11分析曲面曲率
曲面度量张量与曲率张量
锡 1.1 曲面第一基本形式及曲面度量张量
定义 1.1 (曲面第一基本形式). 由 gij(xΣ) = (gi(xΣ), gj(xΣ))Rm+1 构成的 m × m 矩阵
谢 G(xΣ)
=
g11(xΣ ...
)
···
g1m (xΣ ) ...
=
DΣT(xΣ
)DΣ (xΣ )
∈
Rm×m,
STAS STBS
= =
Im, λ1
...
. λm
锡麟
式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m.
证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得
表达式中, 则有 ∆ij ̸= 0; 并且如果 g 的表达式不包含 gij, 则有 ∆ij = 0. 随后, 可作以下推导:
∂g ∂xlΣ
∑ =
包含gij
∂g ∂gij
∂gij ∂xlΣ
(xΣ )
=
∑
包含gij
∆ij
∂gij ∂xlΣ
(xΣ
)
=
∑ m
p,q=1
∆pq
∂gpq ∂xlΣ
(xΣ )
=
ggpq
稿 gm1(xΣ) · · · gmm(xΣ)
讲 称为曲面 Σ(xΣ) 的第一基本形式. 性质 1.1 (曲面第一基本形式的对称性、正定性). 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称矩阵; 在曲面的正则点处, 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称正定矩阵.
析 证明 由内积的对称性, 矩阵 G 的对称性是显然的. 下面证明正定性.
曲面曲率计算方法的比较与分析
研究生专业课程报告题目：曲面曲率直接计算方法的比较学院：信息学院课程名称：三维可视化技术任课教师：****名：***学号：*********西北大学研究生处制曲面曲率直接计算方法的比较1、摘要曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格2、引言传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。
点的法向量和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。
由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。
在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
曲率
曲率的基本概念在SMT的8.4版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念。
为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识。
一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度。
二、三维欧氏空间中的曲线和曲面的曲率平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。
平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。
如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。
主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。
这两个曲率属性为主曲率。
他们代表着法曲率的极值。
高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。
三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况。
计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法。
根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价。
一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高。
该篇博文有很多内容参考了有关曲率研究的论文，如杜文凤发表在《岩石力学与工程学报》上的《利用地震层曲率进行煤层小断层预测》等，同时包括许多曲率的教学稿，在此表示感谢！该博客中已有部分博文列表：1.断层组合与解释2.地震解释三种任务与思路3.A VO分析: SHUEY公式及其物理意义4.Modpak正演--过井线模型正演5.地质异常体的自动追踪解释6.浅谈色标问题及编辑思路7.合成记录制作8.时间切片、沿层切片9.制作岩性图片加载进SMT作为岩性模式10.分频使用小议11.RSA属性分析对比12.RSA模块参数选项卡含义说明13.ModPAK模块--楔形模型正演14.断层、裂缝识别属性15.如何利用smt计算储层厚度16.SMT中输入Landmark、geoframe软件断层时注意的问题17.在SMT中如何计算沿层属性、层间属性？18.加载三维地震数据详解/s/blog_5156997b0100eeap.html。
