第三章MATLAB的符号运算
Mlab第3章总结
第三章MATLAB符号计算1. sym(‘变量’,参数（positive/real/unreal）) 使用syms命令创建符号变量和符号表达式syms(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数（positive/real/unreal）) syms arg1 arg2 …,参数符号表达式（）中的参数一定要用' ' 单引号括起来。
2. 符号运算中的运算符（1）基本运算符：运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
(2)关系运算符运算符“= =”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。
真为1，假为0。
3在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：数值型：MATLAB的浮点运算。
有理数型：Maple的精确符号运算。
VPA型：Maple 的任意精度运算。
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
digits(n) %设定默认的精度（全局matlab应用）S=vpa(s,n) %将s表示为n位有效位数的符号对象，n省略后依据digits(n)设定。
只针对一次，不改变matlab设定的digits(n)精度。
4. 1.将数值矩阵转化为符号矩阵函数调用格式：sym(A) 2.将符号矩阵转化为数值矩阵函数调用格式： numeric(A)、double（A）5. 符号表达式“f=ax2+bx+c”中只有一个变量是独立变量：1. 小写字母i和j不能作为自由变量。
2.符号表达式中如果有多个符号变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
MATLAB符号运算运用
MATLAB符号运算运用1. 求解方程：MATLAB可以通过符号运算求解各种复杂方程。
例如，我们可以使用solve函数来求解一元一次方程，或者使用dsolve函数来求解微分方程。
例如，对于一个一元一次方程3*x - 2 = 0，可以使用下面的代码来求解：syms xeqn = 3*x - 2 == 0;sol = solve(eqn, x);在解得的结果sol中，将会包含方程的解。
2. 求导与积分：MATLAB使用diff函数进行符号求导，使用int函数进行符号积分。
符号求导与积分可以帮助我们对复杂函数进行分析和计算。
例如，对于一个函数y = x^2，我们可以使用下面的代码求解其导数和积分：syms xy=x^2;dy = diff(y, x);inty = int(y, x);在求导和积分的结果dy和inty中，将会包含函数的导数和积分结果。
3. 矩阵运算：MATLAB符号运算也可以应用于矩阵运算。
符号矩阵可以帮助我们进行矩阵的运算和分析。
例如，我们可以使用syms函数定义一个符号矩阵A，然后进行矩阵的加法、乘法等运算。
代码示例如下：syms a b c dA=[ab;cd];B=A^2;矩阵B将会是矩阵A的平方。
4. 求极限：MATLAB符号运算还可以用于求解各种数学函数的极限。
通过使用limit函数，我们可以计算函数在其中一点或者趋于其中一点时的极限值。
例如，对于一个函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以使用下面的代码计算其在x趋于1时的极限值：syms xf=(x^2-1)/(x-1);limit(f, x, 1);此时，将会输出函数在x趋于1时的极限值。
5. 求和与积：MATLAB符号运算还可以用于计算各种数学函数的求和与积运算。
通过使用symsum和symsum函数，我们可以计算符号函数的求和与积。
例如，对于一个求和函数sum(x, n, 1, inf)，我们可以使用下面的代码计算其无穷级数求和结果：syms n xf = sum(x, n, 1, Inf);symsum(f, n, 1, Inf);其中，将会输出求和结果。
MATLAB应用第三章-符号计算
3. 1 数据类型 3.2 符号运算
数学运算中除了数值运算外，还有大量抽象运算（计算式中带有符号变 量、表达式的运算）。Matlab就是利用maple软件的符号运算功能来实 现这些符号运算的。 Maple : 通用的数学和工程软件，是世界上最值得信赖、最完整的数学 软件之一，被高等院校、研究机构和公司广泛应用，用户渗透超过97％ 的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple提供世界上最强大的符号计算，无与伦比的数值计算，支持 用户界面开发和网络发布，内置丰富的数学求解库，覆盖几乎所有的数 学分支，所有的操作都是在一个所见即所得的交互式技术文档环境中完 成，完成计算的同时也生成了专业技术文件和演示报告。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是 教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单 的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效 地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理 系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演 示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高 中学生到高级研究人员。
格 Eg 3-2 补充。 补充。 2）char函数创建：char(‘string1’,’string2’, …)； Eg 3-3 各个字符串不须同大小， 各个字符串不须同大小，该函数自动补充空白 字符。 字符。 Eg 3-4
字符串与单元 1）cellstr将字符数组转换成单元数组。 2）char函数将单元数组转换成字符数组。 数组的转换 字符串的比较 1）strcmp(a,b)：比较两个字符串所有字符是
Grand total is 33 elements using 462 bytes
MATLAB实验三参考答案
how =collect(x)
4、求下列函数的极限（写出命令） （1） lim
