人教A版《平面向量的应用》PPT1
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人教A版数学《平面向量的应用》精品系列-ppt1
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
解：不妨设|F1|=|F2| ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以 及直角三角形的知识，可以知道
|G| |F1|=
2cos 2
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
当
co
s
2
1 2
,
即θ=120º时， |F1|=|G|
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
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探究二：
生活中常遇到两根等长的绳子
OA (0, a), BA (c, a),OC (c,0), BC (2c,0) ．
因为 BB,CC ′都是中线，
所以 BB ' 1 (BC BA) (3c , a ) ，
,
2
22
同理 CC ' ( 3c , a ) ． 22
因为 BB CC ，
所以 9 c2 a 2 0 , a2 9c2 ． 44
人教A版数学《平面向量的应用》精品 系列-p pt1
向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设 点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？
解:如图建立平面直角坐标系,设 B(a, 0), D(b, c) ,则 C(a b, c)
AB (a,0), AD (b,c),
AC (a b,c), DB (a b, c)
| AB | a,| AD | b2 c2 , | AC | (a b)2 c2 ,| DB | (a b)2 c2
新教材高中数学第6章平面向量及其应用第1课时余弦定理课件新人教A版必修第二册ppt
NO.3
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A． 3
B． 2
C． 5
D．5
A [由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2 cos 60°＝3，所以c＝ 3．]
1234 5
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于 ()
A．30° B．60° C．120° D．150° B [由题意知，(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝21，∴A＝60°．]
[跟进训练] 2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶( 3 ＋1)，求△ABC中各 角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k，c＝ ( 3＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A＝b2＋2cb2c－a2 ＝ 6k2×2＋[6 k×3＋ 13k＋]21－k2k2＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°．
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4．
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，
∴A＝π6，B＝172π，C＝π4．
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应 角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清 晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直 接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
1234 5
3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________． 等腰三角形 [∵a＝2bcos C＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， ∴△ABC为等腰三角形．]
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用说课教学课件(余弦定理、正弦定理应用举例)
科 学 课 件 ： /kejian/kexue/ 物 理 课 件 ： /kejian/wuli/
化 学 课 件 ： /kejian/huaxue/ 生 物 课 件 ： /kejian/shengwu/
地 理 课 件 ： /kejian/dili/
PPT模 板 ： /moban/
PPT素 材 ： /sucai/
PPT背 景 ： /beijing/
PPT图 表 ： /tubiao/
PPT下 载 ： /xiazai/
PPT教 程 ： /powerpoint/
英 语 课 件 ： /kejian/yingyu/ 美 术 课 件 ： /kejian/meishu/
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资 料 下 载 ： /ziliao/
个 人 简 历 ： /jianli/
试 卷 下 载 ： /shiti/
教 案 下 载 ： /jiaoan/
手 抄 报 ： /shouchaobao/
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历 史 课 件 ： /kejian/lishi/
6．4 平面向量的应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例
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6．4 平面向量的应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例
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《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT(第一课时余弦定理)
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3．在△ABC 中，若(a－ccos B)b＝(b－ccos A)a，判断△ABC 的形状．
解析：由余弦定理，原式可化为 (a－c·a2＋2ca2c－b2)b＝(b－c·b2＋2cb2c－a2)a， 整理得，(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 故 a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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知识点二 余弦定理的推论 预习教材，思考问题 在△ABC 中，已知三条边，如何求出其三个内角？
[提示] 可将余弦定理中的三个公式变形为 cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2，在结合三角形内角和定理求解．
(2)把 b＝3，c＝3 3，B＝30°代入 b2＝a2＋c2－2accos B，可得 32＝a2＋(3 3)2－
2a·3 3·cos 30°，即 a2－9a＋18＝0，解得 a＝6 或 a＝3.
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已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中 一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一 边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边．
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点一 余弦定理 预习教材，思考问题 (1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定 吗？
人教A版高中数学《平面向量的应用》公开课件-ppt1
（2）由
a
＝
b
60
，得sin A＝ asin B ＝
3
2 ＝5
3 >1，
sinA sinB
b
48
8
与0<sin A≤1矛盾，∴ 无解，即不存在这样的三角形.
