高中数学必修一第一章集合章末检测
09-章末培优专练高中数学必修一人教A版
= {|是高三（2）班参加田赛的学生},card = 11, = {|是高三
（2）班参加径赛的学生}，card = 10, = {|是高三（2）班既参加
田赛也参加径赛的学生}，card = 4,那么高三（2）班参加田径运动会
的学生人数为( D )
A.25
B.14
C.15
D.17
【解析】 由题意得 = ∩ ，且 ∪ = {|是高三（2）班参加田径
运动会的学生},所以
card ∪ = card + card − card ∩ = 11 + 10 − 4 = 17.
2.（多选）[2024黑龙江龙东五地市联考]中国古代重要的数学著作《孙子
+2 = 5 × 46 + 3 = 7 × 33 + 2,故233 ∈ ∩ ∩ ,故D正确.
3.已知是非空数集，若非空集合1，2满足以下三个条件，则称 1, 2
为集合的一种真分拆，并规定 1, 2 与 2, 1 为集合的同一种真分拆.
①1 ∩ 2 = ⌀ ；②1 ∪ 2 = ；③ = 1,2 的元素个数不是 中的元素.
C.∁ ∩
D. ∪ ∁
【解析】 ∪ = {| < 2},所以∁ ( ∪ ) = {| ≥ 2},故选A.
8.[2023新课标Ⅱ卷·2,5分]设集合 = {0,−}, = {1, − 2,2 − 2}，若
⊆ ，则 =( B
A.2
)
B.1
2
C.
> 0且 ≠ 1，为使 最小，则 = {0，± ，±+1 ，±+2 } ∈ ,此
高一数学第一章集合及基本运算章末习题课
第一章章末习题课(时间：80分钟)一、单项选择题1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1}，则下列关系正确的是(C)A．B∉A B．B∈AC．B⊆A D．A⊆B解析：两个集合之间不能用“∈或∉”，首先排除选项A，B，因为集合A＝{1,2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定义知B⊆A.故选C.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(B)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝(A)A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}解析：在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．4．“－2<x<4”是“x＜4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“－2<x<4”可得“x<4”，反之不成立，故“－2<x<4”是“x＜4”的充分不必要条件．故选A.5．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝(A) A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}解析：由题意知∁U A＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,4,5}．故选A.6．“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的( A ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎩⎨⎧ x >0，y >0⇒1xy >0，1xy >0⇒⎩⎨⎧ x >0，y >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0，所以“⎩⎨⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的充分不必要条件．故选A.7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．8．设全集U ＝A ∪B ，定义：A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，集合A ，B 分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B 的是( C )解析：因为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，所以A －B 是集合A 中的元素去掉A ∩B 中的元素构成的集合．故选C.二、多项选择题9．下列命题正确的有( ABD )A ．0是最小的自然数B ．每个正方形都有4条对称轴C ．∀x ∈{1，－2,0},2x ＋1＞0D ．∃x ∈N ，使x 2≤x解析：对于A ：根据自然数集的定义知，最小的自然数是0，命题A 正确；对于B ：由正方形的图形特点知，每个正方形都有两条对角线和过对边中点的直线四条对称轴，命题B 正确；对于C：这是全称量词命题，当x＝－2时，2×(－2)＋1＜0，命题C错误；对于D：这是存在量词命题，当x＝1或x＝0时，可得x2≤x成立，命题D正确．故选ABD.10．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(AC)A．2 B．－2C．－3 D．1解析：由题意得2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4，若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，所以x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，所以x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.11．下列命题正确的有(CD)A．A∪∅＝∅B．∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)C．A∩B＝B∩AD．∁U(∁U A)＝A解析：在A中，A∪∅＝A，故A错误；在B中，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，故B错误；在C中，A∩B＝B∩A，故C正确；在D中，∁U(∁U A)＝A，故D正确．故选CD.12．若－1<x<2是－2＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是(BCD)A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意得a≥2.所以实数a的值可以是2,3,4.故选BCD.三、填空题13．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则命题p的否定为∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解.14．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁B)＝__{3}__．U解析：由U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，得A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩(∁U B)＝{3}．15．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为__1__；若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为__4__.解析：设A ＝{x |－m ≤x ≤m }(m >0)，B ＝{x |－1≤x ≤4}，若p 是q 的充分条件，则A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤4，所以0<m ≤1，所以m 的最大值为1；若p 是q 的必要条件，则B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m ≥4，所以m ≥4，所以m 的最小值为4. 16．若“x <－1”是“x ≤a ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是__{a |a <－1}__． 解析：若“x <－1”是“x ≤a ”的必要不充分条件，则{x |x ≤a }⊆{x |x <－1}，∴a <－1.四、解答题17．已知集合A ＝{x |2≤x ≤5}，B ＝{x |－2m ＋1＜x ＜m }，全集为R .(1)若m ＝3，求A ∪B 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝3，∴B ＝{x |－5＜x ＜3}．又A ＝{x |2≤x ≤5}，∴∁R A ＝{x |x ＜2或x ＞5}．∴A ∪B ＝{x |－5＜x ≤5}，(∁R A )∩B ＝{x |－5＜x ＜2}．(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＜2，m ＞5，解得m ＞5. ∴实数m 的取值范围为{m |m ＞5}．18．在①{x |a －1≤x ≤a }，②{x |a ≤x ≤a ＋2}，③{x |a ≤x ≤a ＋3}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a 存在，求a 的值；若a 不存在，请说明理由．已知集合A ＝________，B ＝{x |1≤x ≤3}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：由题意知，A 不为空集，B ＝{x |1≤x ≤3}．当选条件①时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥1，a <3或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1，a ≤3，解得2≤a ≤3. 所以实数a 的取值范围是{a |2≤a ≤3}．当选条件②时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＋2<3或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＋2≤3，无解．故不存在满足题意的a . 当选条件③时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即⎩⎨⎧a ≥1，a ＋3<3或⎩⎨⎧ a >1a ＋3≤3，无解． 故不存在满足题意的a .。
《金版新学案》高一数学 第一章集合章末质量评估练习题 新人教A版
