线性代数第五章课后习题

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线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

高教线性代数第五章二次型——课后习题答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--;4）423243418228x x x x x x x x +++； 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++.解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= ()222333142y y y y ++--=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y (2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=,最后将（2)代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2322212x x x x +++=,于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

《线性代数》第5章习题解答(r)new2_1

习题五（P213－215）1．写出下列二次型的矩阵：.)(),,,().4(;),,,().3(;),,,().2(;8223),,().1(211221111122142314321222∑∑∑∑==-=+=-=+=-=++-+-=ni i n i in n i i ini in x xn x x x f x xxx x x f x x x x x x x x f yz xz xy z y x z y x f解:（1）12123111442-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）12121212000000000000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（3）1211221122111211111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4） 111111111n n n ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦。

2.若二次型123(,,)T f x x x X AX =对任意向量123(,,)T x x x 恒有0),,(321=x x x f ,试证明:A 是零矩阵.解:取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T TX X X ===等三个向量代入0,TX AX =则二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的所有元素),3,2,1,3,2,1(0===j i a ij 从而有A =0. 3.设B A ,是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量x 有BX X AX X ''=成立，试证明：.B A = 证：设,21][,][,)',,,(n n ij n n ij n b B a A x x x X ⨯⨯=== 则AX X '中的j i x x 的系数BX X a a a ij ji ij ',2=+中j i x x 的系数为,2ij ji ij b b b =+比较j i x x 的系数知),,,2,1,(n j i b a ij ij ==所以.B A = 4．试证明：不可能有实数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a C 使1010,0101TC C ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不合同的. 证:用反证法.若,10011001'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a d c b a 则推得,122-=+d b 这是不可能的.所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不.5. 设D C B A ,,,均为ｎ阶对称矩阵,且B A ,是合同的,D C ,是合同的,试证明:⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00也是合同的.证: 设,','D CQ Q B AP P ==则.00000000'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BQ P C A Q P 所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00是合同的. 6. 用正交变换法,把下列二次型化为标准形:.32414321242322213231212322212222).2(;4844).1(x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f --+++++=---++=解:(1).正交变换矩阵为,032622231322326222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 标准形为;455232221y y y f -+= (2) 正交变换矩阵为,0000212121212121212121212121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=Q 标准形为.324232221y y y y f +-+=7. 用配方法,把下列二次型化为标准形:2212121323121323(1).3226;(2).422.f x x x x x x x x f x x x x x x =--+-=-++解:(1).由已知2322321)2()(x x x x x f +-+-=，令,2333223211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=x y x x y x x x y 则,33321221232322111⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=y x y y x y y y x 可逆线性变换矩阵为,1000121212321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C 所以标准形为;2221y y f -=(2).先令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=,33212211yx y y x y y x 则,4)(4232223211y y y y f ++--=再令⎪⎩⎪⎨⎧==-=,33223111yz y z y y z 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,33321212321211z x z z z x z z z x 可逆线性变换矩阵为,10011112121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C 所以标准形为.44232221z z z f ++-= 8. 用初等变换法, 把下列二次型化为标准形:.22).2(;6422).1(3221232132********x x x x x x f x x x x x x x x f ++-=+-+-=解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100030001100010001032321211).1(531313E A ，令,10010113531Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 则;3233132221y y y f +-= (2).令,110110111Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 则.2221y y f -= 9．已知二次型),0(233232232221>+++=a x ax x x x f 通过正交替换QY X =化为标准形,52232221y y y f ++=求参数a 及正交矩阵Q .解: 给定二次型及其标准形的矩阵分别为：,521,3030002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B a a A 由,4,10218,22==-=a a B A 得2=a （去舍2-=a ），与特征值 5,2,1321=λ=λ=λ 对应的特征向量分别为,)'1,1,0(,)'0,0,1(,)'1,1,0(321=α=α-=α 因特征向量321,,ααα是相互正交的，将它们单位化后得所求的正交巨阵.0001022222222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Q10．求二次型11222121121(,,,)22n n n ini i i i f x x x x xx x x --+===+++∑∑ 的标准形，并指出该二次型的秩和正惯性指数。

线性代数第五章练习及解答

对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量，而属于同一特征值的不同特征向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值，求 A−1 , A⋆ 的特征值。
证明：因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ，那么 |A + E |(1 − |A|) = 0，于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ，由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证，若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B

