2020年高考数学(理)大题分解专题05--解析几何(含答案)

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2020年高考数学(理)抢分秘籍05 平面解析几何(解析版)

秘籍05平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.4±B.-4C.4D.2±【答案】B解析:由2a-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2√3B．2C．√6D．√3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2√4−1=2√3，故选：A．3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0C ．5x ﹣12y+20=0D ．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0，则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1=|3k−2|√k 2+1．再由 d 2+(AB2)2=r 2，得|3k−2|√k 2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣512（x+4），即 5x+12y+20=0．故选：D ．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A ．12B 2C 2D 6 【答案】D 解析：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即c e a ==故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．45B ．23C ．12D ．25【答案】B【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，根据正弦定理可得1212||22sin sin 3F F c R F PF π===∠，R ∴=，14r R ==．设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=，121sin 23F PF S mn π∴==V121(2)2F PF S m n c r =++V g ，∴，即22230a c ac --=，故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为( )A 23B 26C 3D ．2【答案】A【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan6π=，所以该条渐近线方程为3y =； 23，解得6a所以226222c a b =+=+，所以双曲线的离心率为22236c e a == 故选：A ．7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A 2-1B 51C 21D 51+【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=，可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c=-，由121c e a ==-，解得21e =+，故选：C ．求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即222211c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A ．y 2=12xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p ，所以P(8p,4)，因为|PF|=5，所以8p +p2=5，整理得p2−10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，故AB的中点为D(3,2)，|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.所以四边形AMBN的面积S=12|AB|⋅|MN|=12×8×8√3=32√3.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交 12k k ≠12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直121k k =-12120A A B B +=1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=2．圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2+y 2-4x=0上,∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,∴0−√32−1·k=-1,解得k=√33. ∴切线方程为x-√3y +2=0.故选:D3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-C ．1或3D ．1-或3【答案】A【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =，若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则圆心到直线的距离|1|22a d +==，即|1|2a +=，解可得：1a =或3-，故选：A ．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程：（1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支相交于P ，若122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±B ．23y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±【答案】C【解析】由222231y b x y ab =-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)，故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0，即4e 2−4e −3=0，解得e =32，故(b a )2=e 2−1=54，所以b a=√52，即双曲线的渐近线方程为y =±√52x .故选C ．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.4．已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,所以椭圆E :x 24+y 23=1,点M (0,√3).将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x 1+x 2=x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB(121212kx kx x x=()122123x x k x x ++=+2233634k k ⋅+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值14. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)，则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN|·|x 2-x 1|= 612===≤当且仅当4k 2-9=12,即k=±2∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,所以△ABM 的面积的最大值为32. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF|=2|PQ|.（1）求p 的值；（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02pQF x =+，又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02p x =，将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为28y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为x my n =+，点221212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由28x my ny x=+=⎧⎨⎩得2880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，所以12221212228811228282MT NT y y k k y y y y +++=+=+---- ()()121212832643282481643y y m y y y y n m +--===--++--+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=32(x −4) C. y −3=32(x +4)D. y +3=−32(x −4)2．已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]D. [1−2√2,1+2√2]3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√114．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.3π4 B. π4C.3π2D.5π45．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（135，﹣135）D ．（﹣2，2）6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0D ．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的方程是（）A ．x+2=0，7x ﹣24y+14=0B ．y+2=0，7x+24y+14=0C ．x+2=0，7x+24y+14=0D ．y+2=0，7x ﹣24y+14=08．平面内，已知点A 为定圆O 外的一个定点，点B 为圆O 上的一个动点，点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，则点D 的轨迹是（） A ．抛物线 B ．双曲线C ．椭圆D ．圆9．若直线l:ax −by =2(a >0,b >0)平分圆x 2+y 2−2x +4y =0，则1a+1b的最小值为 A ．2√2 B ．2 C ．12(3+2√2)D ．3+2√210．圆x 2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为( ) A.36πB.12πC.4√3πD.4π11．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )A ．12B C D12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6( )A ．22143x y +=B ．22132x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=13．已知椭圆22:186x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 两点的动点，若直线PA 斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB 斜率的取值范围是( ) A ．[2-，1]-B ．3[2-，3]4-C ．[1-，1]2-D ．3[4-，3]8-14．已知双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A ．B C ．3D ．515．已知双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，则14m n +的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．916．已知双曲线22:1(0)3x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则点N 到原点的最短距离为( ) A．2B C D ．117．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) AB 1C 1D 118．设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率e =q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．20. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 821.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →=5FB →，则|AB|＝（）A ．252B ．10C ．254 D ．622.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（）A ．3√2B ．2√3C ．√303D ．3√6223．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为．25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x 216+y 24=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上．（Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值；（Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．28．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．29．已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√33，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点O 到直线 l 的距离是√32．