专题8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
第04讲_空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)
高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱空间点、直线、平面之间的位置关系知识精讲一．平面的三个公理及推论1．三个公理：（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说 成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 2．三个推论（都可利用公理2进行推导）．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 共面直线：包括平行直线和相交直线.异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线.αlB AαCBA Aαaβ三点剖析一．方法点拨1．证明空间中的三点共线问题：一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上：即先确定出某两个点在某两个平面内，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，则三点都在两平面的交线上公理3是证明点共线的依据，应该这样理解： （1）如果A 、B 是交点，那么AB 是交线；（2）如果l αβ=，点P 是,αβ的一个公共点，那么P l ∈．2．证明直线共面通常的方法：（1）先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）； （2）分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；（3）可以假设这些直线不在同一平面内，然后通过推理找出矛盾（反证法）．平面的基本性质例题1、 若点B 在直线b 上，b 在平面β内，则B b β、、之间的关系可记作（ ） A.B b β∈∈ B.B b β∈⊂ C.B b β⊂⊂ D.B b β⊂∈例题2、 在下列命题中，不是公理的是（ ） A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 例题3、 空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果EF GH P ⋂=，则点P （ ） A.一定在直线BD 上 B.一定在直线AC 上 C.在直线AC 或BD 上 D.不在直线AC 上也不在直线BD 上 例题4、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是() A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练1、 如果,,,,a b l a A l b B αα⊂⊂⋂=⋂=那么下列关系成立的是（ ） A.l α⊂ B.l α∉ C.l A α⋂= D.l B α⋂= 随练2、 两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ） A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线共面与异面直线例题1、 如图，设E F G H P Q ，，，，，分别是正方体1111ABCD A B C D -所在棱上的中点，求证：E F G H P Q ，，，，，共面．例题2、 已知直线直线求证：直线共面．,a b c ∥∥,,.l a A l b B lc C ===,,,a b c l PQ HG F E B 1D 1C 1A 1DCBA例题3、 如图，,D E 是棱PC 上不重合的两点，,F H 分别是棱,PA PB 的点，且与P 点不重合，求证：EF 和DH 是异面直线．例题4、 如图所示，已知梯形中，画出平面与平面的交线．随练1、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练2、 如图，点是的中点，画出平面与平面的交线．拓展1、 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A.m n m n A αβα⋂=⊂⋂=，，B.m n m n A αβα⋂=∈⋂=，，C.m n A m A n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，D.m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，2、 如图所示是正方体的表面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题，正确命题的序号是______________3、 下列命题中正确的有几个（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线； ②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于A B C 、、三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个ABCD ,2,AB CD DC AB =∥PBC PAD DBPAE 1CC BDE 1111A B C D 1C B A 1C E APH FDBAn mAβαFE MN D C B A4、 如图所示，已知正方体中，分别是的中点，求证：延长后相交于一点．1111ABCD A B C D ,G H 1111,B C C D 1,,DH BG CC1A C答案解析平面的基本性质与推论平面的基本性质例题1、 【答案】 B【解析】 点是元素，直线和平面为集合 例题2、 【答案】 A【解析】 D 、B 、C 分别为公理一、二、三． 例题3、 【答案】 B【解析】 根据公理三可得 例题4、 【答案】 C【解析】 根据点线面确定平面的方法判断即可. 随练1、 【答案】 A【解析】 直线和平面的包含关系 随练2、 【答案】 D【解析】 有多于不在同一直线三点的两个平面重合共面与异面直线例题1、【答案】 见解析【解析】 连接EF QG ，，∵E F Q G ，，，分别是111111A D D C A A C C ，，，的中点，∴11,||||EF AC QG 同理||FG EP ，设E F G Q ，，，确定平面F G E P α，，，，确定平面β，由于α，β都经过不共线的三点E F G ，，，故α，β重合，即E F G P Q ，，，，五点共面，同理可证E F G H Q ，，，，五点共面，故E F G H P Q ，，，，，共面． 例题2、【答案】 见解析 【解析】 证明：确定平面确定平面又 平面内都有直线和点且点在直线外． 重合，则同理，共面．例题3、【答案】 见解析 【解析】 反证法，假设EF 与DH 有公共点，则公共点也为平面PAC 与平面PBC 的公共点，从而公共点在直线PC 上，而,,,EF PC F PC DH D D F ==不重合，结论不成立．,,lb B b l =∴,,a b α∴.β,..l a A A l A α=∴∈∴∈,,.A a a A ββ∈⊂∴∈∴,αβb ,A A b ,αβ∴.a α⊂.,,,c a b c l α⊂∴例题4、 【答案】 如图【解析】 延长交于点连接即是平面与平面的交线． 随练1、 【答案】 C【解析】 按照直线与点的位置讨论得出 随练2、【答案】 如图所示．【解析】 如图，延长交于点延长交于点连接即是平面与平面的交线．拓展1、【答案】 A【解析】 平面的交线，直线和平面的交点，点和平面的属于关系 2、【答案】 ③④【解析】 还原立体图可得 3、【答案】 C【解析】 不共面的五个点最多能确定10个平面 4、【答案】 见解析．【解析】 证明：先证相交于一点，然后再证过这一点即可．平行且等于又平行且等于 平行且等于． 所以四点共面，且为梯形．所以延长后必交于点因为所以同理．所以点在平面平面的交线上．又平面平面延长后相交于一点．DBPA,CB DA ,Q ,PQ PQ PBC PAD D 1C 1B 1A 1MDC E A11,DE D C ,M 11,BE B C ,N ,MN MN BDE 1111A B C D ,DH BG 1CC 1111,,D H HC B G GC GH ==∴111.2B D 11B D ,BD GH ∴12BD ,,,G H B D GHDB ,DH BG .P 11,,P BG BG BCC B ∈⊂平面11.P BCC B ∈平面11P CC D D ∈平面P 11BCC B 和11CC D D 11BCC B111,CC D D CC =1,P CC ∴∈∴1,,DH BG CC。
