新高考数学复习专题突破练习题附答案及解析(共13专题)
数学-2023届新高考高三数学押密试卷解析
高三数学学科参考答案及解析选择题部分 (共60分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：A解析：因为11x>，所以01x<<，{}01A x x=<<12≥，所以14x≥，14B x x⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭所以114A B x x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，选A.2.答案：B解析：因为()312i2iz−=，所以32i42i12i55z==−−，42i55z=+所以22424555z z⎛⎫⎛⎫⋅=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B3.答案：A解析：72x⎛⎝的展开式中通项为()()37772177221kkk kk k kkT C x C x−−−+⎛==−⎝所以要出现常数项，3712k−=或1−，当3712k−=时，4k=；当3712k−=−时，163k=（舍去）所以常数项为()4437121280C xx−⋅=，故选A.4.答案:B解析：若有一根8cm的尺子，量出长度为1cm到8cm且为整数的物体，则当尺子有4个刻度时满足条件设[]1,8x∈且x*∈Ν，11223344x b a b a b a b a=+++，其中{}1234,,,0,1b b b b∈，当12342,1,4,1a a a a====时，21123232341,2,3,4,5,6a a a a a a a a a a==+==+=++=1237a a a ++=，12348a a a a +++=下证，当尺子有3个刻度时不能量出18cmcm 的物体长度设[]1,8x ∈且x *∈Ν，112233x b a b a b a =++，其中{}123,,0,1b b b ∈， 所以当123,,b b b 中有1个0，x 的取值至多有3个 当123,,b b b 中有2个0时，120b b ==或230b b ==，x 的取值至多有2个当123,,b b b 中没有0时，x 的取值有1个所以x 取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出18cm cm 的物体长度.故选B5.答案：D解析：若先回答问题A ，则答题顺序可能为,,A B C 和,,A C B ，当答题顺序为,,A B C 且连对两题时，()()0.60.810.510.60.80.50.4p =⨯⨯−+−⨯⨯= 当答题顺序为,,A C B 且连对两题时，()()0.60.510.810.60.50.80.22p =⨯⨯−+−⨯⨯= 所以先回答问题A ，连对两题的概率为0.62同理先回答问题B ，连对两题的概率为0.52；先回答问题C ，连对两题的概率为0.7 所以要使得p 最大，他应该先回答问题C ，故选D . 6.答案：C解析：设圆心()0,1C 到直线()1y a x =+的距离为d ，211a d a −=+所以221AB d =−，2112ABC S AB d d =⋅⋅=−△因为()0,1a ∈，212111a d a a a−==−++()0,1d ∈所以22211122ABCd d S d +−=−≤=△，当且仅当21d d =−，即2232d a ==时等号成立故选C . 7.答案：D解析：因为 1.110.1a ==+，所以0.110.1b a e −=−−设()1x f x e x =−−，()0,1x ∈， 则()0.1b a f −=，因为()10xf x e '=−>，所以()f x 在()0,1上单调递增所以()()00f x f >=，即()0.10b a f −=>，b a > 因为1011.10990c a −=−=>，所以再比较,b c 的大小 因为()1110910.1910−−⎛⎫==− ⎪⎝⎭，所以()()0.110.1110.110.110.1e c b e −−−−=−−=−，即比较()0.11,10.1e −大小，设()()()1,0,1xg x x e x =−∈因为()0xg x xe '=−<，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()01g x g <=，即()10.10g −>，c b > 所以c b a >>，故选D .8.答案：C解析：平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合. 证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C −−为γ 当,2πθγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111C E C FC D C B λ==,(]0,1λ∈1AB =则(()()22221112312122EFBD S λλλλλ=+−+=−++()()()222121h λλλ=−++因为()()2410h λλλ'=+>，所以()()max 12h h λ==，()11max 2EFBD BDB DS S ==当(]0,θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面1C BD ,132C BD S =△ 当0θ=时，平面α截正方体所得截面为ABCD ，1ABCD S =所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D同理平面β过A 、1D 时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC 连接1BD ，AC ，1B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C −−因为1B C ⊥面11AD BC ，AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C −−大小因为160B CA ∠=,所以面α与面β所成锐二面角大小为60，故选C .二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.答案：ABD解析：因为()2,1AB OB OA =−=−，所以()22215AB =+−=因为5,10OA OB ==所以222OA AB OB +=,即OAB △为直角三角形设与OB 同向的单位向量为e ，3101010OBe OB ⎛== ⎝⎭所以OA 在OB 方向上的投影向量为cos ,OA OB OA OA OB e e OB⋅=，31,22OA OB e OB ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭设()310cos ,sin 10e αα⎛== ⎝⎭，设与e 垂直的单位向量为12,e e所以1cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1sin ,cos 1010e αα⎛=−=− ⎝⎭，()2sin ,cos ,1010e αα⎛=−=− ⎝⎭ 故选ABD . 10.答案：BD解析：()cos sin xf x x x =+，()()322cos sin 22sin sin cos sin 2sin x x x x x x x f x x x−−−'== 令()sin 22g x x x =−，()0,x ∈π,因为()2cos220g x x '=−≤ 所以()g x 在()0,π上单调递减所以()()00g x g <=，即()sin 220,0,x x x −<∈π 所以当()0f x '=时，2x π=，所以()0,,02x f x π⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，()f x 单调递减；(),,02x f x π⎛⎫'∈π> ⎪⎝⎭，()f x 单调递增 所以()min 22f x f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，即()f x 在()0,π上无零点， 若()()12f x f x a ==,设12x x <，则1202x x π<<< 要证12πx x +<，即证21x x <π− 因为12x ππ−>，()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上单调递增，所以即证()()21f x f x <π− 因为()()12f x f x a ==，所以即证()()11f x f x <π− 令()()()2cos ,0,sin sin 2x x h x f x f x x x x x π−π⎛⎫=π−−=−−∈ ⎪⎝⎭()()2cos 2sin 2sin x x x h x x −π−'=，其中()2sin 2x x g x −π−=−−π在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 所以2sin 2sin 2x x π−π−<2⋅−π−π=0 所以()0h x '<，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以()0222h x h f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=π−−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()1110h x f x f x =π−−>， 所以()()11f x f x π−>成立，即12πx x +<成立 故选BD . 