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x|－3≤x<1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{－1,0}C ．{x|－1<x<0}D ．{x|－1≤x ≤0}【解析】 集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x|－3≤x<1}，易得到A ∩B ＝{－1,0}，故选B.【答案】 B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x|x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|x ≥1或x ≤0}D ．{x|0≤x ≤1}【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0⇔0≤x ≤1.故选D. 【答案】 D3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝1x ＋1【解析】由题意知y＝－x＋1，y＝－(x－1)2，y＝1x＋1在(1，＋∞)上是减函数，y＝11－x在(1，＋∞)上是增函数，故选B.【答案】 B4．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}【解析】由题意得A∩B＝{1,2}，(∁R A)∪B＝(－∞，0]∪{1,2}，A∪B＝(0，＋∞)∪{－1，－2}，(∁R A)∩B＝{－2，－1}．故选D.【答案】 D5．下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)A．1 B．2C．3 D．4【解析】①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．故选A.【答案】 A6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2 B．2C．－98 D．98【解析】由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.【答案】 A7．设T ＝{(x ，y)|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y)|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 ∵(2,1)∈S ∩T ，∴(2,1)∈S ，有(2,1)∈T.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1－3＝0，2－1－b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.故选C. 【答案】 C8．定义在R 上的偶函数f(x)，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f(3)<f(－2)<f(1)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2)【解析】 由已知f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1<0，得f(x)在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好．【答案】 A9．下列四种说法正确的有( )①函数是从其定义域到值域的映射；②f(x)＝x －3＋2－x 是函数； ③函数y ＝2x(x ∈N )的图象是一条直线；④f(x)＝x 2x 与g(x)＝x 是同一函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①正确，函数是一种特殊的映射；②中要使f(x)有意义只须使⎩⎪⎨⎪⎧ x －3≥02－x ≥0无解，故不是函数，②不正确；③中函数y ＝2x(x ∈N )的图象是孤立的点，③不正确；④中f(x)的定义域为{x|x ≠0}，g(x)的定义域为R ，不是同一函数，不正确．故选A.【答案】 A10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23【解析】 作出示意图可知：f(2x-1)<f ⇔- <2x-1< ，即 <x< .故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝________.【解析】g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1.∴g(x)＝2x－1.【答案】2x－112．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是________．【解析】如图所示，∴a≥2.【答案】a≥213．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝kx2－(k－1)x＋2＝kx2＋(k－1)x＋2＝f(x)，∴k＝1，∴f(x)＝x2＋2，其递减区间为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]14．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________.【解析】∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合中元素具有互异性，∴x≠xy，∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝－1.经检验，x＝y＝－1是本题的解．【答案】－1，－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.(1)求A∪B，(∁U A)∩B；(2)若A∩C≠Ø，求a的取值范围．【解析】(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．∁U A＝{x|x＜2或x＞8}．∴(∁U A)∩B＝{x|1＜x＜2}．(2)∵A∩C≠Ø，∴a＜8.16．(12分)判断并证明f(x)＝11＋x2在(－∞，0)上的增减性．【解析】在(－∞，0)上单调递增．现证明如下：设x 1＜x 2＜0，f(x 1)－f(x 2)＝11＋x 12－11＋x 22＝x 22－x 12(1＋x 12)(1＋x 22)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(1＋x 12)(1＋x 22)∵x 2－x 1＞0，x 1＋x 2＜0,1＋x 12＞0，1＋x 22＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，∴f(x 1)＜f(x 2)，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．17．(12分)设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)在R 上的解析式．【解析】 ∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，设x ＜0 ，则－x ＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)．又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x(1－x)．∴f(x)＝x(1－x)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x(1－x) (x ＜0)0 (x ＝0).x(1＋x) (x ＞0)18．(14分)已知函数f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．【解析】 当a ＝0时，f(x)＝－x －3，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. ∴f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a 2a . (1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2， 因为a<0，f(x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不合适； (2)令f(2)＝1，解得a ＝34，此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2， 因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适； (3)令f(x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．综上所述，a ＝34，或a ＝－12(3＋22)．。
【步步高】高中数学 第一章 章末检测配套试题 新人教A版必修1
章末检测一、选择题1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <03． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，N ＝B B ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8． 已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B ．－12C ．1D ．－19． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( ) A ．24B ．21C ．18D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－412. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为( )二、填空题13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______.14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．三、解答题17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．19．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 20．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．21．某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．答案1． C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8．A 9.A 10．B 11．D 12．B 13．－2 14．[25，＋∞) 15．(－∞，1] 16．{(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}17．解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A .∴2×(12)2＋3p ×(12)＋2＝0.∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B .∴2×(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)， 且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数． 19．解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10. 20．(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0＜a ≤1.21．解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10.∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8.因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元． 22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3，∴a ＝32.。
高中数学第一章集合章末检测北师大版必修1