专题8.4 直线、平面平行的判定及其性质(讲)(解析版)
专题8.4 直线、平面平行的判定及其性质1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b 在平面内，且a∥b，否则会出现错误．(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a ∥α，则要用判定定理，在α内找与a 平行的直线；如果条件中有a ∥α，则要用性质定理，找(或作)过a 且与α相交的平面．应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ′∩b ′＝O ′，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.【知识必备】1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．考点一 与线、面平行相关命题的判定【例1】【2019年高考全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【举一反三】【2019年高考北京卷】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【举一反三】（一中2019届高三模拟）(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若a⊥c，b⊥c，则a∥bB.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD.若α∥β，a⊂α，则a∥β(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.(2)在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF. 故B正确【变式1】（贵州凯里一中2019届高三模拟）(1)下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行【解析】(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.考点二直线与平面平行的判定与性质【典例2】（陕西西安中学2019届高三质检）如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：(1)AD1∥平面BDC1；(2)BD∥平面AB1D1.【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D.又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)连接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝DD1，∴BB1∥DD1，又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.考点三面面平行的判定与性质【典例3】（广西柳州高级中学2019届高三模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的常用方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．【变式3】（广东中山一中2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥EABCD中，△ABD为正三角形，CB ＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接OC，OE.∵CB＝CD，∴CO⊥BD.又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，∴BD⊥平面OEC.∵OE⊂平面OEC，∴BD⊥OE.又∵O为BD中点，∴OE为BD的垂直平分线，∴BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠BCD＝120°，CD＝CB，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即CB⊥AB，∴DN∥CB.∵DN∩MN＝N，BE∩CB＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(讲)(解析版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读与核心素养】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 5. 高考预测：（1）以几何体为载体，考查点线面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）判断线线、线面、面面的位置关系.（3）平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现． 6.备考重点：(1) 掌握相关定义、公理、定理；（2）掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法. （3）掌握各种角的计算方法.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角 1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例剖析】高频考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B 【解析】如图所示：连接11A C ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1A C 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以A M O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1A C 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥, 因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内 【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合 【变式探究】1.（2019·上海高三）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上. 高频考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2015·广东高考真题（文））若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A.l 与1l ，2l 都相交B.l 与1l ，2l 都不相交C.l 至少与1l ，2l 中的一条相交D.l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 的一条相交.