高三数学解析几何解题技巧
江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题
06
解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学复习专题之一----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征：(1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现；(2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目；(3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现；(4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解；②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用；③要注意圆锥曲线定义的活用.另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系.., ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.12222222中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C ae b b ax y C e C PQF F Q P l e b a by a x C +=∆∆>=-. ),3 , 2(21的轨迹方程顶点求：当椭圆移动时其下为离心率，且过点轴为准线，以练习：设椭圆恰以P A x .)2( )1( 41)0,4( 02010.2222的方程求双曲线的渐近线方程；求双曲线上，又满足在线段点，且点轴交于两点，和、交于和双曲线，使的直线做斜率为过点相切，近线与圆的中心在原点，它的渐双曲线例G G PCPB PA AB P C y B A G l l P x y x G =⋅-=+-+最大值为多少？，多少时矩形的面积最大，当矩形的长与宽各是若矩形内接于曲线的方程求抛物线顶点轨迹轴为准线且以已知抛物线经过例 )2( ;)1( ),4,3(.3l l y A .)2( )1( )0,6( 8)0(2.42面积的最大值求求抛物线方程的垂直平分线通过定点又线段为焦点，且，、上有两动点设抛物线例AQB Q AB BF AF F B A p px y ∆=+>=。
高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
147分学霸分享丨解析几何的解题方法
147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。
具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。
分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。
针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。
大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。
然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。
为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。
第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。
第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。
毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。
解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。
高三数学解析几何新题型的解题技巧研究农仕科
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高三解析几何专题数学知识点
高三解析几何专题数学知识点进一步，把问题用图形表示出来，需求直线x-2y=m所与求轨迹的切点。
用判别式△=0→m=p，得切点Q(3p，p)点Q到直线的x-2y=0间隔是-，即-=-→p=2复习导引：高考题解析局部大量的问题是直线与圆锥曲线相交，我们首先要抓住直线是否过圆锥曲线焦点?这局部第1至第5题说明了直线过焦点的处理方法，第6题注又从反面说明在条件下才采用过焦点的方法。
第4题引出了在什么条件下用两式相减可以简化推导过程。
1. 椭圆-+-=1的左、右焦点分别为F1，F2。
过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
(Ⅰ)设P点的坐标为(x0，y0)，证明：-+-(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
解(1)点P在以|F1F2|为直径的圆上，∴x02+y02=1，-+--+-=-=-1解：分析(2)SABCD=S△ABC+S△ADC=-|AC||BP|+-|AC||DP|=-|AC||BD|下面是如何求出|AC|=?|BD|=?由椭圆第二定义：|BD|=|BF2|+|DF2|又右准线方程为x=-=3，e=-=-=-|BF2|=(3-xB)e，|DF2|=(3-xD)e|BD|=[6-(xB+xD)■过F2的直线lBDy=k(x-1)，k≠0，k存在。
|BD|=-■=-同理可求得：|AC|=-S=-(3k2+2)+(2k2+3)2-5(k2+1)2-SABCD-，当3k2+2=2k2+3，k2=1，k=±1。
当k不存在，可设BD⊥x轴，这时kAC=0SABCD=-2-■=4-∴(SABCD)min=-，此时k=±1注：此题第(2)用两点间间隔公式求|AC|、|BD|也可行，计算量稍大，如果直线过圆锥曲线焦点，就要考虑椭圆或双曲线第二定义。
平面解析几何高三数学复习口诀
平面解析几何高三数学复习口诀
平面解析几何高三数学复习口诀
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者-一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。
图形直观数入微，数学本是数形学。
高三数学复习口诀：平面解析几何由为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
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【平面解析几何高三数学复习口诀】。
【高三提优】解析几何基本解题策略初探
y0 y y y (x x ) 1 0 x0 m 0 1 0 x0 m x1 x0 y1 y0 y ( x x ) x y y 0 x1 m x0 0 1 0 = 0 1 y1 y 0 y1 y0 y y y y0 ( x1 x0 ) 0 1 0 x0 n x0 n x1 x0 y1 y 0 y ( x x0 ) x0 y1 y 0 x1 n x0 0 1 y1 y 0 y1 y 0
理解——领悟——内化——感觉
【小北】高三数学提优学案
4. 如图在平面直角坐标系 xOy 中， E :
x2 a
2
y2 b
2
1(a b 0) 的焦距为 2，且过点 ( 2 ,
6 ). 2
（ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 A ， B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭 圆上异于 A ， B 的任意一点，直线 AP 交 l 于点 M . ① 设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ，求证： k 1 k 2 为定值； ② 设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证：直线 m 过定点，并求出定点的坐标 .
