直角三角形三边的关系讲解
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个内角是90度（直角）。
在直角三角形中，三个边之间存在着特定的关系，我们可以通过这些关系来计算直角三角形的边长。
关系一：勾股定理勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要公式。
它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示就是：a² + b² = c²。
例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边a、b的长度分别为3和4，我们可以通过勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25c = 5因此，这个直角三角形的斜边c的长度为5。
关系二：正弦定理正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的重要公式之一。
对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，正弦定理可以简化为：a/∠A = c/∠C。
例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是4，斜边c的长度是5，我们可以利用正弦定理求解另外一个内角的正弦值：4/90° = 5/∠C∠C = arcsin(5/4) ≈ 53.13°关系三：余弦定理余弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的另一个重要公式。
对于一个直角三角形，由于一个内角是90度，余弦定理可以简化为：b²= a² + c²。
例如，假设在一个直角三角形中，直角边a的长度是3，斜边c的长度是5，我们可以利用余弦定理求解直角边b的长度：b² = 3² + 5²b² = 9 + 25b = √34因此，这个直角三角形的直角边b的长度为√34。
通过勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以灵活地计算直角三角形的边长和角度。
这些关系在实际生活和工程中有着广泛的应用，比如建筑设计、测量和导航等领域。
总结：直角三角形的三边关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。
斜边的平方等于两条直角边的平方和。
直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质:1。
角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。
2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。
3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。
4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。
5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。
6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。
一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。
勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。
这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。
也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。
二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切。
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。
sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。
cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。
tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。
反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。
三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。
1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。
2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。
在等边直角三角形中，三个角都是45度。
3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。
在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。
斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。
4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系[知识链接]知识讲解:1．直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c btanA ＝cotB ＝b a ， cotA ＝tanB ＝ab锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角， 则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝ca(2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝c b(3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝ba(4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA ＝ab2．三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A A cos sin ，cotA ＝AAsin cos(2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA ， cot(90°－A)＝tanA 3．一些特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°sinα0 1cosα 1 0tanα0 1 -----cotα----- 1 05．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度．坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝l(3)坡角h 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l(4)方位角从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.例题选讲：1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知∠A、c, 则a=__________;b=_________.(2)已知∠A、b, 则a=__________;c=_________.(3)已知∠A、a，则b=__________;c=_________.(4)已知a、b，则c=__________.(5)已知a、c，则b=__________.2、在下列直角三角形中，不能解的是（ ）A 、已知一直角边和所对的角B 、已知两个锐角C 、已知斜边和一个锐角D 、已知两直角边3、如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC 的面积.4、求证:平行四边形ABCD 的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B 为锐角).5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A 处测得杆顶B 的俯角α =600，杆底C 的俯角β =450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD.课堂练习1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900 - α）＝_____________.2、下列说法正确的是( )A 、a 为锐角则 0≤sina ≤1B 、cos30°＋cos30°＝cos60°C 、若tanA ＝cot(90°－B), 则∠A 与∠B 互余D 、若α1，α2为锐角，且α1＜α2则c osα1＞c osα2 3、已知0°＜α＜45° 则s inα，c osα的大小关系为( )A 、s inα＞c osαB 、s inα＜c osαC 、s inα≥c osαD 、s inα≤c osα．4、∠C ＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( )A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 5、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B ＝90°，∠C ＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2356、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1， 另两边长之和为1＋， 则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.437、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图，设A 、B 是我们的观察站，A 和B 之间的距离为160海里，海岸线是过A 、B 的一条直线.一外国船只在P 点，在A 点测得∠BAP=450，同时在B 点测得6BCACDABAB CDABP∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. 本课小结本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点.解直角三角形四类基本问题的方法是：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a)：由sinA ＝ca，求A, B ＝90°－A ， b ＝(2)已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A)； B ＝90°－A ， a ＝c·sinA ， b ＝c·cosA(3)已知一直角边和一锐角(如a ，A)： B ＝90°－A ，b ＝a·cotA ， c ＝Aasin(4)已知两直角边(如a ，b)： c ＝，由tanA ＝ba，求A, B ＝90°－A解直角三角形的思路是：(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正切，余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等)一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.。
直角三角形三边比例关系
直角三角形三边比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外两个角度则分别为锐角和钝角。
在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。
在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。
斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。
在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余弦角度这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。
另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。
勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。
这个公式可以表示为：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。
除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。
例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。
因此，如果我们知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。
此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。
例如，正切角度等于对边与邻边的比值。
这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。
直角三角形三边的关系
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a 2= c 2 c 2 b2
c
2
b
b 2 = c 2 －a 2
b c a
4米
3米
例2 如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角 形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远? 解
如图，在直角三角形ＡＢＣ中， AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
根据勾股定理可得
ＡＢ＝ ＝
AC 2 BC 2
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
勾股定理
相传2500年前，毕达哥拉 斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种 数量关系．
探索新知
•
想一想
现在先让我们一起来看看， 直角三角形的三条边之间 有什么关系.
