信号与系统郑君里第二版第四章课件
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郑君里信号与系统PPT
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
X
第
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
22 页
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
第 9 页
X
六．利用分形（fractal）理论描述信号
• • • •
第
10 页
分形几何理论简称分形理论或分数维理论； 示例 创始人为B.B.Mabdelbrot; 分形是“其部分与整体有形似性的体系”； 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在 以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信 号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通 信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具 有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征， 并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述， 或自动生成某些具有自相似特征的信号。
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
et
A
r t
A
r ( t ) Ae( t )
X
第
基本元件2
4.微分器 5.积分器 6.延时器
e t
d
14 页
r t
dt
de ( t ) r t dt
et
T
r t
r ( t ) e( t )dt
t
et
dt
பைடு நூலகம்
f ( ) ( t ) d
《郑君里信号与系统》课件
离散时间信号的表示与性质
要点一
离散时间信号的表示
要点二
离散时间信号的性质
离散时间信号可以由离散的数值序列表示，这些数值在时 间上离散分布。常见的离散时间信号有单位阶跃信号、单 位冲激信号、正弦信号等。
离散时间信号具有周期性、稳定性、可重复性等性质。这 些性质对于信号处理和系统分析具有重要的意义。
离散时间系统的表示与性质
离散时间信号通过系统的响应表 示
当一个离散时间信号通过一个离散时间系统时，系统的 输出可以通过将输入信号与系统冲激响应相卷积得到。
离散时间信号通过系统的响应性 质
系统的输出响应具有与输入信号相同的周期性和稳定性 ，但可能发生幅度和相位的变化。此外，系统的输出响 应还受到系统稳定性和因果性的影响。
பைடு நூலகம்
PART 05
信号的变换域表示法
傅立叶变换的定义与性质
傅立叶变换的定义
将时间域信号转换为频率域信号的数学工具，通过将 信号分解为不同频率的正弦波和余弦波来描述信号的 频率特性。
傅立叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称性、周期性和收敛性等 ，这些性质在信号处理中具有重要应用。
拉普拉斯变换的定义与性质
拉普拉斯变换的定义
极点影响系统的稳定性，决定了系统是否稳定以及系统的响应速度。
通过零极点分析系统稳定性
判断系统是否稳定
如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳 定的。
计算系统的传递函数
通过求解系统函数的零极点，可以得到系统的传递函 数。
分析系统的动态特性
通过分析零极点的分布和位置，可以进一步分析系统 的动态特性和稳定性。
详细描述
信号可以根据其连续性与离散性分为连续时间信号和离散时间信号；根据确定 性可以分为确定信号和随机信号；根据周期性可以分为周期信号和非周期信号 ；根据能量与功率可以分为能量信号和功率信号。
信号与系统第四章3郑君里
SL
当初始状态为零时
说明:串、并联形式的S模型之间 可进行等效变换
并联形式的S模型
3
3 RLC系统的S域模型及分析方法 us(t) US (S) 对电路的S域模型进行分析时， is(t) IS(S) 可仿照正弦稳态电路的相量分析 u(t) U(S) 法（分压、分流、等效变换、节 i(t) I(S) 点法、网孔法 、等效电路）求 出待求变量的象函数。 时域模型 S域模型
15
pi 、zj 的可能形式
A 一阶实极(零)点 ~ 位于S 平面的实轴上 B 一阶共轭虚极(零)点 ~ 位于S 平面的虚轴上，且对称 于实轴 C 一阶共轭复极(零)点 ~ 在S 平面上对称于实轴 D r 阶极(零)点(实、共轭复数)
说明：
1）只研究n m的情况
16
零、极点分布图
´ j2
j
´´
解:
9
二、系统函数H(S)的原函数
L[h(t)]= H(s)
10
解：
11
三、
系统的S域模型
由系统的时域模型根据拉氏变换的性质可得系统的S域模型
a）数乘器
b）加法器
c）积分器
e(t)为因果信号
12
时域框图
S域框图
13
例6
已知图所示系统求H(s)
14
第七节 系统函数与系统特性
一、 系统函数H(s) 的零点与极点
22
极点分布与h(t)关系
h(t) h(t)
´
0
´
t
´
0
h(t) t
0
t
h(t)
´
t
´ ´ ´
h(t)
0
´
h(t) t t
郑君里信号与系统课件总复习
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t)eσt 0
t
σ σ0
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
2.指数函数
0 1
estd
t
1 est 1 s 0 s
L eα t eα testd t
eα st
奈奎斯特抽样间隔
16
重点： 1、傅里叶变换定义和存在条件 2、典型信号的傅里叶变换 3、傅里叶变换的性质 4、抽样定理
1、已知f ( t )的傅里叶变换为F( j )，求信号 f ( 2t 5 )的傅里叶变换
，
2、已知信号f ( t ) sin(1000 t ) 。 当对该信号取样时，试求能恢复原信号的最大抽样周期
t
f ( t ) ( t )dt f ( 0）u（t )
第一章
2、系统框图列微分方程
第二章 连续时间系统的时域分析
➢ 微分方程式的建立与求解
➢ 零输入响应与零状态响应 ➢ 冲激响应与阶跃响应
关系！