第一章集合章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列表示①{0}＝∅，②{3}∈{3,4,5}，③∅{0}，④0∈{0}中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：③④正确．2．设全集U ＝R ，M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |0≤x <5}，则(∁U M )∪(∁U N )为( )A ．{x |x ≥0)B ．{x |x <1或x ≥5}C ．{x |x ≤1或x ≥5} D．{x |x <0或x ≥5}答案：B解析：借助数轴直观选择．3．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( )A ．{0,1,2,6}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}答案：C解析：直接进行交并运算．4．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 必然不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D解析：由集合中元素的互异性可知．5．设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{1,2,3}，概念A *B ＝{z |z ＝xy ＋1，x ∈A ，y ∈B }，则A *B 集合中真子集的个数是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：B解析：A *B ＝{1,2,3,4}，故集合中有4个元素，则真子集有24－1＝15个．6．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝8}，则A ∩B ＝( )A ．{(3,2)}B ．{3,2}C ．{(2,3)}D ．{2,3}答案：A解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝12x ＋y ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2.7．已知集合A ＝{x ∈R |x <5－2}，B ＝{1,2,3,4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{1,2,3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{4}答案：D解析：借助数轴直观判断．8．设集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x ∈R |2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是( )A ．P ∩Q ＝PB ．P ∩Q QQ P。
人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(33)
第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若命题 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p 为 ( ) A ． ∀x ∈Z ，e x <1 B ． ∀x ∈Z ，e x ≥1 C ． ∀x ∉Z ，e x <1D ． ∀x ∉Z ，e x ≥12. 已知 a,b ∈R ，则“1<b <a ”是“a −1>∣b −1∣”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题是 ( ) A ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 B ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 C ．若 a ，b 不全是偶数，则 a +b 不是偶数 D ．若 a +b 不是偶数，则 a ，b 不全是偶数4. 已知 x ∈R ，则“x 2>x ”是“x >1”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5. 下列表示正确的个数是 ( )（1）0∉∅；（2）∅⊆{1,2}；（3）{(x,y )∣∣∣{2x +y =10,3x −y =5}={3,4}；（4）若 A ⊆B 则 A ∩B =A A ． 3 B ． 4 C ． 2 D ． 16. 命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是 ( ) A ． ∃x 0∈R ，(13)x 0<0B ． ∀x ∈R ，(13)x≤0 C ． ∀x ∈R ，(13)x<0D ． ∃x 0∈R ，(13)x 0≤07. 已知集合 A ={x∣x ≤1}，B ={x∣−1<x <2}，则 (∁RA )∩B 等于 ( ) A ． {x∣1<x <2}B ． {x∣x >1}C ． {x∣1≤x <2}D ． {x∣x ≥1}8. 已知集合 M 中的元素 x 满足 x =a +√2b ，其中 a,b ∈Z ，则下列实数中不属于集合 M 中元素的个数是 ( )① 0；② −1；③ 3√2−1；④ 3−2√2；⑤ √8；⑥ 1−√2A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39. 设 x ，y 均为实数，则“x =0”是“xy =0”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 已知集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ． {2}B ． {1,2}C ． {0,2}D ． {0,1,2}11. 已知集合 A ={x∣ x =3n +2,n ∈N }，B ={6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为 ( ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 212. 命题“∀x ∈R ，2x 2−1≤0”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈R ，2x 2−1≥0 B ． ∃x ∈R ，2x 2−1≤0 C ． ∃x ∈R ，2x 2−1>0D ． ∀x ∈R ，2x 2−1>0二、填空题（共4题）13. 若对于两个由实数构成的集合 X ，Y ，集合的运算 X ⊕Y 定义为：X ⊕Y ={x +y∣ x ∈X,y ∈Y }；集合的运算 X ⊗Y 定义为：X ⊗Y ={x ⋅y∣ x ∈X,y ∈Y }，已知实数集合 X ={a +b √2∣ a,b ∈Q}，X ={a +b √3∣ a,b ∈Q}．试写出一个实数 m ，使得 m ∈X ⊗Y 但 m ∉X ⊕Y ，则 m = ．14. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y =2a 与函数 y =∣x −a ∣−1 的图象只有一个交点，则 a的值为 ．15. 若 f (x ) 是偶函数，其定义域为 (−∞,+∞)，且在[0,+∞) 上单调递减，设 f (−32)=m ，f (a 2+2a +52)=n ，则 m ，n 的大小关系是 ．16. 已知集合 M ={x∣ x >2}，集合 N ={x∣ x ≤1}，则 M ∪N = ．三、解答题（共6题）17.判断下列命题中p是q的什么条件．(1) p:x>1，q:x2>1；(2) p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(3) 若a,b∈R，p:a2+b2=0，q:a=b=0．18.设集合A={x∈N∣ x<4}，B={3,4,5,6}．(1) 用列举法写出集合A．(2) 求A∩B和A∪B．19.已知集合A={x∣ x2−ax+a2−19=0}，B={x∣ x2−5x+6=0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）∅⫋(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．21.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？22.已知集合A={x∣ −4<x<6}，B={x∣ x2−4ax+3a2=0}．(1) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围；(2) 若A∪B=A，求实数a的取值范围．答案一、选择题（共12题） 1. 【答案】B【解析】若命题为 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1， 则 ¬p:∀x 0∈Z ，e x ≥1． 故选：B ．【知识点】全（特）称命题的否定2. 【答案】B【解析】因为 a −1>∣b −1∣⇔1−a <b −1<a −1⇔{2<a +b,b <a,所以当 1<b <a 时，a −1>∣b −1∣ 成立；当 a −1>∣b −1∣ 成立时，如取 b =12，a =2，此时 1<b <a 不成立， 所以 1<b <a 是 a −1>∣b −1∣ 的充分不必要条件． 【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】C【解析】否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题为：若 a ，b 不都是偶数，则 a +b 不是偶数． 【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】全称命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“>”改为“≤”，即“∃x 0∈R ，(13)x 0≤0”.【知识点】全（特）称命题的否定7. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】当 a =b =0 时，x =0；当 a =−1，b =0 时，x =−1； 当 a =−1，b =3 时，x =−1+3√2；3−2√2=√2)(3−2√2)(3+2√2)=6+4√2，即 a =6，b =4；当 a =0，b =2 时，x =2√2=√8；1−√2=√2(1−√2)(1+√2)=−1−√2，即 a =−1，b =−1．综上所述：0，−1，3√2−1，3−2√2，√8，1−√2 都是集合 M 中的元素． 【知识点】元素和集合的关系9. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }={−2,−1,0,1,2}，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，∁U B ={x ∣∣x ≥2且x =0}， 所以图中阴影部分表示的集合为 A ∩(∁U B )={0,2}． 【知识点】集合基本运算的Venn 图示11. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】C【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共4题）13. 【答案】可填“(1+√2)(1+√3)”等【知识点】交、并、补集运算14. 【答案】 −12【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 m ≥n【知识点】抽象函数、函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为“x>1”能推出“x2>1”，即p⇒q，但“x2>1”推不出“x>1”，如x=−2，即q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．(2) 因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，即p⇏q，但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3) 若a2+b2=0，则a=b=0，即p⇒q；若a=b=0，则a2+b2=0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】(1) 因为集合A={x∈N∣ x<4}，所以A={0,1,2,3}．(2) 因为B={3,4,5,6}，所以A∩B={3}，A∪B={0,1,2,3,4,5,6}．【知识点】交、并、补集运算、集合的表示方法19. 【答案】假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}．因为A∪B=B，所以A⊆B，即A=B或A⫋B．由条件（1）A≠B，可知A⫋B．又因为∅⫋(A∩B)，所以A≠∅，即A={2}或{3}．当A={2}时，代入得a2−2a−15=0，即a=−3或a=5．经检验a=−3时，A={2,−5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去．当A={3}时，代入得a2−3a−10=0，即a=5或a=−2．经检验a=−2时，A={3,−5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算20. 【答案】(1) A={2,3,4,5}．(2) B={−3,3}．(3) C={2,3,5,7}．(4) D={(1,4)}．【知识点】集合的概念21. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】(1) a≤−4或a≥6．<a<2．(2) −43【知识点】交、并、补集运算。