线性代数第五章习题课

习题课
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
0 2 2 (1) A = 2 4 2 ; 2 2 0
解
4 10 0 (2) A = 1 3 0 . 3 6 1
解
2. 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 若判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 相似, 相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵. 是对角矩阵.
解
(2) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 2 12 x3 +
12 x1 x2 24 x1 x3 + 8 x2 x3 .
13. 判断下列二次型是否正定. 判断下列二次型是否正定.
二次型的正定性的常用判定法
2 2 (1) 3 x12 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 4 x2 x3 ;
解
5. 设三阶方阵 A 的特征值为
λ1 =1, λ2 = 2, λ3 = 3,
对应的特征向量依次为
1 1 1 p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3 , 1 4 9
又向量 b= (1 , 1 , 3)T . (1) 求 A; (2) 将 b 用 p1, p2, p3 线性表示; 线性表示; (3) 求 Anb;(4)求 A100 . ;(4
�
解
0 0 1 3. 设 A = x 1 y 相似于对角矩阵, 相似于对角矩阵, 1 0 0
求 x 与 y 应满足的条件. 应满足的条件.
解
4. 已知矩阵
2 0 0 A = 0 0 1 0 1 x
与矩阵
2 0 0 相似. B = 0 y 0 相似 0 0 1

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵与二次型一、是非题〔正确打√,错误打×〕1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. <√>2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. <√>3.n 阶正交阵A 的n 个行<列>向量构成向量空间n R 的一个规X 正交基. <√>4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. <√>5.若A 是正交阵,Ax y =,则x y =. <√>6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. <×>7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. <×>8.n 阶矩阵A 在复数X 围内有n 个不同的特征值. <×>9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . <√>10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值<其中)(λf 是λ的多项式>.<√>11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值,1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. <×>12.T A 与A 的特征值相同. <√>13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. <×>14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足:B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. <√>15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. <√>16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. <√>17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. <√>18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. <√>19.实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵. <×>20．已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. <×>21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵. <√>22．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.<×>23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化为规X 型.<×>二、填空题1．向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交.Ans:()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans:1或-13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________.<-1,2,3>4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A ___________,=+++nn a a a 2211_____________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3,λ,若行列式482-=A ,则____=λ.<-1>6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-,则=x -1或2 .8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1,则2008A =E .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.<-1,见教材>10.设A 为2阶矩阵,1α,2α是线性无关的二维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1.11、设A 为正交矩阵,λ为A 阵的特征值,则λA E -=_____0___.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为_____.<2>13.<3分>二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为标准型216y f =,则a =_____.<a =2>14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______；二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2,则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为_____时f 为正定, a 的取值为_____时f 为负定. <1;2- a a >16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面三、选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一特征值为< C >.<A> 22a ； 22a - ； <C>22-a ； <D>22--a .2.若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的特征向量最多有<A >个线性无关.<A> 3个； 1个； <C> 2个； <D> 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是<A>正交矩阵 对称矩阵<C>退化矩阵 <D>满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量,则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为< D >.<A>α1-P ； αP ； <C>αT P ； <D>α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定,则下列结论不正确的是< C > .(A) A 的特征值全为正； A 的一切顺序主子式全为正； <C> A 的元素全为正；<D>对一切n 维列向量x ,Ax x T 全为正.6.下列各式中有<A >等于22212136x x x x ++.<A> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ； ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； <C> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ； <D> ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 7.矩阵〔 C 〕是二次型22212136x x x x ++的矩阵. <A>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421；<C>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331； <D>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151；8.设A 、B 为同阶方阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,且BX X AX X T T =,当〔 D 〕时,B A =. <A>)()(B r A r =； A A =T ；<C>B B =T ； <D>A A =T 且B B =T ；9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是〔 D 〕. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵C,使C C A T =； <C>负惯性指标为零； <D>各阶顺序主子式均为正数； 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是. <A>非正定二次型；正定； <C>负定； <D>不定；11．正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是〔 B 〕.<A>非对称且左右对角线上元素都是正数；对称且各阶顺序子式都是正数；<C> 对称且所有元素都是正数；<D> 对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是< C >.<A>0>k ；02>k ；<C>不存在； <D>0<k ；13．阶矩阵A 为正定的充分必要条件是< C >. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵,使A=C C T ；<C> A 的特征值全大于0； <D> 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ；14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=,当时是正定的.<A>k>0； k>2； <C> k>1；<D> k=1；15.设A ,B 为正定矩阵,则< C >.<A>AB 、B A +都正定； AB 正定,B A +不一定正定； <C>AB 不一定正定,B A +正定； <D>AB 和B A +都不一定正定；16.设A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是<C> <A>实对称矩阵 正定矩阵<C>可逆矩阵 <D>正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B<A>合同, 且相似. 合同, 但不相似 .<C>不合同, 但相似. <D> 既不合同, 又不相似.[ B ]18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为〔 D 〕 <A> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <C> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112<D> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是<A> 01≠λ 02≠λ <C> 01=λ <D>02=λ [ B ]20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 < C > <A> 所有k 级子式为正),,2,1(n k = A 的所有特征值非负 <C> 1-A 为正定矩阵 <D>秩<A >=n。

