单元法课后习题全部答案 王勖成

δ
w
L
+
L 0
EI
d 4w δ dx4
wdx
0
0
= δΠ(w)
∫L 0
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
q= δ wdx
+
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
δ
w
L
0
0
∫L
0
EI
d 4w dx4
+
kw
+
q
δ
wdx
微分方程：
EI
d 4w dx4
收敛性意义：当在 ∞ 维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于 ∞ 时，利用里兹法得
到的近视解将收敛于精确解。
收敛条件：1 完备性，2 试探函数满足 Cm−1 连续性
思考题 1.0 里兹法的优缺点？举例说明 优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函 数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。 缺点：当求解域的形状很不规则时候，里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条 件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。
习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
∫ = Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+
qwdx
∑ （1）
选取满足边界条件
的三角级数近似解 w =
n i =1
ai
sin
iπ x L
，
w = a sin π x ，= w ′ L
d=w dx
aπ L
cos π x ， w ′′ = L
2
(
x)
= x2 − x3 ，这样，利用 L
Ω Ni (x)R(x)d=x
0=, i
1, 2 可以求出待
定系数 a1, a2 。
对于其余边界条件情况可依此类推。
练习题 1.4，注意近似函数要满足边界条件，从而可知截面及坐标系如图所示：
，很多同学把积分区域弄错了，也有不少同学计
算错误。这里，由于边界为零，采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得 到：a1=4608/(13π4), a2=-512/(15π4), a3=-1536/(85π4)。 练习题 1.5，泛函的欧拉方程基本没太多问题，泛函为零得到边界条件：
d2w = dx2
−
aπ 2 L2
sin
πx L
∫ = Π(w)
L EI
0
2
a2π 2 L2
sin 2
πx L
+
k a2 sin2 2
πx L
+
qa
sin
πx L
dx
=
EIa2π 4L3
4
+
kLa2 4
+
2L π
qa
∂Π =EIπ 4a + kLa + 2Lq =0 → a =− 4qL4
∂a 2L3 2 π
d 2w dx2
δ
dw dx
−
d 3w dx3
δ
w
L 0
= 0
∫ 1.5 如有一问题的泛函= 为 Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+ qwdx ，其中 E,
I,
k 是常数，q
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
∫ = δΠ(w)
L 0
可得最终结果（略）。
∫ ∫ ∫
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
aL − 2ax ，
w ′′ =
d 2w dx2
=
−2a
∫ = Π(w)
L 0
EI 2
4a2
+
k 2
a2 x2 (x
−
L)2
+
qax( x
−
L)dx
= 2EILa2 + ka2L5 − qaL3 60 6
∂Π ∂a
=4EILa + kaL5 30
− qL3 6
=0
→
a
=− 5qL2 120EI +
−θ
ds
= 0 （1）
分部积分得
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4xw4 dxdy
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
nx
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂x
∂3w ∂x3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂x3
nx
ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂x2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂x2
dxdy
∫δ Ω
w
∂4w ∂x 2 ∂y 2
dxdy
∫ ∫ =
δ
Γ
w
∂3w ∂x∂y 2
nxds
−
δ
Ω
∂w ∂x
∂3w ∂x∂y2
dxdy
∫ ∫ ∫ =δ Γ
w
∂3w ∂x∂y2
nx ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂y 2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂y 2
dxdy
∫ ∫ ∫ =
+
Q
δφ
dΩ
+
Γ−Γq
k
∂φ ∂n
δφ
dΩ
−
Γq
αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
δφ d
Γ
欧拉方程： k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
+
Q
=0
Γφ
自然边界： αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
=0
Γ
−
Γq
强制边界：
k
∂φ ∂n
=0
习题 1.8： 板弯曲问题的平衡方程为：
∂4w ∂x4
+
2
∂4w ∂x 2 ∂y 2
自然边界条件与强制边界条件，二者都是针对边值条件来说的。边值条件一般有三类边界条件。第一类：狄里克莱(Dirichlet) 条件；第二类，诺依曼(Neumann)条件；第三类，前两者的混合条件，也叫洛平(Robin)条件
在选择近似函数时，已经事先满足的边界条件为强制边界条件。而自然边界条件则是在将等 效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。 对于 2m 阶微分算子，含 0 到 m-1 阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应该事先 满足。含 m 到 2m-1 阶导数的边界条件称为自然边界条件，近似函数不必事先满足。对于给 定的微分方程，判断其阶次，再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。
习题 1.2： 在用有限元法求解时，边界条件总是满足的，控制方程的不完全匹配，会产生误差。题中所
给出的近似函数：φ =a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 ，应该满足边界条件，对于情况（1），代入边
界条件可= 得 a0
0= , a3
1− a1L − a2L2 ，从而 L3
φ=
a1 ( x
−
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
qδ
wdx
∫ ∫ L 0
EI
ddx2= w2 dd2δx2w dx
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
L
EI
0
d 3w dx3
d
(δ w) dx
dx
0
∫ =
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
Γ
δ
w
∂3w ∂y3
n
y
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂y
∂3w ∂y3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂y3
ny
ds
−
Γ
δ
∂w ∂y
∂2w ∂y 2
ny ds
−
Ω
δ
∂2w ∂y 2
∂2w ∂y 2
dxdy
代入（1）化简，并利用：
= ∂w ∂n
∂w ∂x
nx
+
∂w ∂y
ny
+
kw
+
q
=0
边界条件： d= 2w d= 2w 0 ， d= 3w d= 3w 0
dx2
dx2
dx3
dx3
=x 0=x L
=x 0=x L
分强制边界和自然边界。
补充题 试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。 （最小二乘配点法思路是，利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建 立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0，最小二乘配点法则是余 量在所选点上的误差，满足平方和最小。）
+
∂4w ∂y 4
q ( x,
= D
y)
位移边界条件
=w w= , ∂w θ ∂n