3. 已知椭圆的中心为坐标原点 O，椭圆短轴长为 2，动点 M (2, t ) (t 0) 在椭圆的准线上。 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）求以 OM 为直径且被直线 3x 4 y 5 0 截得的弦长为 2 的圆的方程； （ 3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N， 求证：线段 ON 的长为定值，并求出这个定值。
理解——领悟——内化——感觉
高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版)
2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】班级： 姓名：［例1］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3=.［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ）A 、arctana b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b. ［例3］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x.［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]43,2[πarctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)528,51(D . ［例8］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)25,2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆222r yx =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是（ C ）A 、相离；B 、相切；C 、相交且不过圆心；D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：222r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<<r.［例11］二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；04,0,022>-+=≠=AF E D B C A .［例12］已知圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.1222=-x y . ［例13］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+yx 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿；4)2(22=+-y x （)10<≤x .［例14］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；2.［例15］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿3＿＿.［例16］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是＿＿；)21(62-=x y 与232()2y x =-.［例17］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切.（1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设+=，当四边形OAPB 的面积最大时，求直线l 的方程.（1）1422=+y x . （2）由OB OA OP +=知，四边形OAPB 是平行四边形.要使得四边形OAPB 面积最大，则△OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB 的面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的面积之差.设A ),(),,(2211y x B y x ，则12||||||AOB S y y ∆=-.可在联立方程组时，消去变量x ，保留y .设直线l 的方程为2x my =+，由22221(41)1612042y x m y my x my ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩.由△=22(16)412(41)0m m -⨯⨯+>，得2430m ->. 由韦达定理得：1212221612,4141m y y y y m m +=-=++知021>y y .则12||||||AOBS y y ∆=-=||21y y-==.令243(0)m t t -=>，那么：2S ==≤=，当16tt =时等号成立.此时274m =，即所求的直线方程为42x y =±+. ［例18］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；以i 2与i 2-对应点为端点的线段.［例19］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若点P 满足：21,02121=∠=⋅F PF tg PF PF ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ D ）A 、21； B 、32； C 、31； D 、35.［例20］一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程2-=x . ［例21］椭圆13422=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.]10031,0()0,10031[ -∈d . ［例22］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆方程为＿＿＿.12622=+y x . ［例23］一双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿.12222=-y x .［例24］一双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；21322=-y x . ［例25］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.10<≤k .［例26］已知双曲线的方程为116922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿13；［例27］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a-=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；31cos 21=∠PF F .［例28］双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿1＿＿＿＿＿.［例29］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿)161,0(＿＿＿；准线方程是＿＿161-=y ＿＿［例30］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿0105=±-+y x ＿； ［例31］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有（ B ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.