11.答案：BCD解析：因为(),A m n 在椭圆C 上，所以22221m n a b +=，22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以()222222222c a AE m n b n bn a b b c=+−=−−++≤，A 错误因为点B 、A 关于x 轴对称，所以(),B m n − 因为,EA EB n b b nk k m m−+==−，所以()()22222222222EA EBn b b n b n b b k k b n m m m a a b n −+−⎛⎫⎛⎫⋅===−= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，B 正确假设存在P 点，使得MPO PNO ∠=∠，则PMO PON △△所以2OP OM ON =⋅因为:n b EA y x b m −=+，:n b EB y x b m +=−+，所以,M N bm bmx x b n b n==−+ 所以22222bm bm b m OP OM ON b n b n b n=⋅==−+−因为22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以222222b m OP OM ON a b n =⋅==−，即点P 坐标为()0,a 或()0,a − 因为(),,,0bm A m n N b n ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以(),AN b n b n k y x m n m m ++==−+ 化简得b ny x b m+=−，即直线AN 过定点()0,b − 故选BCD . 12.答案：BC解析：因为33x y x y +=−，所以()()22x y x xy yx y +−+=−，22x yx y x xy y−+=−+ 所以()222222211x y x y x y x xy y x xy y ⎛⎫− ⎪−⎝⎭+==−+⎛⎫−+ ⎪⎝⎭令x t y=，因为33x y x y +=−，,0x y >，所以0x y −>，即1xt y =>()222212111t t x y t t t t −−+==+−+−+，当2t =时，()21x y += 当1t>且2t ≠时，令2u t =−，则()222111313t x y t t u u−+=+=+−+++， 因为()()1,00,u ∈−+∞，所以()()212310,11,333xy u u⎛⎤+=+∈ ⎥ ⎝⎦++ 所以()203x y <+≤，x y +≤因为y x <，所以当0x →时，20x y x +<→，A ,D 错误 因为33x y x y +=−，所以330y y x x ++−= 令()()33,0f t t t x x f y =++−=，因为()f t 在()0,+∞上单调递增，()f t 的零点y 满足0y > 所以()300f x x =−<，解得1x <所以要证221xy +<，即证y <因为()f t 在()0,+∞上单调递增，所以即证0f>因为33320x fx x ⎛⎫+⎪=−=>所以0f>成立，即221x y +<成立故选BC .非选择题部分 （共90分）三．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.答案：1解析：由正态密度函数性质可得，1a = 14.答案：2sin 24x π⎛⎫−⎪⎝⎭(答案不唯一） 解析：设()()sin f x A x ωϕ=+，因为x ∀∈R ，()2f x ≤，所以()()max min 2,2f x f x ≤≥− 所以2A ≤，不妨设2A =因为()f x 最小正周期为π，所以2T ωπ=π=,2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,2x ϕϕϕπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0k ∃∈Z ，00,2,2222k k ϕϕπππ⎡⎤⎡⎤+⊆−+π+π⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以00222k k ϕπ−+π≤≤π， 当00k =时，02ϕπ−≤≤，不妨设4ϕπ=−所以满足条件之一的()2sin 24f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭. 15.答案:1639π 解析:如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥A BCD −和三棱锥A BCD '− 设点A 在面BCD 上的投影为点O ，则A '、O 、A 三点共线.在三棱锥A BCD −和A BCD '−中，到几何体各顶点距离相等的点分别在AO 和A O '上 若组合后的六面体存在外接球，则O 为外接球的球心 设AO a =，则BO a =，因为O 为BCD △的中心，所以3BC a =，所以)213313A BCDV a a −=⋅=，解得33a =所以球的体积为341633a π=16.答案：22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解析：设直线l 的程y kx b =+，由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kbx b +++−= 因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()()2228441440kb k b ∆=−+−=，解得2241k b =− 因为2414kbm k −=+，n km b =+，所以214b n k =+所以4m k n =−，即1,4m k b n n=−= 所以直线l 的方程为14m y x n n =−+，即14mxny +=分别令2x =和2x =−得，12,12m C n ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,12m D n ⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线2DF 方程为11323m y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，直线1CF 方程为11323m y x ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+所以联立可得2DF 与1CF 交点()3,233E n ⎫⎪⎪⎝⎭因为23443AEnn k mm m =−，所以414AE l n m k k m n ⎛⎫⋅=⋅−=− ⎪⎝⎭所以由1AE l k k ⋅=−，32AE l k k +=得1,242l AE m k k n =−=−=，即2m n = 因为2214m n +=，所以22,m n ==，即22,A ⎭四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）1122n a n =− （2）4169n n nT −+=解析：（1）因为636S S −=，所以4566a a a ++=， 所以456536a a a a ++==，52a = 所以531532a a d −==−，……2分 ()311322n a a n d n =+−=−……5分 （2）因为数列{}n m a 是以首项为1a 公比为4等比数列， 所以1114,n n m m m a a a a −==，即11m =因为数列{}n a 是等差数列，所以()()111141n n a m d a m d −⎡⎤+−=+−⎣⎦ 化简得11343n n a m m d−=+− 因为2114a a d a =+=，所以113a d =，即142n n m m −=−……8分 所以122433n n m m −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， 因为12133m −=，所以数列23n m ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以13为首项，4为公比的等比数列 所以()121433n n m −−=⋅，()112433n n m −=⋅+……8分 所以()0111212416444339n n nn n nT m m m −−+=+++=++++=……10分18.