高三数学解析几何解题技巧
江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题
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解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学复习专题之一----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征：(1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现；(2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目；(3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现；(4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解；②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用；③要注意圆锥曲线定义的活用.另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系.., ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.12222222中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C ae b b ax y C e C PQF F Q P l e b a by a x C +=∆∆>=-. ),3 , 2(21的轨迹方程顶点求：当椭圆移动时其下为离心率，且过点轴为准线，以练习：设椭圆恰以P A x .)2( )1( 41)0,4( 02010.2222的方程求双曲线的渐近线方程；求双曲线上，又满足在线段点，且点轴交于两点，和、交于和双曲线，使的直线做斜率为过点相切，近线与圆的中心在原点，它的渐双曲线例G G PCPB PA AB P C y B A G l l P x y x G =⋅-=+-+最大值为多少？，多少时矩形的面积最大，当矩形的长与宽各是若矩形内接于曲线的方程求抛物线顶点轨迹轴为准线且以已知抛物线经过例 )2( ;)1( ),4,3(.3l l y A .)2( )1( )0,6( 8)0(2.42面积的最大值求求抛物线方程的垂直平分线通过定点又线段为焦点，且，、上有两动点设抛物线例AQB Q AB BF AF F B A p px y ∆=+>=。
高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
147分学霸分享丨解析几何的解题方法
147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。
具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。
分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。
针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。
大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。
然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。
为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。
第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。
第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。
毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。
解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。
高三数学解析几何新题型的解题技巧研究农仕科
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高三解析几何专题数学知识点
高三解析几何专题数学知识点进一步，把问题用图形表示出来，需求直线x-2y=m所与求轨迹的切点。
用判别式△=0→m=p，得切点Q(3p，p)点Q到直线的x-2y=0间隔是-，即-=-→p=2复习导引：高考题解析局部大量的问题是直线与圆锥曲线相交，我们首先要抓住直线是否过圆锥曲线焦点?这局部第1至第5题说明了直线过焦点的处理方法，第6题注又从反面说明在条件下才采用过焦点的方法。
第4题引出了在什么条件下用两式相减可以简化推导过程。
1. 椭圆-+-=1的左、右焦点分别为F1，F2。
过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
(Ⅰ)设P点的坐标为(x0，y0)，证明：-+-(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
解(1)点P在以|F1F2|为直径的圆上，∴x02+y02=1，-+--+-=-=-1解：分析(2)SABCD=S△ABC+S△ADC=-|AC||BP|+-|AC||DP|=-|AC||BD|下面是如何求出|AC|=?|BD|=?由椭圆第二定义：|BD|=|BF2|+|DF2|又右准线方程为x=-=3，e=-=-=-|BF2|=(3-xB)e，|DF2|=(3-xD)e|BD|=[6-(xB+xD)■过F2的直线lBDy=k(x-1)，k≠0，k存在。
|BD|=-■=-同理可求得：|AC|=-S=-(3k2+2)+(2k2+3)2-5(k2+1)2-SABCD-，当3k2+2=2k2+3，k2=1，k=±1。
当k不存在，可设BD⊥x轴，这时kAC=0SABCD=-2-■=4-∴(SABCD)min=-，此时k=±1注：此题第(2)用两点间间隔公式求|AC|、|BD|也可行，计算量稍大，如果直线过圆锥曲线焦点，就要考虑椭圆或双曲线第二定义。
平面解析几何高三数学复习口诀
平面解析几何高三数学复习口诀
平面解析几何高三数学复习口诀
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者-一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。
图形直观数入微，数学本是数形学。
高三数学复习口诀：平面解析几何由为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
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【平面解析几何高三数学复习口诀】。
【高三提优】解析几何基本解题策略初探
y0 y y y (x x ) 1 0 x0 m 0 1 0 x0 m x1 x0 y1 y0 y ( x x ) x y y 0 x1 m x0 0 1 0 = 0 1 y1 y 0 y1 y0 y y y y0 ( x1 x0 ) 0 1 0 x0 n x0 n x1 x0 y1 y 0 y ( x x0 ) x0 y1 y 0 x1 n x0 0 1 y1 y 0 y1 y 0
理解——领悟——内化——感觉
【小北】高三数学提优学案
4. 如图在平面直角坐标系 xOy 中， E :
x2 a
2
y2 b
2
1(a b 0) 的焦距为 2，且过点 ( 2 ,
6 ). 2
（ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 A ， B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭 圆上异于 A ， B 的任意一点，直线 AP 交 l 于点 M . ① 设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ，求证： k 1 k 2 为定值； ② 设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证：直线 m 过定点，并求出定点的坐标 .