故选A ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． (2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 【变式探究】1.（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A ．②③ B ．①②C ．①②③D ．②【答案】D 【解析】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β.同理可得//HF 平面β，EHHF H =，∴平面//EFH 平面β.又平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.2.若,a b 表示直线，α表示平面，下列结论中正确的是_______.①,//a b a b αα；②,//a a b b αα⊥⊥⇒；③//,a a b b αα⊥⇒⊥；④,//a b a b αα⊥⊥⇒. 【答案】①④ 【解析】 ①中，因为,//ab αα，根据线面垂直的性质，即可得到a b ⊥，所以①正确；②中，因为,α⊥⊥a a b ，所以//b α或b α⊂，故②错误； ③中，因为//,a ab α，所以//b α或b α⊂或b 与α相交，故③错误；④中，因为,a b αα⊥⊥，根据线面垂直的性质定理，即可得到//a b ，故④正确；故答案为①④ 【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 高频考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2019·浙江衢州�高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1A C 所成角的正弦值为（ ）A ．210B ．15 C ．65 D ．86565【答案】A 【解析】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，连接1,A N CN ，//CM BN ，∴四边形BMCN 为平行四边形，∴异面直线BM 与1A C 所成角即为CN 与1A C 所成角，即1A CN ∠，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，1AC ∴==，2CN BM a ===，1A N ==，22222211115133cos 2a a a AC CN A N ACN AC CN +-+-∴∠===⋅，1sin 15A CN ∴∠==， ∴异面直线BM 与1A C.故选：A . 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅.【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2π B. C. D.3π 【答案】A 【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选：A ．高频考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为2，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )23 C.12D.13【答案】A 【解析】易知22AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠==.【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1326；(Ⅲ)34．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． （Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt△DAM 中，AM =1，故DM 22=13AD AM +．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt△DAN 中，AN =1，故DN 22=13AD AN +在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得1132cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD 13 （Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 3．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt△CAD 中，CD 22AC AD +．在Rt△CMD 中，3sin CM CDM CD ∠==所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【变式探究】1.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，332π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________. 85【解析】 如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:360r =1=,则2AD =,又由343233R ππ=,得球的半径R 2=, 所以22224123AP R r =-=-=取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又2212315PC PA AC =+=+223511242PE PA AE =+=+=, 所以512cos 15CPE ∠=85=. 直线PC 与平面PAB 85. 2.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.高频考点五：二面角【典例8】（2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况． 【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π5【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ++-⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵255DH ==，∴tan 5AD AHD DH ∠==.。
人教A版高中数学必修第二册教学课件8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目标检测设计
2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED 平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以 上几个结论中，正确结论的序号是( )．
3．已知：α∥β，a⊂α．求证：a∥β．
再见
空间点、直线、平面的 位置关系
一、探究、归纳空间中直线与直线的位置关系
空间中的基本要素有点、直线、平面， 它们之 间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点 在直线上，点不在直线上；点与平面之间有点在面 内，点不在面内等.我们也知道在同一平面中，直线 与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系.