答案:（1）证明见解析；（2） ABC S =△解析：（1）因为2a c =，所以A C >,即2C π≠. 因为()()1sin 1cos2sin 2cos C B B C −−=，所以sin 21sin 1cos 2cos B CB C−=−因为22sin cos 1C C +=，所以1sin cos cos 1sin C C C C −=+，即sin 2cos 1cos 21sin B CB C=−+，……2分因为cos sin ,sin cos 22C C C C ππ⎛⎫⎛⎫=+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin sin 221cos 21cos 2C B B C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π−⎛⎫−+ ⎪⎝⎭……4分 令()sin 1cos x f x x =−，()0,2x ∈π则()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()10cos 1f x x '=<−，所以()f x 在()0,2π上单调递减所以由()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得22B C π=+，即22C B π=−成立……6分（2）由正弦定理得sin sin a c A C =,因为22C B π=−，所以332A B C B π=π−−=− 所以3sin sin 3cos32A B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，sin sin 2cos 22C B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭所以由正弦定理得sin sin a cA C=,2cos 2cos3B B =……8分 因为()()cos 3cos 2cos cos2sin sin 2B B B B B B B =+=−，2sin 22sin cos ,cos 22cos 1B B B B B ==− 所以由2cos 2cos3B B =得324cos 4cos 3cos 20B B B −−+= 化简得()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=因为22C B π=−，332A B π=−，所以,42B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以由()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=得1cos 2B =……10分 所以13sin 22ABC S ac B ==△……12分 19.答案:（1）2AC =；（2）2cos 2α=解析：（1）因为90BAD BAC CAD ∠=∠=∠=，所以AB AC ⊥,,AB AD AD AC ⊥⊥ 所以AB ⊥面ACD作AE CD ⊥，连接BE ,因为AB ⊥面ACD ，所以AB CD ⊥ 因为AE AB A =，所以CD ⊥面ABE因为CD ⊂面BCD ，所以面ABE ⊥面BCD ……2分因为面ABE ⊥面BCD BE =，所以作AO BE ⊥，可得AO ⊥面BCD 所以ABO ∠为AB 与面BCD 的所成角，45ABO ∠=……4分所以设,AC a AB b ==,则222222,,,222a AE a BC a b BE b AO b ==+=+= 所以由AE AB AO BE ⋅=⋅得22ab = 所以()321122232123A BCDa V AB AC −=⋅⋅⋅==，解得2a =,即2AC =……6分 （2）设2AC =,由（1）得1AB =延长CM 交BD 于点G ,连接AG ，因为,AC AB AC AD ⊥⊥，所以AC ⊥面BAD 所以AC AG ⊥，因为30ACM ∠=，所以633AC AG == 因为1,2,3AB AD BD ===,所以AG 为BD 边上的高，即AG BD ⊥ 因为AC BD ⊥，所以BD ⊥面ACG ……8分 因为CG ⊂面ACG ，所以BD CG ⊥由（1）得，若45ABM ∠=，则点M 在BE 上……10分所以M 为BCD △的垂心.因为132BG GD ==,所以12BM BE = 所以3AH AF ==1HF =,即24AHF S =△分别做,HGAB FK AB ，则HG ⊥面ACD ,FK ⊥面ACD所以AFH △在面ACD 的投影为AGK △,21124AGKACD S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△设面AFH △与面ACD 所成的二面角为α，则2cos AGK AHF S S α==△△……12分 20.答案：（1）75.801x =，72.932y =（2）0.95r ≈（3）72.98解析：（1）101175.80110i i x x ===∑，101172.93210ii y y===∑……2分（2）()1010101010222222211111221010ii i i i i i i i i i x x x xx x x x x x x x =====⎡⎤−=−+=−⋅+=−⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑ 同理()10102221110iii i y y yy ==−=−∑∑()()10101011110iii iiii ii i i x x y y x y xy yx x y x y x y ===−−=−−+=−∑∑∑所以()()1010niii ix x y y x y x yr −−−==∑∑ (4)分所以代入得0.95r =≈……6分（3）()()()10101110102222111055283.21075.80172.932ˆ0.2357457.981075.80110iii ii i i i i i x x yy x yxybx x x x====−−−−⨯⨯====−⨯−−∑∑∑∑……8分ˆˆ72.9320.229475.80155.50ay bx =−=−⨯=……10分 所以3BS 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为ˆ0.2355.5y x =+ 当76x =时，预测值为ˆ0.237655.572.98y=⨯+=.……12分 21.答案：（1）22:14x C y−= （2）解析：（1）因为双曲线C的右焦点为)，所以c =因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，所以1b ==……3分所以2a =，即双曲线22:14x C y −=……4分（2）设()()()12121122,,,,,1,,22x x y y P x y Q x y C m F ++⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2m ∈−，设切线PC 为y kx b =+，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩得()222418440k x kbx b −+++=，因为直线PC 与双曲线相切， 所以()()()2228441440kb k b ∆=−−+=，解得2241b k =−……6分所以()1284241kb kx b k =−=−−因为11y kx b =+,221114x y −=所以1111,4x k b y y ==−，即直线11:14x x PC y y −=同理可得直线22:14x xCQ y y −=……7分 因为直线PC 与直线CQ 交于点C ，所以12121,144x m x my y −=−= 所以点()()1122,,,x y x y 满足方程14mx y −=，即直线:14mxPQ y −= 同理可得直线1212:1242x x y y x DE y ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12121224x