牛莱公式及简单定积分计算
牛莱公式与定积分计算
π
例4
求
2
0
sin 4
x
cos
xdx.
或 1e2x dx 0
解 令sin x t，则cos xdx dt，
当x 0时，t 0，当x π时，t 1，则 2
π
所以 2 sin4 x cos xdx 0
1 t 4dt
0
1 5
t
5
1 0
1. 5
π
π
方法二
2
0
sin4
x
cos
xdx
2
0
sin4
上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.
注意：
(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相 应的变换，即“换元必换限”.
(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不 必再还原为原变量.
(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求
满足 ( ) a,( ) b，即 t 对应于 x a ，t 对应于 x b .
1 0
201 et dt
2[e et
2e (e
1
]
0
1)
2.
练习：P120 3（11）
小结：牛—莱公式，定积分换元积 分法和分部积分法
作业：P120 3（1）、（9）、（10）
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b) F(a).
上式称为牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
定积分计算公式大全
定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。
- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。
二、定积分的换元积分法。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。
例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。
令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。
所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。
牛莱公式
n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
前页 后页 返回
另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
前页 后页 返回
1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
前页 后页 返回
n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
前页 后页 返回
例4
求 lim n
(十)牛莱公式
的面积 . 解: A= ∫ sin xdx
0
π
y
y =sin x
= −cos x
π
0
= − 1−1] = 2 o [−
机动 目录 上页 下页
π x
返回 结束
备用题
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
∫0
f (x)d x = a ,
∫0
f (x)d x = b , 则
定理2. 定理 函数 , 则
∫a f (x)dx = F(b) − F(a) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
故
x a
b
证: 根据定理 1,
F(x) = ∫ f (x)dx +C
因此 得
记作
∫a f (x)dx = F(x) − F(a)
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3−arctan(−1 ) 2 − 1+ x 1 −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 计算 解: 令 x= asint , 则 dx = acost dt , 且
, 当x = 0时 t = 0; x = a 时 t = π . , 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos tdt 2 π
∫πy源自y = a −x2
2
a 2 = ∫ (1+cos2t)dt 2 0
1 3 2 = ∫ (t +3)dt 21 3 1 13 = ( t +3t ) 2 3 1
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
3牛顿-莱布尼兹公式
2
,
f ( x ) 0, ( x 0)
( x t ) f ( t ) 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
0 f ( t )dt 0,
x
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
性质5 性质6 性质7 问题的提出: 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为
定积分的定义 存在定理 定积分的几何 意义 性质1 性质2 性质3 性质4
lim f ( i )xi f ( x )dx
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数F ( x ) 为
F ( x ) d b( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) a ( x ) dx
b( x )
例1
求
牛顿莱布尼兹公式
牛顿莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一个重要公式，它用于计算定积分。
该公式是由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼兹独立发现的。
牛顿-莱布尼兹公式可以用来计算定积分，其中定积分是指在给定区间上的函数曲线下的面积。
定积分表示了一个函数的积分，即该函数在区间上的所有小的面积之和。
假设$f(x)$是在闭区间$[a,b]$上连续的函数，那么牛顿-莱布尼兹公式可以写作：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
原函数是指对于给定函数的导数。
为了更好地理解牛顿-莱布尼兹公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们想要计算函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分。
根据牛顿-莱布尼兹公式，我们需要找到$f(x)$的原函数$F(x)$。
在这个例子中，$f(x)$的原函数$F(x)$可以是任何使得$F'(x)=2x$成立的函数。
我们知道，$x^2$是$f(x)$的一个原函数，因为它的导数是$2x$。
因此，我们可以将牛顿-莱布尼兹公式应用于此问题，从而计算得到：$$\int_{1}^{3} (2x) dx = x^2 \Big，_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$$所以，函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分是8牛顿-莱布尼兹公式的重要性在于它提供了计算定积分的一种直观方法。
它意味着我们只需要找到函数$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后通过求解原函数在给定区间上的差值来计算定积分。
这种方法比使用Riemann和或其他数值方法进行数值积分更为简便，特别是当给定函数的原函数可以表示为一般公式时。
值得注意的是，牛顿-莱布尼兹公式假定给定函数在指定区间上是连续的，且存在原函数。
如果给定函数并不满足这些要求，那么该公式将不再适用。
此外，当函数在一些点上非连续或不可导时，必须进行其他方法的考虑。
4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式[优质PPT]
![4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式[优质PPT]](https://img.taocdn.com/s3/m/81937cc071fe910ef02df83b.png)
f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式的几何解释：在区间[a, b]上至少存在一
y
个点 ，使得以区间[a,b]为
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 当分割无限加细时，
则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
y o a x1 xi1 xi
i
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
0
0
解 令 f (x) ex, g(x) x, x [2, 0]
当x[2,0]时，f (x) g(x)
0
2
f
(x)dx
0
2
g ( x)dx,
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5（估值性质）
设M 及m 分别是函数
第二换元积分法：(根式换元、三角换元）
(1) a2 x2 令x asin t; (2) a2 x2 令x a tant; (3) x2 a2 令x asec t.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 x2
dx
1 x
1 1
11 2
解 不正确. 被积函数在积分区间上为正,
但积分值是负的, 与积分性质矛盾.
因为
1 x2
在[1,1]
上不可积.
使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在
积分区间上的可积性.
