高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．( 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3k k k ≤+≤，选择C点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 ．分析：两直线都是随参数k 变动的直线，即所谓的直线系，观察可知这两直线系都是过定点的直线系，确定其所过的定点后，画出草图探究解决的方法．解析：直线1l 的方程可以化为()2280k x y --+=，该直线过顶点()2,4M ，与两坐标轴的交点坐标是()28,0,0,4k A B k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线2l 的方程可以化为()()22440x k y -+-=，该直线系过定点()2,4M ，与两坐标轴的交点坐标是()22422,0,0,4C k D k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．结合04k <<可以知道这个四边形是OBMC ，如图所示，连结OM ，则四边形OBMC 的面积是,OBM OCM ∆∆的面积之和，故四边形OBMC 是()()2211422244422k k k k ⨯-⨯++⨯=-+，故当18k =时两直线所围成的四边形面积最小．答案18．点评：该题把直线过定点、求平面图形面积的分割法、二次函数的最值结合起来，重点考查的就是分析问题和解决问题的能力，这是高考所十分看重的．题型2 圆与方程例3 (2008高考山东卷理11)已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．6B ．6C ．6D ．6分析：在圆内异于圆心的一点作圆的弦，最长的就是过该点的圆的直径，最短的是与过该点的直径垂直的弦，而对角线互相垂直的四边形的面积就是其对角线长度之积的一半．解析： 圆心坐标是()3,4，半径是5，圆心到点()3,5的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为=，所以四边形ABCD 的面积为111022AC BD ⨯⨯=⨯⨯=．答案B ． 点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力．解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半．本题是一道以考查考生“分析问题解决问题的能力”为主要目的设计的试题．例4 （江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第9题）若直线1ax by += 过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ．分析：根据已知可得21ab =()22a b π+，根据重要不等式222a b ab +≥解决．解析：根据分析圆的面积等于()222a b ab πππ+≥⋅=．答案π．点评：本题注意了直线、圆、不等式的交汇．例5 (2009江苏泰州期末第17题)将圆02222=-++y x y x 按向量(1,1)a平移得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，若在圆O 上存在点C ，使0OCOA OB 且OC a ，求直线l 的方程．分析：按向量(1,1)a 平移实际上就是向右平移一个单位、再向下平移一个单位；然后根据给出的向量关系式寻找问题的几何条件．解析：由已知圆的方程为22(1)(1)2x y ，按(1,1)a 平移得到22:2O x y ． ∵(),OCOA OB ∴22()()0OC AB OA OB OB OA OA OB ．即OC AB ．又OC a ，且(1,1)a ，∴1OC k ．∴1AB k ． 设:0AB l x y m ， AB 的中点为D ．由()2OC OA OB OD ，则2OC OD ，又22,2OC OD ．∴O 到AB ． 22， ∴1m ． ∴直线l 的方程为：10x y 或10x y -+=．点评：本题将圆与平面向量进行交汇，一般来说平面向量和解析几何交汇时，平面向量是表达问题的几何关系的．本题中在一个以坐标原点O 为圆心的圆上三个点,,A B C 满足0OA OB OC ++=本质上等价于ABC ∆是一个正三角形，本题就是把这个几何关系以向量的形式进行了表述，所以在解决这类问题时要注意分析判断平面向量所表达的几何关系，然后通过几何条件、利用方程的方法进行解答．题型3 圆锥曲线与方程的基础问题例6 （浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第7题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近 线方程是A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．0x ±=D 0y ±=分析：求解双曲线的渐近线方程就是求出,a b 之间的等量关系，可以根据条件列出方程解决．解析：对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离因为b ，而124b c =，因此1,,2b c a ===b a ∴=，因此其渐近线方程为0x ±=．答案C ．点评：高考对双曲线的考查主要集中在求其标准方程和简单的几何性质方面，一般是以选择题、填空题的方式设置一个题目，试题也注意与直线、三角形、不等式等问题的交汇．例7（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第11题）已知1F 、2F 是椭圆22121x y k k +=++的左右焦点，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．分析：本质上就是求出k 的值，可以根据2ABF ∆的周长为8，列出方程解决．解析：根据椭圆的定义，2ABF ∆的周长为4a ，即8=，解得2k =，故在这个椭圆中2,3a b ==，那么1c =，故离心率12c e a ==．答案12． 点评：圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题要密切注意的地方，许多问题这是一个突破口，特别是课标的考试大纲删去了椭圆、双曲线的准线，这样就不能用统一的方法给出圆锥曲线的定义，这样椭圆、双曲线的定义就显的更为重要．例8．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第16题）已知双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，离心率为e ，若点(1,0)-与(1,0)到直线1x y a b -=的距离之和45S c ≥，则e 的取值范澍是 ． 分析：根据已知的不等式找,a c 所满足的不等式，转化为关于离心率e 的不等式，通过这个不等式是解和双曲线的离心率的范围确定问题的答案．解析：22222|24,255b ab S c c ab c a b a b --==≥∴≤++，即()4222425c a c a ≤-，即4224425250c a c a -+≤，即42425250e e -+≤，解得2554e ≤≤，即552e ≤≤5[5]2． 点评：本例和例11一样，问题的本质就是找到,a c 所满足的不等式，转化为关于离心率e 的不等式解答，这是一类重要的求解离心率问题的试题．题型4 解析几何中以最值、范围问题把关的综合解答题例9．（苏州市2009届高三教学调研测试第19题）已知点()4,4P ，圆:C22()5(3)x m y m -+=<与椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>有一个公共点()3,1A ，12,F F 分别是椭圆的左,右焦点，直线1PF 与圆C 相切．