（1）求双曲线的方程；（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．30．已知椭圆 E 的方程是x 24+y 23=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点(−4,3)，所以y−3=3 2[x−(−4)]=32(x+4)．2. 【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点，由BC 的方程为：x−14=y+31，即x ﹣4y ﹣13=0，可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（135，﹣135），即P 点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小．故选：C ． 6.【答案】C【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5，若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则圆心C 到直线l 的距离d=3，由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0，则2=3，解得：k=43，故直线l 的方程为43x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C【解析】：⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P （a ，b ），则MP 的斜率是ba+2，直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0，故{3−b2−a ⋅ba+2=−1√b 2+(a+2)2=4，解得：{a =−26b =7，故切线方程是7x+24y+14=0，故选：C ． 8.【答案】B【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=12CA ′， CD=DA ，所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线．故选：B ．9．【答案】C【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5，因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0，所以a +2b =2，又a >0,b >0，则1a+1b=12(a +2b)(1a+1b)=12（3+2b a+ab)≥3+2√22，当且仅当2ba =ab ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(√3)2=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即c e a ==故选：D ． 12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=，所以3a c +=①，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值，即最大值为bc =，由①②及222a c b =+联立求得2a =，b =1c =，可得椭圆方程为22143x y +=，故选：A ． 13.【答案】D【解答】：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则00PA y k x a =+，00PB y k x a=-， ∴20220PA PBy k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b+=，则2202220y b x a a=--．由椭圆22:186x y C +=，得6384PA PB k k =-=-g ，[1PA k ∈Q ，2]，∴33[44PB PA k k =-∈-，3]8-．故选：D ． 14.【答案】B【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)，依题意，249b +=， 25b ∴=．∴双曲线的方程为：22145x y -=，∴其渐近线方程为：y =， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F到其渐近线的距离等于d ==故选：B ． 15.【答案】D【解析】：椭圆22154x y +=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，1(0)m n m n ∴+=>>，∴14144()()559n m m n m n m n m n +=++=+++=…．当且仅当4n mm n=，即13m =，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：D ． 16.【答案】B【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u rg ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-，则点N 到原点的最短距离为1111||||||2222O O r MF MF a a '-=-=⨯==，故选：B ．17.【答案】C【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||PF =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=，可得2||22PF a c =+=，即22)a c =，由c e a ==，解得1e ，故选：C ． 18.【答案】C【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为ce a=，由e c =，即有22222c a a b ==+，可得a b =，即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a b =，可得e即有p 是q 的充要条件，故选：C ． 19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足），则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…，（当且仅当P 、A 、M 共线时取等号），故选：A ． 20.【答案】C【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2，设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2，因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22=2，即 x 1+x 2=4，故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6．故选：C 21.【答案】C【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1），又F （1，0），∴FB →=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254．故选：C ． 22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ）列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4解得a=1+√63，b=1﹣√66或a=1﹣√63，b=1+√66两端点的坐标为（1﹣√63，1+√66）和（1+√63，1﹣√66）弦长为√63)√63)]√66√66)]=√303．故选：C ．23.【答案】:3x -3y -10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.24.【答案】.22143x y +=【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =．设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22221x y a b+=．则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．因此动圆圆心C 的轨迹方程是22143x y +=．故答案为：22143x y +=．25.【答案】221169y x -=【解析】：由题意得，曲线2212449x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且5c ===，所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，因为双曲线与曲线2213664x y -=共渐近线，所以设双曲线方程为22(0)3664x y λλ-=<，即2216436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-，所以双曲线方程为221169y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 24=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2+4y 2=16，得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22=16②，①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1−x 2=12，∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=12(x +2)，整理，得x ﹣2y+4=0．故答案为：x ﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为（4，0），设AB 的直线方程为x=ky+4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125，（Ⅱ）∵|AF||FB|=14， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →， ∴y 2=﹣4y 1，由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣819k 2+25=﹣4y 12，y 1+y 2=﹣72k9k 2+25=﹣3y 1，∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k=±3√77， ∴直线方程为x=±3√77y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1）由已知可得{c =4,ba =√3,c 2=a 2+b 2,⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 212=1．（2）设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0x 0+2(x +2)，A 2P:y =y 0x 0−2(x −2)，所以 M (1,3y 0x 0+2)，N (1,−y 0x 0−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0+2)⋅(−3,−y 0x0−2)=9−3y 02x 02−4=9−3y 02y 023=0.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】（1）依题意，l 的方程为 xa +y−b =1，即 bx −ay −ab =0，由原点 O 到直线 l 的距离为 √32，得 √a 2+b2=ab c=√32，又 e =ca =2√33，所以 b =1，a =√3．故所求双曲线方程为x 23−y 2=1．（2）显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1x 23−y 2=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1,x 1x 2=63k 2−1.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2−1−6k 23k 2−1+1=63k 2−1+1.因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k −1+1=−23，k =±12．当 k =±12 时，方程 ① 有两个不等的实数根．故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1）由椭圆方程：x 24+y 23=1，F 1(−1,0)，如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0，又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1，所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m +4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形．（2）由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =12∣OF 1∣∣y 1−y 2∣，又 ∣OF 1∣=1，即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，由（1）知 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，所以S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)(3m 2+4)2=24√m 2+13m +4=24√19(m 2+1)+1m 2+1+6,因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10，所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时，此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。