x x y y y y y ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭……8分 因为点F 在直线PQ 上，所以12121242x x y y m ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点(),1C m 在直线DE 上因为222212121,144x x y y −=−=，所以1212121214y y y y x x x x ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪⎪−+⎝⎭⎝⎭，1212x x m y y +=+ 所以1212144DE PQ x x mk k y y ⎛⎫+=== ⎪+⎝⎭,即DEPQ所以直线():14mDE y x m =−+……9分由()221414my x mxy⎧=−+⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩得()()()222224284160m x m mx m−+−−−−=所以DE=因为点F到直线DE)3228DEFmS−=△10分令t，[)20,4m∈，(]0,2t∈，)()332222842DEFm tSt−+==△，()()32242th tt+=因为()()()1222242t th tt+−'=，……11分所以(()(),0,t h t ht'∈<单调递减，)()(),0,t h t h t'∈>单调递增所以()()minminDEFS h t h===△……12分22.答案：（1）()f x在R上单调递减（2）[)1,a∈+∞（3）证明见解析解析：（1）当1a=时，()e e2x xf x x−=−−，()e e2x xf x−'=+−……2分因为1e2exx+≥，所以()1e20exxf x'=+−≥……4分所以()f x在R上单调递增（2）当0x>时，()0f x>恒成立，即()0,,e e20x xx a a x−∀∈+∞−−>恒成立法一：因为()00f=所以0m∃>，使得()f x在()0,m上单调递增所以()()0,,e e20x xx m f x a a−'∈=+−>，所以()0220f a'=−≥，解得1a≥……6分下证1a ≥，()0,,e e20xxx a a x −∈+∞−−>恒成立因为()e e 2e e 2x xx x a a x a x −−−−=−−，e e 0x x −−>，所以e e2e e 2xxx x a a x x −−−−≥−−设()()e e2,e e 20xxx x H x x H x −−'=−−=+−≥，所以()H x 在()0,+∞上单调递增所以()()00H x H >= 所以e e 2e e 20xxx x a a x x −−−−≥−−>成立……8分所以1a ≥法二：()e e22x xx x a a x a e e x −−−−=−−，因为()0,x ∈+∞，所以e e 0,20x x x −−>−<所以由()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立得0a >()()2e 2e e e 2,ex x xxxa a f x a a x f x −−+'=−−=，令=e xt ，()1,t ∈+∞ 则222,44y at t a a =−+∆=−当2440a ∆=−>，即()0,1a ∈时，方程220at t a −+=的解为12,t t ，设12t t <因为22y att a =−+的对称轴为11t a=>，1220t y a ==−<，所以1201t t <<<，其中222t a+=则当()21,t t ∈，即()20,ln x t ∈时()()0,f x f x '<单调递减 当()2,t t ∈+∞，即()2ln ,x t ∈+∞时()()0,f x f x '>单调递增 因为()00f =，()20,ln x t ∈时()f x 单调递减 所以()()20,ln ,0x t f x ∈<，与()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立矛盾，()0,1a ∈舍去……6分当2440a ∆=−≤，即[)1,a ∈+∞时，()220,0y at t a f x '=−+≥>,所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00f x f >=,即()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立所以[)1,a ∈+∞……8分（3）由（2）得()0,,e e20xxx x −∀∈+∞−−>令ln x t =，ln ln 1ee 2ln 2ln tt t t t t−−−=−−，即()11,,2ln 0t t t t ∀∈+∞−−>所以当11t n =+，n *∈Ν时，1111ln 11121n n n ⎛⎫⎪⎛⎫+<+− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，化简得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+−<+ ⎪+⎝⎭，n *∈Ν……10分 因为m n >，所以lnln ln mm n n=−， 所以()()()()111ln 1ln 21111ln 2ln 1212111ln ln 121n n n n n n n n m m m m ⎧⎛⎫+−<+ ⎪⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫+−+<+⎪ ⎪++⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫−−<+ ⎪⎪−⎝⎭⎩，累加得11111ln ln 211m n n m n m ⎛⎫−<++++⎪+−⎝⎭……11分 1111111111111111ln 2112111mmk n k n m n k n m n m k n m n m n m =+=+⎛⎫⎛⎫⎡⎤−<++++−=++++−++ ⎪ ⎪⎢⎥+−+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑化简得11111ln 22mk n m m nn k n m mn=+−⎛⎫−<−= ⎪⎝⎭∑成立. ……12分。
高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》难题汇编及解析
数学《不等式》高考复习知识点一、选择题1．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min2122x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A ．3 B ．2(51)-C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．4．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．5．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()221241111120b f a c ac f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为6．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A ．[3,3]；B ．(,3]-∞C ．3,)+∞D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.8．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得23t<-或23t>.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.13．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.14．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．15．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.16．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩剟„，则x y y +的取值范围是( )A．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式121x y x +⎧⎨-⎩剟„表示的平面区域，整理得：x y y +1x y =+，利用yx 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得113x y -<-„，问题得解． 【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：x y y+1xy =+ 易知yk x=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，yk x=取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113x y -<-„，故203x y y +<…. 故选B 【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．17．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.18．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.20．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.。
