《勾股定理》直角三角形三边的关系
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度（直角）。
在直角三角形中，三条边的长度之间有一定的关系和性质。
本文将探讨直角三角形的边长关系。
1. 边长定义在直角三角形中，我们通常用三个字母a、b、c来表示三条边的长度。
其中，a和b是直角的两条边（称为直角边），c是斜边（称为斜边）。
根据勾股定理，直角三角形的边长关系可以用下面的公式来表示：a^2 + b^2 = c^22. 边长关系根据勾股定理的边长关系，我们可以通过已知两条边的长度来求解第三条边的长度。
具体的计算步骤如下：2.1 求解斜边如果我们已知直角三角形的直角边a和b的长度，可以直接将它们代入勾股定理的公式，求解斜边c的长度。
例如，如果a=3，b=4，则有：3^2 + 4^2 = c^29 + 16 = c^225 = c^2c = √25 = 52.2 求解直角边如果我们已知直角三角形的斜边c和其中一个直角边a或b的长度，也可以通过勾股定理的公式求解另外一个直角边的长度。
例如，如果a=3，c=5，则有：3^2 + b^2 = 5^29 + b^2 = 25b^2 = 25 - 9b^2 = 16b = √16 = 43. 例题分析为了更好地理解直角三角形的边长关系，我们来看一个例题：例题：已知直角三角形的直角边a=5，斜边c=13，求解直角边b的长度。
解析：根据勾股定理的公式：a^2 + b^2 = c^25^2 + b^2 = 13^225 + b^2 = 169b^2 = 169 - 25b^2 = 144b = √144 = 12因此，直角三角形的直角边b的长度为12。
4. 应用举例直角三角形的边长关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在建筑和工程领域中，我们经常使用勾股定理来测量不可直接测量的距离，以及计算角度和位置关系。
此外，在导航和地图应用中，我们也可以利用直角三角形的边长关系来确定两个地点之间的距离和方位角。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理：反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（3）注意：定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
直角三角形三边关系345
直角三角形三边关系345直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间存在一定的关系，其中最为著名的就是3-4-5关系。
3-4-5关系是指在一个直角三角形中，一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，而斜边的长度为5。
这个关系可以用勾股定理来证明。
根据勾股定理，直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，3的平方加上4的平方等于5的平方，即3^2 + 4^2 = 5^2，计算结果为9 + 16 = 25，两边相等，关系成立。
这个关系在数学中有很多应用。
首先，它可以用来计算直角三角形中未知边的长度。
如果已知一个直角三角形的一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，我们可以利用3-4-5关系求出斜边的长度为5。
同样地，如果已知斜边的长度为5，可以利用3-4-5关系求出其他两条边的长度。
3-4-5关系还可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边的长度符合3-4-5关系，那么这个三角形就是一个直角三角形。
除了3-4-5关系外，还存在其他的直角三角形边长关系。
比如5-12-13关系，其中一条直角边的长度为5，另一条直角边的长度为12，而斜边的长度为13。
同样地，这个关系也可以用勾股定理进行证明。
直角三角形的边长关系在实际应用中有广泛的运用。
例如在建筑工程中，设计师可以利用这些关系来计算建筑物的尺寸。
在地理测量中，测量员可以利用这些关系来计算地理位置的坐标。
总结起来，直角三角形中的边长关系是数学中的一个重要概念。
其中最为著名的就是3-4-5关系，它可以用来计算直角三角形中未知边的长度，判断一个三角形是否为直角三角形，并在实际应用中发挥重要作用。
熟练掌握这些关系对于数学学习和实际问题解决都有很大的帮助。
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
《直角三角形三边的关系》 教学设计
《直角三角形三边的关系》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握直角三角形三边的关系，即勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
能运用勾股定理解决简单的数学问题和实际问题。
2、过程与方法目标通过观察、猜想、验证等活动，培养学生的探究能力、逻辑推理能力和数学思维能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在探索勾股定理的过程中，感受数学的严谨性和数学的魅力，激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点勾股定理的内容及证明。
2、教学难点勾股定理的证明及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一个直角三角形的图片，提出问题：“如何求出这个直角三角形的斜边长度？”引发学生的思考和兴趣，从而导入新课。
2、探究新知（1）让学生画几个不同的直角三角形，测量出三边的长度，并计算两直角边的平方和与斜边的平方。
（2）引导学生观察计算结果，提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（3）证明勾股定理方法一：利用赵爽弦图证明展示赵爽弦图，引导学生观察图形，将大正方形的面积用两种不同的方法表示，从而证明勾股定理。
方法二：利用面积法证明通过将直角三角形补成一个大正方形，分别计算大正方形的面积和各个部分的面积，从而证明勾股定理。
3、例题讲解出示一些简单的应用勾股定理求边长的例题，如：已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度。
让学生先自主思考，然后教师进行讲解和示范。
4、课堂练习安排一些与例题类似的练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
教师巡视并及时指导有困难的学生。
5、小组讨论给出一个实际问题，如：要登上一个 8 米高的建筑物，梯子的底部距离建筑物 6 米，梯子需要多长？让学生分组讨论，运用勾股定理解决问题。
6、课堂总结（1）回顾勾股定理的内容和证明方法。
（2）强调勾股定理在数学和实际生活中的重要应用。
直角三角形三边的关系
例题分析
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长; (2)求S△ABC .