2020年高考数学大题分解专题05--解析几何

2020年高考数学(理)大题分解专题05--解析几何(含答案)(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--（2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【肢解2】若3AP PB =，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知12342AF BF x x +=++=，所以1252x x +=，联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以121212592m x x -+=-=，解得78m =-，所以直线l 的方程为3728y x =-，即12870x y --=.【肢解2】若3AP PB =，求||AB ．大题肢解一直线与抛物线【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)3(4294123134.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．【拓展1】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若27||||=+BF AF ，求l 在y 轴上的截距. 【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知123722AF BF x x +=++=，所以122x x +=，联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以12121229m x x -+=-=，解得21m =-，所以直线l 的方程为3122y x =-，令0=x 得21-=y ，所以直线l 在y 轴上的截距为21-.【拓展2】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若2AP PB =，)0,4(-M ，求ABM ∆的面积．【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y ty x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，t y y 321-=，因为PB AP 2=，所以212y y -=，所以22-=y ，41=y ，所以821-=y y .38-=t ，所以=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)8(429412132，直线l 方程为2833x y =-，即0823=+-y x ，所以点)0,4(-M 到l 的距离13413|812|=+-=d ，所以ABM ∆的面积为413413221||21=⨯⨯=⋅d AB ．1.（2019年山西太原一模)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为6，求||AB .【解析】由题意知抛物线x y 42=的焦点F 的坐标为)0,1(，易知当直线AB 垂直于x 轴时，AOB ∆的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，与x y 42=联立，消去x 得0442=--k y ky ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理知k y y 421=+，421-=y y ，变式训练一所以1616||221+=-k y y ，所以AOB ∆的面积为616161212=+⨯⨯k，解得2±=k ，所以6||11||212=-⋅+=y y kAB . 2.（2019年湖北荆州模拟)已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.【解析】（1）依题意可设直线:1AB x my =+，将直线AB 与抛物线联立214x my y x =+⎧⎨=⎩⇒2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，因为3AF FB =，所以213y y -=，即312=m ，所以直线AB 的斜率为3或3-．（2）2212121212122()4161642OACB AOB S S OF y y y y y y y y m ∆==⋅⋅-=-=+-=+≥，当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4．（2020届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.大题肢解二【肢解1】求椭圆C 的方程；【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【肢解1】求椭圆C 的方程；【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点得()222222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 解得21n =，24m =，所以椭圆:C 2214x y +=.【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【解析】将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<.由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.()()22221212124442284x x x x x x m m m -=+-=--=-242121222OPQ S m x x m m m m ∆=-=-=-+. 由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.【变式1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:>+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若APQ ∆的面积为1+m ，求m 的值.【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎫⎪⎭两点得()22222221011321m n n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+= 解得21n =，24m =. 所以椭圆:C 2214x y +=.（2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<设),(11y x P ，),(22y x Q ，韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.所以)22(4)2()21(1||222---⋅+=m m PQ 252+-⋅=m ，由点到直线的距离公式得点)1,0(-A 到直线l 的距离5|22|m d +=. 变式训练二所以APQ ∆的面积为255|22|212+-⋅⋅+⋅m m 2|1|2+-⋅+=m m ，因为APQ ∆的面积为1+m ，所以12|1|2+=+-⋅+m m m ，解得1=m 或1-=m （舍去）. 所以1=m ．【变式2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，其中左焦点为)0,2(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，1ABF ∆的面积为)2(6-m ，求直线的方程．【解析】(1)由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a ，所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （2）设点),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得0824322=-++m mx x ，由0)84(12)4(22>--=∆m m 得3232<<-m ，由韦达定理知3421mx x -=+，382221-=m x x ，所以)82(4)34(2||22---⋅=m m AB 367342+-=m ，由点到直线的距离公式得)0,2(1-F 到直线m x y +=的距离2|2|m d -=，所以1ABF ∆的面积为36342|2|212+-⋅-⋅m m )2(6-=m ，解得3±=m ，满足3232<<-m ，所以所求直线方程为3+=x y 或3-=x y .1.（2019年山东高考模拟）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A 的纵坐标为2(52)A y =，结合抛物线定义得||2522A pAF y =+=. （2）由22x py =得22x y p =，x y p'=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000xy y x x p-=-.即000x x py py --=. 又由0220||2py ON x p -==+得02084y p y =-且240y ->，所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+- 220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+--- 2020641644y y =++--.令24t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈，令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-；当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<，所以max 169()5f x =，即||MN.2.（2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)23,22(与点)22,1(--. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1(0,)2-，且斜率为()10k k -≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，所以∆>0，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++，所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k=+=+，将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m += ……… ②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以((0,22k ∈-⋃，又AB ==且原点O 到直线AB的距离d =所以2122(12)AOB m S AB d k ∆==+== 所以1m =时，AOB S ∆最大值2，此时2k =±，所以2k =±时，AOB S ∆最大值2.3.（2020福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOBMONSS，求直线l 的方程.【解析】（1）因为3||2QF ，所以13222p ，所以2p =，抛物线C 的方程为：24y x =，将1(2Q 代入24y x =得2t =，（2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=，因为22Δ16(1)160k k ，得12k <且0k ≠，所以1212224(1)4,k x x x x k k -+==，因为ΔΔ3AOBMON S S ，所以||3||AB MN ，所以1200x -=-，即120x x x -=，因为N 是AB 的中点，所以1202x x x +=，所以22121212()()434x x x x x x ，整理得21212()16x x x x +=所以2224(1)64[]k k k ，解得1211,3k k =-=，所以直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+.4.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点A(0，－2)，椭圆E：22221x y a b+=(a>b>0)的离心率为F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 【解析】（1）设(),0F c ，因为直线AF()0,2A-，所以23c =，c =又222,2c b a c a ==-，解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立22142,x y y kx +==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，所以k <或k >由韦达定理知1212221612,1414k x x x x k k+==++.所以PQ ===，点O 到直线l 的距离d =12OPQS d PQ ∆==设0t =>，则2243k t =+，所以244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号，满足234k >，所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-.5.（2020广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M ，N 两点，交1l 于P 点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度. 【解析】（1）由题意得12c e a ==，2223121ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，结合222a bc =+，解得24a =，23b =，21c =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）易知定直线1l0y +=.联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得x =令M 点的坐标为221212,3434k k k ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭. 因为14OP MN =，由对称性可知，点P 为OM 的中点，故2212123434(,)22k k k P ++，又P 在直线1l ：330x y +-=上，故221212343433022k k k ++⨯+-=，解得10k =，2233k =，所以M 点的坐标为()2,0或643,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2OM =或2215，所以MN 的长度为4或4215.6.（2020广西名校高三上学期12月高考模拟）如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r =，22r =，射线OT 与两圆分别交于A 、B 两点，分别过A 、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l 、2l ，1l 交2l 于点P ．（1）当射线OT 绕点O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线l ：3y kx =+E 交于M 、N 两点，两圆上共有6个点到直线l 的距离为12时，求MN 的取值范围．【解析】（1）设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,则cos sin x OA y OB θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，化简得2214y x +=,即P 点的轨迹E 的方程为2214y x +=.（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为12时,原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即1322<<,解得21,113k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立方程2214y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22410k x ++-=，设()11,M x y ,()22,N x y ,则12x x +=,12214x x k =-+，所以MN ==()2224134144k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1616,135MN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.7.（2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟）已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b +=，代入上式可得2214b a -=-，又2a =，解得1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(4)240t y mty m +++-=，由韦达定理知12224mty y t+=-+，212244m y y t -=+，因为2AM MB =，所以122y y =-，所以122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+．所以OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +==⨯⨯=⨯++++．所以212||1214949||||t S t t t ==++，当且仅当249t =时取等号．所以OAB ∆面积的最大值为1．。

