高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)
2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案 (2)
A1(－a,0).A2(a,0)
A1(0.－a).A2(0.a)
轴
实轴：线段A1A2.虚轴：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ .e∈(1.＋∞)
a.b.c的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝± x
y＝± x
三、离心率e的作用
(1)椭圆：e越大.图形越扁．
(2)双曲线：e越大.开口越小．
四、常见结论
答案：B
7．[20xx·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：通解：设P .x>0.则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4.当且仅当2x＝ .即x＝ 时取等号.故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时.曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时.曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时.轨迹为分别以F1.F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时.动点轨迹不存在．
(2)弦长公式：l＝2a＝2 .
3．切线长公式
圆的方程为f(x.y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.或f(x.y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0.圆外有一点P(x0.y0).由点P向圆引的切线的长为l＝ .
■自测自评——————————————
1．设a.b.c分别是△ABC中角A.B.C所对的边.则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题(解析版)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题典型例题构造中间值函数证明不等式【例1】已知函数()e x f x =,求证:曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【分析】要证函数()f x 的图像恒在另一个函数()g x 图像的上方,即证()()f x g x >,可用作差法,构造新函数()()()h x f x g x =-,利用导数证明()0h x >.也可以考虑中间值法,找到一个函数()x ϕ使()()()f x x g x ϕ>>. 【解析】证法一 构造中间值函数:1y x =+. 令()()e 1x F x x =-+,则()e 1x F x '=-.因为0x >,所以e 1x >,则e 10x ->,所以()0F x '>,故()F x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00F =,所以()0F x >,即e 1x x >+. 令()()()12ln 1ln G x x x x x =+-+=--,则 ()111(0).x G x x x x'-=-=> 令()0G x '=,得1x =.当x 变化时,()(),G x G x '在()0,∞+上的变化情况见表3.1.表3.1所以当1x =时,()G x 有最小值()10G =.所以()0G x ,则12ln x x ++,即e 2ln x x >+,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.证法二 构造中间值函数:e y x =.令()e e (0)x H x x x =->,则()e e x H x '=-.令()0H x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),H x H x '在()0,∞+上的变化情况见表3.2.表3.2所以当1x =时,()H x 有最小值()10H =.所以()0H x ,即e e x x ,当且仅当1x =时,“=”成立. 令()()e 2ln x x x ϕ=-+,则()1e 1e .x x x xϕ-=-=' 令()0x ϕ'=,得1ex =.当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在()0,∞+上的变化情况见表3.3表3.3则当1e x =时,()x ϕ有最小值1112ln 0e e ϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()0x ϕ,即e 2ln x x +,当且仅当1e x =时,"=”成立.所以e 2ln x x >+(=“”不能同时成立). 所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 证法三 构造差函数.设()()()2ln e ln 2(0)x g x f x x x x =-+=-->,则()1e x g x x =-'.令()1e x h x x=-,则()21e 0x h x x=+>'.所以()h x 在()0,∞+上单调递增,即()g x '在()0,∞+上单调递增. 因为()121e 20,1e 102g g ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()g x '在()0,∞+上存在唯一的0x ,使得()0001e 0x g x x =-=',即001e x x =,则00ln x x =-,且0112x <<.当x 变化时,()g x '与()g x 在()0,∞+上的变化情况见表3.4表3.4则当0x x =时,()g x 取得最小值()000001e ln 22x g x x x x =--=+-. 