6
A
? 3
B
D
C
实际应用 勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面10米处折断倒下，树顶落在 离树根24米处.大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米， 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
A
10
D 8-x
8
10 8-x 6 F
E x C
B
4
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
注意：用勾股定理求边长时要搞清楚已 知量未知量并选择合适的公式计算。
概括
数学上可以说明： c b 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别 a 为a、b，斜边为c，那么一定有 • a2+b2=c2 • 这种关系我们称为勾股定理 • 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。
而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。
以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。
一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。
根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。
二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。
三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。
ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。
同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。
勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。
举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。
根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。
14勾股定理
第14章勾股定理§14.1勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树§14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系．图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3概括数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）图14.1.4解如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，根据勾股定理可得ＡＢ＝－ＢＣAC22＝22１６.５≈４.９６（米）．４１.－２答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ约为4.96米．练习1. 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a，AC＝b，∠B＝90°．（1）已知a＝6，b＝10，求c；（2）已知a＝24，c＝25，求b．2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的． 读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．图14.1.7 图14.1.8 例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远?图14.1.9解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，根据勾股定理可得ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）．答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．练习1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?（第1题）（第2题）2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1）a＝3，b＝4，c＝5；（2）a＝4，b＝6，c＝8；（3）a＝6，b＝8，c＝10．可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a2＋b2＝c2，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．解因为252＝２４2＋７2，３７2＝３５2＋１２2，１３2≠１１2＋９2，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．（1）12，16，20；（2）8，12，15；（3）5，6，8．2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．（第1题）2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°，AC＝１３cm，ＢＣ＝５cm，求ＡＢ的长．３. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．４. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．（第４题）（第5题）5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．6. 试判断以如下的a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1）a＝25，b＝20，c＝15；（2）a＝1，b＝2，c＝3；（3）a＝40，b＝9，c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔德（James Abram Garfield，1831～1881）的证法．美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．§14.2 勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．图14.2.1 分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD ，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长．（精确到０.０１cm ）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt △ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ，∴ AC ＝22BC AB +＝22104+＝229≈１０．７７（cm ）（勾股定理）．答： 最短路程约为１０．７７cm ．例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ．解 在Rt △OCD 中，由勾股定理得ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．做一做图14.2.4如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形． 练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（第１题）例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．图14.2.5 图14.2.6解（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．例4如图14.2.7，已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC ＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．图14.2.7解在Rt△ADC中，AC2＝ＡＤ2＋ＣＤ2＝６2＋８2＝１００（勾股定理），∴AC＝１０m．∵ＡＣ2＋ＢＣ2＝１０2＋２４2＝６７６＝ＡＢ2，∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m2）．练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、4、x，试求出x的所有可能值．2. 利用勾股定理，分别画出长度为3和5厘米的线段．习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度．2. 下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．（第２题） （第3题）3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．4. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小．5. 已知三角形的三边分别是n ＋1、 n ＋2、 n ＋3，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠C ＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．（第6题）小结一、 知识结构二、 概括直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用．复习题A组1. 求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．（第1题）2. 如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、mn、m2－n2（m＞n＞0）；（2）三边长之比为1∶1∶2；（3）△ＡＢＣ的三边长为a、b、c，满足a2－b2＝c2．4. 一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、B、C、D的面积和．（第5题）B组6. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．（第7题）7. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m，CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD 的面积．8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出5组勾股数．9. 已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n2－１，b＝2n，c＝n2＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．C组10. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．（第10题）（第11题）11. 如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F 处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．（第12题）12. 折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为(a+b) 2=c2+4·（１/２ab）,由此可以推出勾股定理a2+b2=c2．这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！。