二、探究、归纳空间中直线与平面之间的关系
直线AB与平面ABBA，ABCD 有无数个交点，此时， 直线在平面内．
直线AB与平面ADDA，BCCB分别有唯一交点， 此时，直线与平面相交．
直线AB与平面 ABCD ， CDDC 没有任何交点，此时， 直线与平面平行．
直线与平面相交，直线与平 面平行，统称为直线在平面外．
a b P
四、直线、平面位置关系的应用 例2 如图，AB B，A，a ，Ba，
直线AB与α具有怎样的位置关系？为什么？
正难则反 反证法 不异面则共面， AB在面内，矛盾．
五、反思总结，提炼收获
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学 到这些知识的？
（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 有哪些位置关系？
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
平面ABCD与平面ABBA，BCCB，CDDC，DAAD 有无数个交点，此时平面与平面相交．
平面ABCD与平面ABCD 没有交点，此时平面与 平面平行．
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
如何用图形和符号分别表示平面与平面相交， 平面与平面平行？
空间点、直线、平面之间的位置关系
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH
P∈FG,FG ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
ABD，
BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
§8.3
空间点、直线、平面之间 的位置关系
基础知识
要点梳理
1.平面的基本性质
自主学习
公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内. 公理2：过 不共线 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有 一条 过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
题型二
异面直线的判定
【例2】 (12分)如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
思维启迪 （1）易证MN∥AC，∴AM与CN不异
面. （2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时
（1）位置关系的分类
平行 共面直线 相交 异面直线 : 不同在 任何 一个平面内
（2）异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任
一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
π 0, 2
探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共
空间点、直线、平面之间的位置关系(讲义及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义）➢知识点睛一、平面的基本性质公理 1 公理 2 公理 3自然语言如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内过的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线图示符号语言∵∴l⊂α∵A，B，C 三点不共线∴有且只有一个平面α，使∵∴α∩β=l，P∈l公理 2 相关推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．二、位置关系位置关系符号语言图示点、线点在直线上点在直线外点、面点在平面内点在平面外位置关系符号语言 图示线、线同一平面相交平行不同一平面异面线、面 线在平面内线在平面外相交 平行面、面平行相交三、线线位置关系 1.公理 4：平行于 的两条直线互相平行．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．2.异面直线所成的角①定义：设 a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线a' ∥a ，b' ∥b ，把a' 与b' 所成的 叫做异面直线a ，b 所成的角（或夹角）． ②异面直线所成角θ的范围： ．③ 如果两条异面直线所成的角是直角， 那这两条直线．两条互相垂直的异面直线 a ，b ，记作．④图示． 3.求角的处理步骤①构造：根据异面直线的定义，用平移法作出角； ②证明：证明说理；③计算：求角度，常利用三角形求解；④结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求出的角是是钝角，则其补角为所求角.四、证明三线共点、三点共线的方法1.三线共点处理思路：先证两条直线相交于一点，再证第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，利用公理 3 可证．2.三点共线处理思路：先找两个平面，证明这三点都是这两个平面的公共点，利用公理3，三点都在交线上．➢精讲精练1.下列四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D 共面，点A，B，C，E 共面，则点A，B，C，D，E 共面；③若直线a，b 共面，直线a，c 共面，则直线b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.设P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③3.如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）A．点A B．点BC．点C 但不过点M D．点C 和点M4.下列说法正确的是（）A.若a⊂α，b⊂β，则a 与b 是异面直线B.若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C.若a，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D.若a，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面5.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，既与AB 共面也与CC1 共面的棱有（）条．A．3 B．4C．5 D．66.在下图中，G，N，M，H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，其中表示直线GH，MN 是异面直线的图形是．（填上所有正确答案的序号）7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是（）A．MN 与A1B1 平行B．MN 与AC 垂直C．MN 与BD 平行D．MN 与CC1 垂直8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是．9.如图，在空间四边形ABCD 中，对角线AC=24，BD=10，M，N 分别是AB，CD 的中点，且MN=13，则异面直线AC 和BD 所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，（1）求AC 与A1D 所成角的大小；（2）若E，F 分别为AB，AD 的中点，求A1C1 与EF 所成角的大小．11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l．在梯形ABCD 中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l 共点（相交于一点）．12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是AB，AA1的中点．求证：（1）E，C，D1，F 四点共面；（2）CE，D1F，DA 三线共点．【参考答案】➢知识点睛一、平面的基本性质公理1：两点，A∈l ，B ∈l ，A∈α，B ∈α公理2：不在一条直线上，A∈α，B ∈α，C ∈α公理3：一条，P ∈α，P ∈β二、位置关系点、线：A∈l ，B ∉l点、面：A∈α，B ∉α线、线： a n =A ，a∥b线、面：a ⊂α，m α=A，b / /α面、面：α/ /β，α γ=n，β γ=m，三、线线位置关系1. 同一条直线，相等或互补2. ①锐角或直角；② 0︒<θ≤90︒；③互相垂直，a⊥b ➢精讲精练1. B2. B3. D4. D5. C6. ②④7. A8. ①③9. A10. （1）60°；（2）90°11.略12.略。
