第一章 1.1 1.1.1 第二课时 集合的表示

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①试判断元素1,2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B.
(1)[解析] 观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，
且第一个为正数，故应选C.
[答案] C
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6 (2)[解] ①当 x＝1 时， ＝2∈N. 2＋1 6 3 当 x＝2 时， ＝ ∉N.所以 1∈B,2∉B. 2＋2 2 6 ②∵ ∈N，x∈N，∴2＋x 只能取 2,3,6. 2＋x ∴x 只能取 0,1,4.∴B＝{0,1,4}．
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[活学活用] 已知集合 A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意 a∈A，有|a|∈B，且 B 中只有 4 个元素，求集合 B.
解：对任意 a∈A，有|a|∈B. 因为集合 A＝{－2，－1,0,1,2,3}， 由－1，－2,0,1,2,3∈A，知 0,1,2,3∈B. 又因为 B 中只有 4 个元素， 所以 B＝{0,1,2,3}.
[活学活用] 下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
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解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相 同的集合． (2)集合 A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是 x，且 x∈R，所以{x|y ＝x2＋1}＝R， A＝R； 即 集合 B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是 y， 满足条件 y＝x2＋1 的 y 的取值范围是 y≥1，所以{y|y＝x2＋1} ＝{y|y≥1}． 集合 C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足 y＝x2 ＋1 的数对．可以认为集合 C 是坐标平面内满足 y＝x2＋1 的 点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线 y＝x2＋1 的图象.
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3．给出下列说法： ①直角坐标平面内， 第一、 三象限的点的集合为{(x， y)|xy>0}； ②方程 x－2＋|y＋2|＝0 的解集为{2，－2}； ③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的． 其中正确的是________(填写正确说法的序号)．
2
1}，与 A＝{1}矛盾． 故不存在实数 a，使 A＝{1}．
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[随堂即时演练]
x＋y＝1， 1．方程组 2 2 x －y ＝9
的解集是 B．(5，－4) D．{(5，－4)}
(
)
A．(－5,4) C．{(－5,4)}
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x＋y＝1， 解析：解方程组 2 2 x －y ＝9，
x＋y＝1， ④方程组 x－y＝－1
的解．
(1)[解析] 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
[答案] B
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(2)[解] ①因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大 于 或 等 于 0 的 意 思 ， 所 以 不 大 于 10 的 非 负 偶 数 集 是 {0,2,4,6,8,10}． ②方程 x2＝x 的解是 x＝0 或 x＝1，所以方程的解组成的 集合为{0,1}．
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[多维探究] 解答上面例题时，a＝0 这种情况极易被忽视，对于方程 “ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是 a＝0，即它是一元一次 方程； 二是 a≠0， 即它是一元二次方程， 也只有在这种情况下， 才能用判别式 Δ 来解决问题． 求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如： (1)在本例条件下，若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范 围．
1.1.1
第 一 章
1.1
第 二 课 时
集 合 的 表 示
1 理解教 材新知
知识点一 知识点二 题型一
集 合
集合 的含 义与 表示
2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
题型二 题型三
随堂即时演练
课时达标检测
1.1
集 合
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1．1.1
集合的含义与表示
集合的表示
第二课时
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列举法
x＝5， 得 y＝－4，
故解集为{(5，－
4)}，选 D.
答案：D
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2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( A．{y|y＝2} C．{2} B．{x＝2}
)
D．{x|x2－4x＋4＝0}
解析：集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其它
选项所表示的集合都是含有一个元素2. 答案：B
[提出问题] 观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药， (2)中的元素为：1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
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1.集合与方程的综合应用
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[典例]
集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元
素，求 a 的取值范围．
[解] 当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0， 1 此时 x＝－ ，符合题意； 2 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 为一元二次方程， Δ＝4－4a＝0，即 a＝1，原方程的解为 x＝－1，符合题意． 故当 a＝0 或 a＝1 时，原方程只有一个解，此时 A 中只有 一个元素．
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用描述法表示集合
[例 2] (1)用符号“∈”或“∉”填空：
①A＝{x|x2－x＝0}，则 1________A，－1________A； ②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}． (2)用描述法表示下列集合： ①正偶数集； ②被 3 除余 2 的正整数的集合； ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
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(4)是否存在实数 a，使 A＝{1}，若存在，求出 a 的值；若 不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即 a＝－3. 1 又当 a＝－3 时 ，由 －3x ＋2x＋1＝0，得 x＝－ 或 x＝1， 3
2
1 1 即方程 ax ＋2x＋1＝0 存在两个根－ 和 1，此时 A＝{－ ， 3 3
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[导入新知] 列举法 把集合的元素 一一列举 出来，并用花括号“{}”括起来
表示集合的方法叫做列举法．
返回Biblioteka [化解疑难] 使用列举法表示集合的四个注意点 (1)元素间用“， ”分隔开， 其一般形式为{a1， 2， a „，an}； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含有有限个元素且个数较少的集合， 采取该方法较 合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的 规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为 代表，其他元素用省略号表示.
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解：A 中至多含有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元 素． 当 A 中只有一个元素时，由本例可知，a＝0 或 1. 当 A 中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即 a>1. 故当 A 中至多有一个元素时， 的取值范围为 a＝0 或 a≥1. a
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(2)在本例条件下，若 A 中至少有一个元素，求 a 的取值范围．
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用列举法表示集合
[例 1] 数是 A．1 C．3 B．2 D．4 若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个 ( )
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(2)用列举法表示下列集合． ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合；
一般符号 及 取值(或变化)范围 ，再画一条竖线，在竖线后
写出这个集合中元素所具有的 共同特征 ．
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[化解疑难] 1．描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合， 不能将它 们一一列举出来， 可以将集合中元素的共同特征描述出来， 即采 用描述法．
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2．描述法的一般形式 它的一般形式为{x∈A|p(x)}， 其中的 x 表示集合中的代表元 素，A 指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的 共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来． 一般来说集合元素 x 的取值范围 A 需写明确，但若从上下 文的关系看，x∈A 是明确的，则 x∈A 可以省略，只写元素 x.
解：A 中至少有一个元素，即 A 中有一个或两个元素． 由例题可知，当 a＝0 或 a＝1 时，A 中有一个元素； 当 A 中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即 a<1. ∴A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为 a≤1.
(3)若 1∈A，则 a 为何值？
解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即 a＝－3.
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[类题通法] 判断元素与集合间关系的方法 (1)用列举法给出的集合， 判断元素与集合的关系时， 观察 即得元素与集合的关系． 例如，集合 A＝{1,9,12}，则 0∉A,9∈A. (2)用描述法给出的集合， 判断元素与集合的关系时就比较 复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实 数？是方程？„„，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后 往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的 特征，即可确定所给元素与集合的关系．
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[类题通法] 利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1} 不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝ 2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花 括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母．
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③将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，故两 直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
x＋y＝1， ④解方程组 x－y＝－1， x＝0， 得 y＝1.