高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)

专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ，因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。

2020高考数学分类汇编--解析几何圆锥曲线

2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学4．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．911．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 20.（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.4．C11．D15．220．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t（x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得221227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷理科数学5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3219．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a b y a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=．（1）求1C 的离心率；设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)11．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1 B ．2 C ．4 D ．820．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 5．B11．A20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷文科数学6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．411．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．221．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点. 6．B11．B21．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y G t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷文科数学8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y -3=0的距离为A B C D 9．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222-x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3219．(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 8．B9．B19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.2020年普通高等学校招生全国统一考试三卷文科数学6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14．设双曲线C :22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．21．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 6．A7．B1421．解：（1=22516m =，所以C 的方程为1252516+=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（A ）经过点O （B ）经过点P（C ）平行于直线OP （D ）垂直于直线OP（12）已知双曲线:163C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．（20）（本小题15分）已知椭圆22221x y C a b+=：过点()21A --，，且2a b =（I ）求椭圆C 的方程：（II ）过点4,0B -（）的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 求PBBQ的值 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 6．3218．满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 7．D12．518．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考9．已知曲线22:1C mx ny +=.A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 13．C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 22．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．9．ACD13．16322．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2BCD 15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．8．D1521．满分15分。

2020年高考数学(理)抢分秘籍05 平面解析几何(解析版)