➢ 卷积及其性质(方便求零状态响应)
系统分析过程
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
整个 s 平面
0
0
0
0
第五章 掌握基本概念 ❖ 滤波器的类型
第七章 离散时间系统的时域分析
❖ 序列的概念、离散时间信号的运算
相加、相乘、序列移位、反褶、尺度倍乘、差分、累加
❖ 常系数线性差分方程的求解
迭代法 时域经典法：齐次解+特解 零输入响应+零状态响应
❖ 离散时间系统的冲激响应与阶跃响应
第四章
❖ 因果系统的s域判决条件：
《信号与系统 》PPT课件
一、系统的定义 二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
点击目录 ，进入相关章节
a
10
第1-10页
■
信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
第1-12页
■
信号与系统 电子教案
1.1 绪论
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
第1-13页
0.1
0.2
0.3
语音信号“你好”的波
形
a
■
0.4
13
信号与系统 电子教案
1.1 绪论
静止的单色图象：
亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
a
14
第1-14页
■
信号与系统 电子教案
1.1 绪论
静止的彩色图象：
信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。
信号我们并不陌生，如刚才铃 声—声信号，表示该上课了；
十字路口的红绿灯—光信号，指 挥交通；
电视机天线接受的电视信息—电 信号；
日常生活中的文字信号、图像信 号、生物电信号等等，都是信号。
a
12
编，华中科技大学出版社 • 《信号与线性系统学习指导书》张永瑞、王松林，
高等教育出版社
a
4
第1-4页
■
信号与系统 电子教案
信号与系统的应用领域
通信 控制 电 类 信号处理 信号检测
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
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信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
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信号与系统 电子教案
1.1 绪论
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
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0.1
0.2
0.3
语音信号“你好”的波
形
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0.4
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信号与系统 电子教案
1.1 绪论
静止的单色图象：
亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
a
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信号与系统 电子教案
1.1 绪论
静止的彩色图象：
信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。
信号我们并不陌生，如刚才铃 声—声信号，表示该上课了；
十字路口的红绿灯—光信号，指 挥交通；
电视机天线接受的电视信息—电 信号；
日常生活中的文字信号、图像信 号、生物电信号等等，都是信号。
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编，华中科技大学出版社 • 《信号与线性系统学习指导书》张永瑞、王松林，
高等教育出版社
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信号与系统 电子教案
信号与系统的应用领域
通信 控制 电 类 信号处理 信号检测
信号与系统课件(郑君里版)第四章
2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
信号与系统课件(郑君里版)
成具有特定功能的整体。
1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述
1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。
2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
至原来的1/a
f (t)
1
0
12 t
压缩
f (2t)
1
0 0.5 1 2 t
（2）0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t)
1
扩展
f
(
1 2
t)
1
0
12 t
0
2
4t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。 信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信 号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u( )d tu(t)
三、单位冲激函数 (t) 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述
1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。
2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
至原来的1/a
f (t)
1
0
12 t
压缩
f (2t)
1
0 0.5 1 2 t
（2）0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t)
1
扩展
f
(
1 2
t)
1
0
12 t
0
2