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0001220.g x x x =+->= 因此()0g x >,即()2ln (0)f x x x >+>,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】因为不等式与函数关系密切,所以经常将证明不等式恒成立的问题转化为求对应函数或构造新函数问题,而研究什么函数、如何构造函数是解题的关键.本题给出了几种证明不等式的方法,前两种方法都用到中间值法,寻找某函数在某点处的切线方程,进而利用差函数判断这条切线是否位于两个函数之间.在证法一中,1y x =+是函数e x y =在()0,1处的切线方程,也恰好是函数2ln y x =+在()1,2处的切线方程;在证法二中,y ex =是函数e x y =在()1,e 处的切线方程.这两种方法只要找到不等号两边的中间值函数,往往就可以使问题变得容易处理.证法三是直接构造差函数,利用导数的性质,以及灵活运用极值点处导数为0的方程,将函数的最值转化成均值不等式求解.构造差函数是常用的方法,但是对于导函数性质的研究需要深入,并且需要综合不等式的相关知识,难度稍大些. 参变分离求参数取值范围【例2】已知函数()ln f x x x =,若对任意1x 都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围. 【分析】对于不等式恒成立问题,可以考虑构造差函数,对参数进行分类讨论,利用导数研究差函数的取值范围;也可以考虑将参数分离出来,研究参数分离之后的新函数的图像和性质;还可以考虑将定义域内的特殊值代入不等式,首先限定参数的取值范围,再对参数进行分类讨论.【解析】解法一 直接构造差函数,分类讨论.()()()1ln 1,g x f x ax x x ax =--=-+令则()()1ln .g x f x a a x =-=-+''(1)若1a ,当1x >时,()1ln 10g x a x a '=-+>-,故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()110g x g a =-,即()1f x ax -.(2)若1a >,方程()0g x '=的根为10e a x -=.此时,若()01,x x ∈,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以当()01,x x ∈时,()()110g x g a <=-<,即()1f x ax <-,与题设()1f x ax -相矛盾.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(],1∞-. 解法二 参变分离.依题意,得()1f x ax -在[)1,∞+上恒成立,即不等式1ln a x x+对于[)1,x ∞∈+恒成立.令()1ln g x x x=+,则 ()211111.g x x x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1x >时,因为()1110g x x x '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是()1,∞+上的增函数,所以()g x 的最小值为()11g =,因此a 的取值范围是(],1∞-. 解法三 取特殊值.令()()()1ln 1g x f x ax x x ax =--=-+,由题意知对任意1x 都有()0g x ,所以()110g a =-,则1a ,因此()()1ln 0g x a x =-+',故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()min ()10g x g x g =,即()1f x ax -恒成立. 所以a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】对于不等式恒成立问题,构造差函数、对参数进行分类讨论研究差函数的符号,是解决这类问题的常用方法.但是有时分类讨论过于烦琐,而参变分离构造的新函数由于脱离了参数的千扰,易于研究其图像和性质.适当使用特殊值,将参数的范围界定在更小的范围内,有时会得到意想不到的效果.构造差函数求解恒成立问题【例3】已知函数()ln f x x x =,若对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围.【分析】对于不等式恒成立问题,通常转化为函数的问题来求解,构造差函数是最常用的一种解决办法.本题可直接构造差函数()()()1h x f x ax =--,问题即可转化为()0h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立时求a 的取值范围,可通过求()h x 的最大值来求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 当1e e x 时,不等式()ln 1f x x x ax =-,等价于1ln a x x+. 令()11ln ,e e g x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,则()221111,e .e x g x x x x x ⎛⎫-⎡⎤=-=∈' ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;当(]1,e x ∈时,()0g x '>,所以()g x 在区间()1,e 上单调递增.因为()1111ln e e 1 1.5,e lne 1 1.5.e e e e g g ⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以当e 1a -时,对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -.所以实数a 的取值范围是e 1a -. 解法二 直接构造差函数.设()()()1ln 1h x f x ax x x ax =--=-+,则()0h x 对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()h x 求导,得()1ln .h x x a =+-'令()0h x '=,得ln 1x a =-,所以1e a x -=.当x 变化时,()(),h x h x '在()0,∞+上的变化情况见表3.5. 