（3）由 a ＝ b ，得sin B＝ bsin A ＝ 5sin80 <1.
sinA sinB
a
7
又∵ b<a，∴ B<80°，∴ 有一解，即这样的三角形是唯一的.
c2＝_a_2＋__b__2－__2_a_b_c_o_s_C_
三角形中任何一边的平方等于_其__他__两__边__的__平__方__的__ _和__减__去__这__两__边__与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍__
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
人教A版高中数学《平面向量的应用》 教研课 件1
人教A版高中数学《平面向量的应用》 教研课 件1
解：已知a∶b∶c＝2∶ 6 ∶（ 3 +1），
令a＝2k，b＝ 6 k，c＝（ 3 +1）k（k>0），
由余弦定理的推论，得
cos A＝ b2 c2 a2 ＝ ( 6k)2 [( ＝ 3 1)k]2 (2k)2 2 .
人教A版高中数学《平面向量的应用》 教研课 件1
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如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表：
a>b a＝b
A> 2
一解 无解
A＝ 2
一解 无解
a<b
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第二课时正弦定理)
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同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．
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知识梳理 正弦定理
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法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
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[教材提炼] 知识点一 正弦定理 预习教材，思考问题 (1)在△ABC 中，若 A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边 BC 吗？
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2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
高中数学(人教A版)教材《平面向量的应用》标准课件1
高中数学（人教A版）教材《平面向量 的应用 》标准 课件1 （公开 课课件 ）
例题讲解2：
如图，在 OAB中，OC 1 OA，OD 1 OB，
4
2
线段AD与线段BC交于点M，试用OA，OB
表示OM。
B
DM
O
C
A
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必做：A组；选做：B组。
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热身练习1：
已知O是平面内任意一点，是任意角，
下列向量等式一定可以判定A, B, C三点 共线的一组是( )
A. OC sin OA cos OB B. OC sin2 OA cos2 OB C. OC sin OA cos OB D. OC sin2 OA cos2 OB
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结论：
若平面向量OA，OB，OC满足
OC OA OB ( , R )，且
点O不在直线AB上，则A, B, C三点
共线的充要条件是 1。
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实数1、2，使a 1e1 2e2 。
我们把不平行的向量e1、e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底。
新课引入
过 OAB的重心G的直线与边OA，OB 分别交于P，Q，设OP h OA，OQ k OB， 研究 1 1 是否为定值。若是，求出此定值。
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)
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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
必修第二册·人教数学A版
1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.
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◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
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人教A版《（2平01面9）向高量中的数应学用》必P修PT第1二册 教学课 件：第 六章 6.4 平面向量的应用 (2份打包)
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训练题
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED＝
.
21 解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴
2
建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0， 3 ），C（3， 3 ），D（3，
0）， AC ＝（3， 3 ）.设 AE ＝ AC ，则 E 的坐标为（3λ， 3 λ），故BE ＝
（3λ， 3 λ- 3 ）.因为 BE⊥AC，所以BE ·AC ＝0，即 9λ+3λ-3＝0，解得λ
＝
1 4
，所以E
3 4
,
3 4
.故
ED
＝
9 4
,
3 4
，|
ED
|＝
21 ，即 ED＝
2
21 .
3
3 2
.
（2）证明：∵
OC
＝
3 2
,
3
3 2
，
AB
＝
1 2
,
3 2
，
∴ OC ＝3AB ，∴ OC ∥ AB .
又易知OA与BC不平行，|OA |＝| BC |＝2，
∴ 四边形OABC为等腰梯形.
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3.平面几何中的长度问题 例3 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
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【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
3
6
2
∴ FO ＝OE .
又O为 FO 和OE 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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◆用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法 方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示 AB 和CD ；③寻找实数 λ，使 AB ＝¦ËCD ，即 AB ∥CD ；④给出几何结论AB∥CD. 方法二：先求 AB ，CD 的坐标， AB ＝（x1，y1），CD ＝（x2，y2）.利用 向量共线的坐标关系x1y2-x2y1＝0得到 AB ∥CD ，再给出几何结论AB∥ CD. 以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才能 由 AB ∥ CD 得到AB∥CD.
