG△△DCE；②BH△DE．（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．类比变换：9.（大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC△KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．如图1，△ABC与△DEF中，AB=AC，D为BC的中点，△EDF+△BAC=180°，直线DF、DE 分别交直线AB、AC于点P、Q．（1）如图2，△BAC=60°，猜想BP+QC与BC的关系，并说明理由；（2）当△BAC=120°，BP+QC与BC的关系为；10．（仙桃）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI．旋转：11.在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：．活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，△BAD=△C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE△BC，垂足为点E，求AE的长．小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：．AE的长是．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB△AD，CD△AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．12.（宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且△GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD△BC（BC＞AD），△B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且△DCE=45°，BE=4，求DE的长．13．（高淳县）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M△△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．14．（江西模拟）课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD 中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形任务要求：（1）请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD中，△EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，△EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2（2）现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．15．（高港区）如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；（2）在旋转的过程中，当△BEA=120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转15°，请直接写出DQ的长；（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）16.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF△BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．函数关系类：17.如图1，已知△ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B 不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．（1）如图2，当BP=BA时，△EBF=°，猜想△QFC=°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想△QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．动点中的等腰三角形：18.如图（1），Rt△AOB中，，△AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON 以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．。
旋转证明专题 好
旋转证明1.三角形与旋转例1.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝0150，∠BOC=0120.问：AO 、BO 、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。
(变式).已知：△ABC 是等腰三角形，∠APB=∠APC.求证:PB=PC例2. .如图○1,△ABC 是等边三角形,四边形BDEF 是菱形,其中DF=DB,连结AF,CD.（1）观察图形○1,猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转,使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.1.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=2,BO=1,CO=3,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？2.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP •为边作∠PBQ ＝60°，且BQ ＝BP ， 连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC ＝3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．3.如图，点D 为等边△ABC 外一点，030=∠ADC ,AD=4,CD=3，求BD 的长。
ABCDACB DFE ○1 ACB ○2BAODCE图2 CBO D 图1AE4.如图，△ABC 、△DEC 均为等边三角形，点M 为线段AD 的中点，点N 为线段BE 的中点， 求证：△CNM 为等边三角形。
旋转的证明与计算(等边三角形)
旋转的证明与计算模块一：旋转应用之等边旋转类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于考点：旋转的性质；正方形的性质分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以211121=⨯⨯=∆APE S ；293321=⨯⨯=∆CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422121=⨯⨯=⨯⨯=∆EF EP S PEF 最后利用S 正方形A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．跟踪训练：2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3少度？考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，2AP′=AP=2，P′C=PB=3，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC．2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC ，根据相似三角形的判定定理得到△AMD ∽△CDN ，有相似的性质得到AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，然后把DC=AD=2代入计算即可；（2）分别过D 点作DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，连DB ，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=3，由AM=x ，得CN=x 4，MB=4-x ，BN=x44 ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN ，则y=S △D B M +S △D B N ，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x 的取值范围为1＜x ＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M 点在线段AB 的延长线上，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，BP=21DH=1，由△AMD ∽△CDN ，则AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，可计算出CN ，然后根据三角形的面积公式可计算出S △D P N ，即两块三角形板重叠部分的面积．3、如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．（1）请你借助旋转知识说明AM≤BM+CM；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的性质．分析：（1）应把AM和BM所在的三角形旋转，与AM组成三角形，将△BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得△BM′A，易得△BMM′为正三角形，根据三角形三边关系即可证明．（2）由（1）得线段AM存在最大值，M′在AM上时4、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP1，连结P1C．（1）判断△APB与△AP1C是否全等，请说明理由；（2）求∠APB的度数；（3）求△APB 与△APC的面积之和；（4）直接写出△BPC的面积，不需要说理．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．分析：（1）根据正三角形的性质求出AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质可得AP1=AP，然后求出∠CAP1=∠BAP，再利用“边角边”证明△APB与△AP1C全等即可；（2）连结PP1，求出△PAP1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP1=AP=3，∠AP1P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP1P=90°，然后计算即可得解；（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP1的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解；（4）同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．参考答案：1、解：四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，∴∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°，而∠ADC=90°，∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，2、3、解答：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，∴∠A=∠C=∠EDF=60°，∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，∴∠AMD=∠NDC，∴△AMD∽△CDN，∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，而D点为AC的中点，∴DC=AD=2，∴AM•CN=4；（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，∴AP=CQ=1，∴DP=DQ=3，∵BD为等边三角形的高，∴点D到EF的距离为DB，∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，在图（1）中，AM=1，∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；（3）当M 在线段AB 上，BM=2时，x=4-2=2，当M 点在线段AB 的延长线上，如图（备用图），过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，∴DH=21BC=2，BH=2， ∵BM=2，∴BP=21DH=1，与①一样可证得△AMD ∽△CDN ， ∴AM ：DC=AD ：CN ，即AM •CN=DC •AD ，4、解答：（1）将△BMC 绕B 点逆时针方向旋转，使C 点与A 点重合，得△BM ′A ， ∵∠MBM ′=60°，BM=BM ′，AM ′=MC ．∴△BMM ′为正三角形．∴MM ′=BM ．①若M ′在AM 上，则AM=AM ′+MM ′=BM+MC ，②若M ′不在AM 上，连接AM ′、MM ′，在△AMM ′中，根据三角形三边关系可知：AM ＜AM ′+MM ′，∴AM ＜BM+MC ，综上所述：AM ≤BM+CM ；（2）线段AM 有最大值．当且仅当M ′在AM 上时，AM=BM+MC ；存在的条件是：∠BMC=120°．5、解答：解：（1）∵△ABC 是正三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵线段AP 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AP 1，∴AP=AP 1，∠PAP 1=60°，∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，∠CAP 1+∠PAC=∠PAP 1=60°，∴∠BAP=∠CAP 1，∵在△APB 与△AP 1C 中，∴△APB≌△AP1C（SAS）；（2）连结PP1，∴AP=AP1，∠PAP1=60°，∴△PAP1是等边三角形，∴PP1=AP=3，∠AP1P=60°，∵△APB≌△AP1C，∴CP1=BP=4，∵CP=5，∴PP12+CP12=CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，∴∠APB=∠AP1P+∠CP1P=60°+90°=150°；。
旋转型相似三角形(经典)
B' E
B D C
A'
A
课后思考题
2、如图，在等边ΔABC和等边ΔA’B’C’中，点O既是 AC的中点，也是A’C’的中点，则AA’：BB’= 。
1 2 3
A C' A' O B' C
B
课后思考题
3、如图，已知在ΔABC中，把ΔABC绕点C旋转，使A落在 A’，B落在B’处，若A’在AB边上，你能找出图中所有的 相似三角形吗？
A C' B B' C
“旋转型”相似三角形的应用
2、如图，在ΔABC中，AB=AC，D为线段AB上一 点，作ΔEDC∽ΔABC，连接AE，求证：AE//BC。
A D B
E
C 备注
“旋转型”相似三角形的应用
1、 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知 点B、C、E在同一直线上，连结DE和AF，交于点P。 AF 求 的值。 DE D 1 A
"旋转型"相似三角形
