第3章控制系统的时域分析

T
1 t 0 T
可用此方法在单位阶跃响应曲线上确定时间常数T
二．单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数，系统的输出称为单位脉冲 响应。 R( s) L[ (t )] 1 c(t)
1 1 C ( s) R( s) Ts 1 Ts 1 t 1 1 T c(t ) L1[ ] e Ts 1 T
s 2n 1 s ( s n jd )( s n jd )
d n 1 2
n 1 2 s n 1 2 2 2 ( s ) 2 2 s ( s n ) d 1 n d
c(t) 1-e
r(t) t
•
在对系统进行设计时，选择哪种典型的输 入，取决于系统在正常工作情况下最常见的输 入信号形式。
3.2
一阶系统的时域分析
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。
dc(t ) 标准形式 T dt c(t ) r (t ) 传递函数 ( s) C (s) 1 R( s ) Ts 1
2 d n 1 arctg
1 2
d

（2）峰值时间 t p
c(t) 1-e-nt 1 1
2 2
sin(d t )
由
dc(t) dt
t t p
0, 有
n e n
-n t p
1 1
2
sin(d t p ) e-nt
s1
s1, 2 n j n 1
位于平面的左半部
2
n 1 2
s2
n
（2） 1 （临界阻尼）， s1,2 n ，两相等实根
s1 s2
1 s1,2 n n 2 1 ，两不等实根 （3） （过阻尼），
s1 s2
t
四．脉冲函数
0 r (t ) 1 h t 0 及t h
r(t) 1/ h
th
h
t
当 h 0 时，则称为单位脉冲函数。 r(t) t 0 (t) 0 t 0 R(s) 1
t
五．正弦函数
r(t) Asin( t - ) A R(S) 2 0 2 s
1
-n t
cos d t

2
e
-n t
1 2
1 sin(d t )
e
-n t
sin d t
1 2
＝arctan

(2) 0 时
(3) 1时
c(t) 1-sin(d t 90 o ) 1-cos(d t)
2 2 n n 1 1 C (s) 2 2 2 s 2n s n s ( s n ) s 2 n 1 1 2 s ( s n ) s n
二．斜坡函数（速度函数）
r (t ) Rt 0 t 0 t 0 R(S ) 1 S2
R=1时，称为单位斜坡函数。
r( t)
t
r(t)
三．抛物线函数（加速度函数）
Rt 2 t 0 r (t ) t 0 0 1 0 R=1/2时，称为单位抛物线函数。 R( S ) S3
c(t) t - T Te
-
t T
t T
1 2 c( t ) t Tt T 2 (1 e 2
)
3.3 二阶系统的过渡过程
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2 dc(t ) 2 n n 2 c(t ) n 2 r (t ) dt
所以
4 , 0.02时 n ts 3 , 0.05时 n
（5） 振荡次数N
根据定义,振荡次数N 等于在0 t ts时间内系统响应c(t ) 穿越稳态值c()的次数之半, N ts / Td ts n 1 2 / 2 当 =2%时, ts = N 2 1 2 4
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
nt
0 2 4 6 8 10 12
1.定义
上升时间 t r :单位阶跃响应第一次达到稳态值所需时间。
峰值时间
t p：单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
c(t p ) - c() c() 100%
arctg
1 2

sind t p 0,
d t p 0, , 2 ,3 ....... n 1 2
因为第一个峰值时间, 取d t p , 则t p
（3）超调量
p
100%
p
c(t p )-c() c()
-n t p
1/T
0.368 1 T
斜率1/T2
T c(t) T
t T
t
三．单位斜坡响应
1 r(t) t R(s) 2 s 1 1 1 T T2 C(s) 2 2 Ts 1 s s s Ts 1 c(t) t-T Te t 时， e( ) T ,
t T

e(t) r(t)-c(t) T(1-e )
2.性能指标的计算 (1)上升时间 t r
当t t r时 c(tr ) 1,即 c(t r ) 1 e ntr (cos d tr 由此得:tgd tr 得t r 1 arctg ( 1 2
Байду номын сангаас

1
2
sin d tr ) 1

1 2 )
2 2
,a 2
1 2 2 1( 2 1)
c(t) 1－
1 2 2 1( 2 1) 1
2 2
e
－( 2 1)n t

2 1( 1)
e
－( 2 1)n t
(5) -1 0时 c(t) 1－ e
—阻尼比， n —无阻尼自振频率。
闭环传递函数及方框图
n C(s) R(s) s 2 2 n s n 2
2
R(s)
n 2 s 2 2 n s n
2
C(s)
等效的开环传函及方框图
n2 G(S) s(s 2 n ) n -1
c(t) L [ s 2 n s n
e
(cos d t p (cos d t p

1 2
sin d t p ) 100% sin d t p )
=e
-n t p

1 2
cos d sin d 1 2 d d 1 p e
－

1 2
100%
（4）过渡过程时间ts
超调量 p p :
振荡次数 N ：在调整时间内响应过程穿越其稳态值 C() 次数的一半定义为振荡次数。 过渡过程时间ts：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。
|c(t)-c()| c() ，一般取 0.02 0.05 c(t)
2
c() t r tp ts t
第三章 线性系统的时域分析
• 什么是时域分析
指控制系统在一定的输入下，根据输出量 的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳 态性能。
3.1
一．阶跃函数
典型输入信号
r(t)
r (t ) R t 0 0 t 0
R t Rt
R=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(S)=1/S。
T
t
跟踪误差为T。
五．结果分析
输入信号的关系为： 2 3 d d d r脉冲(t ) r阶跃 (t ) 2 r斜坡 (t ) 3 r抛物线(t ) dt dt dt 而时间响应间的关系为：
d d2 d3 c脉冲(t ) c阶跃 (t ) 2 c斜坡 (t ) 3 c抛物线(t ) dt dt dt t 1 T c( t ) e T t c( t ) 1 e T
2 2
R(s)
R(s)]
n s(s 2 n )
2
C(s)
一．二阶系统传递函数的标准形式
1.闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为
s 2 n s n 0
2 2
两根为 s 1,2 n n
1
2
的取值不同,特征根不同。
（1） 0 1 （欠阻尼）有一对共轭复根
d
1
2 2
(cosd t p ) 0
sin(d t p )
n 1 2
1
(cosd t p ) 0

1 1 1
2 2
sin(d t p ) (cosd t p ) 0
sin((d t p ) ) 0
根据 |c(t)-c()| c() |1e-n t 1
2
t ts 1 2
sin(d t arctg

e -n t 1 2
2
) 1 |
C(t)
1 1 1 2
1 e n t 1 2
用包络线代替正弦波： 解得: ts 1 ln 1 1 4 ln 取 0.02, ts
一．单位阶跃响应
1 r (t ) 1(t ) R(s) s 1 1 1 T C ( s) ( s) R( s) Ts 1 s s Ts 1 c(t ) 1 e
t T
1 TS 1
说明: 1. 可以用时间常数去度量系统输出量的数值 t T时, c(t ) 1 e 1 0.632 63.2%