2023版新教材高中数学滚动练习一第一章集合与常用逻辑用语新人教B版必修第一册
滚动练习一 第一章 章末质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各组集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C.M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}2．[2020·新高考Ⅰ卷]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝( )A.{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}3.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，集合B＝{2，4，5}，则图中的阴影部分表示( )A.{2，4} B．{1，3}C.{5} D．{2，3，4，5}4．设集合M＝{x|x>2}，N＝{x|x<3}，那么“x∈M且x∈N”是“x∈M∩N”的( )A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁R A)∩B＝( )A.{2} B．{4，5}C.{3，4} D．{2，3}6．已知∀x∈[0，2]，p>x；∃x∈[0，2]，q>x.那么p，q的取值范围分别为( )A.p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞) B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)C.p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞) D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)7．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC.(A∩B)∩∁I C D．(A∩∁I B)∩C8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a 的取值为( )A.a>－ B．a≥－C.a＝－ D．a＝－或1二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知A、B为实数集R的非空集合，则A B的必要不充分条件可以是( )A.A∩B＝A B．A∩(∁R B)＝∅R A D．B∪(∁R A)＝RC.∁R B∁10．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A.∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝011．已知p：x<－1，则下列选项中是p的充分不必要条件的是( )A.x<－1 B．x<－2C.－8<x<2 D．－10<x<－312．对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，则称A⊕B为集合A，B 的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是( )A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝(∁R A)⊕(∁R B)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．用列举法表示集合M＝＝________．14．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________．15．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)16．设p：－m≤x≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)设m为实数，集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m＋2}．(1)若m＝3，求A∪B，∁R(A∩B)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．18．(12分)已知p：实数x满足a<x<4a(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p与q都为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀m∈R，<0；(2)q：圆上任意一点到圆心的距离是r；(3)r：∃x，y∈Z，2x＋4y＝；(4)s：存在一个无理数，它的立方是有理数．20．(12分)在①∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，②存在集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}，使得A∩B＝∅，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求问题中实数a的取值范围．问题：求实数a，使得命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q：__________，都是真命题．(若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分．)21.(12分)已知p：∀x∈R，m＜x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q 都是真命题，求实数m的取值范围．22．(12分)已知命题“关于x的方程x2＋mx＋2m＋5＝0有两个不相等的实数根”是假命题．(1)求实数m的取值集合A；(2)设集合B＝{x|1－2a≤x≤a－1}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．滚动练习一 第一章 章末质量检测1．解析：对于A，集合M＝{(3，2)}表示含有点(3，2)的集合，N＝{(2，3)}表示含有点(2，3)的集合，显然不是同一集合，故A错误；对于B，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点组成的集合，集合N＝R为数集，故B错误；对于C，集合M、N均表示含有4，5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；对于D，集合M表示的是数集，集合N为点集，故D错误．答案：C2．解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}．答案：C3．解析：根据题意可得阴影部分表示B∩(∁U A)，而∁U A＝{1，5，6}，所以B∩(∁U A)＝{5}．答案：C4．解析：当x∈M且x∈N成立时，根据集合的交集定义可知：x∈M∩N，当x∈M∩N成立时，根据集合的交集定义可知：x∈M且x∈N，故“x∈M且x∈N”是“x∈M∩N”的充分必要条件．答案：C5．解析：因为A＝{x|－2<x<4}，所以∁R A＝{x|x≤－2或x≥4}．所以(∁R A)∩B ＝{4，5}．答案：B6．解析：由∀x∈[0，2]，p>x，得p>2.由∃x∈[0，2]，q>x，得q>0.所以p，q 的取值范围分别为(2，＋∞)和(0，＋∞).答案：C7．解析：补集∁I B画成Venn图如图(1)，交集A∩∁I B画成Venn图如图(2)，而(A∩∁I B)∩C画成Venn图就是题目的Venn图．答案：D8．解析：若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意，②当a≠1时，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－，综上所述，a＝－或1.答案：DR A是A B的充分必要条件，9．解析：因为A B⇔∁R B∁R A，所以∁R B∁因为A B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩(∁R B)＝∅⇔B∪(∁R A)＝R.答案：ABD10．解析：由条件可知：原命题为存在量词命题且为假命题，所以排除B，D；又因为x2－x＋＝(x－)2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以A，C均为假命题，否定为真命题．答案：AC11．解析：设选项的不等式对应的集合为M，N＝{x|x<－1}，如果集合M是N的真子集，则该选项是p的充分不必要条件．选项A对应的集合M＝N，所以该选项是p的充要条件；选项C是p的非充分非必要条件．只有选项B，D的不等式对应的集合M是N的真子集．答案：BD12．解析：对于A选项，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即选项A正确；对于B选项，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即选项B正确；对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即选项C 错误；对于D选项，A＝B时，A⊕B＝∅，(∁R A)⊕(∁R B)＝∅＝A⊕B，D正确．答案：ABD13．答案：{0，1，2，3，5，11}14．解析：由A∪B＝A，即B⊆A，故B＝∅，{－1}，{3}．若B＝∅时，方程ax－2＝0无解，a＝0 ；若B＝{－1}，则 －a－2＝0，所以a＝－2 ；若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝.综上：a＝0，或a＝－2，或a＝.答案：15．解析：由“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，由“A∩{0，1}＝{0}”推不出“A＝{0}”，例如：A＝{0，2}时也有A∩{0，1}＝{0}，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：必要不充分16．解析：设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以所以0＜m≤1，所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，则B⊆A，所以所以m≥4，则m的最小值为4.答案：1 417．解析：(1)若m＝3，则B＝{x|3≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤5}，又因为A∩B＝{x|3≤x≤4}，所以∁R(A∩B)＝{x|x<3或x>4}．(2)因为A∩B＝∅，所以m＋2<－1或m>4，所以m<－3或m>4.18．解析：(1)若a＝1，p为真，p：1<x<4，q为真：2<x≤5，因为p，q都为真，所以x的取值范围为2<x<4.(2)设A＝{x|a<x<4a}，B＝{x|2<x≤5}因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以解得<a≤2.综上所述，a的范围为.19．解析：(1)¬p：∃m∈R，≥0.－m2－1＜0，所以<0，p是真命题，所以¬p是假命题．(2)¬q：圆上存在一点到圆心的距离不是r；因为q是真命题，所以¬q是假命题．(3)¬r：∀x，y∈Z，2x＋4y≠；若x，y∈Z，则2x＋4y也是整数，不可能等于，所以r是假命题，所以¬r是真命题．(4)¬s：任意一个无理数，它的立方都不是有理数．是无理数，()3＝2是有理数，所以s是真命题，¬s是假命题．20．解析：选条件①由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立．因为x∈{x|1≤x≤2}，则1≤x2≤4，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.又因为p，q都为真命题，所以所以a≤－2或a＝1.所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．选条件②由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立．因为x∈{x|1≤x≤2}，则1≤x2≤4.所以a≤1.因为集合B＝{x|a<x<3a}，又A∩B＝∅，则当B≠∅时，a<3a，且a≥4或3a≤2，解得0<a≤或a≥4.当B＝∅时，a≥3a，解得a≤0.又因为p，q都为真命题，所以解得a≤.所以实数a的取值范围是(－∞，].21．解析：由x∈R得x2－1≥－1，若p：∀x∈R，m＜x2－1为真命题，则m＜－1.若q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.因为p，q都是真命题，所以所以－2≤m＜－1.所以实数m的取值范围为[－2，－1).22．解析：(1)若命题“关于x的方程x2＋mx＋2m＋5＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则Δ＝m2－4(2m＋5)>0，解得m>10或m<－2.则当该命题是假命题时，可得A ＝{m|－2≤m≤10}．(2)因为A＝{m|－2≤m≤10}，x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A B，所以B≠∅，即解得a≥11，所以实数a的取值范围为[11，＋∞).。