空间曲面的法向量与曲率
空间曲面的法向量与曲率空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，我们可以通过法向量和曲率来描述其性质和特点。
本文将探讨空间曲面的法向量与曲率，并介绍它们的计算方法和应用。
一、法向量的定义与计算方法法向量是指与曲面上某一点的切平面垂直的向量。
在空间中，我们可以通过求取曲面的法向量来揭示曲面的几何性质。
对于一般曲面，法向量的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲面的参数方程或隐函数表达式。
2. 然后，以曲面上的一点为基准点，分别计算该点横、纵坐标对参数的偏导数。
3. 最后，将计算得到的偏导数向量归一化，得到该点处的法向量。
以某空间曲面为例，其参数方程为：x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)。
在该参数方程下，求取曲面上某一点处的法向量的具体步骤如下：1. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数u的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial u}$，$\frac{\partial y}{\partial u}$，$\frac{\partial z}{\partial u}$2. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数v的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial v}$，$\frac{\partial y}{\partial v}$，$\frac{\partial z}{\partial v}$3. 计算法向量的横、纵、纵坐标分量：$n_x = \frac{\partialy}{\partial u} \cdot \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partialu}\cdot\frac{\partial y}{\partial v} $，$n_y=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partialu}\cdot\frac{\partial z}{\partial v}$，$n_z=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partialu}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}$4. 归一化法向量：$N = \frac{1}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}(n_x,n_y, n_z)$通过以上步骤，我们可以得到空间曲面上每个点处的法向量。
第11章 曲面分析
1-9
11.2.2 按3点
按3点子类型可以指定3点计算它们之间的角度。其中第一点 是角度的交点，按3点子类型具体的步骤如下：
1-10
11.2.3 按屏幕点
按屏幕点子类型和按3点子类型一样，可以指定3点计算它们之间 的角度。不同的是指定的是屏幕上点，因此使用在不太精确的 情况下，具体的步骤如下：
1-15
11.3.4 图表
图表命令可以打开使用电子表格（Microsoft Office Excel ），借助电子表格编辑曲线的同时分析曲线。如果要进 行图表分析请务必要安装Microsoft Office Excel软件。
1-16
11.3.5 输出列表
输出列表命令可以在【信息】窗口中显示分析数据。其中无 限大曲率半径以9.999999 E+09 形式输出。非零扭矩值 表示非平面曲线。“参数”列中的数字表示曲线上的点 ，是用它们在曲线上的位置相对于曲线原点和长度的比 例来表示的。
（2）单击【类型】下拉列表框，选择按对象类型。 （3）选择要测量的第一个面，显示面法向的矢量，如图11.27所示。 （4）选择要测量的第二个面，显示面法向的矢量和矢量之间的角度，如
图11.28所示。 （5）如果需要对象的钝角，单击【方位】下拉列表框，选择外角类型，
如图11.29所示。 （6）如果需要对象之间的角度，而不是矢量的角度，单击【评估平面】
（1）单击菜单栏【分析】｜【测量角度】按钮，或单击实用工具 条测量距离图标，弹出【测量角度】对话框，如图11.36所示 。