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求素养要求借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究观察你所在的教室.问题(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？提示(1)平行.(2)平行.(3)二者是异面直线.(4)平行.1.空间中直线与直线的位置关系异面直线是“不同在任何一个平面内的直线”，不是“在两个平面内的直线”(1)异面直线的定义和画法①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.(2)空间中直线与直线的位置关系位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线是 1 平行直线是0异面直线否02.空间中直线与平面的位置关系线线、线面、面面位置关系的分类标准都是交点个数位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A 直线与平面平行没有公共点a∥α3.空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行α∥β没有公共点两个平面相交α∩β＝l 有一条公共直线[微判断]1.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)2.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(×)3.如果直线a，b满足a∥平面α，b∥平面α，那么a∥b.(×)4.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(√)5.若直线a与直线b异面，直线b与直线c异面，则a与c异面.(×)提示 1.直线l与平面α也可能相交.2.这两个平面也可能相交.3.直线a和b可能平行、相交，也可能异面.5.直线a与c可能异面、相交、平行.[微训练]1.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.相交或异面D.无法判断答案 C2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是()A.SBB.SCC.BCD.AB答案 C3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有唯一一条.答案 D[微思考]1.分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？提示分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.2.直线l在平面α外，则l与平面α就没有公共点吗？提示不一定.直线l在平面α外包括两种情况，当直线l与平面α平行时没有公共点；当直线l与平面α相交时有一个公共点.题型一空间中两直线位置关系的判定【例1】如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).解析如题干图①中，GH∥MN.图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面.图③中，连接GM，GM∥HN，因此，GH与MN共面.图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面.所以图②，④中GH与MN异面.答案②④规律方法判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α则AB与l是异面直线(如图).【训练1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.解析题型二直线与平面的位置关系【例2】下列说法中，正确的有()①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.A.0个B.1个C.2个D.3个解析如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误.答案 B规律方法直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.【训练2】下列命题中，正确的命题是()A.若a∥α，α∥β，则a∥βB.若a∥α，b⊂α，则a∥bC.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若aα，则a与α没有公共点解析对于A，a∥β或a⊂β，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错.答案 C题型三平面与平面的位置关系【例3】以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.A.③④B.②③④C.②④D.①④解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.答案 A规律方法平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.【训练3】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直解析根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.答案 C一、素养落地1.通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.2.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.3.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.4.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.二、素养训练1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.答案 D2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.答案 B3.下列命题中，正确的有()①都与同一直线相交的两条直线相交；②都与同一个平面相交的两个平面相交；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个解析①中，可能相交、平行、异面；②中，可能是相交或平行，故②错误.答案 B4.一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由.