2021届高考数学专题突破直线、平面垂直的判定和性质(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练 05直线、平面垂直的判定和性质一、考点传真：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理：1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都，则该直线与垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平，则这两两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论汇总直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题：例1. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=.例2. (2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =，故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为例3. （2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，⊥．所以PA BD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC=，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA AC A所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ．又//AB CD ，所以AB ⊥AE ．又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PAAB A =，所以AE ⊥平面PAB ．又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．例4. （2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 （Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，P ABCD -ABCDPCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD ACBD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为PCD △为等边三角形，且为的中点，所以又， 故在Rt AND △中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 例5. （2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB ．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．PACPCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC 2CD =N PC DN =DN AN ⊥sin 3DN DAN AD ∠==AD PAC 3O MPCBA(2)作CH⊥OM，垂足为H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知122==OC AC，23==CM BC，45∠=ACB．所以=OM，sin5⋅⋅∠==OC MC ACBCHOM．例6. （2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解析】(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．HOMPCBAA BCDM⊂⊂证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．四、巩固练习：1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/ l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是() A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n【答案】B【解析】对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．4．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【答案】C【解析】由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC ＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．5.已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】如图，因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以P A⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以P A⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部【答案】A【解析】因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部【答案】 B【解析】连接AC1，如图.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ， ∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分【答案】B【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.9.如图，在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确．在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又DF ∥BC ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B 、C 均正确．10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么在这个空间图形中必有( )A.AG ⊥平面EFHB.AH ⊥平面EFHC.HF ⊥平面AEFD.HG ⊥平面AEF 【答案】 B【解析】 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确.∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确.∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确.由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确.11.