［例32］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是（ C ） A 、直角三角形；B 、锐角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与抛物线的开口大小有关. [例33]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2.分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB ，),(),,(2211y x B y x A ，则由抛物线的定义知12||2AB x x p p p p =++≥==.当且仅当21x x =时等号成立.此时直线AB 与对称轴垂直.［例34］已知点M 是椭圆12222=+by a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB 的中点，O 是坐标原点，设OM 、AB 的斜率分别为21,k k ，则21k k ⋅＝―――――――――――――（ C ）A 、22b a ；B 、22a b ；C 、22a b -；D 、22ba -.［例35］设直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，与椭圆相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程.分析：由题可设直线l ：3+=my x 代入椭圆方程中得：0132)4(22=-++my y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，可得△OAB 的面积S=||23|)||(|232121y y y y -=+，可得：619)1(132)4(13244)4(1223222222222++++=++=+++=m m m m m m m S ，则当312=+m 时，S 有最大值为1.此时直线l 方程为：32+±=y x .［例36］设点P 为双曲线1422=-y x 上的动点，F 是它的左焦点，M 是线段PF 的中点，则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿；14)25(22=--y x ［例37］已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上的一个动点.如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是（ A ）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线的一支；D 、抛物线.［例38］已知直线l 过点)1,1(M ，双曲线C ：1322=-y x .（1）若直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围； （3）是否存在直线l 使其与双曲线的有两个不同的交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线1=x 满足题义.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为)1(1-=-x k y ，联立得方程：0)42()1(2)3(222=+-----k k x k k x k ---（*） 当032=-k时，方程（*）是一次方程，直线l 与双曲线有一个公共点，此时直线l 方程为)1(31-±=-x y .当032≠-k 时，由△02448=-=k ，得2=k ，所以满足题义的直线l 为：)1(31,012,1-±=-=--=x y y x x . （2）直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△k2448-=0>，知2<k 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-=⋅>--=+034203)1(22221221k k k x x k k k x x ，得23<<k 或3-<k . （3）若以AB 为直径的圆过坐标原点，则0=⋅，设),(),,(2211y x B y x A ，即02121=+y y x x .0)1())(1()1(221212=-++-++k x x k k x x k ， 0142=++k k ，32±-=k （满足)2<k［例39］倾角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点.（1）△ABC 能否为正三角形？ （2）若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围.分析：（1）直线l 方程为)1(3-=x y ，由x y 42=可得)332,31(),32,3(-B A .若△ABC 为正三角形，则3π=∠CAB ，由3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平行，此时4||=AC ，又3162313||=++=AB .与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC 不可能是下正三角形.（2）设),1(m C -，则}332,34{},32,4{m m --=-=，2)332(-=⋅m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角.若CAB ∠为钝角，则0<⋅，}338,38{=，则0)32(338332<-+m ，得3310>m.若角ABC ∠为钝角，则0<⋅且C 、B 、A 不共线.可得332-<m 且36-≠m . 综上知，C 点纵坐标的取值范围是),3310()332,36()36,(+∞----∞ . 2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何2【典型题型方法】班级： 姓名：一、轨迹问题例1、如图，已知圆C ：2)1(-x ＋2y ＝2r （r ＞1），设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上．（1）当r ＝2时，求满足条件的P 点的坐标； （2）当r ∈（1，＋∞）时，求N 的轨迹G 方程；（3）过点Q （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点A ，B ，若CA --→CB --→⋅＞0，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）由已知得，当r ＝2时，可求得M 点的坐标为（－1，0）．设P （0，b ），则由MP CP k k ⋅＝－1，得：2b ＝1，所以b ＝±1，即点P 坐标为（0，±1）．（2）设N （x ，y ），由已知得，在圆方程中令y ＝0，得M 点的坐标为（1－r ，0）．由MP CP k k ⋅＝－1，得：r ＝2b ＋1．因为点P 为线段MN 的中点，所以x ＝r －1＝2b ，y ＝2b ，又x ＞1， 所以点N 的轨迹方程为：2y ＝4x （x ＞0）． （3）设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），⎩⎨⎧=+=xy kx y 422，消去y ，得：22x k ＋x k )44(-＋4＝0． ∵直线l 与抛物线2y ＝4x （x ＞0）相交于两个不同的点A ，B ， ∴△＝－32k ＋16＞0，得：k ＜21． 又因为CA --→CB --→⋅＞0，∴)1)(1(21--x x ＋21y y ＞0，⇒212)1(x x k +＋))(12(21x x k +-＋5＞0，2k ＋12k ＞0，∴k ＞0或k ＜－12． 综上可得：0＜k ＜21或k ＜－12．