cos x e x 0 x4
x2 2
syms x; limit('(cos(x)-exp(-1/2*x^2))/(x^4)',x,0) -1/12 （2） lim
2 x ln 2 x 1 x 0 1 cos x
syms n; S=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf) 8、试求出函数 f ( x )
sin x 的麦克劳林幂级数展开式的前 9 项，并求出关于 x=2 x 3x 2
2
的 Taylor 幂级数展开式的前 5 项。(命令 taylor 或者 taylortool)
河南财经政法大学数学与信息科学学院 1
实验报告
结果： EXPR =(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t)) expr1 =x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) expr2 =x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x 3、factor（因式分解）,simple（简化运算，对表达式尝试多种不同的算法进行简化，并以最 简化形式给出，How 中记录的为简化过程中使用的方法， ）指令的使用 syms a x; f1=x^4-5*x^3+x^2+5*x-6; factor(f1) x^4-5*x^3+x^2+5*x-6 f2=x^2-a^2; factor(f2) (x-a)*(x+a) f3=2*sin(x)^2-cos(x)^2 [y , how]=simple(f3) y 为 f 的最优化简形式，How 中记录的为简化过程中使用的方法 y =-3*cos(x)^2+2 how =simplify [y , how]=simple(f1) y =x^4-5*x^3+x^2+5*x-6
MATLAB的符号运算V精简版
ans=[2+y,4+y,6+y]
>> subs(f,x,[1:3]) >> subs(f,{x,y},{[1:3],[5:7]})
ans=[7 10 13]
>> subs(f,{x,y},{a+b,a-b}) >> subs(f,{x,y},{x+y,x-y})
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2024/4/3
Matlab的符号运算
符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal
>> x=sym('x','real') >> k=sym('k','positive') >> x=sym('x','unreal')
表明 x 是实的 表明 k 是正的 去掉 x 的附加属性
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Matlab的符号运算
符号表达式的建立
>> syms x >> f1=sin(x)+cos(x)
推荐！
>> f2=sym(’sin(x)+cos(x)’)
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Matlab的符号运算
相关函数
➢ findsym: 查找符号表达式中的符号变量
findsym(f) 按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量 findsym(f,N) 列出 f 中距离 x 最近的 N 个自由变量（i，j 除外）
Matlab的符号运算
其它运算
第3章 MATLAB符号计算
复数函数。在符号计算中，复数的共轭conj、求实部real、求虚部 imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号 计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。
2．使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法：
syms（'arg1', ' arg2',…,参数） syms arg1 arg2 … 参数
%把字符变量定义为符号变量 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
说明：syms用来创建多个符号变量，以上两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的sym命令 相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。 【例3.2续】 使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
>> syms x y real >> z=x+i*y; >> real(z) ans = x >> sym('x','unreal'); >> real(z) ans = x/2 + conj(x)/2
%创建实数符号变量 %创建z为复数符号变量 %复数z的实部是实数x
%清除符号变量的实数特性 %复数z的实部
符号运算中的运算符有以下2种。 （1）基本运算符。
① 运算符“”、“”、“*”、 “\”、“/”、“^”分别实现符号 矩阵的加、减、乘、左除、 右除、求幂运算。
② 运算符“.*”、“./”、“.\”、 “.^”分别实现符号数组的乘、 左除、右除、求幂，即数 组间元素与元素的运算。
符号运算 matlab
符号运算 matlab符号运算是一种在数学上进行推导和计算的重要方法，在Matlab 中也有相应的符号运算功能。
通过符号运算，可以进行高精度计算、求解方程、求导积分、代数化简等操作。
本文将介绍 Matlab 中符号运算的基本使用方法和相关函数。
1. 符号变量的定义和赋值在 Matlab 中，可以使用 syms 函数定义符号变量，并使用等号将其赋值。
例如，定义符号变量 x 和 y：syms x yx = 2;y = x + 3;这里，定义了两个符号变量 x 和 y，并将 x 赋值为 2，y 赋值为 x+3。
需要注意的是，符号变量和数值变量在 Matlab 中是不同的类型，不能直接进行运算。
2. 符号表达式的运算在 Matlab 中，可以使用符号表达式进行各种运算，包括加减乘除、幂运算、三角函数、指数函数等。