表3.5当11e e a -,即0a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()max ()e e e 10h x h a ==-+,则11ea +,不满足0a ,舍去.当11e e e a -<<,即02a <<时,()h x 在11,e e a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(1e ,e a -⎤⎦上单调递增, 于是(e)0,10,e h h ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩所以11,e e 1.a a ⎧+⎪⎨⎪-⎩又因为02a <<,所以e 12a -<.当1e e a -,即2a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以max 1()0e h x h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则e 1a -,满足2a .综上所述,实数a 的取值范围是e 1a -. 解法三 先等价变形,再构造差函数.因为0x >,所以不等式()ln 1f x x x ax =-等价于1ln x a x-.设()11ln ln x x a x a x x ϕ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,即()0x ϕ对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()x ϕ求导,得()22111.x x x x xϕ-=-='由解法一知,()x ϕ在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间()1,e 上单调递增.所以()10,e e 0,ϕϕ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩即e 1,11,e a a -⎧⎪⎨+⎪⎩故e 1a -. 【点睛】对于含有参数的不等式恒成立问题,构造差函数后,分析导数的符号情况时,通常要对参数进行分类讨论.有时,对不等式进行等价变形后再构造差函数,会使问题更加容易解决利用二次函数性质判断参数取值范围【例4】已知函数()()321232af x x x x a =-+-∈R .若对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.【分析】若原函数是三次函数,则其导数为二次函数.有关导数的不等式恒成立问题可以由二次函数的图像和性质直接求解,也可以利用参变分离结合构造的新函数的图像和性质求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 对函数()f x 求导,得()2 2.f x x ax '=-+-因为对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立.因为10x ->,所以对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立.令()()()21,1x g x x x ∞=∈+-,则 ()()()222222122.(1)(1)(1)x x x x x x x g x x x x ----===---' 令()0g x '=,得2x =.当x 变化时,()(),g x g x '在()1,∞+上的变化情况见表3.6.表3.6所以()min ()24g x g ==,故实数a 的取值范围是4a <. 解法二 直接研究二次函数.对函数()f x 求导,得 ()2 2.f x x ax '=-+-若对任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立,亦即20x ax a -+>成立.设()2h x x ax a =-+,则二次函数()h x 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为2a x =.由题意,对于任意()1,x ∞∈+都有()0h x >,则()1,1,2210Δ0,a a h ⎧⎧>⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎩或即2,2,04,a a a a ⎧>⎧⎨⎨∈<<⎩⎩R 或 所以2a 或24a <<.所以实数a 的取值范围是4a <.解法三 参变分离结合均值不等式.由解法一知,对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立,则()()22(1)21111 2.111x x x x x x x -+-+==-++--- 因为10x ->,所以()()1122124,1x x x -++-=- 当且仅当11,11,x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即2x =时,“=”成立.所以实数a 的取值范围是4a <.【点睛】二次函数是基本初等函数之一,在研究函数的导数符号时会经常遇到.二次函数与二次方程、二次不等式在有关函数问题的求解中起到重要作用,对二次函数的图像和性质要予以足够的重视. 等价转化求解恒成立或存在性问题【例5】已知函数()e x f x x =-,当[]0,2x ∈时,不等式()f x ax >恒成立,求实数a 的取值范围.【分析】我们在解决不等式恒成立问题时,可以将不等式等价变形,通过移项、去分母或者乘以(除以)某一正项,再分离参数、构造新函数,将不等式问题等价转化为函数问题,就可以利用导数来研究函数的图像和性质了. 【解析】解法一 参变分离构造新函数. 由()f x ax >,得()1e x a x +<.当0x =时,上述不等式显然成立,则a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 1x a x <-,令()e 1xg x x=-,则()()21e x x g x x-='. 令()0g x '>,解得1x >;令()0g x '<,解得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增.所以当1x =时,()g x 取得最小值e 1-,因此所求实数a 的取值范围是(),1e ∞--.