如图，在下列四个正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线1BD 与平面EFG 不垂直的是（ ）【答案】D【解析】对于选项D 中图形，由于E ，F ，为AB ，11A B 的中点，所以1//EF BB ，故11B BD ∠为异面直线所成的角且11TAN B BD ∠=11B BD ∠不为直角，故1BD 与平面EFG 不可能垂直，故选D.12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC .∵D 1E ⊂平面ABD 1，∴平面ABD 1⊥平面ABC .∵D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ，∴BC ⊥平面ABD 1.又BC ⊂平面BCD 1，∴平面BCD 1⊥平面ABD 1.∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1，∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ，∴AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1，∴平面ACD 1⊥平面BCD 1.∴共有3对平面相互垂直.故选B.13.已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，P A ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．【答案】7【解析】由于PD ⊥平面ABCD ，故平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面P AC ⊥平面PDB ，平面P AB ⊥平面P AD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.【答案】 13【解析】 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角.因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 15．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确命题的序号是________．【答案】①③【解析】如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________.【答案】 12【解析】 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ，由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又12×2×2＝12×h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ，得x ＝12.17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23， 所以AM 的长为23. 18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1.同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3.因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233. (2)存在，A Q ＝23.理由如下． 延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE .假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝AB AE. 经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23. 故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.19.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ，∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ， ∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14. 20.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．【解析】(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ，所以BE ∥平面ACFD ，所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°， 又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面ACFD ， 所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
解析新高考数学试卷答案
一、选择题1. 【答案】A解析：本题考查指数函数的单调性。
由于指数函数的底数大于1，所以当x增大时，函数值也增大，因此选择A。
2. 【答案】D解析：本题考查数列的求和。
通过观察可知，数列的通项公式为an = n^2 - n + 1，所以数列的前n项和为S_n = (n(n+1)(2n+1))/6。
代入n=5，计算可得S_5 = 55，故选择D。
3. 【答案】C解析：本题考查立体几何中的空间角。
由题意知，三角形ABC为直角三角形，∠BAC为直角。
又因为∠BAC与∠BDC在同一平面内，所以∠BAC与∠BDC互为补角。
根据补角的性质，∠BAC与∠BDC之和为180°，故选择C。
4. 【答案】B解析：本题考查函数的性质。
由于函数为奇函数，所以f(-x) = -f(x)。
又因为f(0) = 0，所以f(-x) + f(x) = 0。
故选择B。
5. 【答案】D解析：本题考查概率的计算。
根据题目中的条件，事件A与事件B相互独立，所以P(AB) = P(A)P(B)。
代入数据计算可得P(AB) = 1/4，故选择D。
二、填空题6. 【答案】1/3解析：本题考查数列的通项公式。
由题意知，数列的通项公式为an = 3^n - 2^n。
代入n=1，计算可得a_1 = 1，所以数列的首项为1。
由数列的通项公式可知，数列的公比为3/2，所以数列的前n项和为S_n = (a_1(1 - r^n))/(1 - r) = (1 - (3/2)^n)/(1 - 3/2) = 2(1 - (3/2)^n)。
代入n=3，计算可得S_3 = 1/3，故答案为1/3。
7. 【答案】4解析：本题考查一元二次方程的解法。
由题意知，方程的解为x = -1，x = 2。
根据一元二次方程的解法，可设方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为待定系数。
代入x = -1和x = 2，得到两个方程组：a -b +c = 04a + 2b + c = 0解得a = 1，b = 2，c = -1。
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(解析版)
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
【答案】D
解析：设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，设直线 的方程为 ，即 ，
【小问2详解】 ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，则 ，整理得 ，令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数 和 有相同 最小值．
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设 为可导函数，且满足 ，则 为（）
A．1B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，即
所以 .
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（）
A． B．2C． D．
【答案】D
【分析】利用导数定义，可求得 ，代入 ，即得解
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x .
∵点A在曲线上，∴y0＝x ，∴ ＝3x ，∴x －3x ＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.