例如，定义符号表达式 f(x) = 2*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 1：syms xf(x) = 2*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 1;然后可以对 f(x) 进行各种运算，如求导、积分、代数化简等。
例如，求 f(x) 的一阶导数：diff(f(x), x)这里使用 diff 函数求 f(x) 的一阶导数，结果为 6*x^2 + 6*x - 5。
3. 方程求解在 Matlab 中，可以使用 solve 函数求解方程。
例如，求解方程 x^2 + 3*x + 2 = 0：syms xsolve(x^2 + 3*x + 2 == 0)solve 函数返回的是符号变量的解，需要使用 double 函数将其转换为数值变量。
4. 代数化简在 Matlab 中，可以使用 simplify 函数对符号表达式进行代数化简。
例如，代数化简表达式 (x^2 + 2*x + 1)/(x + 1)：syms xsimplify((x^2 + 2*x + 1)/(x + 1))simplify 函数会自动将表达式化简为最简形式。
第三章-matlab求解微积分
第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。
符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。
例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。
7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。
3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。
2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。
>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。
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进行综合化简。
见example3_9
19
Matlab符号微积分运算（P55）
符号极限运算limit（f，x，a） x->a
符号微分运算diff（f，x，n）
符号积分运算int（f）,int(f,a,b)
函数命令findsym（f,n） 在微积分、函数表达式化简、解方程中，确定自变量 是必不可少的。在不指定自变量的情况下，按照数学 常规，自变量通常都是小写英文字母，并且为字母表 末尾的几个如t、w、x、y、z等等。在matlab中，用 此函数确定一个符号表达式中的自变量。
4
例1：求解一元二次方程 x
2
2 x 2 0 的解。
见example3_1
2 2 x y yx x 2x 合并关于 例2：对于数学表达式 x 的同类项。
见example3_2
2 ( x 1)( x 2)( x 3) 即三 例3：对于数学表达式
因式连乘积的展开式。
例1：已知 f x3 x2 x 1 试对其进行因式分解。 例2：已知 c 12345678901234567890 试对其进行质因式分解。 例3：已知 f ( x y)3 试对其进行展开。 例4：已知 f axecx becx 试对其进行同类项合并。 见example3_9
16
符号表达式的化简 1、 factor() 符号表达式因式分解的函数命令 2、expand() 将符号表达式展开 3、collect() 符号表达式的合并 格式1：collect（E，v） 按v变量合并 格式2：collect（E）按默认变量合并
4、simplify() ,simple() 将将符号表达式运用多种恒等式变换进行综合化简 格式1：simplify（E） ,simple（E） 格式2：[R,HOW]＝simple（E） 17
0.3333 0.2500 0.2000
10
数值转化为符号
sym(‘数值变量’,’f’)－返回浮点表示形式 sym(‘数值变量’,’r’)－返回有理数表示形式 sym(‘数值变量’,’e’)－返回有理数(带误差)表示形式 sym(‘数值变量’,’d’)－返回十进制小数表示形式
– 例： >>sym(4/3,'f') ans ='1.5555555555555'*2^(0) >> sym(4/3,'r') ans =4/3 >> sym(4/3,'e') ans =4/3-eps/3 >> sym(4/3,'d') ans =1.3333333333333332593184650249896
n
例1：已知 f ax by k 试对其进行符号变量替换： n 5, k a sin(t ), b ln(w).k cedt 符号常量替换：
与数组数值替换：k 1:1: 4
见example3_6
15
例2：已知 f a sin x k 试求当： a 1:1: 2, x 0 : : 时函数f的值。 6 3 见example3_7
见example3_15
26
例4：求欧拉方程的通解
x y x y 4xy 3x
3 2
2
例5：求满足初始条件的二阶常系数非齐次微分方程的特解
y y sin(2x) 0, y x 1, y x 1
见example3_15
27
符号运算实现各种变换
见example3_3
见example3_4
6
Matlab符号运算的几个基本概念
符号对象（P49）：
符号对象是symbolic math toolbox定义的一种新的数据 类型（sym类型），用来存储代表非数值的字符符号（通 常是大小写的英文字母及字符串）。符号对象可以是符号 常量（符号形式的数），符号变量，符号函数以及各种符 号表达式（符号数学表达式，符号方程与符号矩阵）
20
1 n ) e 例1：试证明 lim(1 n n
x m a ? 例2：试求 lim x a xa
m
sin x 例3：试求 lim ? x0 x
lim e ?, lim e ? 例4：试求 x 0 x 0
1 x
1 x
见example3_11
21
2 df d f x 例5：已知函数 f a 求 , 2 dx dx
a
f ( x)dx
2 2 I d r 例10：计算重积分 sin dr ? 0 0
a
例11：计算广义积分
4s i n t
2
4 xtdx ?