4t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。 信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信 号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u( )d tu(t)
三、单位冲激函数 (t) 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
信号与系统(郑君里)ppt
t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
•三个波形相似，都是t 的一次 函数。 •但由于自变量t 的系数不同， 则达到同样函数值2的时间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。
a 1 压缩,保持信号的时间缩短 f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
4．一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
振幅：K 周期：T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
t
间为，t0时函数有断点，跳变点
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
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若 f(t)F(s)
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：22(t)Fra bibliotek所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
4.4.2 电路的复频域方程
1 电路元件的复频域模型 (1) 电阻
电阻元件的时域伏安关系为：
v(t)Ri(t)
对上式取拉氏变换，得：
V(s)RI(s)
(2) 电容元件
电容元件的时域伏安关系为：
t
vc
(t)
1 c
0 ic()d
或：
ic
(t)
c
dvc(t) dt
Vc (s)
1 c
Ic
(s)
s
ic
实践证明，若把积分变换从频域推广到 复频域，就能克服傅里叶变换的上述缺点。
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
从第三章可知，当f(t)满足狄里赫利条 件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
f (t) 1 F()e jt d
2
4.1.2 拉普拉斯变换的存在定理与收敛性
连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F(s)是否存 在，取决于
limf(t)et 0
t
在s平面上满足上式的 的取值范围，称为
f(t)或F(s)的收敛域
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
收敛域
图4-1 收敛域的划分
例：计算下列信号拉氏变换的收敛域
u(t)u(t)
解：
li[m u (t) u (t)e ] 0 t 0
1.拉普拉斯变换的存在定理
若函数满足以下条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 在t→+∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数 函数，即存在常数M >0及α≥0，使得下式成立
f (t) Met 0t
则称f(t)的增大是指数级的，其拉氏变换在Re|s|>α 的范围内一定存在
2.拉氏变换的收敛域
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
表4-1 常用信号的拉氏变换
4.2 拉普拉斯变换的性质
4.2.1 线性性质
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s )
则对于a1 任 和 a2,有 意常数 a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
( 1)
(0
)
s
Ic (s) vc (0 )
sc
s
或：I c ( s ) scV c ( s ) cv c ( 0 )
(3) 电感元件
电感元件的时域电路模型如图4-2所示，其时域的 伏安关系为：
uL(t)
LdiL(t) dt
或
iL(t)
iL(0)
1 L
t
0 uL()d
将上式两边取拉氏变换，得：
t
u(t)u(t)为 0<t<τ时间范围内的脉冲信号，欲
使上式成立，σ0 取 任 何 值 时 均 可 使 上 式 成 立 ， 故 收敛域为全s平面，写成σ0 >- ∞或Re(s)>- ∞
4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
1.单位跃阶信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
uL(s)LLi(0)sLLI(s) 或IL(s)iL(s0)s1LUL(s)
2 电路系统的s域分析
在对线性连续电路系统的复域分析中，一般步骤如下：
（1）根据换路前的电路（即 时的电路）求 时刻电感 的初始电流 和电容的初始电压 。 （2）求电路激励（电源）的拉氏变换（即像函数）。 （3）画出换路后电路（即 时的电路）的 域电路模型。 （4）应用节点法、回路法以及电路的各种等效变换、 电路定理，对 于电路模型列写方程组，并求解此方程 组，从而求得全响应解的像函数。 （5）对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变 换，即得时域中的全响应解。
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.3 复频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
4.2.4 微分特性
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
1 1 1 2jsjsjs22
即： sintu(t) s2 2
5.t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0