秘籍05平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.4±B.-4C.4D.2±【答案】B解析:由2a-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2√3B．2C．√6D．√3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2√4−1=2√3，故选：A．3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0C ．5x ﹣12y+20=0D ．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0，则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1=|3k−2|√k 2+1．再由 d 2+(AB2)2=r 2，得|3k−2|√k 2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣512（x+4），即 5x+12y+20=0．故选：D ．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A ．12B ．22C ．23D ．63【答案】D 解析：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．45B ．23C ．12D ．25【答案】B【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，根据正弦定理可得1212||2432sin 3sin 3F F c cR F PF π===∠， 233c R ∴=，1346cr R ==．设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=， 122213()sin 233F PF a c S mn π-∴==V ，又1213()(2)26F PF c a c S m n c r +=++=V g ， ∴223()3()36a c a c c-+=，即22230a c ac --=，故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为( )A ．233B ．263C ．3D ．2【答案】A【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan63π=，所以该条渐近线方程为33y x =；所以233a =，解得6a =；所以226222c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为222336c e a ===．故选：A ．7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=，可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c=-，由121c e a ==-，解得21e =+，故选：C ．求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即2222111c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A ．y 2=12xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p ，所以P(8p,4)，因为|PF|=5，所以8p +p2=5，整理得p2−10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，故AB的中点为D(3,2)，|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.所以四边形AMBN的面积S=12|AB|⋅|MN|=12×8×8√3=32√3.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交 12k k ≠12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直121k k =-12120A A B B +=1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=2．圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2+y 2-4x=0上,∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,∴0−√32−1·k=-1,解得k=√33. ∴切线方程为x-√3y +2=0.故选:D3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-C ．1或3D ．1-或3【答案】A【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =，若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则圆心到直线的距离|1|22a d +==，即|1|2a +=，解可得：1a =或3-，故选：A ．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程：（1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支相交于P ，若122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±B ．23y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±【答案】C【解析】由222231y b x y ab =-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)，故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0，即4e 2−4e −3=0，解得e =32，故(b a )2=e 2−1=54，所以b a=√52，即双曲线的渐近线方程为y =±√52x .故选C ．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.4．已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,所以椭圆E :x 24+y 23=1,点M (0,√3).将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+22216333343634k k k k k ⎛⎫-⋅+ ⎪+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值14. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)，则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN|·|x 2-x 1|= 2221212222223316336649()4()42234343463,1224949k k x x x x k k k k k --+-=-⋅=+++=≤-+-当且仅当4k 2-9=12,即k =±212∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,所以△ABM 的面积的最大值为32. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p 的值；（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02pQF x =+，又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02p x =，将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为28y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为x my n =+，点221212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由28x my ny x=+=⎧⎨⎩得2880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，所以12221212228811228282MT NT y y k k y y y y +++=+=+---- ()()121212832643282481643y y m y y y y n m +--===--++--+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=32(x −4) C. y −3=32(x +4)D. y +3=−32(x −4)2．已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]D. [1−2√2,1+2√2]3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√114．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.3π4 B. π4C.3π2D.5π45．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（135，﹣135）D ．（﹣2，2）6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0D ．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的方程是（）A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．若直线l:ax−by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2−2x+4y=0，则1a +1b的最小值为A．2√2B．2C．12(3+2√2)D．3+2√210．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()A.36πB.12πC.4√3πD.4π11．己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6312．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为()A．22143x y+=B．22132x y+=C．2212xy+=D．2214xy+=13．已知椭圆22:186x yC+=的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是()A．[2-，1]-B．3[2-，3]4-C．[1-，1]2-D．3[4-，3]8-14．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A．42B．5C．3D．515．已知双曲线221(0)x ym nm n-=>>和椭圆22154x y+=有相同的焦点，则14m n+的最小值为()A．2B．4C．6D．916．已知双曲线22:1(0)3x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则点N 到原点的最短距离为( ) A ．2B ．3C ．2D ．117．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+18．设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率2e =，命题q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．2320. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 821.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →=5FB →，则|AB|＝（）A ．252B ．10C ．254 D ．622.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（）A ．3√2B ．2√3C ．√303D ．3√6223．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为．25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x 216+y 24=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上．（Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值；（Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．28．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．29．已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√33，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点O 到直线 l 的距离是√32．（1）求双曲线的方程；（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．30．已知椭圆 E 的方程是x 24+y 23=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点(−4,3)，所以y−3=3 2[x−(−4)]=32(x+4)．2. 【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点，由BC 的方程为：x−14=y+31，即x ﹣4y ﹣13=0，可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（135，﹣135），即P 点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小．故选：C ． 6.【答案】C【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5，若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则圆心C 到直线l 的距离d=3，由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0，则|−6k+2+3k−3|√k 2+1=3，解得：k=43，故直线l 的方程为43x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C【解析】：⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P （a ，b ），则MP 的斜率是ba+2，直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0，故{3−b2−a ⋅ba+2=−12b−3(a+2)+2b √b 2+(a+2)2=4，解得：{a =−26b =7，故切线方程是7x+24y+14=0，故选：C ． 8.【答案】B【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=12CA ′， CD=DA ，所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线．故选：B ．9．【答案】C【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5，因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0，所以a +2b =2，又a >0,b >0，则1a+1b=12(a +2b)(1a+1b)=12（3+2b a+ab)≥3+2√22，当且仅当2ba =ab ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(√3)2=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ． 12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=，所以3a c +=①，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值，即最大值为3bc =②，由①②及222a c b =+联立求得2a =，3b =，1c =，可得椭圆方程为22143x y +=，故选：A ． 13.【答案】D【解答】：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则00PA y k x a =+，00PB y k x a=-， ∴20220PA PBy k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b+=，则2202220y b x a a=--．由椭圆22:186x y C +=，得6384PA PB k k =-=-g ，[1PA k ∈Q ，2]，∴33[44PB PA k k =-∈-，3]8-．故选：D ． 14.【答案】B【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)，依题意，249b +=， 25b ∴=．∴双曲线的方程为：22145x y -=，∴其渐近线方程为：52y x =±， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F 到其渐近线的距离等于|530|554d ±⨯-==+．故选：B ． 15.【答案】D【解析】：椭圆22154x y +=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，1(0)m n m n ∴+=>>，∴141444()()5529n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++=g …．当且仅当4n mm n=，即13m =，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：D ． 16.【答案】B【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u rg ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-，则点N 到原点的最短距离为1111||||||23222O O r MF MF a a '-=-=⨯==，故选：B ．17.【答案】C【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=，可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c =-，由121c e a ==-，解得21e =+，故选：C ． 18.【答案】C【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为ce a=，由2e =，可得2c a =，即有22222c a a b ==+，可得a b =，即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a b =，可得2e =，即有p 是q 的充要条件，故选：C ． 19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足），则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…，（当且仅当P 、A 、M 共线时取等号），故选：A ． 20.【答案】C【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2，设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2，因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22=2，即 x 1+x 2=4，故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6．故选：C 21.【答案】C【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1），又F （1，0），∴FB →=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254．故选：C ． 22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ）列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4解得a=1+√63，b=1﹣√66或a=1﹣√63，b=1+√66两端点的坐标为（1﹣√63，1+√66）和（1+√63，1﹣√66）弦长为√[(1−√63)−(1+√63)]2+[(1+√66)−(1−√66)]2=√303．故选：C ．23.【答案】:3x -3y -10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.24.【答案】.22143x y +=【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =．设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22221x y a b+=．则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．因此动圆圆心C 的轨迹方程是22143x y +=．故答案为：22143x y +=．25.【答案】221169y x -=【解析】：由题意得，曲线2212449x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且2249245c a b =-=-=，所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，因为双曲线与曲线2213664x y -=共渐近线，所以设双曲线方程为22(0)3664x y λλ-=<，即2216436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-，所以双曲线方程为221169y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 24=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2+4y 2=16，得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22=16②，①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1−x 2=12，∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=12(x +2)，整理，得x ﹣2y+4=0．故答案为：x ﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为（4，0），设AB 的直线方程为x=ky+4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125，（Ⅱ）∵|AF||FB|=14， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →， ∴y 2=﹣4y 1，由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣819k 2+25=﹣4y 12，y 1+y 2=﹣72k9k 2+25=﹣3y 1，∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k=±3√77， ∴直线方程为x=±3√77y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1）由已知可得{c =4,ba =√3,c 2=a 2+b 2,⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 212=1．（2）设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0x 0+2(x +2)，A 2P:y =y 0x 0−2(x −2)，所以 M (1,3y 0x 0+2)，N (1,−y 0x 0−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0+2)⋅(−3,−y 0x0−2)=9−3y 02x 02−4=9−3y 02y 023=0.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】（1）依题意，l 的方程为 xa +y−b =1，即 bx −ay −ab =0，由原点 O 到直线 l 的距离为 √32，得 ab √a 2+b2=ab c=√32，又 e =ca =2√33，所以 b =1，a =√3．故所求双曲线方程为x 23−y 2=1．（2）显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1x 23−y 2=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1,x 1x 2=63k 2−1.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2−1−6k 23k 2−1+1=63k 2−1+1.因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k 2−1+1=−23，k =±12．当 k =±12 时，方程 ① 有两个不等的实数根．故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1）由椭圆方程：x 24+y 23=1，F 1(−1,0)，如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0，又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1，所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m 2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形．（2）由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =12∣OF 1∣∣y 1−y 2∣，又 ∣OF 1∣=1，即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，由（1）知 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，所以S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)(3m 2+4)2=24√m 2+1(3m 2+4)2=24√19(m 2+1)+1m 2+1+6,因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10，所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时，此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。