高中数学必修一 第一章章末检测(含答案解析)
第一章章末检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．设集合 M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是 2 的倍数}，则 M ∩N 等于( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 2．若集合 A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则 A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅3．若ax 2a >0)，且 f ( 2)，则 a 等于( )A ．12B ．12C.0 D ．2 4．若函数 f (x )满足 f (3x ＋2)＝9x ＋8，则 f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2 或 f (x )＝－3x －45．设全集 U ＝{1,2,3,4,5}，集合 M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则 N ∩(∁U M )等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5}6. 已知函数 f (x )＝1在区间[1,2]上的最大值为 A ，最小值为 B ，则 A －B 等于( )xA.1 2B. －1 2C.1 D ．－1 7.f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x (－∞，－1]上递增，则 a 的取值范围是( ) A ．a B a ≤ 3 C ．0<D a <0＋3 (x >10)8.设 f (x )f (x ＋5)) (x ≤10)，则 f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．169．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 为偶函数，则 f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C. 有增有减 D ．增减性不确定10. 设 集 合 A ＝[01 1 ， )，B ＝[ ，1]，函数 f (x )＝＋1， x ∈A2 ，若 x 0∈A ，且 f [f (x 0)] 2 2 ∈A ，则 x 0 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(11 ， ](1－x )， x ∈B4 4 2 C ．(1，1) D ．[0，3]4 2 8 11. 若函数 f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数 x 都有 f (2＋x )＝f (2－x )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 12. 若 f (x )和 g (x )都是奇函数，且 F (x )＝f (x )＋g (x )＋2，在(0，＋∞)上有最大值 8，则在(－∞，0)上 F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 已知函数 y ＝f (x )是 R 上的增函数，且 f (m ＋3)≤f (5)，则实数 m 的取值范围是 ．14. 函数 f (x )＝－x 2＋2x ＋3 在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为 ．15. 若函数 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a为奇函数，则实数 a ＝ .x16.如图，已知函数 f (x )的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式 f (x )－f (－x )>－1 的解集是 ．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17．(10 分)设集合 A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中 p 、q 为常数，x∈R ，当 A ∩B ＝{12}时，求 p 、q 的值和 A ∪B .18．(12 分)已知函数 f (x )＝x ＋2，x －6(1)点(3,14)在 f (x )的图象上吗？ (2)当 x ＝4 时，求 f (x )的值； (3)当 f (x )＝2 时，求 x 的值．19．(12 分)函数 f (x )是 R 上的偶函数，且当 x >0 时，函数的解析式为 f (x )＝2－1.x(1) 用定义证明 f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2) 求当 x <0 时，函数的解析式．20．(12 分)函数 f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2 在区间[0,2]上有最小值 3，求 a 的值．21．(12 分)已知函数 f (x )对一切实数 x ，y ∈R 都有 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当 x >0 时，f (x )<0，又 f (3)＝－2.(1) 试判定该函数的奇偶性；(2) 试判断该函数在 R 上的单调性；(3) 求 f (x )在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12 分)已知函数 y ＝x ＋ t有如下性质：如果常数xt >0，那么该函数在(0， t ]上是减函数，在[ t ，＋∞)上是增函数．(1) 已知 f (x ) 4x 2－12x －3x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数 f (x )的单调区间和值域；＝ ，2x ＋1(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a 的值．第一章章末检测答案解析1．C [因为N＝{x|x 是2 的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}，所以C 正确．]2．C [A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|yA∩B＝{x|0≤x≤1}．]3．A [f( 2)＝2a－2＝2，∴a＝124．B [f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.]5．C [∁U M＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]6．A [f(x)＝1在[1,2]上递减，x∴f(1)＝A，f(2)＝B，∴A－B＝f(1)－f(2)＝1－1＝1.]2 27．D [由题意知a<0，－a3－a≥－1，2a－a22＋1≥－1，即a2≤3.a<0.]8．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.]9．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3 的图象知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 10．C [∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋1∈B，2∴f[f(x0)]＝f(x0＋1)＝2(1－x0－1)，2 2即f[f(x0)]＝1－2x0∈A，所以0≤1－2x0<1，2即1<x0≤1，又x0∈A，4 2∴1<x0<1，故选C.]4 211．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，在x<2 时y＝f(x)为减函数．∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)，即f(2)<f(1)<f(4)．]＝－ ≠，， 12．D [由题意知 f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值 6，因 f (x )和 g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，即 f (x )＋g (x )也是奇函数，所以 f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6， ∴F (x )＝f (x )＋g (x )＋2 在(－∞，0)上有最小值－4.]13．m ≤2解析 由函数单调性可知，由 f (m ＋3)≤f (5)有 m ＋3≤5， 故 m ≤2. 14．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由 f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为 f (x )在[－2,3]上的最小值，即 f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f (－x )＝－f (x )， x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＋(a ＋1)x ＋a 即 ＝－ ，－xx ∴(a ＋1)x ＝0 对 x ≠0 恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－1)∪[0,1)2解析 由题中图象知，当 x ≠0 时，f (－x )＝－f (x )，所以 f (x )－[－f (x )]>－1，∴f (x )>－1，2 由题图可知，此时－1<x <－1或 0<x <1.当 x ＝0 时，2f (0)＝－1，f (0)－f (－0)＝－1＋1＝0,0>－1 满足条件．因此其解集是{x |－1<x <－12 0≤x <1}．17．解 ∵A ∩B ＝{1 2 }，∴1∈A .2∴2( 1)2＋3p (1 2 2)＋2＝0.∴p ＝－5.∴A ＝{1，2}．3 2 又∵A ∩B ＝ 1 1B .∴ 1 2 { }，∴ ∈2 21 2( ) ＋2 ＋q ＝0.∴q ＝－1.2 ∴B ＝{1，－1}．∴A ∪B ＝{－1 12 22}．18．解 (1)∵f (3) 3＋2 5 14. 