解法二 等价变形后构造新函数.由题意,不等式()e x f x x ax =->,当0x =时,()010f =>恒成立,a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 10xa x-->.设()e 1(02)xh x a x x=--<,则()()21e xx h x x -=',由解法一知,()min ()1e 10h x h a ==-->,所以e 1a <-,故所求实数a 的取值范围是(),e 1∞--.解法三 直接构造差函数,分类讨论.设()()e x x f x ax x ax ϕ=-=--,则()e 1x x a ϕ=--'.由题意知,对于任意[]()0,2,0x x ϕ∈>恒成立,等价于min?()0x ϕ>.①当1a -时,10a --,因为e 0x >,所以()0x ϕ'>,则()x ϕ在[]0,2上单调递增,所以()min ()010x ϕϕ==>,故1a -满足题意.(2)当1a >-时,则()e 10x x a ϕ=--=',得e 1x a =+,所以()ln 1x a =+. 当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在(),∞∞-+上的变化情况见表3.7.表3.7当()ln 10a +,即011,10a a <+-<时,()x ϕ在[]0,2上单调递增,则()min?()010x ϕϕ==>,所以10a -<,满足题意.当()0ln 12a <+<,即2211e ,0e 1a a <+<<<-时,()x ϕ在()()0,ln 1a +上单调递减,在()()ln 1,2a +上单调递增,则()()()()min ()ln 11ln 1ln 1x a a a a a ϕϕ=+=+-+-+()()11ln 10,a a ⎡⎤=+-+>⎣⎦ 因为()10,1ln 10a a +>-+>,所以01e a <+<,因此0e 1a <<-. 当()ln 12a +,即221e ,e 1a a +-时,()x ϕ在[]0,2上单调递减,则()min()2e 220x a ϕϕ==-->,所以2e 12a <-,不满足2e 1a -.综上所述,实数a 的取值范围是(),e 1∞--.【点睛】不等式恒成立或存在性问题常常转化为对应函数的最值问题,可以通过不等式的等价变形,找到易于研究的函数求解. 分类讨论研究函数的图像和性质【例6】设函数()e 1(0)x f x ax a =-+>,当1x <时,函数()f x 的图像恒在x 轴上方,求a 的最大值.【分析】函数()f x 的图像恒在x 轴上方(或下方)之类的问题,转化为代数语言即()0f x >(或()0)f x <恒成立的问题,本质上还是不等式问题.此时,求解参数的取值范围,一种思路是通过研究导数的零点而研究原函数的图像和性质,找到()f x 的最小值或取值范围,即可找到参数的取值范围;另一种思路是将参数直接分离出来,研究分离后的新函数的图像和性质.这两种思路通常都需要用到分类讨论的思想方法.【解析】解法一 因导数零点的不确定性而分类讨论.对()f x 求导,得()e x f x a '=-.令()0f x '=,即e x a =,则ln x a =.①当ln 1a <,即0e a <<时,对于任意(),ln x a ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),ln a ∞-上单调递减;对于任意()ln ,1x a ∈,有()0f x '>,故()f x 在()ln ,1a 上单调递增.因此当ln x a =时,()f x 有最小值()()ln ln 11ln 10.f a a a a a a =-+=-+> 故0e a <<成立.②当ln 1a ,即e a 时,对于任意(),1x ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),1∞-上单调递减.因为()0f x >恒成立,所以()10f ,即e 10a -+,所以e 1a +,则e e 1a +. 综上所述,a 的最大值为e 1+. 解法二 因分离参数而分类讨论.由题设知,当1x <时,()e 10x f x ax =-+>.① 当01x <<时,e 1x a x +<.设()e 1x g x x+=,则()()221e 1e e 10.xx x x x g x x x '----==<故()g x 在()0,1上单调递减,因此,()()1e 1g x g >=+,所以e 1a +. ② 当0x =时,()20f x =>成立.③ 当0x <时,e 1x a x +>,因为e 10x x +<,所以当e 1a =+时,e 1x a x +>成立. 综上所述,a 的最大值为e 1+.【点睛】何时需要分类讨论?是不是有参数就一定要分类讨论?其实,这是没有一定之规的,关键是按照研究的需要而定.本题的两种解法提供了两种分类讨论的角度,解法一讨论的是参数,解法二讨论的是自变量.因为解法一中导数的零点ln x a =含参数,所以无法确定其与定义域()(),1x ∞∈-的关系,于是就要按照ln a 与1的大小关系来分类讨论;而解法二是为了分离参数,由()0f x >得e 1x ax +,不等式两边同时除以x ,因确知x 的符号而进行分类讨论.解题时不要墨守成规,要根据实际情况灵活选用恰当的方法.关注特殊值,优化分类讨论【例7】已知函数()e ax f x x =-,当1a ≠时,求证:存在实数0x 使()01f x <. 【分析】为证明“存在实数0x 使()01f x <”,只需找到一个满足条件的实数0x 即可.因函数()f x 中含有参数a ,故考虑对参数a 进行分类讨论.当实数0x 容易寻找时,可直接得出结论;当实数0x 不能直接发现时,可以将不等式()01f x <等价转化为函数()f x 的最小值小于1.【解析】证法一 当0a 时,显然有()1e 101a f =-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,对函数()f x 求导,得()e 1.ax f x a =-' 由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()111ln 1ln f a a a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()f x 的最小值.