如图是正方形瓷砖拼成 的地面，观察图中用阴 影画出的三个正方形，
每 一 小 方 格 表 示 1 平 方 厘 米
A
R
c
B
b
C
Q
a
P
S p SQ S R
BC2
2
Sp 9 SQ 16 SR 25
2 AC + =AB2
a b c
2
2
试一试 • 观察图，如果每一小方格表示1平方厘米，
• • • • 那么可以得到： 9 正方形P的面积＝_________ 平方厘米； 16 正方形Q的面积＝________ 平方厘米. 25 正方形R的面积＝________ 平方厘米. 用等式的形式来 表示上面的结论
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是中学数学中的重要概念之一。
它不仅在几何学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将从直角三角形的三边关系入手，为中学生及其父母详细介绍这一概念，并给出实用的例子和解释。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
这一关系可以用以下公式表示：c² = a² +b²，其中a和b分别表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。
这个公式是直角三角形的基本关系之一，也是中学数学中最为基础的定理之一。
它的应用非常广泛，比如在测量问题中，我们可以利用这个关系来计算未知边长。
例如，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此c = √25 = 5cm。
这样，我们就可以准确地确定这个直角三角形的三边长度。
除了勾股定理，直角三角形还有其他一些重要的三边关系。
其中之一是正弦定理。
正弦定理表明，对于任意一个三角形ABC，其三个边长a、b、c和对应的角度A、B、C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
当直角三角形的一个角度为90度时，正弦定理可以简化为：a/sinA = c。
这个关系可以用来计算直角三角形中未知边长与已知边长和角度之间的关系。
例如，如果我们已知一个直角三角形的一个角度为30度，斜边的长度为10cm，我们可以利用正弦定理计算出另外两个边的长度。
根据正弦定理，我们有：a/sin30°= 10，因此a = 10sin30° = 5cm。
同样地，b/sin60° = 10，因此b = 10sin60° = 10√3 cm。
这样，我们就可以准确地确定直角三角形的三边长度。
除了正弦定理，余弦定理也是直角三角形中的重要三边关系之一。
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9+16=25
Sp SQ SR
（每一格表示 1 平方厘米）
概括
• 数学上可以说明：
c
对于任意的直角三角形， b
∟
如果它的两条直角边分别
a
为a、b，斜边为c，那么一定有
•
a2+b2=c2
• 这种关系我们称为勾股定理
• 勾股定理 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
每
一
小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
Ba C
Sp
SR
SQ
25
SR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
试一试 • 观察图，如果每一小方格表示1平方厘米，
• 那么可以得到：
• 正方形P的面积＝___9______平方厘米； • 正方形Q的面积＝__1_6_____平方厘米. • 正方形R的面积＝__2__5____平方厘米.
两个小正方形P、 Q的 面积之和与大正方形R 的面积有什么关系?
问题:在一般的 直角三角形中， 两直角边的平 方和是否等于 斜边的平方呢?
（1）三个正方形的面积关系： Sp SQ SR
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜边的平方．
4、在Rt△ABC中，AB＝c,BC =a， AC＝b, ∠B=90゜.
• (1)已知a = 6,b =10, 求c； • (2) 已知a =24,c =25, 求b.
5、 如果一个直角三角形的两条边长分 别是3厘米和4厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
6. 求下列阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
x 132 52
2
y 22 12
3
169 25
144
12
例3：如图，有一长为12米的电线杆，想在距离 电线杆底部5米远处用一钢丝绳把它固定在地面 上，问 要用多长的钢丝绳才能把它固定呢？
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2 BC2
课堂小结 勾股定理
（1）本节课你学到了什么新知识? （2）勾股定理只能用在什么形中？ 它可以用来解决什么问题？
（3）请说出勾股定理得表达式？
b2 c2 a2， b c2 a2
c2 a2 b2， c a2 b2
例1、求出下列直角三角形中未知边的长度
∟
x3① 4Fra bibliotek68②
y
x2 32 42
y 62 82
x 32 42
y 10
x5
例2、求出下列直角三角形中未知边的长度
5
13
①
y ②1
∟
x
x2 52 132 x2 132 52
5
122 52
13
答：要用13米长的钢丝绳才能把电线杆固定.
例4：如图所示，一棵大树在一次强烈的 地震中于离地面10米处折断倒下，树顶 落在离树根24米处.大树在折断之前高多 少？
10
24
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=10米，BC=24米，
利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
勾股定理
做一做
在图的方格图 中，用三角尺画出 两条直角边分别为 5cm、12cm的直角 三角形，然后用刻 度尺量出斜边的长， 并验证上述关系对 这个直角三角形是 否成立.
1?3 12 5
（每一小格代表 1 平方厘米）
52 122 132
勾股定理
a2 b2 c2
ba
c
a2 c2 b2， a c2 b2
直角三角形三边 的关系
创设情景
引例：如图，有一长为 12米的电线杆，想在距 离电线杆底部5米远处用 一钢丝绳把它固定在地 面上，问 要用多长的钢 丝绳才能把它固定呢？
12 ?
5
探索新知 想一想
• 现在先让我们一起来看看， 直角三角形的三条边之间 有什么关系.
如图是正方形瓷砖拼成的 地面，观察图中用阴影画 出的三个正方形，
C
BC
B
A
A
C
B
A
能力拓展题
•欲把一根70cm的木棍放在
长、宽、高分别为40cm、
30cm、50cm的木箱中，能
否放进去！
•请说明理由
50
30 40
思考 勾股定理
是不是所有的三角形的三边都符合 勾股定理？ 如果不是，那么勾股定理是针对哪一 类三角形 而言的 ?
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
AC 102 242 26
AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米.
训练深化
1、在直角△ABC中，∠C=90° a=3，b=4，则c的值是______.
2、 在直角△ABC中，∠B=90°, a =3，b=4，则c的值是 .
3、 在△ABC中，a =3，b =4, c =5.则 △ABC 是 三角形.