高考数学专题13直线与圆小题精练B卷(含解析).doc
2019 年高考数学 专题 13 直线与圆小题精练 B 卷（含分析）1．已知圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 4 0 ，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C ． 3D ．3【答案】 A2．已知圆 C ： 2 y 22（ a 0 ）及直线：x y 3 0，当直线被 C 截得的x a 4 弦长为 23 时，则 a = （）A ． 2B ．22C ． 21D ． 21【答案】 Ca 21 24 ，解得 a2 1 ，又由于 a 0 ，因此 a2 1；【分析】由题意，得131 应选 C ．3．已知圆心 ，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【分析】由题意可设圆的直径两头点坐标为，由圆心坐标可得，可求得，可得圆的方程为即．应选 B ．4．过点 ，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ()A ．B ．C ．1D ．2【答案】 B【分析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B ．5．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C6．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】圆心到直线，的距离，由勾股定理可知，，即，应选 B．7．已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】 A【分析】设直线为，代入点得．应选A．点睛：两条直线平行的想法，斜率相等，只要要截距不一样．8．直线x ky10 （k R ）与圆 x2y 24x 2 y 2 0 的地点关系为（）A．订交B．相切 C．相离D．与 k 的值有在【答案】 A【解析】由于直线 x ky10恒过定点P1,0 ，且P1,0在圆x2y24x 2 y 2 0 内，故圆与直线x ky 1 0 的订交，应选答案A．9．曲线y＝ 1＋与直线 y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是() A．B．(，＋∞)C．(，]D．(，]【答案】 C【分析】由题设可化为过定点的动直线与半圆 有两个交点， 如图，圆心 到直线的距离是，又 ，联合图形可知： 当 ，即 ，应选答案 C ．10．若曲线2 20(0) 与直线xyxyy k( x 2)有交点，则 k的取值范围是（）6A ． [3,0)B ． (0, 4]C ． (0,3]D ．[ 3,3]43 44 4【答案】 C考点：直线与圆的地点关系．11．若一次函数y kx b，y随x的增大而减小，当3x 1y 9 ，则它的分析时， 1式为（）A．y2x7B．y 2 x3C．y2x7或 y2x3D ．以上都不对【答案】 B【分析】试题剖析：∵一次函数y kx b ，当3 x 1y9 ，且 y 随x的增大而减小，∴时， 1当 x 3 时， y9 ；当 x 1 时， y13k b9k2，∴1，解得b．∴一次函数的解k b3析式为 y2x 3 ．应选B．考点：函数分析式．12．已知直线ax by60(a0,b0) 被圆x2y22x 4 y0 截得的弦长为 2 5 ，则 ab 的最大值是（）A．5B．4C．9D．9 22【答案】 C考点： 1．圆的一般方程化为标准方程；2．基本不等式．专题 14直线与圆1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A．-2 B．-3C．-4D．-5【答案】 D【分析】∵，∴，应选D．2．设 A，B 为x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且PA PB ,若直线PA的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程为（）A． 2 x y 7 0B．2x y 1 0C．x 2 y 4 0D．x y 50【答案】 D3．方程1 4k x 2 2k y214k0 表示的直线必经过点（）A．2,2B．2,2C．12 ,11 D ．34,225555【答案】 C【分析】方程 1 4k x 2 2k y 2 14k0 ，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=012﹣0xx 2 y 2512 ,11解 {﹣，得 {，∴直线必经过点4x 2 y 14011 5 5y5应选 C．点睛：过定点的直线系A1x＋ B1y＋C1＋λ（ A2x＋ B2y＋ C2）=0 表示经过两直线l 1∶A1x＋ B1y＋C1=0与 l 2∶A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 交点的直线系，而这交点即为直线系所经过的定点．4．已知圆心，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】 B5．过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ( )A．B．C．1D．2【答案】 B【分析】在直角三角形AOB中，选B．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C【分析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，应选C．7．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】 圆心到直线 ，的距离 ，由勾股定理可知， ，即，应选 B ．8．已知圆 C ： （ a<0）的圆心在直线上，且圆 C 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则的值为（）A ．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】圆的方程为，圆心为 ① ，圆 C 上的点到直线的距离的最大值为 ②由①②得，a<0，故得 ， =3 ．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．9．已知直线 ax y2 2ABC 为等腰1 0 与圆 C : x 1ya1订交于 A,B 两点，且 直角三角形，则实数 a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或17【答案】 D10．过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y1 x2 订交于 A 、B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A ．3B ．3 3C ．333D．3【答案】 B 【分析】试题剖析：因y1x2表示以 O 为圆心,半径为的上半圆．又SAOB1sin AOB,故2AOB900时,AOB 的面积取最大值,此时圆心 O 到直线y k (x2)的距离d1, 即|2k |1, 也即3k21,解之得 k3,应选 B．2 1 k 223考点：直线与圆的地点关系及运用．11．若直线ax by10 a 0, b 0均分圆 C : x2y22x4y 10 的周长，则 ab 的取值范围是（）A ．111 ,B．0,C．0, 884D． 1 ,4【答案】 B考点：直线与圆的地点关系．12．在平面直角坐标系xOy 中, M , N 分别在线段 OA,OB 上,以 C 1,1 为圆心的圆与若, MN与圆C相切,则x 轴和MNy 轴分别相切于的最小值为（A,B ）两点 ,点A．B．22C．222D．222【答案】 D【分析】试题剖析：由于 C 1,1 为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A, B 两点,点 M , N 分别在线段OA,OB 上,若,MN与圆C相切，设切点为Q ，因此AM BN QM QN MN ，设MNO，则OM ON MN cos MN sin , OA OB 2 MN 1 cos sin，MN2222 2 2，应选D．1 cos siny32A1M Q-2-1ON1B-11 2 sin1242345x考点： 1、圆的几何性质；2、数形联合思想及三角函数求最值．。
新高考数学试卷答案及解析
一、选择题1. 答案：C解析：根据三角函数的性质，sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
代入选项，只有C选项满足条件。
2. 答案：B解析：根据数列的通项公式，an = a1 + (n - 1)d，其中d为公差。
代入n=4，得到a4 = a1 + 3d。
因为a4 = 20，所以a1 + 3d = 20。
根据选项，只有B选项满足条件。
3. 答案：A解析：根据函数的图像和性质，当x < 0时，函数f(x)是单调递增的；当x > 0时，函数f(x)是单调递减的。
因此，函数f(x)在x=0处取得极大值。
根据选项，只有A选项满足条件。
4. 答案：D解析：根据向量的数量积性质，a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b 之间的夹角。
当θ = 0时，cosθ = 1，此时a·b = |a||b|，即a和b同向。