由函数()e ax f x x =-可得()01f =,由1a ≠可得11ln 0a a ≠,所以()11ln 01f f a a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.证法二 当0a 时,显然有()1e 101a f <-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以111ln ln af a a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭是()f x 的极小值.设()1ln x g x x +=,则()2ln (0)xg x x x-=>'.令()0g x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),g x g x '在()0,∞+上的变化情况见表3.8.表3.8所以当1x ≠时,()()11g x g <=,所以11ln 1f a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.【点睛】证明存在性(或不存在性)问题,只需找到满足条件的变量即可,这时要注意观察函数结构,可以结合不等式性质、定义域等寻找特殊值.常取的自变量的值一般首先考虑0,1,1-,112,e,,2e,等等,还要注意端点的函数值以及极值、最值等,具体要根据实际情况而定.有时特殊值选取恰当,可以起到事半功倍的效果.另外,还要注意等价转化的恰当使用,如转化为求函数的最值问题等,可以使目标更加明确. 先找必要条件再证充分性【例8】 设函数()2ln f x ax a x =--,其中a ∈R .确定a 的所有可能取值,使得()11e xf x x->-在区间()1,∞+内恒成立. 【分析】当()1,x ∞∈+时,211ln e xax a x x--->-恒成立,求参数a 的取值范围.常规的解法有两种.第一种:将所有项移到左边构造函数,令()211ln e x g x ax a x x -=---+,对该函数求导,求出在()1,∞+内的最小值(含参数a ),再令最小值大于0,求得a 的取值范围.第二种:分离参数得121ln e 1x x x a x -+->-,右边不含参数,利用导数求其最大值,则可得a 的取值范围.这两种方法容易想到,但操作过程异常复杂,利用高中知识很难解决,所以可以尝试变形改变结构,将该不等式的结构变为易于处理的形式,把对数、指数都移到一边:()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 这样至少左边的函数是我们比较熟悉的.猜想存在一个函数()h x 满足()()2111ln e x a x h x x x -->>+-,我们的想法是先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.这种方法的本质是利用不等式的传递性,用切线作中间量,此外还有如下思路:设命题()211:ln e 0x p g x ax a x x -=---+>在区间()1,∞+内恒成立,易见()10g =,于是根据导数的定义,有()()()()1111lim lim 11x x g x g g x g x x ++→→'-==--(符号1x +→表示从1的右侧趋近于1),可知若命题p 成立,则有命题():10q g '成立.即命题q 是命题p 的必要条件,于是命题p 对应的范围是命题q 所对应的范围的子集.利用此方法我们可以得到一个大致的范围.【解析】解法一 利用不等式的传递性,用切线作中间量. 由题意,有()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 设()11ln e x G x x x -=+-,则()1211e 0(1),x G x x x x-'=-+>> 所以函数()G x 在()1,∞+上单调递增.以点()1,0A 为切点,对应的切线为:1G l y x =-. 下面证明()G x 的图像位于直线G l 的下方,即11ln e 1xx x x-+-<-. ()()1111ln e 1ln e 1,x x H x x x x x x x --=+---=+--+则()1211e 1.x H x x x-'=-+- 因为ln 1x x <-, 则1111ln.x x e x x--<⇔< 所以()2122211111(1)e 110.xx H x x x x x x x --=-+-<'-+-=-<因此()H x 在()1,∞+上单调递减.因为()10H =,所以()0H x <,即结论成立. 于是()21111ln e xa x x x x-->->+-,则问题转化为()211(1)a x x x ->->,求参数a 的范围.化简上式可得()11a x +>,易得12a ,所以1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. 解法二 必要性先行.设()211ln e x g x ax a x x -=---+,则()10g =,对()g x 求导,得()12112e x g x ax x x -=-+-'由()10g ',得()1210g a =-',即12a. 下面再证明充分性,即当1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时,()211ln e 0x g x ax a x x -=---+>.因为12a,所以()()221112a x x --在()1,∞+上恒成立.于是不等式转化为()()21111ln e 2x g x x x x ----+,则只需证明()21111ln e 02x x x x----+>即可. 有以下两种证法: 证法一 令()()21111ln e ,2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭对()H x 求导,得()()()212221111111e 0,xx x x H x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=>'其中指数函数的放缩技巧参考解法一.