211曲线与方程
数学2-1-2曲线方程的求法课件(人教A版选修2-1)
(0,2y) ， 连 结
PM. 因 为
l1⊥l2
，
所
以
|PM|
＝
1 2
|AB|.
而
பைடு நூலகம்|PM|
＝
(x－2)2＋(y－4)2，
|AB|＝ (2x)2＋(2y)2，
所以 2 (x－2)2＋(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
• [点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基 本方法，大多数题目可以依据文字叙述的 条件要求，直接“翻译”列出等式整理可 得．
• [例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 lA2B，[解的若析中]l1交点解xM法轴一的于：轨如A迹图点所方，示程l，2交．设y点轴A于(a,0B)，点B，(0，求b)线，M段(x，
y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
• (6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由 方程直接消去参数，例如求动直线的交点 时常用此法，也可以引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
• 1．解析几何研究的主要问题
• (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程 ；
• (2)通过曲线的方程，研曲究线的性质
．
• 2．求曲线的方程的步骤
故所求轨迹方程为 x2＋y2＝94.
• [例3] 求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y ＝[0解的析对] 称设所曲求线对的称曲方线程上．任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
课件5：2.1.1 曲线与方程
答案:y=-x+2(0≤x≤2)
解析:线段 AB 所在直线方程易求为 y=-x+2.
当表示线段时,0≤x≤2,
∴图示中对应的曲线方程为 y=-x+2(0≤x≤2).
.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
2.1.1
曲线与方程
2.1.1
曲线与方程
目标导航
学习目标
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
1.能记住曲线与方程的概念.了解曲线与方程的对应关系.
2.会分析曲线和方程的关系.
重点难点
课前预习导学
重点:曲线与方程的概念.
难点:曲线与方程的关系.
2.1.1
曲线与方程
目标导航
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
曲线的方程,方程的曲线
如果曲线 C 上点的坐标(x,y)都是方程 f(x,y)=0 的解,且以方程
f(x,y)=0 的解(x,y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲
预习引导
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
三
三、已知方程画曲线
活动与探究
如图,图形的方程与图中曲线的方程对应不正确的是
人教b版选修2-1 2-1-1曲线与方程的概念
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）2.1.1曲线与方程的概念一、选择题1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0C ．y ＝lgx 2与y ＝2lgxD ．x －y ＝0与y ＝lg 10x[答案] D[解析] ∵lg 10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg 10x 表示相同的曲线．2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( )A ．±3B ．0C ．±2D. 一切实数 [答案] A[解析] 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．与x 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±2[答案] B4．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④[解析] y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x ＋3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D. 5．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点，是( ) A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5)[答案] B[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2.6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0必定( )A ．经过P 点B ．经过原点C ．经过P 点和原点D ．不一定经过P 点[答案] A[解析] 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知．7．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线 [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x 得x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0，∴表示两条直线．8．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＝－|ax |(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2B ．4C ．0D ．与a 的取值有关 [答案] A[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.9．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.10．(2009·山东泰安)方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1 [答案] A[解析] y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x ≥0)－ax (x <0)式中a >0，分别画图象，观察可得a >1时，两曲线有两个交点．二、填空题11．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．[答案] 两条线段[解析] 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段．12．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．[答案] (x －1)2＋(y －2)2＝4[解析] 圆心到直线的距离等于半径，则r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2 ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.13．已知直线y ＝2x －5与曲线x 2＋y 2＝k ，当k ________时，有两个公共点；当k ________时，有一个公共点；当k ________时，无公共点．[答案] k >5；k ＝5；0<k <5[解析] 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究．14．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为____．[答案] 2[解析] 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2.三、解答题15．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，且|AB |＝5，求实数b 的值．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2. 消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0，①运用x 1＋x 2＝－b 2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.16．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0的曲线．[解析] 把方程(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y －2≥0或x －y －2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0x －y －2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32) ∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0. 17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．[解析] 解法1：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与c 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0， 解得1≤b < 2 解法2：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2. 18．若直线x ＋y －m ＝0被曲线y ＝x 2所截得的线段长为32，求m 的值． [解析] 设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －m ＝0 ①y ＝x 2 ② 由②代入①得：x 2＋x －m ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1x 1x 2＝－m |AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋4m ∴由2·1＋4m ＝32得 ∴1＋4m ＝9，∴m ＝2.。
高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)
证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
人教B版高中数学选修2-1课件2.1曲线与方程
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
建系设点
列式:动点的几何条件
代换:转换为代数方程 化简 利用坐标系 化形为数
这种方法叫直接法
审查
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l 的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当 的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系 设点M(x,y)xOy, 是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足 1）建系设点 是B，
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 y 参数法 : 选取适当的参数 kAC＝ （x≠－5） ； ,分别用参数表示动 x 得出轨迹的参数方程，消去参数， 5 点坐标x,y, 直线 BC 的斜率 x y 即得其普通方程。 写成 － ＝1（x≠±5） ． y 25 25m kBC＝ （x≠5） ； x5 由题意，得 kACkBC＝m，
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 P M | MA || MB | 就是点M属于集合 由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
.