（1）求m 的值与椭圆E 的方程；（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．分析：圆过点A ，将坐标代入就可以确定m 的值，椭圆过点A ，只要能求出椭圆的焦点坐标问题就解决了，这可以用直线1PF 与圆C 相切解决；由于点A 、点P 都是定点，故AP AQ ⋅仅仅依赖于椭圆上点的坐标，结合椭圆上点的坐标的关系解决．解析：（1）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵3m <，∴1m =． 圆:C 22(1)5x y -+=．设直线1PF 的斜率为k ，则1:(4)4PF y k x =-+，即440kx y k --+=．∵直线1PF 与圆C =112k =或12k =． 当112k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当12k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-，∴4c =，()()124,0,4,0F F -．122a AF AF =+==a =2218,2a b ==，椭圆E 的方程为：221182x y +=． （2）(1,3)AP =，设(),Q x y ，(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴18618xy -≤≤． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[]0,36． 3x y +的取值范围是 []6,6-．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[]12,0-．点评：本题第二问中实质上就是解决3x y +的取值范围，解决的方法较多．可以设3w x y =+，则3x w y =-，代入椭圆方程后根据0∆≥解决；也可以利用三角换元，令,x y θθ==（实质上就是椭圆的参数方程），则[]36sin 6,64x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭． 题型5 解析几何中以定点、定值问题把关的综合解答题例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第21题）如图，椭圆221222:1(0),,x y C a b A A a b-=>>为椭圆C 的左、右顶点．（1）设1F 为椭圆C 的左焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（2）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（3）若直线:l y kx m =+与（2）中所述椭圆C相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且满中22AA BA ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标． 分析：（1）用椭圆上点P 的坐标建立1||PF 关于x 的函数关系式，转化为函数解决；（2）借助于第一问的结果解决；（3）直线:l y kx m =+若过定点，参数,k m 之间必然要有一个等量关系，利用22AA BA ⊥找出这个等量关系即可解决问题．解析：（1）设22222212()||()2c f x PF x c y x cx a a ==++=++． 对称轴方程2a x c =-．由题意2a a c-≤-恒成立， ()f x ∴在区间[,]a a -上单凋递增， ∴当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时1||PF 取得最小值与最大值．（2）由已知与（1）得：3,1a c a c +=-=，2222,1,3a c b a c ∴--∴--=， ∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （3）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=．则22222212221226416(34)(3)0,3408,344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪=-+->+-⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩即 又22221222121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=2222223(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k--∴+++=-++2271640,m mk k ∴++= 解得：1222,7k m k m =-=-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾． 当227k m =-时，l 的方程为2()7y k x =-， 直线过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．点评：本题的第一问实际上就是椭圆的焦点半径的表达式，在新课标删去椭圆的准线后，对这个问题各方面都极力回避这个问题，实际上个问题完全可以不借助于椭圆的准线，如本题中只要对函数()f x 的表达式稍作变形即可解决“ 222222212()||()2c c f x PF x c y x cx a x a a a ⎛⎫==++=++=+ ⎪⎝⎭， 由于a x a -≤≤，故c c x c a -≤≤，0c x a a +>，故1c PF x a a ex a=+=+， 根据椭圆的定义212PF a PF a ex =-=-”；本题的第二三两问实际上就是2007年山东高考题理科第21题，试题的把关处是后面一个直线过定点的问题，基本思想就是根据几何条件，利用整体代入的思想，找到参数,m k 之间的一个等量关系，这也是解决双参数直线系恒过定点的基本方法．题型6 解析几何中以探索性、存在性问题把关的综合解答题（这个题型与题型4、5虽有重复部分，但还是要重点对待，体会其中的思想方法）例11． （浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第21题）已知抛物线2:2(0)C y px p =->上横坐标为3-的一点，与其焦点的距离为4．（1）求p 的值；（2）设动直线()3y x b b =+>与抛物线C相交于A 、B 两点，问在直线:2l y =上是否存在与b 的取值无关的定点M ，使得AMB ∠被直线l 平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．分析：第一问根据抛物线的定义解决；第二问可以设出点M 的坐标，利用AMB ∠被直线l 平分，将这个几何因素转化为AM BM k k =-，然后根据韦达定理等整体代入解决．解析：（1）由已知得34,0,22p p p --=>∴= （2）令()()1122,,,A x y B x y ，设存在点(,2)M a 满足条件，由已知得AM BM K K =-，即有2212121212220,,44y y y y x x x a x a --+==-=---；整理得2212121212()4()2()160y y y y a y y y y a +++-+-=；由24y x b y x=+⎧⎨=-⎩得2440y y b +-=，即12124,4y y y y b +=-=-有24(4)4(4)2[(4)8]160b a b a -⋅-+---+-=，1a ∴=-，因此存在点()1,2M -，而当3b >时线段AB 在点()1,2M -的左上方，满足题意．