解这条直线与平面相交.如图，设A∈l，A∈α，B∉α，B∈l，因为A∈l，A∈α，即直线l与平面α有公共点，所以直线l与平面α不平行.假设直线l与平面α不相交，则l⊂α，又B∈l，l⊂α，所以B∈α，这与题设B∉α矛盾，所以lα，所以直线l 与平面α相交.基础达标一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).答案 D2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.答案 D3.两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a 与β没有公共点，正确.答案 B4.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点解析若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.答案 D5.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行解析一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行. 答案 D二、填空题6.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.答案87.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.答案①②8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.答案①三、解答题9.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示：根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.能力提升11.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上).解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行.答案③④12.如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明.解在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F 四点共面.∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线.在图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内.又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线.创新猜想13.(多选题)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中()A.CD∥GHB.AB与EF异面C.AD∥EFD.AB与CD相交解析把展开图还原成正方体，如图所示.由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF 异面，AD与EF异面，AB与CD相交，故选A，B，D.答案ABD14.(多选题)以下四个命题正确的是()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面解析A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故选A，C.答案AC。
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专题8.4 空间点、直线、平面的位置关系运用一基本事实辨析【例1】（1）（2019·安徽高二月考）下列说法错误的是（）A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（2）下列结论中不正确的是（）A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上D.任意两条直线不能确定一个平面【答案】（1）A（2）D【解析】A. 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面， B正确C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面，C正确D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．（2）由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.故选D.【举一反三】1．（2019·山西高二月考）下列命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由公理二知命题①④正确；命题②两条直线异面时不成立，为假命题；命题③空间中，相交于同一点的三条直线可能确定三个平面，为假命题。
故选B2．（2019·贵州省铜仁第一中学）在下列命题中，不是公理的是（ ） A.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 B.平行于同一个平面的两个平面相互平行C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】B【解析】对于A ， 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理2； 对于B ，平行于同一个平面的两个平面相互平行，不是公理；对于C ，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；对于D ，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3．故选：B ．3．（2019·浙江高二期末）设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①,P a P a αα∈∈⇒∈ ②,a b P b a ββ⋂=⊂⇒⊂③a ∥b ，,,a P b P b ααα⊂∈∈⇒⊂ ④,,b P a P P b αββ⋂=∈∈⇒∈． A ．①② B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D【解析】当a P α⋂=时，,P a P α∈∈，但a α∉∴①错；当a ∩β=P 时，②错；如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P a ∉，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选：D ．4．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．3或4 D ．1、3或4 【答案】D【解析】直线之外不共线的三点记为A ，B ，C ．当直线在A ，B ，C 所确定的平面内时，它们只能够只确定一个平面；当A ，B ，C 三点中有两点与直线共面时，能确定平面有3个；当A ，B ，C 三点中没有两点与直线共面时，这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选:D ．5．（2018·内蒙古集宁一中高一月考）空间四边形ABCD ，E ，F 点分别是AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD 和AD 上，且满足2CG AHGD HD==。