例2、如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，我们称12F BF ∆为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.（1）已知椭圆221:14x C y +=和222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似比，若不相似请说明理由； （2）已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对称，若存在，则求出函数()f b MN =的解析式.（3）根据与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；解：（1）椭圆2C 与1C 相似. 因为2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为32的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 假定存在，则设M 、N 所在直线为y x t =-+，MN 中点为()00,x y .则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=142222b y bx tx y 0)(485222=-+-⇒b t xt x . 所以5,5420210t y t x x x ==+=.中点在直线1y x =+上，所以有35-=t .（3）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 两个相似椭圆之间的性质有：（1）两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；（3）两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； （4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.二、最值问题例3、已知椭圆,1ny m x 22=+常数m 、n +∈R 且m>n (1) 当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P,与y 轴交于点Q, 若FP 2QF =,求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -(1k ≥)的两条直线与椭圆,1ny m x 22=+的交点A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S （3）求S 的最大值。
解析几何问题-解题之后再思索
解析几何问题——解题之后再思索江苏省姜堰中学 张圣官 （225500）在高三数学各类模拟练习中，解析几何题往往处于关键位置，成为区分中等水平上下的分水岭。
同学们也普遍对于解析几何题有种畏惧情绪，在解题过程中经常出现半途而废的现象，或者运算过程繁琐耗时太多，或者思路受阻无法突破。
确实的，解析几何的本质就是“解析法”，也就是在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数运算处理几何问题的一门数学分支。
解题时必要的运算是少不了的，但不能一味强攻，而是要采取合理的策略。
那么在高三考试后于试卷讲评课之时我们该怎样引导学生进行解析几何题解题之后的反思呢？ 反思之一：曲线的几何性质充分挖掘了吗？ 我们先来赏析一道高考题。
（2013江苏17题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。
设圆C 的半径为1，圆心在l 上。
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
命题组提供的解法如下：（1）切线为3y =或334y x =-+（略）；（2）因为圆心在y=2x-4上，所以圆C 方程为22()[(24)]1x a y a -+--=。
设(,)M x y ，因为MO MA 2=，所以=22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=。
所以M在以(0,1)D -为圆心、2为半径的圆上。
由题意，M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则13CD ≤=≤，解得1205a ≤≤。
这道题因为朴实平和、轻盈飘逸，获得了一片叫好声，有老师为此欢呼“春风又绿江南岸”。
但据阅卷老师反映，该题得分并不高。
据说凡能转化到“圆C 与圆D 有公共点”的，后续过程大都一蹴而就，否则受困于此，或者解题走进死胡同。
例如，当得到圆D 的方程后，有些同学并未有意识地去认识轨迹是何图形，只是专注于M 点同时在两条曲线上，故由两条曲线方程联立，得2222230()[(24)]1x y y x a y a ⎧++-=⎨-+--=⎩有解，消去x 或y 转化为一元二次方程。
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高三数学解析几何解题技巧解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。
能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。
在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。
其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。
三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。
解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。
一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。
如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。
常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-=几个特殊转换技巧：①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =⋅则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-⋅-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。
②利用向量求距离。
③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ⋅的值分别是小于零、等于零或大于零。
一般角度问题转化为向量夹角公式即：||||cos b a b a ⋅=θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ∆中（O 是原点） )2())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---===||21A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。
如椭圆12222=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=∆∆∆ ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。
最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。