所以()H x 在()1,∞+上单调递增,故()()10H x H >=,即()21111ln e 2x x x x-->+- 证法二令()()21111ln e 2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,则()1211e ,x H x x x x -=-'+- ()3112331221e e .xx x x H x x x x--'+-=+-+='+ 因为()1,x ∞∈+,所以320x x +->,则()0H x ''>,所以()H x '在()1,∞+上单调递增,而()10H '=,于是()0H x '>,则()H x 在()1,∞+上单调递增,所以()()10H x H >=.综上可知,a 的取值范围为1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.【点睛】解法一的核心思路是利用不等式的传递性,把切线作为中间量,既转化了问题,又降低了难度.也就是,先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.最简单的函数就是一次函数了,这样我们就自然想到了切线,设()11ln e x G x x x-=+-,设想存在一条()G x 的切线y kx b =+满足()kx b G x +>,这样的话说明切线应该位千函数()G x 的图像上方,那究竟是不是这样呢? 我们先利用导数来判断()G x 的单调性,()1211e 0(1)x G x x x x-'=-+>>,说明该函数在()1,∞+上单调递增,那么它的形态到底是图3.1还是图3.2呢?图3.1图3.2事实上这里就涉及函数的“凹凸性”问题,但鉴于高中阶段的教学内容中没有“凹凸性”的定义,所以我们只能用代数方式来证明()G x 的图像是图3.2的形式,也就是说,()G x 图像上任意一点处的切线都在()G x 图像的“上方”,那么在这个问题里,我们选哪个点为切点呢?因为现在给定的区间是()1,∞+,所以我们选择了端点. 我们的目标是要证明()0H x '<,因为()10H '=,并且()1211e 1x H x x x-=-+-'中前面两个函数都是分式函数,于是考虑将指数1e x -放缩为分式函数.该解法最难的部分是“凹凸性”的代数证明,函数()G x 的“凹凸性”确保了该解法的正确性.如果函数()G x 是“向下凸”也即图3.1,则“切线法”就失效了,因此“切线法”有其局限性.解法二的精髄在于,先求得一个大致的范围,即寻找一个必要条件,再结合题千信息证明其充分性.对于比较难的题目,我们可通过弱化题目要求,先解决问题的一部分,自行降低难度,先获得一些简单的结论,再将其扩充至一般情形,这是一种“以退为进”的策略.。
田旭宵-华约-数学-解析几何专题含答案
6.
中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ,其中 A, B 是待定 的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C 2 0 的交点的直线系 方程为 ( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0 (除 l2 )，其中是待定的系数．
D2 E 2 4F ，因此需满足 2
D 2 E 2 4 F ＞0； x a r cos . （3）圆的参数方程 y b r sin （ 4 ）圆的直径式方程 ( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0 ( 圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ).
G( x, y ) 0 在点 P0 处的切线 . 由于 P0 ( x0 , y0 ) 在曲线上，于是 上一点 P0 ( x0 , y0 ) ，直线 P 1P 2 就是曲线
2 2 Ax0 Bx0 y0 Cy0 Dx0 Ey0 F 0 . 故 曲 线 G( x, y ) 0 在 其 上 一 点 P0 ( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是
注：可以由两个端点直接写出圆方程，不要再求中点算半径那么绕了。 和直线系一样，我们有圆系方程，站在这样高的角度有助于我们理解题意：
3
华约自主招生考前冲刺课程（第三轮寒假班）课程讲义
by：田旭霄
2.
圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是
( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) [( x x1 )( y1 y2 ) ( y y1 )( x1 x2 )] 0 ( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) (ax by c) 0 ,其中 ax by c 0 是直线 AB 的方程,λ 是待定的系数． (2) 过 直 线 l : Ax By C 0 与 圆 C : x 2 y 2 Dx Ey F 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x 2 y 2 Dx Ey F ( Ax By C ) 0 ,λ是待定的系数． (3) 过圆 C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0 与圆 C 2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0 的交点的圆系方程 是 x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ,λ是待定的系数． 3. 点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的位置关系有三种
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（Ⅱ）若 为线段 的中点，射线 交抛物线 于点 ，求证： .
备注：以抛物线为背景，核心变量的选择（直线方程的不同形式）；几何特征翻译代数关系（先转化再翻译）
解：（Ⅰ）因为直线 过点 且与抛物线 交于 两点， ，
设 ， ，直线 （不垂直 轴）的方程可设为 ．
所以 ， ．
因为直线 与 的斜率之积为 ，
所以 ．
所以 ，得 ．……4分
由 消 得
其中
所以 ， ．
所以 ，抛物线 ．……8分
（Ⅱ）设 ，因为 为线段 的中点，
所以 ， .
