北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳(20200814075904)
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版数学九年级下册：圆盘 知识点总结
北师大版数学九年级下册：圆盘知识点总结本文档总结了北师大版数学九年级下册关于圆盘的知识点。
下面是各个知识点的简要概述：1. 圆的定义和性质- 圆是由平面上到一个定点距离为定值的点的全体组成。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的连线相等、圆心到圆上任意一点的距离相等。
- 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的直线段，直径是半径的2倍，弦是圆上的任意两点间的线段，弦的长度小于或等于直径。
- 弧是沿圆周的一段，圆的周长也可以称为圆周长。
2. 圆的面积和周长计算公式- 圆的面积公式为：面积= π × 半径的平方。
- 圆的周长公式为：周长= 2 × π × 半径。
3. 圆心角、弧度和弧长的关系- 圆心角是指两条射线，以圆心为顶点的角度。
弧度是衡量角度大小的一个单位，1弧度等于圆心角恰好为半径的一条弧长。
弧长是弧上的一段弧的长度。
- 圆周角是指整个圆的圆心角，它的度数是360°，弧度是2π。
4. 切线与弦的关系- 切线是指与圆交于一点且与圆垂直的直线。
切线与半径的关系包括：切线与半径垂直、切线与半径的夹角是直角。
- 弦是圆上的任意两点间的线段。
弦和切线的关系包括：切线与弦的夹角等于弦所对圆心角的一半。
5. 相交弦与切线的性质- 如果两条弦在圆内相交，则它们的弦所对的圆心角互补（和为180°）。
- 相交弦与切线交于圆上的点时，切线与弦所对的圆心角相等。
这些是北师大版数学九年级下册关于圆盘的主要知识点总结。
希望能对你的学习有所帮助！。
(完整版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；以点O为圆心的圆，记作⊙．．；线段OA叫做半径O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．．．，圆．．，定长叫做圆的半径心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
北师大版2020九年级数学：《圆》章节知识点复习专题
【文库独家】《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
新北师版九下《圆》知识点归纳总结
新北师版九下《圆》知识点归纳总结(圆的三大定理：垂径定理；圆心角定理和圆周角定理)3.1圆（1）圆的有关概念：弦、直径、圆弧（简称“弧”可分为优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧. （2）点和圆的位置关系：点在圆外，即d————r；点在圆上，即d————r；点在圆内，即d————r.（共三种）反之也成立.3.2圆的对称性（1）轴对称性；（2）中心对称性；（3）圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的—————相等；所对的—————相等. （圆心角定理）推论：在同圆或等圆中，如果两个—————、两条—————、两条—————、两条—————中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等.3.3垂径定理（1）内容：垂直于弦的直径平分—————————，并且平分—————————————.推论：平分弦（不是———————）的直径———————，并且平分—————————————.3.4圆周角和圆心角的关系（1）圆周角的概念：顶点在——————，且两边都与圆——————，（2）圆周角定理：圆周角的度数等于——————————的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的———————————————。
推论2：直径所对的—————————是直角；90°的圆周角所对的弦是——————————。
（3）圆内接四边形的概念：四边形的四个顶点都在——————————————；这个圆叫做四边形的——————————————。
推论：圆内接四边形的—————————互补。
3.5确定圆的条件（1）——————————————————————的三个点确定一个圆；（2）外接圆：外心是指——————————————————，它是三角形———————的交点。
3.6直线和圆的位置关系（1）圆的切线：直线和圆有——————————的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做——————————————，这个公共点叫做————————。
最新北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
(新版)北师大版2020年九年级数学下册第三章圆知识点归纳
第三章圆1 圆2 圆的对称性*3 垂径定理4 圆周角和圆心角的关系5 确定圆的条件6 直线和圆的位置关系*7 切线长定理8 圆内接正多边形9 弧长及扇形的面积一．圆描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半．径．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
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圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长
为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直
平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线
的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到
两条直线距离都相等的一条直线。
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
d r 无交点;
1、 点在圆内 d r
2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;
3、点在圆外 d r 点A 在圆外;
2、直线与圆相切
d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点
;
外离（图1）无交点 d R r ;
d R r ;
外切（图2）有一个交点
相交（图3）有两个交点R r d R r ；
内切（图4）有一个交点 d R r ；
内含（图5）无交点 d R r ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相
等。
即：在O O 中，T AB // CD
• ••弧AC 弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也
称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相
等，则可以推出其它的3个结
论，
即：① AOB DOE :② AB DE ；
③OC OF ；④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：T AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
/. AOB 2 ACB
2、圆周角定理的推论：
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或
等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O O中，T C、D都是所对的圆周角
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角
是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在O O中，••• AB是直径
C 90
「• AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那；■么这个三角形是直角三角形。
° °：:即：在△ ABC 中，T OC OA OB
ABC是直角三角形或 C 90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上
的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内
对角。
即：在O O 中，. D
T四边形ABCD是内接四边形
C BA
D 180 B D 180
DAE C
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：T MN OA且MN过半
径OA外端
线
(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，心
它们的切线长相等，这点和圆的连线平分两条切线的夹角。
即：T PA、PB是的两条切线
二PA PB
PO平分BPA
卜一、圆幕定理
(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条
线段的乘积相等。
即：在。
O中，T•弦AB、CD相交于点P ,
二PA PB PC PD
(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直
径所成的两条线段的比例中项。
即：在O O中，•••直径AB CD ,
2
CE AE BE
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割
线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
的比例中项。
即：在O O中，••• PA是切线，PB是割线
2
PA PC PB
(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即：在O O中，T PB、PE是割线
二PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且
分这两个圆的的公共弦如图：O1O2垂直平分AB。
即：TO O i、O O2相交于A、B两点
二O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
(1)公切线长：Rt O1O2C 中，AB2CO12O1O22CO22；
(2)外公切线长: CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD
中进行：OD:BD:OB 1:..3:2 ;
(2)正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，
OE:AE:OA 1:1:
2
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB:OB:OA 1: 3:2.
1、扇形：（1）弧长公式:
⑵扇形面积公式：S 疇卯
n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 I :扇形弧长S :扇形面 积
% S « 2S J K =2 rh 2 r
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
(2)圆柱的体积：V r2h
(2)圆锥侧面展开图
(1) S表S 侧S底=Rr r 2
(2) 圆锥的体积：V - r2h
3。