专题05 2020版平面解析几何(原卷版)

专题05 平面解析几何2020真题汇编1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 85.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A BC D 6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．327．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4 B ． 5C ． 6D ． 79．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP10．【2020年高考浙江】已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2B ．5CD 11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线12．【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .13．【2020年高考天津】已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．14．【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．15．【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．16．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率是 ▲ ．17．【2020年新高考全国Ⅰ卷】C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．18．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．19．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.20．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．21．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．22．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．23．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．24．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．26．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020模拟汇编1．【2020·河南省高三三模（理）】已知直线1l :sin 210x y α+-=，直线2l :cos 30x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α=A ．23-B ．4 3-C ．2 5D ．4 52．【2020·湖北省高三其他（理）】已知双曲线E ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，且ABM ，则双曲线E 的离心率为AB ．1C ．D ．13．【2020·广东省高三其他（理）】已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为A ．4+B ．4(1+C ． D4．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为A ．12 B ．13C ．4D ．35．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,E F 分别为,BC CD 的中点，P 是线段1A B 上的动点，1C P 与平面1D EF 的交点Q 的轨迹长为A ．3BC ．4D ．6．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为A B ．1CD ．27．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】若a ，b 为正实数，直线()42320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为A ．32 B ．916C ．94D ．48．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是 A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =9．【2020·湖北省高三其他（理）】已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____．10．【2020·横峰中学高三其他（理）】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________. 11．【2020·山东省高三其他】已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.12．【2020·辽宁省高三三模（理）】在平面直角坐标系xOy 中，F 是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点，直线y ＝2b 与双曲线交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该双曲线的离心率为_____．13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知点O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足AFO BFO ∠=∠，当PF 垂直于x 轴时，32PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点(),0M m ，(),0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn 的值；若不是，请说明理由.14．【2020·四川省南充高级中学高三月考（理）】已知直线2:220(1)l x ay a a --=>，椭圆22122:1,,x C y F F a+=分别为椭圆的左、右焦点.(1)当直线l 过右焦点2F 时，求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且2,2.AG GO BH HO ==，若点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数a 的取值范围.15．【2020·湖北省高三其他（理）】已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．16．【2020·广东省高三其他（理）】已知直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且与圆22(1)1x y -+=相切.（1）求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（2）设F 是抛物线的焦点，0FA FB ⋅=，求直线l 的方程.17．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知圆()()222:10C x y r r +-=>，设A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在x 轴上.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）延长MO 交直线1y =-于点P ，延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与y 轴交于点Q .求证：//MN QP .18．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线)2p y x =-相交于A ，B 两点，线段AB 的长为8．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ．N 两点，点P 为直线2x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为123,,k k k ，且满足132k k k λ+=，λ能否为定值？若为定值，求出λ的值；若不为定值，请说明理由．19．【2020·横峰中学高三其他（理）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，, A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．20．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】己知圆2221:(1)(13)F x y r r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-．（1）证明：圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）已知点(),00()Q m m <，过点2F 且斜率为()0k k ≠的直线与（1）中轨迹E 相交于,M N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得()12k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．。