例 解
7
计算
2
1
2
1
cos
x22d1xc1os22xd2xco. 1s2
x
dx
tan
x 2
由积分中值定理得 F f ( )x [x, x x],
由极限性质知, lim F lim f ( )x 0
x0
x0
由连续函数定义知,
[a,b] 上连续.
函数F( x)
x
a
f
(t)dt 在
定理6.2.2 (连续函数的原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
F
(
x
1,
则( )
x0
x 0,
F(x)
x
0
f
( t ) dt ,
x0
(A)F(x)在 x 0 点不连续. (B)F(x)在 (,)内连续, 在 x 0点不可导 (C)F( x)在(, ) 内可导, 且满足F(x) f (x) (D)F(x)在 (,)内可导, 但不一定满足
F( x) f ( x)
. 6
例15 设函数f (x)为连续的奇函数, 且已知
1 f (t)dt a,
0
求积分
1
0
f
( x ) dx x
的值.
解
1 f (
x)
1
dx 2 f (
x )d
1
x 2 f ( x )d
x
0
x
0
0
1
20 f (u)du 2a
例16 (030204)
设
tan x
x
I 1
4 0
x
dx,
练习：02 x x 1 dx
1
x(1 x)dx
0
2
x( x 1)dx 1
1
注意:当被积函数带有绝对值时,先去绝对值.
例11 求
2 max{x, x2 }dx.
2
x2
2 x0
解
f
(
x)
max{
x,
x
2
}
x
0 x1
原式
02 x2dx
01
x
2
xdx 12
1 x x2dx
2
11 2
证明 F(x)
0
b( x)
f (t)dt
a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
例 2 已知 F ( x) x2 etdt, 求F( x). 0
解 由上限函数的求导公式的
F ( x) e x2 ( x2 ) 2 xe x2
例6求
lim
n
n[ n2
1
12
n2
1
22
n2
1
n2 ]
解
原式 lim 1[
n n
1 12
1 22
1 n2
]
1 n2 1 n2
n2
11
0 1 x2 dx
arctan1 4
(4) 证明单调性、方程的根
例 7 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
证明函数
F
(
x)
x
0
x
tf
) x f (t)dt 在
a
F( x)
d
x
f
dx a
[a, b] 可导，且它的导数为
(t)dt f ( x) (a x b)
定理的重要意义：
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数
之间的联系.
证明 由定理6.2.1的证明知,
x x
F F( x x) F( x) f (t)dt, x
限的函数 F
证明 因为 f
x
((xx))在[aaf,
(t)dt 在 [a,b] 上连续. b]上可积，则 f ( x在) [a,
b]有界.
x x
F ( x x) a f (t)dt
F F( x x) F( x)
x x
f (t)dt
x
f (t)dt
a
a
x x
f (t)dt, x
d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x 2e
(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定 义求和式极限
解
当
x
0 时,
F(x)
x
0
f
(t )dt
x
0
(
1)dt
x
当 x 0时, 显然 F(0) 0;
当 x 0时,
F ( x)
x
0
f
(t )dt
x
0
1
dt
x
lim F ( x) lim F ( x) F(0)
x0
x00
F( x)在 x 0处连续
当 x 0时, F( x) 1 当 x 0时, F( x) 1 F(x)在 x 0处不可导. 故B正确
F( x)
0 x
0 2
0 f (t)dt
x
f ( x) ( x t) f (t)dt
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f ( x) 0, ( x 0) 0 f (t)dt 0,
( x t) f (t) 0,
x
0 ( x t) f (t)dt
0
F ( x) 0 ( x 0).
由函数 f (x) 的连续性和积分中值定理得
F f ( )x [x, x x],
F f ( ),
F
lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x F( x) f ( x).
证毕.
对区间端点的情况用单侧导数说明即可.
求上限函数的导数应注意:
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
2 sin
25
x2
4.
5
05
5
2
例14 计算
3
解
原式
e4
e
3
e4
dx
e x
. ln x(1 ln x)
3
d(ln x)
e4
d(ln x)
ln x(1 ln x) e ln x (1 ln x)
3
3
e4
2 e
d ln x 2 arcsin( 1 ( ln x)2
ln x)
e4 e
dx a
“ ” 中的表达式是一样的.
例1 求
d x sin tdt. dx a
解 根据上限函数求导数公式得
dx
dx a sin tdt sin x
定理 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
则
F
(
x)
b( x)
a( x)
f
(t
)dt
的导数F (
x)
为
F( x) d b( x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
第2节 牛莱公式与简单定 积分计算
一、 问题的提出 二、 积分上限函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
四、凑微法简单积分计算
五、小结
二、积分上限函数及其导数
设函数f ( x)在区间[a,b]上连续,x [a,b]
称 F(x) 性质：
x
a
f
(t )dt
为积分上限函数.
定理6.2.1 如果 f ( x)在[a,b]上可积，则积分上
c(c
0).
解 因为 x 0 时 ax sin x 0, 且
ax sin x
lim x0
x ln(1
b
t
t3) dt
0
故
lim x0
x
b
ln(1 t
t
3
)
dt
0(*)
若 b 0, 则在 (0,b]内 ln(1 t 3 ) 0;
5
xdx.
解
f (x)
3
sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
I 2
4 0
tan
dx x
, 则(
)
( A) I I 1
1
2
(B)1 I I
1
2
(C ) I I 1
(D)1 I I
2
1
2
1