高三数学 平面解析几何

平面解析几何（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾1．直线(1).直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1212x x y y K AB --=。

(2) .直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--；d.截距式：1=+by a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。

若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则1l ∥2l ⇔1k ＝2k ，1l ⊥2l ⇔1k ·2k ＝－１。

（4）点、直线之间的距离点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d=2200||B A C By Ax +++。

两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（2. 圆（1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F E D 42122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示．三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得．3．参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，3.圆锥曲线(1).椭圆的标准方程及其性质椭圆2222x b y a +＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）。

(2)双曲线的标准方程及其性质双曲线2222x b y a -＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。

(3).抛物线的标准方程及其性质平面内，到一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，直线px y 22=叫做抛物线的准线。

四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。

抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p 等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。

方程设抛物线()022>=p px y抛物线px y 22=的参数方程为：⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）。

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直线方程;;b.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，且中点为A ，求P 、Q 所在的直线方程(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5.二次曲线在高考中的应用二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

三、考点剖析考点一点、直线、圆的位置关系问题【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。

【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。

例１、(2019全国Ⅱ卷文)原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5解：原点为(0，0)，由公式，得：52152=+-=d ，故选（Ｄ）。

点评：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。

例２、（２００７湖南理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．解：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以，Ｒ＝11|4-11|++＝2，所以，所求方程为：22(1)(1)2x y -+-=点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。

例３、 (2019重庆理)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( )(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切解：配方，得：圆O 1：（x －１）2＋y 2＝１和圆O 2：x 2＋（y －２）2＝４，圆心为（１，０），（０，２），半径为r ＝１，Ｒ＝２， 圆心之间距离为：222-00-1）（）（+＝5，因为２－１＜5＜２＋１， 所以，两圆相交．选（Ｂ）．点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．考点二 直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。

圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。

【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。

例４、(2019广东文)经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是（ ）A ．01=+-y x B. 01=--y x C. 01=-+y x D.01=++y x解：易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,因此，选（Ａ.）。

点评：两直线垂直，斜率之积为－１，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。

例５、(2019山东文)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解：设圆心为(,1),a 由已知得|43|11,2().52a d a -==∴=-舍故选B. 点评：圆与x 轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。

考点三 曲线（轨迹）方程的求法【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法＋ 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。

【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。

例６、（2019深圳福田模拟）已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知： MF MN =即动点M 到定点F 与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点， 1x =-为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k k =->，01k k ∴<>或 设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-⋅+=，解得4k =-或0k =（舍去），又40k =-<， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=点评：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。