对角线AC的长.
【解】 设 AD ＝a， AB ＝b，则 BD ＝a-b， AC ＝a+b. 而| BD |＝|a-b|＝ ＝ a2 2a b+b2 1+4 2a b ＝ 5 2a b ＝2， ∴ 5-2a·b＝4，∴ a·b＝ 1 .
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
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（1）解：连接OB，设B（xB，yB），
则xB＝|OA
|+|
AB
|·cos（π-∠OAB）＝
5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC
＝
OB
+
BC
＝
5 2
,
3 2
+（-1，
3
）＝
3 2
,
3
3 2
，
∴
B
5 2
,
3 2
，
C
3 2
,
质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数为μ＝0.02 的水平面
上运动了 20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？（g＝10
m/s2）
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解：如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos
30°＝50×20×
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实 际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几 何问题的“三步曲”. 难点：将实际问题转化为向量问题.
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训练题
1. 已知一物体在共点力F1＝（2，2），F2＝（3，1）的作用下产生位
移
s＝
1，3
22
，则共点力
对
物体所
做的功为
（C
）
A.4 J B.3 J C.7 J D.2 J
2. 已知力 F（斜向上）与水平方向的夹角为 30°，大小为 50 N，一个
人教A版《平面向量的应用》PPT1
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【解】 如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建 立平面直角坐标系，则F1＝（1， 3 ），F2＝（2 3 ，2），F3＝（-3， 3 3 ）， ∴ F＝F1+F2+F3＝（2 3 -2，2+4 3 ）.又位移s＝（4 2 ，4 2 ）， ∴ 合力F所做的功W＝F·s＝（2 3 -2）×4 2 +（2+4 3 ）×4 2 ＝4 2 ×6 3 ＝ 24 6 （J）.∴ 合力F所做的功为24 6 J.
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2.平面几何中的平行（或共线）问题
例2
平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且
CE ED
＝
AF FB
＝1
2
.
求证：点E，O，F在同一直线上.
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【证明】 设 AB ＝m， AD ＝n，
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训练题
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
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证明：（方法一）设正方形 ABCD的边长为 1，AE＝a（0<a<1）， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝ 2 a， ∴ DP · EF ＝（ DA + AP ）·（ EP +PF ） ＝ DA · EP + DA · PF + AP ·EP + AP · PF ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+ 2 a×a× cos 45°+ 2 a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即DP⊥EF.
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2. 如图，O是△ABC的外心，E为△ABC内一点，满足OE ＝OA +
OB +OC ，求证：AE⊥BC.
证明：因为 BC ＝OC - OB ，AE ＝OE -OA ＝（OA +OB +OC ）-OA ＝OB +OC ， 所以 AE · BC ＝（OB +OC ）·（OC - OB ）＝|OC |2-|OB |2. 因为O为△ABC的外心，所以|OC |＝|OB |，所以 AE · BC ＝0，即AE⊥ BC.
3 ＝500
2
3 （J）.
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|＝|F|sin
30°＝50×
1 2
＝25（N），
所以摩擦力f的大小为| f |＝|μ（G-F1）|＝（80-25）×0.02＝1.1（N）， 因此Wf＝f·s＝| f ||s|cos 180°＝1.1×20×（-1）＝-22（J）. 即F和f所做的功分别为500 3 J和-22 J.
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◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
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人教A版《（2平01面9）向高量中的数应学用》必P修PT第1二册 教学课 件：第 六章 6.4 平面向量的应用 (2份打包)
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训练题
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED＝
.
21 解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴
2
建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0， 3 ），C（3， 3 ），D（3，
0）， AC ＝（3， 3 ）.设 AE ＝ AC ，则 E 的坐标为（3λ， 3 λ），故BE ＝
（3λ， 3 λ- 3 ）.因为 BE⊥AC，所以BE ·AC ＝0，即 9λ+3λ-3＝0，解得λ
＝
1 4
，所以E
3 4
,
3 4
.故
ED
＝
9 4
,
3 4
，|
ED
|＝
21 ，即 ED＝
2
21 .
3
3 2
.