—相似三角形基本图形专题复习
A
1 2
E
C B D
绍兴市柯桥区马鞍镇中学
周峰
A D
如图，在 Δ ABC中， ∠ ADE=∠ B，则图中相似 的三角形是 。 AD, AB, A E, A C 四条线段有 怎样的大小关系？
完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型
一•旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点0沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点0称为旋转中心，转动的角称为旋转角；二•旋转的性质（1 ）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等.（2）对应点到旋转中心的距离相等.（3 ）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.三.旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360 ° ）四•旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0 °，小于360 ° ）五.典型模型1、等线段共点等边三角形共顶点2、绕点型(手拉手模型)(1 )自旋转: 自旋转构造放方法：①遇60°旋60 °,构造等边三角形；②遇90°旋90 °，构造等腰直角三角形;③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等；④遇中点180。
，构造中心对称。
共顶点等腰直角三角形4(2)共旋转模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
3•中点旋转（拓展）说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶 点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要 证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三 角形从而得证。
4、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 分之一的角拼接在一起，成对称全等。
全等的证明(旋转位置关系)
专题:具有旋转位置关系的全等三角形的证明班级：姓名：授课教师：郎红霞课型：复习课课时：1【学习目标】1.会从旋转变换的角度,认识两个可能全等的三角形;2.能熟练使用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等;3.经历探索的过程，从中体会旋转变换与三角形全等的关系，培养学生的探究能力和合作精神.一.知识回顾1.前面我们学过哪些全等三角形的判定方法？你能用语言叙述出来吗？如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.（1）若以“SAS”为依据，还需添加一个条件为；（2）若以“ASA”为依据，还需添加一个条件为；（3）若以“AAS”为依据，还需添加一个条件为；二.探索发现观察下面的图形：问题1这些图形有哪些共同点？他们是通过怎样的变换得到？问题2这些图形中通过变换后的两个三角形之间具有怎样的关系？总结：三.典例分析1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE问题1观察图形，△ABC和△ADE具有怎样的位置关系？通过怎样变换得到？问题2要证明△ABC和△ADE全等，题目中已知和未知条件是什么？采取哪种判定方法？变式如图，已知AC=AE,∠1=∠2＝∠3，求证：DE=BC2.已知，∠ABC=∠DBE=90°，DB=EB，AB=CB,D点在三角形的内部，求证：AD=CE,AD⊥CE问题1观察图形中哪两个三角形具有特殊的位置关系？问题2要证明AD=CE,AD⊥CE，需要先证什么？总结：具有旋转位置关系的全等三角形的证明，我们该怎样做？四.类题演练1.如图，AB∥CD,E是CD上的一点，BE交AD于点F,EF=BF.求证AF=DF2.如图,在△ABC中，分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,求∠AOB= 度3.如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE=90°,AB＝CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于M，AE与BC交于点N.求证：AE=CD ，AE⊥CD。
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三角形的证明及旋转专题一、选填：1.A ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A. 4B. 4 或5C. 5 或6D. 62.（2013* 烟台）如图,AABC 中,AB=AC, ZBAC=54。
，点D 为AB 中点,MOD 丄AB, ZBAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将ZC沿EF （E在BC上，F在AC ±）折度.3.在平面直角处标系xOy中，己知点A （2, 3）,在坐标轴上找一点P,使得AAOP是等腰三角形，则这样的点P共有____________ 个.4.如图，点P在第一象限，AABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随Z在y轴的正半轴上运动，运动过程中,点P到原点的最大距离是___________ : 若将AABP的PA边长改为2迈，另两边长度不变，则点P到原点的最人距离变5.______________________________ 如图，正方形ABCD在平面直角处标系屮的位宜如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4, 4）,当三角板直角顶点P坐标为（3, 3）吋，设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F.在三角板绕点P旋转的过程中，使得APOE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标•x+21 >3 _ X!6.关于x的不等式组］2 的所有整数解的和是・7,则m的取值范用x<Cin是___________ .7.如图,在RtAABC 中,ZABC=90°, AB=BC=V2,将AABC 绕点C 逆时针旋转60。
,得到△ MNC,连接BM,则BM的长是_______________ .O A二、解答题：8•如图所示，正方形ABCD的边长为b G为CD边上的一个动点(点G少C、D不重合), 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H.(1)求证：©ABCG^ADCE；②BH丄DE.BH垂直平分DE?请说明理111.B Q E类比变换：9.（大连）如图1, RtAABC中AB=AC,点D、E是线段AC ±两动点，且AD=EC, AM 垂直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断ADEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程Z后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将ABAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90。