因此，当a和b同向时，它们的数量积最大。
根据选项，只有D选项满足条件。
5. 答案：C解析：根据复数的乘法性质，(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i。
代入选项，只有C选项满足条件。
二、填空题6. 答案：4解析：根据等差数列的求和公式，S_n = n(a1 + a_n) / 2，其中a1为首项，a_n 为第n项。
代入n=10，a1=1，a10=19，得到S_10 = 10(1 + 19) / 2 = 100。
7. 答案：-1/2解析：根据三角函数的性质，sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
代入α=π/3，β=-π/6，得到sin(π/3 - π/6) = sin(π/3)cos(-π/6) +cos(π/3)sin(-π/6) = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(-1/2) = 3/4 - 1/4 = 1/2。
8. 答案：5解析：根据一元二次方程的求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
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【基础巩固】 1.【答案】B 【解析】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥 的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选 D． 2.【答案】C
【方法点晴】本题主要考查了圆锥的有关计算及圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之 间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展开在一个平面内，构造直角三角 形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面 展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为 平面”的思想方法． 3．【答案】A 【解析】由题意知，该几何体是圆锥与圆台的组合体，
17.(2017 年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形 组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之
和为( A.10
). B.12ຫໍສະໝຸດ C.14D.1618.(2017 年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平 面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ).
突破 1.1 空间几何体的结构
【基础巩固】 1.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现 用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．①② C．③④
B．②③ D．①⑤
2.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆
A.90π B.63π C.42π D.36π
20.(2015 年全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正
(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( ).
A.1
B.2
C.4 D.8
解析附后
突破 1.1 空间几何体的结构
13.如图所示，在长方体中，
则在长方体表面上连接
两点的所有
曲线长度的最小值为__________．
14.一个几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的简单几何体为( ).
A.圆柱与圆台 B.圆柱与四棱台 C.四棱柱与四棱台 D.四棱柱与圆台 15.将正方体(如图①)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( ).
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
8．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列叙述中正确的是（ ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面 C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线 D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内 10.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴 l 旋转
锥表面爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程为
，则圆锥底面圆的半径等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
C．圆台
D．两个共底的圆锥
12.有下列三组定义：
①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
其中正确定义的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
D．五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
5．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
D．棱锥的底面一定是三角形
6．下列几何体不是简单旋转体（ ）
A．圆柱
B．圆台
C．球
D．棱柱
7．下列命题中，错误的是（ ）
所以该组合体是由直角三角形和直角梯形的组成的平面图形绕虚线旋转一周所得．故选 A． 4．【答案】C
【解析】n 棱柱具体特征：底面为 n 边形，共 3n 条棱，（n+2）个面，其中 n 个侧面，2 个底面，侧面为平 行四边形，侧棱长相等．因为 n 棱柱底面为 n 边形，故 A 对； 因为底面最少为三角形，故 3 个侧面，2 个底面，共 5 个面，故 B 对；根据 n 棱柱特征，D 对； 而底面边长与侧棱长度不一定相等，故各个侧面不全等，故 C 错误．故选 C． 5．【答案】C 【解析】对于选项 A，棱柱的底面为任意的四边形即可，故错误． 对于选项 B，底面是矩形的直平行六面体才是长方体，故错误． 对于选项 D，三棱锥的底面一定是三角形，故错误．故选 C． 6．【答案】D 【解析】在 A 中，圆柱是矩形绕着它的一条边旋转而成的，故圆柱是简单旋转体； 在 B 中，圆台是直角梯形绕直角腰所在的直线旋转而成的，故圆台是简单旋转体； 在 C 中，球是半圆绕着直径旋转而成的，故球是简单旋转体； 在 D 中，棱柱不是旋转体．故选 D． 7．【答案】B 【解析】对于 A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为 2rl，A 正确； 对于 B，用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，∴B 错误； 对于 C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，C 正确； 对于 D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D 正确．故选 B． 8．【答案】A 【解析】∵几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体， ∴它是由 A 选项中的平面图形旋转而成的．故选 A． 9．【答案】D 【解析】在 A 中，圆柱是将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故 A 错； 在 B 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱， 棱柱中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故 B 错误； 在 C 中，两点确定一条直线，圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线，故 C 错误； 在 D 中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故 D 正确．故选 D． 10.【答案】A
180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（ ）
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于轴 l 对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【能力提升】
11.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（ ）
A．圆柱
B．圆锥