所以直线 的斜率为 .
直线 的方程为 代入抛物线 的方程，
得 .
所以 .
因为 ,
所以 .……13分
3.（东城区2018.5文科）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
A． B． C． D．
6.已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，则直线截圆 所得的弦长是_____________．
7.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是式组所表示的区域非空当且仅当点（ ）位于直线 的下方，即 ，由此解得 。
③三角形面积： 底×高，正弦定理面积公式
④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式
⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比
⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比
⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式
⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称
⑨直线与圆的位置关系
分析：∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°.
则△AA1F为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，
则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
则KF＝A1F1＝ AA1＝ AF，即p＝ ，
∴抛物线方程为y2＝3x.
3.（2018年北京高考）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为；双曲线 的离心率为．
二轮复习——解析几何
一．专题内容分析
解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划
二．解答策略与核心方法、核心思想
圆锥曲线综合问题的解答策略：
核心量的选择：
常见的几何关系与几何特征的代数化：
①线段的中点：坐标公式
②线段的长：弦长公式；解三角形
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, ，
显然直线 斜率存在，设直线 方程为 .
由 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 .
直线 方程为 ，由 ，消 ，
得 .
又 ,所以 ，即 ，
. .
由 可得 ，
解得 , ， ，
解法3：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行, .
A. B.2C. D.
分析：由题可知 ，所以 ，
在 中， ，
又在 中， ，
，所以
所以 ，所以离心率 .故选C.
解法二：过左焦点作渐近线的垂线，垂足为Q，利用直角三角形勾股定理建立关系，可求。
2.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为_____.
所以 ，同理 ．
所以 ．
所以 ．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解法2：作 于 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
同理 ，
所以 ，
又 ，同理 ．
所以．
综上，△ 的周长等于椭圆 的长轴长 ．
解析几何选择填空题练习：
1.（2018年全国3卷）设 是双曲线 的左、右焦点， 是原点．过 作 一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征
代数运算：设参、消参
重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析
1.（海淀区2017.4）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，且 ，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点 ,若点P在直线 上，直线 与椭圆交于另一点 判断是否存在点 ，使得四边形 为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
原题等价于函数 的最大值小于2， 即 。
8.若实数 满足不等式组 则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）D
解析：连接 ，根据椭圆的定义可知， ， ．
由图中 为正六边形，得 ．
所以，在直角三角形 中， ， ．
故椭圆的离心率为 ．
由题可知，双曲线的一条渐近线的方程为 ．
所以 ．
双曲线的离心率为 ．
4.在极坐标系 中，方程 表示的圆为D
（A）（B）（C）（D）
5．直线 的参数方程为 （ 为参数），则 的倾斜角大小为C
解法1：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行，即 .
设点 ， ， ， ,
直线 方程为 ，
由点 在直线 上，则
联立， ，显然 ，可解得 .
又由点 在椭圆上， ，所以 ，即 ，
将其代入 ，解得 ， .
解法2：（Ⅰ）椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）假设存在点 使得四边形 为梯形.
显然直线 存在斜率且斜率不为 ，
设直线 方程为 . ，得 .
，由 得 ，
设 ，又因为 ， ，
，即 .
由 ，所以 ，解得 ， .
解法4：假设存在点 使得四边形 为梯形.
由题可知，显然 不平行，所以 与 平行,
所以 .过点 作 于 ，则有 ，
， ，即 ，代入椭圆方程，求得 ，
.
2.（东城区2016.4理科）已知抛物线 ，焦点 ， 为坐标原点，直线 （不垂直 轴）过点 且与抛物线 交于 两点，直线 与 的斜率之积为 ．
（Ⅱ） 是椭圆 在 轴右侧部分上的两个动点，若原点 到直线 的距离为 ，证明：△ 的周长为定值．
解：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ） 当 垂直于 轴时，可得 ．
当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
因为原点 到直线 的距离为 ，所以 ，即 ．
由 得 ，
即 ．
设 ， ，则 ， ．
所以
．
因为 , 在 轴右侧，所以 ，所以 ．