（2）单击【类型】下拉列表框，选择按3点类型。 （3）选择要测量的第一个点。 （4）选择要测量的第二个点。 （5）选择要测量的第三个点，出现角度结果。 （6）单击【确定】按钮，完成退出【测量角度】对话框。
曲面的高斯曲率分布
曲面的高斯曲率是描述曲面在某一点上局部弯曲程度的量，通常用K来表示。
具体地说，曲面上任一点处的高斯曲率可以通过曲面局部坐标系下的一阶偏导数和二阶偏导数计算得到。
曲面的高斯曲率分布通常有以下情况：
K > 0：曲面上某个点的高斯曲率为正，代表该点处曲面的弯曲方向相同（凸）。
K < 0：曲面上某个点的高斯曲率为负，代表该点处曲面的弯曲方向相反（凹）。
K = 0：曲面上某个点的高斯曲率为零，代表该点处曲面是平的或者其弯曲方向相互抵消。
除此之外，还有以下特殊情形：
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是正值时，这样的曲面称为椭球面；
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是负值时，这样的曲面称为双曲面；
曲面的高斯曲率在不同位置之间变号，称为过渡曲面，典型例子包括圆柱面和双曲抛物面等。
一般情况下，曲面的高斯曲率分布是一个连续的函数，在不同位置处变化，并且曲面的性质与它局部高斯曲率的符号有密切关系。
例如，对于凸曲面，其高斯曲率处处为正，即在任何一点处曲率半径都是正值；而对于双曲面，则处处为负，即在任何一点处曲率半径都是负值。
曲率 正负 标准
曲率正负标准曲率是描述曲线或曲面在某一点的曲率大小以及曲率方向的物理量。
在数学和物理学领域中，曲率的正负标准是非常重要的。
本文将详细介绍曲率的概念、计算方法以及在不同领域中的应用。
一、曲率的概念曲率描述了曲线或曲面在某一点的弯曲程度。
对于曲线而言，曲率越大，曲线越弯曲；曲率越小，曲线越接近直线。
对于曲面而言，曲率描述了曲面在某一点所呈现的凹凸程度。
如果曲率为正，则曲面在该点凸起；如果曲率为负，则曲面在该点凹陷。
二、曲率的计算方法在数学中，曲率的计算方法有不同的推导方式，下面将介绍其中的一种方法。
对于曲线的曲率计算，可以使用以下公式：\[\kappa = \frac{y''}{(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}}\]其中，\(\kappa\)表示曲线的曲率，\(y'\)表示曲线的一阶导数，\(y''\)表示曲线的二阶导数。
对于曲面的曲率计算，可以使用以下公式：\[\kappa = \frac{\|r_{u} \times r_{v}\|}{\|r_{u}\|^{2}\|r_{v}\|^{2} - (r_{u} \cdot r_{v})^{2}}\]其中，\(\kappa\)表示曲面的曲率，\(r_{u}\)和\(r_{v}\)表示曲面上某一点处的两个切向量。
三、曲率的正负标准在曲率的计算中，曲率的正负标准用于表示曲线或曲面的凸凹性。
正曲率表示曲线或曲面在某一点处凸起，负曲率表示曲线或曲面在某一点处凹陷。
对于曲线而言，当曲率为正时，曲线在该点处向外凸出；当曲率为负时，曲线在该点处向内凹陷。
对于曲面而言，当曲率为正时，曲面在该点处呈现凸面；当曲率为负时，曲面在该点处呈现凹面。
正负曲率的标准在几何学、光学、物理学等领域具有重要的应用。
在几何学中，曲率的正负决定了曲线或曲面的形状和特性，是研究几何形体的基本工具。
在光学中，正曲率的透镜能够使光线向一侧偏折，负曲率的透镜能够使光线向相反的一侧偏折，因此正负曲率透镜在成像和焦距调节方面有重要应用。
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• •
半径越小，曲率越大。 半径越大，曲率越小。
曲面如“图 1”所示。
图 1 - 查看曲面曲率
•
半径等于 20 的曲线部分在曲面上产生了较大的曲率。
•
半径等于 35 的曲线部分在曲面上产生了较小的曲率。
“图 2”中的曲线显示了曲面曲率出图。
图 2 - 查看曲面曲率图
• • •
曲线上具有较大曲率的部分具有较长的曲率波峰。 曲线上具有较小曲率的部分具有较短的曲率波峰。 接近曲线中部曲率图形更改方向的位置为拐点。拐点是曲率更改方向的位置。可以将拐点理解为是曲率由正变为负的位置。
图 1 - 查看着色曲率
• •
创建无扭曲的曲面。扭结或小曲面片是曲面模型中常见的问题。在创建实体零件或创建制造序列时，它们可能在添加厚度时引起一些问题。 创建适合于制造过程的曲面。许多操作 (例如创建加工序列) 都会将曲面侧考虑在内。曲面模型中的面组应具有相应的正法向侧。
图 3 - 截面分析
常用分析选项
常用曲率值
请考虑以下示例几何的曲率值：
• • •
直线的曲率值为零。 弧的曲率值为基于 1/R 的常数。 除样条仅通过两点形成直线的情况外，样条的曲率是连续变化的。可通过操控样条的内部点来控制样条的曲率。使用端点曲率尺寸可控制样 条端点的曲率。