3－63 ∴点(3,14)不在 f (x )的图象上．(2)当 x ＝4 时，f (4) 4＋2 ＝ ＝－3. 4－6 (3)若 f (x )＝2，则x ＋2＝2，x －6∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14. 19．(1)证明 设 0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝( 2 －1)－( 2－1)x 1 x 2＝ 或2(x 2－x 1) ＝ ，x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即 f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (2)解 设 x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－ 2－1，x又 f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2－1，x 即 f (x )＝－2－1(x <0)． x20．解 ∵f (x )＝4(x －a)2－2a ＋2，2①当a≤0，即 a ≤0 时，函数 f (x )在[0,2]上是增函数．2∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋由 a 2－2a ＋2＝3，得 a ＝∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当 0<a<2，即 0<a <4 时，2 f (x )min ＝f (a)＝－2a ＋2.2由－2a ＋2＝3，得 a ＝－ 1∉(0,4)，舍去．2③当a≥2，即 a ≥4 时，函数 f (x )在[0,2]上是减函数，2f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由 a 2－10a ＋18 a ＝∵a ≥4，∴a ＝5综上所述，a ＝1 a ＝521．解 (1)令 x ＝y ＝0，得 f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0) ＝2f (0)，∴f (0)＝0.令 y ＝－x ，得 f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)任取 x 1<x 2，则 x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即 f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在 R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大．又 f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是 8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x ) 4x 2－12x －3 4＝ ＝2x ＋1＋ －8，2x ＋1设 u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，2x ＋1≤ 则 y ＝u ＋4－8，u ∈[1,3]．u由已知性质得，当 1≤u ≤2，即 0≤x 1时， 2所以减区间为[0，1]；2f (x )单调递减；当 2≤u ≤3，即 1≤x ≤1 时，f (x )单调递增；2 所以增区间为[1，1]；2 由 f (0)＝－3， f (1)＝－4，f (1)＝－11 2 3得 f (x )的值域为[－4，－3]． (2) g (x )＝－x －2a 为减函数，故 g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意，f (x )的值域是 g (x )的值域的子集，1－2a ≤－4 2a ≥－3∴a ＝32 . ，。
人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(37)
第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若集合 M ={x∣ x <2}，N ={x∣ 0≤x ≤1}，则 M ∩N = ( ) A ． [0,1] B ． [0,2] C ． [1,2) D ． (−∞,2]2. 已知集合 A ={−1,0,1}，B ={x∣ −1≤x <1}，则 A ∩B = ( ) A ． {−1,0,1} B ． {0} C ． {0,1} D ． {−1,0}3. 已知 A ={x∣ x <1}，B ={x∣ 2x +1<2}，则 A ∩B = ( ) A ． {x ∣∣x <12}B ． {x ∣∣12<x <1}C ． {x∣ x <1}D ． R4. 命题“∃x ∈R ，使得 x 2+2x +3=0”的否定是 ( ) A ． ∃x ∈R ，使得 x 2+2x +3≠0 B ． ∀x ∈R ，都有 x 2+2x +3=0 C ． ∀x ∈R ，都有 x 2+2x +3≠0D ． ∀x ∉R ，都有 x 2+2x +3≠05. 命题 p:∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，则命题 p 的否定是 ( )A ． ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1>0B ． ∀x ∈R ，x 2+x +1≥0C ． ∀x ∈R ，x 2+x +1>0D ． ∀x ∈R ，x 2+x +1≤06. 已知集合 A ={x∣ lgx >0}，B ={x∣ x 2≤4}，则 A ∩B = ( ) A ． (1,2) B ． (1,2] C ． (0,2] D ． (1,+∞)7. 已知 U ={1,2,3,4}，A ={1,3,4}，B ={2,3,4}，那么 ∁U (A ∩B )= ( ) A ． {1,2} B ． {3,4} C ． ∅ D ． {1,2,3,4}8. 已知集合 M ={x∣ x 2−2<0}，N ={−2,−1,0,1,2}，则 M ∩N = ( ) A ． ∅ B ． {1} C ． {0,1} D ． {−1,0,1}9. 命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) A ．所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B ．所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D ．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数10. 命题“∃x ∈(1,+∞)，x 2+1≤3x ”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈(−∞,1]，x 2+1>3x B ． ∀x ∈(1,+∞)，x 2+1≤3xC ． ∃x ∈(−∞,1]，x 2+1≤3xD ． ∀x ∈(1,+∞)，x 2+1>3x11.由大于−3且小于11的偶数组成的集合是( )A．{x∣ −3<x<11,x∈Q}B．{x∣ −3<x<11}C．{x∣ −3<x<11,x=2k,x∈Q}D．{x∣ −3<x<11,x=2k,k∈Z}12.已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题（共4题）13.π是（选填“有理数”“无理数”）．14.设M={x∣1<x<3}，N={x∣2≤x<4}，定义M与N的差集M−N={x∣∣x∈M且x∉N}，则M−N=．15.已知集合A={−1,1,2}，B={0,1}，则A∪B=．16.设集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 0≤x≤4}，则A∩B=．三、解答题（共6题）17.下列命题中，α是β的充分条件吗？(1) α:a>b，β:ac>bc；(2) α：同位角相等，β：两直线平行．18.如何理解并集的含义？19.已知集合A={x∣ a−1<x<2a+1}，B={x∣ 0<x<1}．，求A∩B；(1) 若a=12(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．20.如何理解交集的含义？21.集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．22.若集合A={x∣ −5≤x<1}，B={x∣ x≤2}，求A∪B．答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【解析】因为M={x∣ x<2}，N={x∣ 0≤x≤1}，所以M∩N={x∣ 0≤x≤1}．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】D【解析】由题意可得A∩B={−1,0}、【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A}，【解析】因为A={x∣ x<1}，B={x∣∣x<12}．所以A∩B={x∣∣x<12【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】C【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，命题“∃x∈R，使得x2+2x+3=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3≠0”．故选C．【知识点】全（特）称命题的否定5. 【答案】C【解析】否定要把∃改为∀，≤改为>，故选C．【知识点】全（特）称命题的否定6. 【答案】B【解析】A=(1,+∞)，B=[−2,2]，故A∩B=(1,2]，故选B．【知识点】交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】易知A∩B={3,4}，故∁U(A∩B)={1,2}，故选A．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】由x2−2x<0，得x∈(0,2)，所以M∩N={1}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【知识点】全（特）称命题的否定10. 【答案】D【知识点】全（特）称命题的否定11. 【答案】D【知识点】集合的表示方法12. 【答案】D【解析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D．【知识点】集合中元素的三个特性二、填空题（共4题）13. 【答案】无理数【知识点】集合的概念14. 【答案】{x∣1<x<2}【解析】将集合M，N在数轴上标出，如图所示．因为M−N={x∣∣x∈M且x∉N}，所以M−N={x∣1<x<2}．【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】{−1,1,0,2}【解析】结合题中所给的集合和并集的定义可得：A∪B={−1,1,0,2}．【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{x∣ 0≤x≤2}【解析】A在数轴上表示出集合A与B，如图．则由交集的定义，A∩B={x∣ 0≤x≤2}．【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) α不是β的充分条件．(2) α是β的充分条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】① A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．②“或”的数字内涵的形象图示如下：③若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次．【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】(1) 当a=12时，A={x∣ −12<x<2}，B={x∣ 0<x<1}，所以A∩B={x∣ 0<x<1}．(2) 若A∩B=∅，则当A=∅时，有a−1≥2a+1，解得a≤−2，符合题意；当A≠∅时，有{a−1<2a+1,2a+1≤0或a−1≥1,解得−2<a≤−12或a≥2．综上，实数a的取值范围为a≤−12或a≥2．【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】①概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B；②当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B=∅．【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】略【知识点】集合的概念22. 【答案】借助于数轴分别画出集合A，B，如图，故A∪B={x∣ x≤2}．【知识点】交、并、补集运算。