（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面； （2）证明：EH ，FG ，BD 三线共点. 【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】（1）由题意，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ， 又由CG AHGD HD=，根据平行线段成比例，可得//GH AC ， 所以//EF GH ，所以四点,,,E F G H 在同一平面内，即,,,E F G H 四点共面。
（2）由题意，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ，且CG AHGD HD=， 假设直线EH 和FG 交于点M ，即EH FG M ⋂=， 因为EG ⊂平面ABD ，可得点M ⊂平面ABD , 同理可得M ⊂平面BCD ,又因为平面ABD ⋂平面BCD BD =，即点M ⊂直线BD ， 所以直线,,EH FG BD 三线共点。
运用二 直线的位置关系【例2】（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面【答案】D【解析】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点，∴a 、b 平行或异面．故答案为：D 【举一反三】1．（2018·嘉峪关市酒钢三中高一月考）若直线a,b,c 满足a ∥b,a,c 异面,则b 与c （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线【答案】C【解析】由于//a b ，,a c 异面，此时，b 和c 可能相交，也即共面，如图所示b 与c 相交；b 和c 也可能异面，如图所示'b 与c 异面.综上所述，b 与c 不可能是平行直线. 故选C.运用三 直线与平面的位置关系【例3】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M 、N 分别为1A B 和AC 上的点，13A M AN a ==，则MN 与平面11BBC C 的位置关系是（ ）A.相交但不垂直B.平行C.垂直D.不能确定【答案】B【解析】如图，过M 作11//MP A B 交1BB 于点P ，过点N 作//NQ AB 交BC 于点Q ，连接PQ .//NQ AB ，11//PM A B ，11//AB A B ，//NQ MP ∴，13A M AN a ==，且1A B AC ==，且1123MP A B ∴=，23NQ AB =.//NQ MP ∴，∴四边形MNQP 为平行四边形，∴//MN PQ .又MN ⊄平面11BB C C ，PQ ⊂平面11BB C C ，//MN ∴平面11BB C C .故选：B.【举一反三】1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A D 的中点，则直线MD 与平面11A ACC 的位置关系是_______；直线MD 与平面11BCC B 的位置关系是_______.【答案】相交 平行【解析】在平面11AA D D 中，四边形1AA MD 是梯形，且1AA 、MD 是两腰，则直线MD 与直线1AA 相交，所以，直线MD 与平面11A ACC 相交；在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//AA D D 平面11BB C C ，MD ⊂平面11AA D D ，//MD ∴平面11BCC B .故答案为：相交；平行.2．（2019·四川省武胜烈面中学校）如果平面α 外有两点 ,A B ，它们到平面α 的距离都是a ，则直线AB 和平面α 的位置 关系一定是( )． A ．平行 B ．相交C ．AB ⊂αD ．平行或相交【答案】D 【解析】由题意可得两点在面的异侧和同侧两种情况，结合图形可知直线与平面相交或平行，故选D运用四 平面的位置关系【例4】（2019·广东月考）设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．,αβ垂直于同一平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α内有两条相交直线与β平行【答案】D【解析】A 中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到//αβ，可知A 错误；B 中，,αβ垂直于同一个平面，此时α与β可以相交，可知B 错误；C 中，,αβ平行于同一条直线，此时α与β可以相交，可知C 错误；D 中，由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件即α内有两条相交直线与β平行是//αβ的充要条件 本题正确选项：D 【举一反三】1.已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是 A ．平面α内有两条直线a ，b 都与平面β平行，那么α∥β B ．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C ．若直线a 与平面α和平面β都平行，那么α∥β D ．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图故A 、B 选项错误当a ∥α，a ∥β时，α与β可能相交，如图故C 选项错误平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D 选项正确运用五 异面直线距离或角【例5】（1）（2011·广西高二月考）棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线DD 1与BC 1之间的距离为 ( )A.aB.2a（2）（2019·江苏高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==2AD =,则异面直线AC 与1BD 所成角的余弦值为( )B. D.【答案】（1）A （2）C【解析】（1）如图所示，由正方体的性质可知：111DD D C ⊥，111BC D C ⊥， 则11D C 的长度为异面直线DD 1与BC 1之间的距离，据此可得其距离为a .故选：A .（2）连接BD ，交AC 于O ，取1DD 的中点E ，连接OE .由长方体1111ABCD A B C D -可得四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 因为E 为1DD 的中点，所以1OE BD ，所以EOA ∠或其补角是异面直线AC 与1BD 所成角.在直角三角形EOD 中，则2OD ==OE =OE =.在直角三角形ADE 中，AE =，在AOE ∆中，cosEOA ∠==故选C.【举一反三】1．（2019·福建）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（ ）【答案】D【解析】如图所示，取A 1D 1的中点N ，连结MN ，B 1D 1，∵M 为棱A 1B 1的中点，∴MN ∥B 1D 1， 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD ∥B 1D 1，∴异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为直线AM 与MN 所成角的余弦值， 连结AN ，则∠AMN （或其补角）为异面直线AM 与BD 所成的角， 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为2a ，则AM =AN ，MN ，在△AMN 中，由余弦定理得：cos ∠AMN 222．故答案为：D2．（2019·上海高二期末）若Rt ΔABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为___________。