点评：本题较原来的题目加了限制条件3b >．原因是当3b =时直线AB 过点()1,2M -，显然不能产生角AMB ∠；当13b -<<时，直线AB 在点()1,2M -的右下方，这时只能是过点M 且和直线2y =垂直的直线才能平分AMB ∠．例12．(2008高考山东卷理22)如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（1）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，410AB =（3）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）利用导数的知识可以写出抛物线22(0)x py p =>上任意一点(),m n 处的切线方程，这个切线方法可以仅仅依赖于,m n 中的一个，一般是用m 来表示切线的方程，这样点M 的坐标就同时适合同样形式的两个方程，这样就可以把点,,M A B 的坐标归结为一个非常的解，根据韦达定理就可以解决问题；（2）借助于第一问的结果，采用整体代入的方法，用“弦长公式”确定p 的值；（3）向量条件就是点C 的坐标可以由点,A B 的坐标表达，这样设出点D 的坐标后，如果问题的结论成立的话，必然有CD AB ⊥并且CD 的中点在直线AB 上，这样就可以用点一些设出的点坐标写出直线AB 的方程探究问题的答案．解析：（1）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，． 由22x py =得22x y p =，得x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，① 222202()2x x p x x p p+=-．② 由①减②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+．所以A M B ，， 三点的横坐标成等差数列．（2）由（1）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p =．由弦长公式得AB ==又AB =1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =． （3）设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，，则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，设直线AB 的方程为011()x y y x x p -=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线AB 上，代入得033x y x p=． 若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =．即(00)D ，或2022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，2212022CDx x pk x +=221204x x px +=， 又0ABx k p =，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p++===-， 即222124x x p +=-，矛盾．对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点． 综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意．点评：本题考查导数、抛物线、等差数列、直线被曲线所截得的线段的长、平面向量的加法等基础知识，考查坐标法、方程、分类讨论、反证等基本思想方法，考查逻辑推理、运算求解的能力和分析问题解决问题的能力，是一道以最基本的知识为依托全面考察考生的综合数学素养的能力型试题．本题的第一问就需要考生有“设而不求”的坐标法思想以及方程的思想才能顺利解决，实际上第一问中的12,x x 是方程220240x x x p --=的两个不等实根，如果有这个思想就为第二问的解决打下了良好的基础；第二问的关键点是如何用p 去表示弦长公式中的1212,,AB x x x x k +，在圆锥曲线中，弦所在直线的斜率都可以用它们的中点坐标来表达，特别对抛物线22(0)x py p =>，122AB x x k +=，而本题第一问所证明的正是点M 和弦AB 的中点具有相同的横坐标，这样就找到了解题的突破口；第三问更是集中体现了方程思想和坐标法思想在解决问题中的作用，解决的关键是根据两个点关于一条直线对称所满足的两个条件（两点连线和对称轴垂直，两点的中点在对称轴上），进行推理论证．【专题训练与高考预测】一 、选择题1．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是223,4b b ⎡⎤⎣⎦，则这一椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[2．已知A 、B 是抛物线px y 22=(0p >)上异于原点O 的两点，则“OA ·0OB =”是“直线AB 恒过定点(0,2p )”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件3．设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）ABC ．2D 14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与x 轴的正半轴交于点A O ，是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA MO ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2⎤⎥⎣⎦ C ．,12⎫⎪⎪⎣⎭ D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知3AB =, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动,O 为原点,1233OP OA OB =+，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ． 1422=+y xB ． 1422=+y xC ．1922=+y xD ．1922=+y x 6．已知直线:2430l x y ++=，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1:2两部分，则点Q 的轨迹方程为（ ）A ．2410x y ++=B ．2430x y ++=C ．2420x y ++=D ．210x y ++=二、填空题 7．过抛物线214y x =准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为,M N ，则直线MN 过定点 ．8．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =，则直线AB 的斜率为 ．9．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，当小船开始不能通航时，水面上涨到距抛物线拱顶相距 m ．三、解答题10．椭圆C 的一个焦点F 恰好是抛物线24y x =-的焦点，离心率是双曲线224x y -=离心率的倒数．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，当点G 的横坐标为14-时，求直线l 的方程．11．