2020年高考数学（全国卷3·理），题目和答案都在这里了

2020年高考数学（全国卷3·理），题目和答案都在这里了2020年高考数学（全国卷3·理）题目,你觉得是简单还是困难？先来看看实体结构:试题结构（模块与题号的对应）：集合：1复数：2线性规划：13二项式定理:14三视图：8向量：6数列：17函数：4、12、21三角函数：7、9、16立体几何：15、19解析几何：5、10、11、20概率与统计：3、18坐标系与参数方程：22不等式：23难度分析：小题：仍然以基础考察为主：第1-9题，13/14题为简单型。

稍微有些基础的同学都能得分。

（其中第4题属于数学应用，考察对数的运算）第10题，第15、16题为中等难度题目。

而相对较难的是第11-12题。

大题：17-18题简单题，19中等难度，20-21压轴、但第一问相对简单。

22-23题常规题目总体来说，试题难度适中，整体仍以基础考察为主，最后的着力点是数学核心素养及数学能力的考察.高清版试题私信作者领取，选择、填空答案如下：以上试卷根据网络资料整理，试题/答案不敢确保无误，请以官方公布答案为准。

【仅作为学习交流参考使用.】高三的孩子们，不管今年的题目难还是简单，发挥得好还是差，一切都已过去。

考完试后，应该考虑的是自己如何走好以后的每一步。

人生贵在无悔、精彩无处不在。

加油！高二的孩子们，明年的这个时候，就要轮到你们上场了，每一年的题目、题型很难猜透，题型与刷题固然重要，但也要注重自我“能力”的提高。

只有这样，才能在高考中立于不败之地。

加油！。

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（2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【肢解2】若3AP PB =，求||AB ．【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程；【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知12342AF BF x x +=++=，所以1252x x +=，大题肢解一直线与抛物线联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以121212592m x x -+=-=，解得78m =-，所以直线l 的方程为3728y x =-，即12870x y --=.【肢解2】若3AP PB =，求||AB ．【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y ty x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y .则=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)3(4294123134.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．【拓展1】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若27||||=+BF AF ，求l 在y 轴上的截距.【解析】设直线l 方程为m x y +=23，()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线焦半径公式可知123722AF BF x x +=++=，所以122x x +=，联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得04)12(12922=+-+m x m x ，由0144)1212(22>--=∆m m 得12m <，所以12121229m x x -+=-=，解得21m =-，所以直线l 的方程为3122y x =-，令0=x 得21-=y ，所以直线l 在y 轴上的截距为21-.【拓展2】已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若2AP PB =，)0,4(-M ，求ABM ∆的面积．【解析】设直线l 方程为23x y t =+，联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得0322=--t y y ，由4120t ∆=+>得31->t ，由韦达定理知221=+y y ，t y y 321-=，因为PB AP 2=，所以212y y -=，所以22-=y ，41=y ，所以821-=y y .38-=t ，所以=-+⋅+=212214)(941||y y y y AB =-⨯-⋅+)8(429412132，直线l 方程为2833x y =-，即0823=+-y x ，所以点)0,4(-M 到l 的距离13413|812|=+-=d ，所以ABM ∆的面积为413413221||21=⨯⨯=⋅d AB ．1.（2019年山西太原一模)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为6，求||AB . 【解析】由题意知抛物线x y 42=的焦点F 的坐标为)0,1(，易知当直线AB 垂直于x 轴时，AOB ∆的面积为2，不满足题意，变式训练一所以可设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，与x y 42=联立，消去x 得0442=--k y ky ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理知ky y 421=+，421-=y y ，所以1616||221+=-ky y ，所以AOB ∆的面积为616161212=+⨯⨯k，解得2±=k ，所以6||11||212=-⋅+=y y kAB . 2.（2019年湖北荆州模拟)已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.【解析】（1）依题意可设直线:1AB x my =+，将直线AB 与抛物线联立214x my y x =+⎧⎨=⎩⇒2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得121244y y my y +=⎧⎨=-⎩，因为3AF FB =，所以213y y -=，即312=m ，所以直线AB 的斜率为3或3-．（2）2212121212122()4161642OACB AOB S S OF y y y y y y y y m ∆==⋅⋅-=-=+-=+≥，当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4．（2020届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【肢解1】求椭圆C 的方程；【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【肢解1】求椭圆C 的方程；【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，大题肢解二代入()0,1A -、13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点得()222222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 解得21n =，24m =，所以椭圆:C 2214x y +=.【肢解2】设直线)0(21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.【解析】将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<.由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.()()22221212124442284x x x x x x m m m -=+-=--=-242121222OPQ S m x x m m m m ∆=-=-=-+. 由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.【变式1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过)1,0(-A 、)21,3(B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(21:>+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若APQ ∆的面积为1+m ，求m 的值.【解析】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎫⎪⎭两点得()22222221011321m n n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭= 解得21n =，24m =. 所以椭圆:C 2214x y +=.（2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.变式训练二整理得222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->得m <<设),(11y x P ，),(22y x Q ，韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.所以)22(4)2()21(1||222---⋅+=m m PQ 252+-⋅=m ，由点到直线的距离公式得点)1,0(-A 到直线l 的距离5|22|m d +=. 所以APQ ∆的面积为255|22|212+-⋅⋅+⋅m m 2|1|2+-⋅+=m m ，因为APQ ∆的面积为1+m ，所以12|1|2+=+-⋅+m m m ，解得1=m 或1-=m （舍去）. 所以1=m ．【变式2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，其中左焦点为)0,2(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，1ABF ∆的面积为)2(6-m ，求直线的方程．【解析】(1)由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a ，所以椭圆C 的方程为14822=+y x .