（2）证明：∵
OC
＝
3 2
,
3
3 2
，
AB
＝
1 2
,
3 2
，
∴ OC ＝3AB ，∴ OC ∥ AB .
又易知OA与BC不平行，|OA |＝| BC |＝2，
∴ 四边形OABC为等腰梯形.
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3.平面几何中的长度问题 例3 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
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【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
3
6
2
∴ FO ＝OE .
又O为 FO 和OE 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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◆用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法 方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示 AB 和CD ；③寻找实数 λ，使 AB ＝¦ËCD ，即 AB ∥CD ；④给出几何结论AB∥CD. 方法二：先求 AB ，CD 的坐标， AB ＝（x1，y1），CD ＝（x2，y2）.利用 向量共线的坐标关系x1y2-x2y1＝0得到 AB ∥CD ，再给出几何结论AB∥ CD. 以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才能 由 AB ∥ CD 得到AB∥CD.
对角线AC的长.
【解】 设 AD ＝a， AB ＝b，则 BD ＝a-b， AC ＝a+b. 而| BD |＝|a-b|＝ ＝ a2 2a b+b2 1+4 2a b ＝ 5 2a b ＝2， ∴ 5-2a·b＝4，∴ a·b＝ 1 .
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
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（1）解：连接OB，设B（xB，yB），
则xB＝|OA
|+|
AB
|·cos（π-∠OAB）＝
5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC
＝
OB
+
BC
＝
5 2
,
3 2
+（-1，
3
）＝
3 2
,
3
3 2
，
∴
B
5 2
,
3 2
，
C
3 2
,
质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数为μ＝0.02 的水平面
上运动了 20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？（g＝10
m/s2）
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解：如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos
30°＝50×20×
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实 际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几 何问题的“三步曲”. 难点：将实际问题转化为向量问题.
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训练题
1. 已知一物体在共点力F1＝（2，2），F2＝（3，1）的作用下产生位
移
s＝
1，3
22
，则共点力
对
物体所
做的功为
（C
）
A.4 J B.3 J C.7 J D.2 J
2. 已知力 F（斜向上）与水平方向的夹角为 30°，大小为 50 N，一个
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【解】 如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建 立平面直角坐标系，则F1＝（1， 3 ），F2＝（2 3 ，2），F3＝（-3， 3 3 ）， ∴ F＝F1+F2+F3＝（2 3 -2，2+4 3 ）.又位移s＝（4 2 ，4 2 ）， ∴ 合力F所做的功W＝F·s＝（2 3 -2）×4 2 +（2+4 3 ）×4 2 ＝4 2 ×6 3 ＝ 24 6 （J）.∴ 合力F所做的功为24 6 J.
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2.平面几何中的平行（或共线）问题
例2
平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且
CE ED
＝
AF FB
＝1
2
.
求证：点E，O，F在同一直线上.
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【证明】 设 AB ＝m， AD ＝n，
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训练题
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
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证明：（方法一）设正方形 ABCD的边长为 1，AE＝a（0<a<1）， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝ 2 a， ∴ DP · EF ＝（ DA + AP ）·（ EP +PF ） ＝ DA · EP + DA · PF + AP ·EP + AP · PF ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+ 2 a×a× cos 45°+ 2 a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即DP⊥EF.
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2. 如图，O是△ABC的外心，E为△ABC内一点，满足OE ＝OA +
OB +OC ，求证：AE⊥BC.
证明：因为 BC ＝OC - OB ，AE ＝OE -OA ＝（OA +OB +OC ）-OA ＝OB +OC ， 所以 AE · BC ＝（OB +OC ）·（OC - OB ）＝|OC |2-|OB |2. 因为O为△ABC的外心，所以|OC |＝|OB |，所以 AE · BC ＝0，即AE⊥ BC.
3 ＝500
2
3 （J）.
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|＝|F|sin
30°＝50×
1 2
＝25（N），
所以摩擦力f的大小为| f |＝|μ（G-F1）|＝（80-25）×0.02＝1.1（N）， 因此Wf＝f·s＝| f ||s|cos 180°＝1.1×20×（-1）＝-22（J）. 即F和f所做的功分别为500 3 J和-22 J.