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F 与点,B 的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率0≠k 的直线l ：2-=kx y ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点NM ,满足||||AN AM =，若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，说明理由．12．在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l 上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．【参考答案】1．解析：A 设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，设矩形在第一象限的顶点坐标为(),x y ，根据对称性该矩形的面积为224422x y x y S xy ab ab ab a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==≤+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即划出的矩形的最大面积是2ab ，根据已知22324b ab b ≤≤，即322ba b ≤≤，即1223b a ≤≤，故c e a ===⎣⎦． 2．解析：B3．解析：D由题意，得1212PF F ===，又由椭圆的定义，得122PF PF a +=．即22c a +=，则1)a c =，得1ce a==，故选Ｄ． 4．解析：D 设()M x y ，，则MA MO ⊥，得1y yx x a=-·．将其与椭圆方程联立，消去y 得222()()0x a b x a x b a --+=．由x a ≠，得22222ab ab x a b c==-． ()M x y ，∵在椭圆上，[]x a a ∈-，∴， 又MA MO ⊥，则(0)x a ∈，，即220ab a c <<，2201b c <<∴，2222212a b c c c+<=<，则2212c a >，e >∴ 又01e <<∵，1e <<． 5．解析：A 设()0,A a ，(),0B b ，则由3AB =得229a b +=．设(),P x y ，由1233OP OA OB =+得()()()12,0,,033x y a b =+，由此得32b x =，3a y =，代入229a b +=得2222999144x y x y +=⇒+=．6．解析：A 设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()11,x y ．∵Q 分线段OP 为1:2，∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=211212112111y y x x ，即⎩⎨⎧==y y x x 3311 ∵点P 在直线l 上，∴112430x y ++=，把113,3x x y y ==代入上式并化简，得2410x y ++=，为所求轨迹方程．7．解析：()0,1．8．解析：3± 涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解． 9．解析：2 如图 建立适当的坐标系，设拱桥抛物线方程为)0(22>-=p py x ，由题意，将()4,5B -代入方程得58=p ，∴抛物线方程为y x 5162-=．∵ 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为/AA ， 则()2,A A y ，由A y 51622-=，得45-=A y ， 又知船面露出水面上部分为34m ，324A h y m =+=．即水面上涨到距抛物线拱顶2m 时小船不能通航．10．解析：（1）根据已知该椭圆的一个焦点坐标是()1,0F -，即1c =，双曲线224x y -=22，即2c e a ==，故2a =1b =，所以所求椭圆的标准方程是2212x y +=． （2）设直线l 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y += 整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=（6分）直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根． 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+故20122221k x x x k =+=-+，()002121ky k x k =+=+． （9分） 又AB 的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=-- （10分） 令0,y =得22200222221112121212424G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+=-++++，解得k = 故直线l的方程为)12y x =±+． 11．解析：（1）依题意，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -=，由=||FB 22=，即2(24c -+=，解得22=c ．又 ∵2=b ，∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为141222=+y x ． （2）由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412222y x kx y 消去y 得12)2(322=-+kx x 即012)31(22=-+kx x k （*）由0≠k ，得方程（*）的0144)12(22>=-=∆k k ，即方程（*）有两个不相等的实数根．设),(11y x M 、),(22y x N ，线段MN 的中点),(00y x P ， 则2213112kkx x +=+，∴22103162k k x x x +=+=， ∴ 22220031231)31(262k k k k kx y +-=++-=-=，即)312,316(22kk k P +-+ ， 0≠k ，∴直线AP 的斜率为k k kk k k 6)31(2231623122221+--=+-+-=，由AP MN ⊥，得16)31(222-=⨯+--k kk ， ∴ 66222=++k ，解得：33±=k ，即33tan ±=α， 又πα<≤0，故 6πα=，或65πα=， ∴ 存在直线l 满足题意，其倾斜角6πα=，或65πα=． 12．解析：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m ---则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB的垂直平分线方程为1222m m y x ---=- ② P 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l 的方程为32y kx =+， 12l l ⊥，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得 2690x kx --= △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k=+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+= 当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立． 故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．。