线性代数与解析几何课后答案 (代万基廉庆荣)第五章习题答案

思考题 5-2
1．（1) 不正确。当 r ( A) r 时， A 中有一个 r 阶非奇异子阵就行，不需要所有 r 阶子阵都是非奇异的. (2) 正确。（3）正确。因为 A 的行秩与列秩相等，当 A 为方阵时， A 的秩与 A 的行数和列数的大小关系是一样的，所以 A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.
1 0
0 1
1 , b2 。 a1 , a2 和 b1 , b2 这两个 0 1 2
向量组都线性相关，但 a1 b1 , a2 b2 却是线性无关的。 5. 向量组 a1 , a2 ,
设 b b1 , b2 ,
, bn , 则 b b1e1 b2e2
4. 证法 1：因为 A 可逆，所以方程组 Ax b 有解。根据定理 5-1，向量 b 能由 A 的列向量组 a1 , a2 ,
, an 线性表示，所以向量组 a1 , a2 ,
, an , b 线性相关.
, an , an1 线性无关。根据定理 5-4 用反证法可以证明这一结论。
习题 5-1
1.提示：用行列式做。（1）线性无关。（2）线性相关。. 2. k 0 且 k 1 。 3.证：
e1 , e2 ,
, en E 1, e1 , e2 ,
T
, en 线性无关。
bn en .
2
k
lk Ak 1α 0 。
m
(1)
由 A α 0 可知，当 m k 时， A α 0 . 用A
k 1
乘以（1）式，得 l1 A
k 1
α 0.
因为 A
k 1
（1）式成为 α 0, 所以 l1 0. 这时，

线性代数第五章习题答案

则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1

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习题五 (A)
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：
(1) 123213336⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ； (2) ()121,2,33⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ； (3) 310410482⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ； (4) 563101121-⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
A .
2. 已知0是矩阵10102010t ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A 的特征值，求参数t 以及A 的特征值和特征向量.
3. 已知2103⎛⎫= ⎪
⎝⎭
A ，问T 130(,)=x ，T
212(,)=x 是否是矩阵A 的特征向量，并说明理由. 4. 设2
32-+=0A A E ，证明A 的特征值只能是1或2. 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为102,,-，求323-+A A E . 6. 证明n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 具有相同的特征值. 7. 设矩阵A 与Λ相似，其中
1241
242
1x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝
⎭A ，5
4y
⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭
Λ. 求y x ,.
8. 设矩阵20131405x ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
A 可相似对角化，求x .
9. 设A 与B 都是n 阶矩阵，且0≠A ，证明矩阵AB 与矩阵BA 相似.
10. 试求一个可逆的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：
(1) 22225424
5-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝
⎭A ； (2) 2
202
1202
0-⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
A ； (3)3
242
0242
3⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A . (B)
1. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，1λ对应的特征向量为T
1)1,1,0(=x ，求矩阵A .
2. 已知T
1)1,1,1(-=x 是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
A 的一个特征向量. (1) 试确定参数b a ,及特征向量1x 所对应的特征值； (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵？说明理由.
3. 设A 是n 阶方阵，n 2,,4,2 是矩阵A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵，计算行列式3-A E .
4..设三阶实对称矩阵A 的特征值为123110,,,λλλ==-=12,λλ对应的特征向量依次为
()()12122212,,,,,,T T
x x ==-求矩阵A .
5.（研2004数一、二）设矩阵12314315a -⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪⎝
⎭
A =的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相
似对角化.
6.（研2004数三）设n 阶矩阵11
1⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
b b b b b b
A . （1）求A 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵P ，使得1
-P AP 为对角矩阵.
7.（研2006数一、二）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量T T
12(1,2,1),(0,1,1)=--=-αα是
线性方程组Ax =0的两个解.
(1)求A 的特征值与特征向量.
(2)求可逆矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
ΛQ AQ =.
9.（研2008 数二、三）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足
323A ααα=+，
（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1
P AP -.
10.（研2011数一、二、三）A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且
111100001111-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A
求（1）A 的特征值与特征向量；（2）矩阵A .
11.（研2014. 数一、二、三）证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似. 12.（研2015数一、二、三）设矩阵02313312-⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪ -⎭⎝A a 相似于矩阵12000031-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪
⎭⎝
B b .
（1）求,a b 的值.
（2）求可逆矩阵P ，使得1
P AP 为对角阵.。

线性代数第五章课后习题