（2）设点),(11y x A ，),(22y x B ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得0824322=-++m mx x ，由0)84(12)4(22>--=∆m m 得3232<<-m ，由韦达定理知3421mx x -=+，382221-=m x x ，所以)82(4)34(2||22---⋅=m m AB 367342+-=m ，由点到直线的距离公式得)0,2(1-F 到直线m x y +=的距离2|2|m d -=，所以1ABF ∆的面积为36342|2|212+-⋅-⋅m m )2(6-=m ，解得3±=m ，满足3232<<-m ，所以所求直线方程为3+=x y 或3-=x y .1.（2019年山东高考模拟）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. （2）由22x py =得22x y p =，x y p'=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000xy y x x p-=-.即000x x py py --=.又由||2ON ==得02084y p y =-且2040y ->，所以2222200||||||4MN OM ON x y =-=+-220000020824244y py y y y y =+-=+-- ()2202200022001644164444y y y y y y -+=+-=+--- 2020641644y y =++--.令204t y =-，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈，令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=-；当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<，所以max 169()5f x =，即||MN的最大值为5.2.（2020黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)23,22(与点)22,1(--. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1(0,)2-，且斜率为()10k k-≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，所以∆>0，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++，所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k=+=+，将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m += ……… ②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以(k ∈⋃，又AB ==且原点O 到直线AB的距离d =，所以2122(12)AOB m S AB d k ∆==+== 所以1m =时，AOB S ∆最大值2，此时k =，所以k =时，AOB S ∆.3.（2020福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，1(2Q 在抛物线C 上，且32QF . （1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOBMONSS，求直线l 的方程.【解析】（1）因为3||2QF ，所以13222p，所以2p =，抛物线C 的方程为：24y x =，将1(2Q 代入24y x =得2t =，（2）设1122(,),(,),A x y B x y 00(,),(0,2)N x y M ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2(0)y kx k =+≠，联立242y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得224(1)40k x k x --+=，因为22Δ16(1)160k k ，得12k <且0k ≠，所以1212224(1)4,k x x x x k k -+==，因为ΔΔ3AOBMON S S ，所以||3||AB MN ，所以1200x -=-，即120x x x -=，因为N 是AB 的中点，所以1202x x x +=，所以22121212()()434x x x x x x ，整理得21212()16x x x x +=所以2224(1)64[]k kk ，解得1211,3k k =-=，所以直线l 的方程为：2y x =-+或123y x =+.4.（2020福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点A(0，－2)，椭圆E：22221x y a b+=(a>b>0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ的面积最大时，求l 的方程.【解析】（1）设(),0F c ，因为直线AF()0,2A-，所以23c =，c =又222,2c b a c a ==-，解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立22142,x y y kx +==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，所以k <或k > 由韦达定理知1212221612,1414k x x x x k k +==++.所以PQ ===，点O 到直线l 的距离d =12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，所以244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =±时取等号，满足234k >，所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-.5.（2020广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M，N 两点，交1l 于P 点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度.【解析】（1）由题意得12c e a ==，2223121a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，结合222a b c =+，解得24a =，23b =，21c =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）易知定直线1l0y +-=.联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得x = 令M点的坐标为. 因为14OP MN =，由对称性可知，点P 为OM的中点，故P ，又P 在直线1l0y +=0=，解得10k =，23k =，所以M 点的坐标为()2,0或65⎛ ⎝⎭，所以2OM =MN 的长度为4或5.6.（2020广西名校高三上学期12月高考模拟）如图，中心为坐标原点O 的两圆半径分别为11r =，22r =，射线OT 与两圆分别交于A 、B 两点，分别过A 、B 作垂直于x 轴、y 轴的直线1l 、2l ，1l 交2l 于点P ．（1）当射线OT 绕点O 旋转时，求P 点的轨迹E 的方程；（2）直线l ：3y kx =+E 交于M 、N 两点，两圆上共有6个点到直线l 的距离为12时，求MN 的取值范围．【解析】（1）设(),P x y ,OT 与x 轴正方向夹角为θ,则cos sin x OA y OB θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，化简得2214y x +=,即P 点的轨迹E 的方程为2214y x +=.（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为12时,原点O 至直线l 的距离13,22d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 即2133221k <<+,解得21,113k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，联立方程22314y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2242310k x kx ++-=，设()11,M x y ,()22,N x y ,则12234k x x k +=-+,12214x x k =-+，所以()()2222121222212414144k MN k x x x x k k k =++-=++++()2224134144k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1616,135MN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 7.（2020辽宁省沈阳市东北育才学校高三模拟）已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PAPBy k k x ==--．又2211221x y a b +=，代入上式可得2214b a -=-，又2a =，解得1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(4)240t y mty m +++-=，由韦达定理知12224mt y y t+=-+，212244m y y t -=+，因为2AM MB =，所以122y y =-，所以122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+．所以OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +==⨯⨯=⨯++++．所以212||1214949||||t S t t t ==++，当且仅当249t =时取等号．所以OAB ∆面积的最大值为1．。

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