《等差数列及其前n项和》学案.doc

等差数列及其前//项和

一、自主梳理

1.等差数列的有关定义

(1)一般地，如果一个数列从第—项起，每一项与它的前一项的—等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ d为

常数).

(2)数列a, A, b成等差数列的充要条件是___________ ,其中A叫做a, b的—等差中项_______ ・

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n= _______ , a n=a m+ __________ (jn, z/GN*).

(2)前n项和公式：S n= __________ = ____________ .

3.等差数列的性质

(1)^m+n=p + q(m, n, p, gGN*),则有 _______________ ,

特别地，当m+n=2p时，________________ ・

(2)若｛给｝是等差数列，公差为d,则｛他”｝也是等差数列，公差为____

(3)若｛给｝是等差数列，公差为〃，则做，如加，做+2加…伙，加UN*)是公差为_ 的等差数列.

⑷若｛為｝, ｛仇｝是等差数列，贝\\｛pa n+qb n｝也是等差数列.

(5)等差数列的单调性：若公差〃＞0,则数列为_____________ ;

若虫0,则数列为____________ ；若d=0,则数列为___________ •

(6)等差数列中,S mf S2m-S m9 S3f n-S2l…成等差数列.

(7)S2n-1= (2n 1 )a n.

二、自我检测

1.在等差数歹!]｛為｝中，若=4,匂=2,贝妆=()

A.-l

B.O C」 D.6

2・｛為｝是首项67, =1,公差为d = 3的等差数列，如果色=2005,则序号〃等于()

A. 667

B. 668

C. 669

D. 670

3.(2015课标全国II，文5)设S”是等差数列｛a n｝的前比项和，若q +他+% =3,则Ss=()

A.5

B.7

C.9 Dll

4.数列｛為｝是等差数列，他=7,则______________

5•设等差数列｛為｝的前〃项和为S“，若5.3=9, &=36,则6Z7+^+^9=()

A. 63 B・ 45 C. 43 D. 27

6.等差数列｛為｝中,03+04=4,05+^7=6,求通项公式陽

三' 典例剖析

题型一等差数列的基本量的计算

例1等差数列｛為｝的前n项和记为S n°已知010=30, 020=50, ⑴求通项如(2)若必=242,求n.

例2设e，〃为实数，首项为⑦，公差为d的等差数列｛如的前71项和为S“, 满足S5& +15 = 0.

(1)若S5 = 5,求S6及Q I; (2)求d的取值范围.

变式训练1已知等差数列｛為｝中，Q1 = 1,。3=—3.

⑴求数列｛為｝的通项公式；

⑵若数列｛如的前£项和&=—35,求£的值.

题型二等差数列的判定或证明例3 数列｛色｝满足a｛ = 1,a2 = 2,a n+2 = 2a n+l -a n+2

(1)设乞=Q曲-a”，证明｝是等差数列;

(2)求｛an｝的通项公式.

3 1 1

例4已知数列｛©｝中心=彳给=2— -------- 数列｛久｝满足h n=^—：

3外-1 1 (/ieN*).(l)求证：数列｛仇｝是等差数列；

变式训练3(1)已知数列｛砌｝的前〃项和为S“,且满足S〃=2s'；； 1 522), f/i =

①求证：|计是等差数列；②求為的表达式.

题型三等差数列性质的应用

例5 ⑴在等差数列｛。“｝中，色+偽+他+%+如=25,则a2 +a s =

(2)己知等差数列｛色｝的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是

对点训练3 (1) (2015广州模拟)等差数列｛色｝前17项和S17=51,则

冬_坷+ °9 — 1 +吗3 = (2)已知等差数列｛色｝的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是：

⑶已知在等差数列｛色｝中，其前n项和为S“，S3 =9爲=36,则

吗+您+ °9二・

四、课后复习

(-)选择题

1 .如果等差数列｛外｝中，03 + ^4 + 05=12,那么。1+02+...+。7= ( )

A. 14

B. 21

C. 28 D・ 35

2.已知｛為｝是等差数列，如=一9, S3 = S7，那么使其前〃项和S“最小的〃

是()

A. 4

B. 5 C・ 6 D・ 7

3在等差数列｛。“｝中，若他+。6 +偽+。10 +。12= 120,则的一£11的值为（

）

A. 14

B. 15 C・ 16 D. 17

4.设数列｛如、｛/?“｝都是等差数列，且°1 = 10,伤=90, 02+他=100,那么数列｛a n+b n｝的第2 012项的值是

（）

A.85

B.90

C.95

D.100

5._______ 已知等差数列｛為｝中，血=6,殆=15,若叽=如贝!）数列血｝的前9项和等于___ ・

（二）填空题

6.设必为等差数列｛為｝的前n项和，若S3 = 3, S6=24,则的= __________ •

7.等差数列｛如的前斤项和为S”已知砌・1+%+1—応=0, 52W-I=38，则加

8._________ 在数列｛為｝中,若点、（n,给）在经过点（5,3）的定直线/上，则数列｛為｝的前9 项和Sg = .

（三）解答题

9.设｛為｝是一个公差为〃（dH0）的等差数列，它的前10项和Si（）=110,且泾= a\a^.

（1）证明:a｝=d；

⑵求公差〃的值和数列｛如的通项公式.

10.已知等差数列｛為｝满足：如=7, °5+。7 = 26, ｛给｝的前n项和为S“.

⑴求给及弘

⑵令仇SWN）求数列｛仇｝的前刃项和Tn.