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
人教a版选修2-1【数学】2.1.1曲线与方程 课件(共15张ppt)
2.下 列 命 题 是 否 正 确 ？ 说明 原 因.
(1)过 点A(2,0)平 行 于y轴 的 直 线l的 方 程 是x 2;
(2)到 两 坐 标 轴 距 离 相 等 的点 的 轨 迹 方 程 是y x.
3.判 断 点A(4,3), B(3 2,4),C( 5,2 5)是 否 在
方 程x2 y2 25( x 0)所 表 示 的 曲 线 上.
符合上述条件的点的集合：
p M || MA || MB |
直译法求轨迹方程的步骤 建立适当的直角坐标系， 用(x,y)表示曲线上任意一 点M的坐标 写出适合条件P的点M的 集合P＝{M|P(M)} 用坐标表示条件P(M)，列
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2 出方程f(x,y)=0
x 2y 7 0
化方程f(x,y)=0为最简形式 写出x的取值范围（判断
是否要轨迹的全部）
2020/7/10
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条件直译法求曲线方程的步骤
建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意 一点M的坐标
写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}
用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0
化方程f(x,y)=0为最简形式
6.命题p:曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)＝0 的解；
命题q：曲线C是方程f(x,y)＝0 的曲线，
则p成立是q成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2020/7/10
5
已知方程求曲线
7.(1)方 程2x2 y2 4x 2 y 3 0表 示 什 么 曲 线 ？ 迁 移: Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0什 么 时 候 表 示 圆 ？ (2)画 出方 程x y 1表 示的 曲线. 迁 移：x a y b 1表 示怎 样的 曲线 ？ 8.方 程( x2 y2 4) x y 1 0表 示 的 曲 线 形 状 是( )
211曲线与方程
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
y 1
-1 0
x 1
y
1 -2 -1 0 1 2 x
y
1
图3 -2 -1 0 1 2 x
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ D）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k.
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是
曲线
条件
方程
y l x-y=0 得出关系：
0x
（1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
分析特例归纳定义
（2）、方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r2 有什么关系？
y
··M
满足关系：
0
x
（1）、如果M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教版选修2-1
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【互动探究】若把题1中的方程改为(x+y-1)(
-1)=0,
x3
表示什么曲线?
【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-3≥0.
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
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曲线的方程和方程的曲线的定义
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 前提 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元
方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: ①曲线上点的坐标都是_____________; 条件 ②以这个方程的解为坐标这的个点方都程是的_解__________ 这个方程就叫做曲线的方程;这条曲曲线线就上叫的做点方程 结论 的曲线
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判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,那么方程 f(x,y)=0就是曲线的方程.( ) (2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适 合方程.( ) (3)x2+y2=1(x>0)表示的曲线是单位圆.( )
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【解题指南】解决本题的关键是分清楚哪个是条件,哪个是结 论,然后考虑是否满足两个条件. 【解析】选B.“曲线C的方程是f(x,y)=0”⇒“以方程 f(x,y)=0的解为坐标的点是曲线C上的点”,但满足f(x,y)=0 不能说明“f(x,y)=0”为曲线方程.
2.点P(x0,y0)与曲线C:f(x,y)=0的关系 (1)点P在曲线C上⇔f(x0,y0)=0. (2)点P不在曲线C上⇔f(x0,y0以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上
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分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
f(x,y)=0
曲线C的方程
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ D）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
y 1
-1 0
x 1
y
1 -2 -1 0 1 2 x
y
1
图3 -2 -1 0 1 2 x
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5 ) 是
否在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上。
（2）方程
ax2 by2
25所表示的曲线经过点A (
0
,
5 3
)
,
B（1，1），则a=
,b=
.
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
小结：
• 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件，只有具备上述两个方面的要求，才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题，以数助形正是解析几何的思 想，本节课正是这一思想的基础。
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例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k.
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
例5、判断方程|x-1|+分析特例归纳定义
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P(x0, y0) 在曲线C上的充要条件 是 f(x0,y0)0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1