后图形；2、点K在线段BD上，II四边形AKNC为等腰梯形（AC〃KN,如图2）.附加题：如图3,若点D、E是肓线AC±两动点，其他条件不变，试判断ADEF的形状,并说明理由.图1 图2 图3 _ '如图1, AABC 与厶DEF 中，AB=AC, D 为BC 的中点,ZEDF+ZBAC=180°，直线DF、DE分别交直线AB、AC于点P、ZBAC=60°,猜想BP+QC与BC的关系,并说明理由;(2)___________________________________________ 当ZBAC=120°, BP+QC 与BC Q.(I)如图2,E图1图3的关系为____________________________________________10.（仙桃）两个大小相同II•含30。
角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使宜角顶点重合.将图①中ZXDEC绕点C逆时针旋转30。
得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.（1）不添加辅助线，写出图②中所有与ABCF全等的三角形；（2）将图②中的ADEC绕点C逆时针旋转45。
得△D]E|C,点F、G、H的对应点分别为F]、G|、H|,如图③.探究线段D]F|与AH】Z间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若DiEi与CE交于点I,求证：GiI=CI.若AB=2, DC=4,求AABE 的面积.旋转：11. 在平面内，旋转变换是指菜一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一•定的和度而得到 新位置图形的一种变换.活动一：如图1，在RtAABC 中,D 为斜边AB±的一点，AD=2, BD=1,且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积.小明运用图形旋转的方法，将ADBF 绕点D 逆时针旋转90。
，得到△ DGE （如图2所示）, 一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积： _____________ .活动二：如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=ZC=90°, BC=5, CD=3,过点 A小明仍运用图形旋转的方法，将AABE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AADG （如图4所示），则①四边形AECG 是怎样的特殊四边形？答： _____________ ・AE 的氏是 _____________ . 活动三：如图5,在四边形ABCD 中，AB 丄AD, CD 丄AD,将BC 按逆吋针方向绕点B 旋D E 5 C12.(宇德)如图1,在正方形ABCD中，E是AB ±一点，F是AD延长线上一点，R DF=BE.(1)求证：CE=CF；(2)在图1中，若G在AD上，kZGCE=45°,则GE=BE+GD成立吗？为什么？(3)运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在宜角梯形ABCD 屮，AD〃BC (BC>AD), ZB=90°, AB=BC=12, E 是AB ±一点，且ZDCE=45°, BE=4,求DE 的长.13.(高淳县)如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点0按顺吋针方向旋转角a (0°<a <45°),得到正方形OAjBiCj.设边BiCi与OC的延长线交于点M,边B]Ai与OB交于点N,边B]A]与OA 的延长线交于点E,连接MN.(1)求证：AOCiM竺AOAiE；(2)试说明：AOMN的边MN上的高为定值；(3)△MNB]的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明,并求出p的值.14.(江西模拟)课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1, E是边长为a的止方形ABCD 屮CD 边上任意一点，以点A为中心，把AADE顺时针旋转9()。
，呦出旋转后的图形任务要求：(1)请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD 屮，ZEAF=45°,点F为BC ±一点，点E为DC ±一点，ZEAF的两边AE、AF分别与肓线BD交于点M、N.连接EF甲发现：线段BF, EF, DEZ间存在着关系式EF二BF+DE；乙发现：ACEF的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN, MN, DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2(2)现请也参与三位同学的研究工作屮来，你认为三名同学小哪个的发现是正确的，并说明你的理由.Si15.（高港区）如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG,边AE在边AB」：，AB=12, AE= 辺.将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a （0°<a<45°）（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证:BE=DG；（2）在旋转的过程中,当ZBEA=120。
时，试求BE的长；（3）BE的延长线交肓线DG于点Q,当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转15°, 请直接写出DQ的长；（4）在旋转的过程中，是否存在某吋刻BF=BC?若存在，试求111 DQ的长：若不存在，请说明理由.（点Q即（3）中的点）16.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF1BD交BC于F,连接DF, G 为DF'P点，连接EG, CG.（1）求证:EG=CG；（2）将图①中ABEF绕B点逆时针旋转45。
,如图②所示，取DF中点G,连接EG, CG.问（1）屮的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①小ABEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.图①图②图⑤C B图（1）G备用图函数关系类：17.如图1,已知ZABC=90。
，AABE是等边三角形，点P为射线BC ±任意一点（点P与点B不重合），连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60。
得到线段AQ,连接QE并延长交射线BC于点F.（1）________________________________________ 如图2,当BP=BA 时，ZEBF= °,猜想ZQFC= _____________________________________ °；（2）如图1,当点P为射线BC上任意一点时，猜想ZQFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2<3,设BP二x，点Q到射线BC的距离为y,求y关于x的函数关系式.动点中的等腰三角形：。
1&如图(1), RtAAOB 中，ZA二90° , ZAOB=60° , 0B二2貞，ZAOB 的平分线OC 交AB于C,过O点做与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC -CO以每秒1 个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C岀发沿折线CO- ON以和同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动.(1)求OC、BC的长；(2)设ACPQ的面积为S,求S与t的函数关系式；(3)当P在OC上Q在ON上运动时，如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时，AOPM为等腰三角形？求出所有满足条件的(值.N N图(2)图(1)。