3. 已知椭圆的中心为坐标原点 O，椭圆短轴长为 2，动点 M (2, t ) (t 0) 在椭圆的准线上。 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）求以 OM 为直径且被直线 3x 4 y 5 0 截得的弦长为 2 的圆的方程； （ 3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N， 求证：线段 ON 的长为定值，并求出这个定值。
理解——领悟——内化——感觉
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高三数学解析几何解题技巧解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。
能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。
在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。
其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。
三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。
解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。
一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。
如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。
常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-=几个特殊转换技巧：①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =⋅则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-⋅-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。
②利用向量求距离。
③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ⋅的值分别是小于零、等于零或大于零。
一般角度问题转化为向量夹角公式即：||||cos b a b a ⋅=θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ∆中（O 是原点） )2())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---===||21A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。
如椭圆12222=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=∆∆∆ ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。
最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。
【例题训练】1．（本小题满分14分）给定椭圆),0(1:2222>>=+b a by a x C 称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为),0,2(F 其短轴上的一个端点到F 的距离为.3(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线,,21l l 使得21,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且21,l l 分别交其“准圆”于点M ，N .①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求21,l l 的方程； ②求证：MN 为定值.2．（本小题共14分）已知动圆过定点),0,1( 且与直线1-=x 相切．(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点),1,0( 并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足0=⋅OQ OP ？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3．（本小题满分14分） 已知椭圆,14:221=+y x C 椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． (1)求椭圆2C 的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，,2OA OB =求直线AB 的方程.参考答案1．解：(1)由题意得,2=c 3=a ，所以,1=b 故椭圆方程为,1322=+y x 准圆的方程为422=+y x ............................................................................2分(2)①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，它的坐标为），（20 由题意知直线21,l l 的斜率均存在时，设其斜率分别为21,k k过点P 的直线l 的方程分别为2+=kx y 联立方程组,13222⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x kx y 消去y 得0912)31(22=+++kx x k 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以,036362=-=∆k 解得,1±=k ..............................................4分不妨设,11=k 12-=k所以21,l l 的方程分别为.2,2+-=+=x y x y .......…………………5分②(i)当21,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或.3-=x当1l 的方程为3=x 时，1l 与准圆交于点),1,3(),1,3(- 此时经过点)1,3(（或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y（或1-=y )，即2l 为1=y （或1-=y )，显然直线21,l l 垂直，同理可证1l 的方程为3-=x 时，直线21,l l 垂直.........................................8分(ii)21,l l 都有斜率时，设点),,(00y x P 其中.42020=+y x设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为,)(00y x x t y +-= 则⎪⎩⎪⎨⎧-+==+)(130022tx y tx y y x 消去y ，得03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+--=∆tx y t tx y t化简，得.012)3(2000220=-++-y t y x t x ................……………10分因为,42020=+y x 所以.0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x设21,l l 的斜率分别为,,21t t 因为21,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以21,t t 满足上述方程,0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x所以,121-=t t 即1l 与2l 互相垂直 ...............................……………12分综合(i)、(ii)知：因为21,l l 经过点),,(00y x P 又分别交其准圆于点,,N M 且21,l l 垂直，所以线段MN 为准圆422=+y x 的直径，故.4||=MN ……………14分2. 解：(1) 如图，设M 为动圆圆心，)0,1(F 过点M 作直线1-=x 的垂线垂足为N ，由题意知：||||MN MF = ……………2分即动点M 到定点F 与到定直线1-=x 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中)0,1(F 为焦点，1-=x 为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为x y 42= …………5分(2) 若直线l 的斜率不存在，则与抛物线C 相切，只有一个交点，不合题意；若直线l 的斜率为0，则与抛物线C 相交，只有一个交点，不合题意；…………………………6分故设直线l 的方程为)0(1=/+=k kx y由⎩⎨⎧=+=x y kx y 412得0442=+-y ky ………8分 1,01616<∴>-=∆k k 且0=/k …………………9分设),,(),,(2211y x Q y x P 则,421ky y = 2222121116k y y x x ==……11分 由0=⋅OQ OP ， 即),,(),,(2211y x OQ y x OP ==于是,02121=+y y x x …………………………………12分 即,0142=+k k 解得141<-=k ……………………13分 ∴直线l 存在，其方程为141+-=x y 即044=-+y x ………………14分3．解： (1)由已知可设椭圆2C 的方程为14222=+x a y )2(>a , 其离心率为,23故,2342=-a a 则,4=a 故椭圆2C 的方程为141622=+x y .........................................................................5分 (2) 设),,(),,(2211y x B y x A 由,2OA OB =得,212x x =,212y y =….....................6分 由点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，得,442121=+y x ,1642222=+y x .........8分 即442121=+y x ① 442121=+y x ② ................................................9分由①②得,8)(52121=+y x ,582121=+y x 代入①②得542121==y x .......................................................................................10分 得.111±=x y ...............................................................................................………12分 直线AB 的方程为,0011x x x y y ±=--=即x y =或.x y -=.....................……14分。