利用分部积分法，得：
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
2 部分分式展开法
4.4 系统的复频域分析
4.4.1 微分方程的复频域分析法
➢ 首先对描述系统输入输出关系的微分方程进 行拉氏变换，得到一个代数方程
➢ 求出的响应象函数包含了零输入响应和零状 态响应
➢ 再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入 响应、零状态响应和全响应的时域解。
例 描述LTI系统的微分方程为：
4.2.7 时域卷积特性
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.2.8 初值定理和终值定理
初值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
t 0
s
终值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：22(t)Fra bibliotek所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
4.4.2 电路的复频域方程
1 电路元件的复频域模型 (1) 电阻
电阻元件的时域伏安关系为：
v(t)Ri(t)
对上式取拉氏变换，得：
V(s)RI(s)
(2) 电容元件
电容元件的时域伏安关系为：
t
vc
(t)
1 c
0 ic()d
或：
ic
(t)
c
dvc(t) dt
Vc (s)
1 c
Ic
(s)
s
ic
实践证明，若把积分变换从频域推广到 复频域，就能克服傅里叶变换的上述缺点。
4.1.1 拉普拉斯变换的定义
从第三章可知，当f(t)满足狄里赫利条 件时，便存在一对傅里叶变换式：
F() f (t)ejt dt -
f (t) 1 F()e jt d
2
4.1.2 拉普拉斯变换的存在定理与收敛性
连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F(s)是否存 在，取决于
limf(t)et 0
t
在s平面上满足上式的 的取值范围，称为
f(t)或F(s)的收敛域
j
收 敛 轴
0 0收
敛 坐 标
收敛域
图4-1 收敛域的划分
例：计算下列信号拉氏变换的收敛域
u(t)u(t)
解：
li[m u (t) u (t)e ] 0 t 0
1.拉普拉斯变换的存在定理
若函数满足以下条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 在t→+∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数 函数，即存在常数M >0及α≥0，使得下式成立
f (t) Met 0t
则称f(t)的增大是指数级的，其拉氏变换在Re|s|>α 的范围内一定存在
2.拉氏变换的收敛域
0
s
s0
s0
0
所以：
Ltnu(t)nLtn1u(t) s
表4-1 常用信号的拉氏变换
4.2 拉普拉斯变换的性质
4.2.1 线性性质
若 f 1 ( t) F 1 ( s ),f2 ( t) F 2 ( s )
则对于a1 任 和 a2,有 意常数 a1f1(t)a2f2(t) a1F 1(s)a2F 2(s)
( 1)
(0
)
s
Ic (s) vc (0 )
sc
s
或：I c ( s ) scV c ( s ) cv c ( 0 )
(3) 电感元件
电感元件的时域电路模型如图4-2所示，其时域的 伏安关系为：
uL(t)
LdiL(t) dt
或
iL(t)
iL(0)
1 L
t
0 uL()d
将上式两边取拉氏变换，得：
t
u(t)u(t)为 0<t<τ时间范围内的脉冲信号，欲
使上式成立，σ0 取 任 何 值 时 均 可 使 上 式 成 立 ， 故 收敛域为全s平面，写成σ0 >- ∞或Re(s)>- ∞
4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
1.单位跃阶信号
F(s)Lu(t) estd test 1
0
s 0 s
uL(s)LLi(0)sLLI(s) 或IL(s)iL(s0)s1LUL(s)
2 电路系统的s域分析
在对线性连续电路系统的复域分析中，一般步骤如下：
（1）根据换路前的电路（即 时的电路）求 时刻电感 的初始电流 和电容的初始电压 。 （2）求电路激励（电源）的拉氏变换（即像函数）。 （3）画出换路后电路（即 时的电路）的 域电路模型。 （4）应用节点法、回路法以及电路的各种等效变换、 电路定理，对 于电路模型列写方程组，并求解此方程 组，从而求得全响应解的像函数。 （5）对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变 换，即得时域中的全响应解。
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.2 延时特性
若 f(t)F(s) 则对于任t意 0,有实常数
f(tt0)u(tt0)F(s)es0t
4.2.3 复频移特性
若 f(t)F(s)
则
f(t)eatF(sa)
4.2.4 微分特性
0 si ntes
td t
ejt ejt 0 2j
es
tdt
1 1 1 2jsjsjs22
即： sintu(t) s2 2
5.t的正幂信号
F(s)Ltnu(t)tnesd t t 0
利用分部积分法，得：
tne sd t ttne stn tn 1e sd t tn tn 1e sd t t
2 部分分式展开法
4.4 系统的复频域分析
4.4.1 微分方程的复频域分析法
➢ 首先对描述系统输入输出关系的微分方程进 行拉氏变换，得到一个代数方程
➢ 求出的响应象函数包含了零输入响应和零状 态响应
➢ 再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入 响应、零状态响应和全响应的时域解。
例 描述LTI系统的微分方程为：
4.2.7 时域卷积特性
若 f1(t) F 1(s)f,2(t) F 2(s)，则： f1(t)f2(t) F 1(s)F 2(s)
4.2.8 初值定理和终值定理
初值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：
f(0)lim f(t)lis m F (s)
t 0
s
终值定理：
若f(t)F(s),且f(t)连续可导，则：