人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(49)
第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1.已知集合A={x∣ x2−2x−3≥0}，B={x∣ −2≤x<2}，则A∩B等于( )A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−1,2)D．[1,2)2.设集合U={x∈N∣ 0<x≤8}，S={1,2,4,5}，T={3,5,7}，则S∩(∁U T)=( )A．{1,2,4}B．{1,2,3,4,5,7}C．{1,2}D．{1,2,4,5,6,8}3.“x=3”是“x2=9”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.设p:a>0，q:a2+a>0，那么p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知a=log134，b=log23，c=2−0.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a6.已知集合A={x∣ x2−3x+2=0,x∈R}，B={x∣ 0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1B．2C．3D．47.坐标轴上的点的集合可表示为( )A．{(x,y)∣ x=0,y≠0或x≠0,y=0}B．{(x,y)∣ x2+y2=0}C．{(x,y)∣ xy=0}D．{(x,y)∣ x2+y2≠0}8.设集合M={x∣ x∈Z}，N={x∣ x=n2,n∈Z}，P={x∣ x=n+12,n∈Z}，则下列关系正确的是( )A．N⊆M B．N=M∪P C．N⊆P D．N=M∩P9.已知条件p:∣x+1∣>2，条件q:∣x∣>a，且¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥310.若“b=c=0”是“抛物线y=ax2+bx+c经过原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.设集合M={1,2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件>0成立的充分不必要条件是( )12.不等式1−1xA．x>1B．x>−1C．x<−1或0<x<1D．x<0或x>1二、填空题（共4题）13.集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算：① G={非负整数}，⊕为整数的加法；② G={偶数}，⊕为整数的乘法；③ G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的有．（写出所有“融洽集”的序号）14.设集合S n={1,2,3,⋯,n}，n∈N∗，X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集．若n=4，则S n的所有奇子集的容量之和为．15.设全集U={2,3,a2+2a−3}，A={∣ 2a−1∣ ,2}，∁U A={5}，则实数a=．16.“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．三、解答题（共6题）17.设全集U={x∣ x≤4}，A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 1≤x≤3}．求：(1) (∁U A)∪B；(2) (∁U A)∩(∁U B)．x2+1（如图所示）．18.已知抛物线y=14(1) 填空：抛物线的顶点坐标是，对称轴是．(2) 已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为点B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标．(3) 在（2）的条件下，点M在直线AP上，在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知集合A={a1,a2,a3,⋯,a n}，其中a i∈R(1≤i≤n,n>2)，l(A)表示a i+a j(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数．(1) 已知集合P={2,4,6,8}，Q={2,4,8,16}，分别求l(P)，l(Q)；．(2) 若集合A={2,4,8,⋯,2n}，求证：l(A)=n(n−1)220.已知集合M={x∣ x<−3或x>5}，P={x∣ a≤x≤8}．(1) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的充要条件；(2) 求实数a的一个值，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个充分不必要条件；(3) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个必要不充分条件．21.已知命题p：方程x2−2x−a=0没有实数根；命题q：不等式x2−ax+4>0对一切实数x恒成立．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．22.已知集合A={a∣ a=x2−y2,x,y∈Z}．(1) 证明：2k+1∈A，其中k∈Z；(2) 请你指出集合A中元素所具有的至少三个性质，并加以证明；(3) 根据你的研究，若将A中的正整数由小到大排列，则第2008个数是多少？答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【解析】因为A={x∣ x≤−1或x≥3}，故A∩B=[−2,−1]．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U T={1,2,4,6,8}，所以S∩(∁U T)={1,2,4}．【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A【解析】当x=3时，有x2=9，但当x2=9时，x=3或x=−3，故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】充分性：当a>0时，a+1>0，则a(a+1)=a2+a>0，故充分性成立；必要性：解不等式a2+a>0得a(a+1)>0，即a<−1或a>0，故必要性不成立．所以p是q的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】D【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质6. 【答案】D【解析】因为集合A={1,2}，B={1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件的集合C的个数为4．【知识点】n元集合的子集个数7. 【答案】C【解析】坐标轴上的点的横、纵坐标至少有一个为0．故选C．【知识点】集合的表示方法8. 【答案】B,n∈Z}，【解析】N={x∣ x=n2当n=2k，k∈Z时，N={x∣ x=k,k∈Z}；当n=2k+1，k∈Z时，N={x∣ x=k+12,k∈Z}．故P⊆N，M⊆N，N=M∪P．故选B．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【解析】p:∣x+1∣>2⇒x>1或x<−3，当a≥0时，q:∣x∣>a⇒x>a或x<−a，当a<0时，q:∣x∣>a⇒x∈R，因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，因此p⫋q．从而a<0或{a≥0,a≤1,−a≥−3⇒0≤a≤1，即a≤1．【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件11. 【答案】A【解析】若a=1，则N={1}，故N⊆M．若N⊆M，则a2=1或2，故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A．【知识点】充分条件与必要条件、包含关系、子集与真子集12. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件二、填空题（共4题）13. 【答案】①【解析】根据题意，判断给出的集合对运算⊕是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G的元素；条件（2）的含义是：集合G中存在一个特殊元素e，它与G中任何一个元素a关于运算⊕满足交换律，且运算结果等于a．① G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意a,b∈G，都有a⊕b∈G，且存在e=0，使得a⊕0=0⊕a=a，所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”；② G= {偶数}，⊕为整数的乘法，若存在e∈G，使a⊕e=e⊕a=a，则e=1，与e∈G矛盾，所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”；③ G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”．综上所述，G关于运算⊕为“融洽集”的只有①．【知识点】元素和集合的关系14. 【答案】7【解析】根据题意，S4的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1+3+3=7．【知识点】包含关系、子集与真子集15. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】必要非充分．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为U={x∣ x≤4}，A={x∣ −1≤x≤2}，所以∁U A={x∣ x<−1或2<x≤4}．因为B={x∣ 1≤x≤3}，所以(∁U A)∪B={x∣ x<−1或1≤x≤4}．(2) 因为U={x∣ x≤4}，B={x∣ 1≤x≤3}，所以∁U B={x∣ x<1或3<x≤4}，所以(∁U A)∩(∁U B)={x∣ x<−1或3<x≤4}．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】(1) (0,1)；y轴（或直线x=0）(2) 如图所示，因为△PAB是等边三角形，所以∠ABO=90∘−60∘=30∘．所以AB=2OA=4，所以PB=4．x2+1，得x=±2√3．方法一；把y=4代入y=14所以P1(2√3,4)，P2(−2√3,4)．方法二：因为OB=√AB2−OA2=2√3，所以P1(2√3,4)．根据抛物线的对称性，得P2(−2√3,4)．(3) 存在．因为四边形OAMN为菱形，所以AP∥ON．设直线AP1:y=kx+b，将点A(0,2)，P1(2√3,4)的坐标分别代入，，b=2，得k=√33所以y=√33x+2．故点N在直线y=√33x上，设N(x0,√33x0)，则x02+(√33x0)2=4，解得x0=±√3，所以N1(√3,1)，N2(−√3,−1)．同理得点M在直线AP2上时，N3(−√3,1)，N4(√3,−1)．综上所述，所有满足条件的点N的坐标分别为(√3,1)，(−√3,−1)，(−√3,1)，(√3,−1)．