见example3_13
23
Matlab符号方程求解
Matlab符号代数方程的求解
格式1：solve(‘eqn1’,’eqn2’,…’eqnN’,’v1’,’v2’,…’vN’) 对方程组eqn1,eqn2,…eqnN按照变量v1,v2,…vN联立求解
28
例1：求单位冲激函数 (t ) 与函数 f (t ) 1 的傅立叶变换F(w) 例2：求单位延迟阶跃函数 u(t c) 的傅立叶变换F(w) 例3：求函数 Au(t )e
t
f (t ) cos bt
当cos无法直接FT时， 考虑欧拉公式 1/2(exp(jt)+exp(-jt)
ztrans(f) —— Z变换 例：>>zf=ztrans(2^n) zf=1/2*z/(1/2*z-1) iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 例：>>sf=laplace(t^5) sf=120/s^6 ilaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 ifourier(f) —— 反付氏变换 simple(f) ——化简表达式 例：>>f=sym(‘cos(x)^2+sin(x)^2’); >>simple(f) ans=1
2
符号运算与数值运算的区别
数值运算： 1. 其运算的元素是数 值； 2. 在运算过程中必须 先对变量进行赋值， 然后才能参加运算； 3. 其结果以数值形式 出现。
符号运算： 1. 其运算的元素是符 号； 2. 在运算过程中无须 对变量进行赋值就 可参加运算；但是 必须先定义符号变 量； 3. 其结果以符号形式 出现。
11
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double() 这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa() 精确计算表达式的值。 格式1：R＝vpa（E） 格式2：R＝vpa（E,D）
12
例1：计算以下符号常量的值 c e
79
并将结果转换为指定精度8位与18位的精确数值解。 见example3_8
第3章 MATLAB的符号运算
1
MATLAB符号运算入门
科学与工程技术的数值运算固然重要，但自然科学 理论分析各种各样的公式、关系式及其推导就是符 号运算要解决的问题。它与数值运算一样，都是科 学计算研究的重要内容。Matlab数值运算的对象是 数值，而Matlab符号运算的对象则是非数值的符号 对象。符号对象就是代表非数值的符号字符串。
18
例5：试对 e1 sin2 x cos2 x
e2 ecln( )
进行综合化简。 例6：试对 e1 ln x ln y
e2 2cos x sin x
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e3 cos x j sin x
e4 x3 3x2 3x 1
e5 cos x sin x
Matlab符号微分方程的求解
dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…’初始条件部分’,’指定独立变量部分’)
24
例1：对以下方程联立方程组
y2 z 2 x2 yz a x 2 bx c
求a＝1，b＝2，c＝3时的x，y，z
见example3_14
25
例2：求微分方程组的通解
9
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym(‘[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]’) m2=sym(‘[1 12;23 34]’)
– 例： – >>A=hilb(3); A= 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 >> A=sym(A) A= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
的傅立叶变换F(w) df (t ) 例4：求函数 dt 的傅立叶变换F(w)
例5：求函数 F (w) 2 (w) 的傅立叶反变换f(t)
见example3_16 29
符号函数的可视化
ezplot(f):绘制f=f(t),t的范围-2*pi<t<2*pi ezplot(f,[a,b]):绘制f=f(t),t的范围a<t<b ezplot(f):对于符号f=f(x,y),ezplot(f)在图形窗口 中绘制符号方程f(x,y)=0的图形， -2*pi<x<2*pi, -2*pi<y<2*pi。 ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]) ezplot(x,y):绘制符号方程x=x(t),y=y(t)的图形， 0<t<2*pi; ezplot(x,y,[tmin,tmax])
见example3_2
5
d d 2 2 例4：导函数 (cos x) 和 (cos x ) dx dx
见example3_3 例5：计算不定积分