抽象函数的解题方法与技巧

第 1 页 共 18 页 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧

Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills;

1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。

2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x的取值范围。所以对抽象函数xf，xgf而言，其定义域均指的是x的取值范围。对于xgf和xhf，其中xg和xh的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数xgf和xhf，它们的值域是相同的。 第 2 页 共 18 页

（3）函数三性：即奇偶性，对称性，周期性。利用函数三性可根据部分函数的图像描绘出整个定义域上的函数图像，进而从函数的图像上更直观的研究函数。 奇偶性：函数xf的定义域D关于原点对称，若满足xfxf，Dx,则称xf

是奇函数；若满足xfxf，Dx,则称xf是偶函数。如果奇函数的定义域包含原点，那么一定有00f。 对称性：函数的对称性分轴对称和中心对称。若函数xf关于点ba,对称，则有bxafxaf2。若函数xf关于直线ax对称，则有xafxaf。

周期性：若函数xf，定义域为D，满足xfTxf,0TDx，，那么就说该函数是周期函数，T为函数的一个周期。 函数三性之间的联系： ① 函数xf是奇函数等价于函数xf关于原点对称；函数xf是偶函数等价于函数xf关于y轴对称。

② 如果函数xf具有两种形式的对称性，那么函数xf就一定是周期函数；如果函数xf是周期函数，且具有一种对称性，那么函数xf就一定具有另一种相应的对称性。

③ 一般结论： i 若cxfaxf（c为常数），则xf是周期函数，且a2是它的一个周期。

ii 若kxfaxf（常数0k），则xf是周期函数，且a2是它的一个周期。 iii 若xfaxfaxf2，则xf是周期函数，且a6是它的一个周期。 iv 若xf的图像关于两条直线ax，bxab对称，则xf是周期函数，且ab2

是它的一个周期。 v 若xf的图像关于点0,aA和0,bBab对称，则xf是周期函数，且ab2是它的一个周期。 vi 若xf的图像关于两条直线ax及点0,bBab对称，则xf是周期函数，且ab4是它的一个周期。 第 3 页 共 18 页

（4）单调性：函数xf的定义域为D，对于任意的1x，Dx2，当1x2x时，都有 ①21xfxf，那么就说xf在此区间上是增函数；

②21xfxf，那么就说xf在此区间上是减函数。

对抽象函数，由于解析式未知，所以要证明其单调性，一般只能考虑定义法。在关于抽象函数不等式问题的解决中，单调性起到重要的作用。

3. 涉及抽象函数的问题类型 3.1 求抽象函数的定义域： （1）已知xgf的定义域，求xhf的定义域； （2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。 3.2 求抽象函数的值域： （1）已知函数xf的值域，求xfg的值域； （2）已知函数xfg的值域，求xf的值域； （3）已知函数xf满足的某些关系式或条件，求xf的值域。 3.3 求抽象函数的函数值： （1）已知函数xf满足的某些关系式或条件，根据已知条件可以求得xf的周期，求函数在某一特定点的函数值； （2）已知函数xf满足的某些关系式或条件，根据已知条件求不出xf的周期，求函数在某一特定点的函数值。 3.4 求抽象函数的解析式： （1）已知表达式xhxgf，求xf的解析式； （2）已知xf的某些性质或满足某些条件，求xf的解析式。 3.5 与函数单调性，周期性，奇偶性相关的问题： （1）判断函数的单调性，周期性，奇偶性； （2）解不等式问题； （3）函数存在性问题。 第 4 页 共 18 页

4. 解决抽象函数问题的方法技巧 4.1 定义域 （1）已知xgf的定义域，求xhf的定义域。 该类问题需明确两点：一是明确函数定义域的定义（指自变量x的取值范围）；二是明确在同一对应法则f下，xg和xh的取值范围是一样的。

例1.若函数(21)fx的定义域为31,2,则函数2(log)fx的定义域为 分析：如前所述，函数2(log)fx和函数(21)fx的定义域都是指x的取值范围，而非x2log和12x的取值范围。并且12x和x2log的取值范围是一样的。因而可根据

(21)fx中x的取值范围是31,2，求解出12x的取值范围，即x2log的取值范围，再从中解出x的取值范围，即所求定义域。 解：由(21)fx的定义域为31,2，可知x31,2，  4121x

，故4log12x，解得4221x ，

 2(log)fx的定义域为42,21.

（2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。 该类问题的解决依然首先要明确函数的定义域是使得函数有意义的自变量的取值范围，所以求得新函数的定义域要在使得组合前每个函数有意义的基础上，还保证组合后的新函数也有意义，也就是取各个函数定义域的交集。但有一点需要注意，若该运算是商的形式，还要保证处于分母位置的函数不为0。

例2.若xf的定义域为35，，则()()(25)xfxfx的定义域为 第 5 页 共 18 页

解：由已知，xf的定义域为35，， 根据例1的求法可求得:xf的定义域为3,5，  52xf的定义域为15,1，

从而()()(25)xfxfx的定义域为3,515,1，即为3,1。

例3.函数xxxf1，xxxg12，xxh3，求下列函数的定义域： ① xgxf； ②xhxf； ③ xghxhf. 分析：第①、②问的两个新函数整理后都不再含分式，所以其定义域会误认为分别是实数集和非负实数集，其实不然。这里需要注意，虽然在组合成新函数时，原函数的分母被抵消或约掉，但是仍然要保证每个原函数都有意义，故在求新函数的定义域时，必须先分别求出每个函数的定义域，再做交集。而第③问中的新函数在前面所述的基础上还要再注意一点，分母不能为0，所以还要要求xgh不为0。 解：由已知，xf定义域是0xxA；xg定义域是0xxB；xh定义域是0xxC. 所以 ① xgxf的定义域是BA=0xx；

② xhxf的定义域是BA=0xx；

③ xxxhf3

1

3,xxxgh132，

 xhf的定义域是0xxM,xgh的定义域是10xxxN或,

令0132xxxgh，得1x，令1xxP  xgh

xhf的定义域是PNM0xx.