【知识点】二次函数的性质与图像19. 【答案】(1) 由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l(P)=5，由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l(Q)=6．(2) 因为a i+a j(1≤i<j≤n)共有(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+4+3+2+1=n(n−1)2个值，所以l(A)≤n(n−1)2．又集合A={2,4,8,⋯,2n}，不妨设a m=2m，m=1,2,⋯,n．a i+a j，a k+a l（1≤i<j≤n，1≤k<l≤n），当j≠l时，不妨设j<l，则a i+a j<2a j=2j+1≤a l<a k+a l，即a i+a j≠a k+a l，当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l，因此当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j(1≤i<j≤n)的值两两不同，因此l(A)=n(n−1)2．【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】(1) M∩P={x∣ 5<x≤8}的充要条件是−3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a∣ −3≤a≤5}．(2) 显然，满足−3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P={x∣ 5<x≤8}的充分不必要条件．比如a=0．(3) 若a=−5，显然M∩P={x∣ −5≤x<−3或5<x≤8}，则a=−5是M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<−3时符合题意，则实数a的取值范围是{a∣ a<−3}．【知识点】充分条件与必要条件21. 【答案】当命题 p 是真命题时，应用 4+4a <0，解得 a <−1；当命题 q 是填命题时，应有 a 2−16<0，解得 −4<a <4． 所以当命题 p 与 q 都是真命题时，a 应满足 {a <−1,−4<a <4,即 −4<a <−1，因此，实数 a 的取值范围是 (−4,−1)． 【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断22. 【答案】(1) 2k +1=(k +1)2−k 2，则 2k +1∈A ．(2) 1=12−02，3=22−12，4=22−02，5=32−22，7=42−32，8=32−12，⋯⋯ ① 4k ∈A ，其中 k ∈Z ；证明：4k =(k +1)2−(k −1)2，则 4k ∈A ． ② 4k +2∉A ，其中 k ∈Z ；证明：假设 4k +2∈A ，即 4k +2=x 2−y 2，也即 2(2k +1)=(x +y )(x −y )． 因为 x +y 与 x −y 的奇偶性相同，所以 x +y 与 x −y 都为偶数． 则 x 2−y 2=(x +y )(x −y ) 是 4 的倍数，与 2(2k +1) 不是 4 的倍数矛盾． 故 4k +2∉A ． ③ A ⫋Z ；证明：a =x 2−y 2=(x +y )(x −y )∈Z ，但 2∉A ，则 A ⫋Z ． ④ A 为无穷集；证明：2k +1∈A ，奇数有无穷多个，则 A 为无穷集． ⑤集合 A 中的元素在数轴上关于原点对称；证明：若 a =x 2−y 2∈A ，则 −a =y 2−x 2∈A ，所以集合 A 中的元素关于原点对称． ⑥所有的完全平方数属于 A ； 证明：a =x 2=x 2−02．⑦集合 A 中的两个元素的积仍属于集合 A ；证明：设 a,b ∈A ，则 ab =(x 12−y 12)(x 22−y 22)=x 12x 22−x 12y 22−x 22y 12+y 12y 22=(x 1x 2+y 1y 2)2−(x 1y 2+x 2y 1)2， 所以 ab ∈A ． ⋯⋯⋯⋯(3) 2008÷3=669⋯1，669×4+1=2677，则第 2008 个数是 2677． 【知识点】包含关系、子集与真子集、元素和集合的关系。
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章末检测
一、选择题
1．设P ＝{x|x<4}，Q ＝{x|x 2<4}，则 ( B ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P ⊆∁R Q D ．Q ⊆∁R P 2．已知集合M ＝{1,2}，则集合M 的子集个数为 ( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．符合条件{a}ØP ⊆{a ，b ，c}的集合P 的个数是 ( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．若集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A∩B 等于
(
C )
A ．{x|－1≤x≤1}
B ．{x|x≥0}
C ．{x |0≤x≤1}
D ．∅
5．已知集合A 中有且仅有两个元素2－a 和a 2
，且a ∈R ，则A 中一定不含元素 ( D ) A ．0和1 B ．1和－2 C ．－1和2 D ．1和4
6．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e}，集合M ＝{a ，b ，c}，N ＝{b ，d ，e}，那么∁I M∩∁I N 等于 ( A ) A ．∅ B ．{d} C ．{b ，e} D ．{a ，c}
7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R|x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为 ( B ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}
8．有下列说法：
①0与{0}表示同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4<x<5}是有限集. 其中正确的说法是 ( C ) A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有② D ．以上四种说法都不对
9．已知全集I ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合M ＝{3,4,5}，集合N ＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是 ( D ) A ．M ∪N B ．M∩N C ．∁I M ∪∁I N D ．∁I M∩∁I N
10．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N∩∁I M ＝∅，则M ∪N 等于 ( A ) A ．M B ．N C ．I D ．∅
11．已知集合A ＝{x|x<3或x≥7}，B ＝{x|x<a}．若∁R A∩B≠∅，则a 的取值范围为 ( A ) A ．a>3 B ．a≥3 C ．a≥7 D ．a>7
12．已知集合A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B ＝{1,3}，∁U A∩B ＝{5}，则集合B 等于 ( D ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{1,5} D ．{1,3,5} 二、填空题
13．已知P ＝{x|x ＝a 2＋1，a ∈R}，Q ＝{x|x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R}，则P 与Q 的关系为_ P ＝Q _． 14．已知全集U ＝{3,7，a 2－2a －3}，A ＝{7，|a －7|}，∁U A ＝{5}，则a ＝__4__. 15．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”则A 中孤立元素的个数为_1_．
16．用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为_{(x ，y)|－1≤x≤2，－1
2
≤y≤1，且xy≥0}_．
三、解答题
17．(12分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x ≤3}，N ＝{x|x<1}，求M ∪N ，∁U M∩N ，∁U M ∪∁U N.
18．A ＝{x|－2＜x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x|a≤x ＜b}，A ∪B ＝{x|x ＞－2}，A∩B ＝{x|1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值． 解：∵A∩B ＝{x|1＜x ＜3}，
∴b ＝3，又A ∪B ＝{x|x ＞－2}，
∴－2＜a ≤－1，又A∩B ＝{x|1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1，∴a ＝－1.
19．已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且当a∈M时，也有6－a∈M，试求所有这样的集合M.
解：由a∈M，且6－a∈M，知当1∈M时，必有5∈M；
当2∈M时，必有4∈M；又3＝6－3，
∴集合M可以是{3}、{1,5}、{2,4}、{1,3,5}、{2,3,4}、{1,2,4,5}和{1,2,3,4,5}．
20．设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{3}，
∴3∈B，
∴32＋3c＋15＝0，
∴c＝－8.
由方程x2－8x＋15＝0解得x＝3或x＝5，
∴B＝{3,5}．
由A⊆(A∪B)＝{3,5}知，
3∈A,5 A
(否则5∈A∩B，与A∩B＝{3}矛盾)，
故必有A＝{3}，
∴方程x2＋ax＋b＝0有两相同的根3，
由根与系数的关系得3＋3＝－a,3×3＝b，
即a＝－6，b＝9，c＝－8.
21．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.
解：∵A∩B＝{9}，
∴9∈A，
所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.
当a＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违背了互异性，舍去．
当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，
故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．
当a＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．
综上所述，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．
22．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩∁U B；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：
(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，
∴A＝{x|－2<x<4}．
当m＝3时，由x－m<0，得x<3，
∴B＝{x|x<3}，
∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁U B＝{x|3≤x<4}．
∴A∩∁U B＝{x|3≤x<4}．
(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
又A∩B＝∅，
∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.。