概念: 定义曲率连续性
定义曲率连续性
当曲线或曲面几何在共用点或边界处相交时，有不同级别的曲率连续性：
•
C0 - 也称作“自由”连续性，C0 连续性具有以下特点：
图 1 - 自由 (C0) 连续性
o o o •
几何共用一条公共边界。 几何的相切 (斜率) 不连续。 几何的曲率 (斜率改变) 不连续。 C1 - 也称作“相切”连续性，C1 连续性具有以下特点：
图 2 - 相切 (C1) 连续性
o o o •
几何共用一条公共边界。 几何的相切 (斜率) 是连续的。 几何的曲率 (斜率改变) 不连续。 C2 - 也称作“曲率”连续性，C2 连续性具有以下特点：
图 3 - 曲率 (C2) 连续性
o o o
几何共用一条公共边界。 几何的相切 (斜率) 是连续的。 几何的曲率 (斜率改变) 连续。
在幻灯片上显示了三种情况的曲率图形。请注意几何和生成的图形：
图 2 -“已保存分析”对话框
•
特征 (Feature) - 允许将分析作为一种特征保存在模型树中。该分析更新为模型几何更改。
概念: 定义曲率
定义曲率
经常需要创建具有连续曲率的曲面，这样即使模型由若干曲面片组成，所生成的模型也会显示为连续流畅的造型。
在分析曲率连续性前必须先定义曲率。曲面的曲率定义为与 1/R 成正比，其中 R 为曲面在指定位置的半径。因此：
可从以下几个方面控制曲率图形：
• • •
质量 - 控制图形中的波峰密度。 比例 - 控制图形中的波峰高度。 图形样式 - 控制波峰的显示和连接方式。 可采用平滑方式和线性方式显示和连接波峰， 或只显示和连接波峰， 这表示波峰之间没有直线连接。
分析曲面曲率
模块概述:
使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。
在此模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率 连续曲面的创建方法。
目标:
成功完成此模块后，您将能够：
视设计任务而定，可能需要不同级别的曲率连续性。出于各种目的经常需要曲率连续性，包括以下这些示例：
• •
美观目的，例如产品的外表面，。 工程目的，例如为了流体流动更好。
概念: 分析曲线的曲率
分析曲线的曲率
您可使用“曲率”工具显示所选曲线或边的曲率。曲率显示为双向曲率图形，其波峰的长度表示所在位置的曲率大小。曲率图形可用于分析曲线或边，从 而确定其曲率连续性的级别 (是自由、相切，还是曲率)，并在创建曲面前显示曲率的不连续性。
• o o o • o o o
“自由”(或 C0) 连续性在“图 1”中显示。请考虑位于以下几何区域的曲率： 对于样条，曲率图形随曲率的变化而变化。 对于直线，曲率为零。 对于弧，曲率等于常数。 “相切”(或 C1) 连续性在“图 2”中显示。请考虑位于以下几何区域的曲率： 对于样条，曲率图形随曲率的变化而变化。 第二条样条曲线在相反的方向，是使用拐点连接的。 对于弧，曲率等于常数。
使用 Creo Parametric 的模型分析工具时有三个选项可用：
• •
快速 (Quick) - 允许计算测量而不保存分析或在模型树中创建特征。关闭对话框后此分析消失。 已保存 (Saved) - 允许保存测量以备今后使用。关闭对话框后此分析保留。可以为分析指定一个唯一名称，以使以后它对您有意义。可通过 单击“分析”(Analysis) > “保存的分析”(Saved Analysis) 来启用、禁用或编辑保存的分析的显示。已保存分析更新为模型几何更改。“已保存分 析”(Saved Analysis) 对话框如图 2 所示。
• • • • • • • • •
分析曲面理论。 定义曲率和曲率连续性。 分析曲线的曲率。 分析曲面的曲率。 使用截面分析曲率。 使用法线分析曲率。 使用曲面的着色曲率。 使用着色截面曲率。 创建曲率连续曲面。
概念: 曲面分析理论
曲面分析理论
Creo Parametric 提供了许多不同的工具， 以满足不同的建模要求。 您可根据自己的目标使用特定工具分析曲面模型， 例如连续性、 扭曲以及视觉特性。
分析曲面的原因
创建曲面时，目标是创建具有高质量的曲面。请考虑以下分析曲面的原因：
• •
创建具有预期平滑度和连续性的曲面。可使用分析工具检验相切和曲率连续性。 创建具有预期曲率的曲面。可检查是否存在不需要的高曲率区域，这些区域表示曲面有问题。例如，曲面中的扭结会使曲率显示为突然增大， 借助 Creo Parametric 的分析工具可轻松找出此类扭结。
请注意样条和弧的曲率并不相等，因而在曲率图形中出现了“台阶”。
• o o o
“曲率”(或 C2) 连续性在“图 3”中显示。请考虑位于以下几何区域的曲率： 对于样条，曲率图形随曲率的变化而变化。 第二条样条曲线在相反的方向，是使用拐点连接的。 对于弧，曲率等于常数。
请注意，样条和弧的曲率现在相等，因而在曲率图形中平稳过渡。