【例题训练】1．（本小题满分14分）给定椭圆),0(1:2222>>=+b a by a x C 称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为),0,2(F 其短轴上的一个端点到F 的距离为.3(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线,,21l l 使得21,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且21,l l 分别交其“准圆”于点M ，N .①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求21,l l 的方程； ②求证：MN 为定值.2．（本小题共14分）已知动圆过定点),0,1( 且与直线1-=x 相切．(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点),1,0( 并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足0=⋅OQ OP ？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3．（本小题满分14分） 已知椭圆,14:221=+y x C 椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． (1)求椭圆2C 的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，,2OA OB =求直线AB 的方程.参考答案1．解：(1)由题意得,2=c 3=a ，所以,1=b 故椭圆方程为,1322=+y x 准圆的方程为422=+y x ............................................................................2分(2)①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，它的坐标为），（20 由题意知直线21,l l 的斜率均存在时，设其斜率分别为21,k k过点P 的直线l 的方程分别为2+=kx y 联立方程组,13222⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x kx y 消去y 得0912)31(22=+++kx x k 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以,036362=-=∆k 解得,1±=k ..............................................4分不妨设,11=k 12-=k所以21,l l 的方程分别为.2,2+-=+=x y x y .......…………………5分②(i)当21,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或.3-=x当1l 的方程为3=x 时，1l 与准圆交于点),1,3(),1,3(- 此时经过点)1,3(（或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y（或1-=y )，即2l 为1=y （或1-=y )，显然直线21,l l 垂直，同理可证1l 的方程为3-=x 时，直线21,l l 垂直.........................................8分(ii)21,l l 都有斜率时，设点),,(00y x P 其中.42020=+y x设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为,)(00y x x t y +-= 则⎪⎩⎪⎨⎧-+==+)(130022tx y tx y y x 消去y ，得03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+--=∆tx y t tx y t化简，得.012)3(2000220=-++-y t y x t x ................……………10分因为,42020=+y x 所以.0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x设21,l l 的斜率分别为,,21t t 因为21,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以21,t t 满足上述方程,0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x所以,121-=t t 即1l 与2l 互相垂直 ...............................……………12分综合(i)、(ii)知：因为21,l l 经过点),,(00y x P 又分别交其准圆于点,,N M 且21,l l 垂直，所以线段MN 为准圆422=+y x 的直径，故.4||=MN ……………14分2. 解：(1) 如图，设M 为动圆圆心，)0,1(F 过点M 作直线1-=x 的垂线垂足为N ，由题意知：||||MN MF = ……………2分即动点M 到定点F 与到定直线1-=x 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中)0,1(F 为焦点，1-=x 为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为x y 42= …………5分(2) 若直线l 的斜率不存在，则与抛物线C 相切，只有一个交点，不合题意；若直线l 的斜率为0，则与抛物线C 相交，只有一个交点，不合题意；…………………………6分故设直线l 的方程为)0(1=/+=k kx y由⎩⎨⎧=+=x y kx y 412得0442=+-y ky ………8分 1,01616<∴>-=∆k k 且0=/k …………………9分设),,(),,(2211y x Q y x P 则,421ky y = 2222121116k y y x x ==……11分 由0=⋅OQ OP ， 即),,(),,(2211y x OQ y x OP ==于是,02121=+y y x x …………………………………12分 即,0142=+k k 解得141<-=k ……………………13分 ∴直线l 存在，其方程为141+-=x y 即044=-+y x ………………14分3．解： (1)由已知可设椭圆2C 的方程为14222=+x a y )2(>a , 其离心率为,23故,2342=-a a 则,4=a 故椭圆2C 的方程为141622=+x y .........................................................................5分 (2) 设),,(),,(2211y x B y x A 由,2OA OB =得,212x x =,212y y =….....................6分 由点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，得,442121=+y x ,1642222=+y x .........8分 即442121=+y x ① 442121=+y x ② ................................................9分由①②得,8)(52121=+y x ,582121=+y x 代入①②得542121==y x .......................................................................................10分 得.111±=x y ...............................................................................................………12分 直线AB 的方程为,0011x x x y y ±=--=即x y =或.x y -=.....................……14分。