第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制理论时域分析2--二阶系统
c ( tP) c ( ) M 100 % P c ( )
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
第三章-控制系统的时域分析2(第五讲)
s0
10>0
分析:第一列元素变பைடு நூலகம்两次,有两个有正实部的根,不稳定。
第七节 控制系统的稳定性与代数判据
(4)劳斯表计算时零元素的处理 (二)某一行元素全为零时（上两行元素相等或成比例） 处理: 用上一行元素构成辅助多项式并求导，用新多项 式系数替代原为零行元素
例: s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
第八节 控制系统的 稳态误差分析及误差系数
2). 稳定误差的定义和计算
E(s) R(s) G1(s) D(s) G2(s) H(s) Y(s)
B(s)
ess lim e (t ) lim sE ( s )
t s0
e (t ) r (t ) b (t ) e (t ) r (t ) y (t ) 当 H (s) 1
b2 s b1
2
s s pi s 2 k nk s nk
2 i 1 k 1
2
部分分式法：
Y (s) a s
q
j 1
aj s pj
r
k 1
bk ( s k nk ) ck nk 1 k s 2 k nk s nk
1 e
nt
1 nt
n t
负临界阻尼=-1
将各种阻尼下的阶跃响应归纳为：
y (t ) 1 e
0
特征根与单位阶跃响应示意图 s2+2ns+n2=0
y (t ) 1 e
n t
s1,2 = - nn(2-1)
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
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r(t) 1(t) , R(s) 1
(s)
s2
n2 s 2ns n2
n2 s2 n2
s1 n
0
s2
C(s)
n2 s2 n2
1 s
1 s
s2
s n2
c(t
)
L1Cs
L1
1 s
s
2
s
n2
1
c
osnt
当 0时，二阶系统的单位阶跃响应是振幅为1的等幅
振荡，其振荡频率为n ，所以，称 n 为“无阻尼自然
2
dt tg1
1 2 k
x
arctan x arctgx tg1x ,
2 2
2
27
dt arctan
1 2 k
arctan 1 2
dtp 0, ,2 ,
1
1 2
tp为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，
所以应取k＝1，于是
tp
d
n
1 2
>
tr
tr
n
1 2
d
cos ,一定，即一定 当n d tr ,即响应速度越快
26
(3) tp（峰值时间）
c(t) 1
1
1
2
ent
sindt
对上式求导，并令其为零，即 dct 0
1
1
2
nent
s in(d t
)
1
1
dt
2 d
ent
c os (d t
)
0
tg(d t
)
d n
1 2
5
n 1 2
1 0 s1
n
n 1 2
s2
s1,2 n n 2 1
1 s1
s1 n n 2 1
0 1 n 1 2
s1 s2
n
s2 n n 2 1 s2
n 1 2
s1 n
0
s1 s2 n
1
1 s1 n n 2 1
n
s1 s2
s2
s2 n n 2 1
闭环极点分布图
s
n2
0
等自然振荡角频率线
18
c(t) 1
ent
1 2
sin
n
1 2t
表明二阶欠阻尼系统在单位阶跃函数作用下，稳态分量 为1，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为
d ——阻尼振荡频率
问： s n 为什么叫“衰减指数”？
答：包络线 1 ent 1 2 决定系统的收敛速度，
所以称 ent 为“衰减因子”，称 n 为衰减指数。
1 2
sin n
1 2t
t0
17
s1,2 n jn 1 2 x jy
x2 y2 n 2 n
2
1 2
x2 y2 n2
arcsin 1 2 arccos arctan 1 2 等阻尼线 cos
j s1
d
n
s
n
0
等自然振荡角频率线
1 n3 2 3
j
n1 3 2 1 n3 n2 n1
n 1 2
14
Cs
s2
n2 2 n s
n2
1 s
1 s
s
s n
n 2 d2
s
n
n 2
d2
1 s
s
s n
n 2 d2
n d
s
d
n 2
d2
L e-atcost
s
sa
a2 2
L eat sin t
s a2 2
c(t ) 1 ent cosd t
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
24Leabharlann 68 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
s2
2 n
2 n s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
不能振荡。
❖ 较大时，即 1 时，系统可简化为一阶
s1
n
2 1 0
s2 n 2 1 2n
故当 较大时，s2 s1 ，此时c(t)表达式括号里的第一项要
比第二项衰减快的多，因此忽略括号里的第一项，此时
c t
1 1
s2 s1
s1es2t s2es1t
1 1
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
应是等幅振荡的，系统是不稳定的。 7
2 二阶系统的单位阶跃响应
❖过阻尼情况 1
s1 n n 2 1
dc(t ) dt
n 2ent
0
递增曲线
12
(s)
s2
1
2
1s
1
1, 2,10
1.2
1
1
0.8
2
0.6
0.4
10
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
13
❖欠阻尼情况0 1
二阶系统的闭环特征根为
s1
n
s1,2 n jn 1 2 s jd
n
s n ——衰减系数
s2
d n 1 2 n ——阻尼振荡频率
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统的重要性 典型性：工程上最具代表性，高阶系统在工程上常 可近似为二阶系统加以处理。 实用性：二阶系统的性能指标计算简单、精确，便 于工程上分析。
二阶系统的时域分析的主要研究内容
单位阶跃响应
过阻尼情况 无阻尼情况 临界阻尼情况 欠阻尼情况
1
二阶系统分析步骤
给定二阶系统 建立其数学模型
sin
n
1 2t
16
c t 1 ent ent 1 2
1 2 cosdt sin dt
s1
sin 1 2 arcsin 1 2
n
cos
arccos
tan 1 2 arctan 1 2
n
n 1 2
称 为阻尼角
s2
c(t) 1
e nt
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
s1
n
d n 1 2 n
左图表示欠阻尼二阶系
统各特征参量之间的关
系：衰减系数s 是闭环
极点到虚轴的距离；阻
尼振荡频率d 是闭环极
点到实轴的距离；自然
频率n 是闭环极点到原
点的距离。n 与负实轴
的夹角的余弦正好是阻
尼比 ，即
cos
s2
d n 1 2 故称 为阻尼角。
24
（1）td（延迟时间）
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin(n
1 2 t arccos ), 1 0, t 0
或
ct 1
e 2 1 nt
e 2 1 nt
,
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
1, t 0
由于 0 所以指数因子具有正幂指数，因此，系统的动
态过程为发散的形式，从而表明 0 的二阶系统是不 稳定的，所以对于一个稳定的系统其阻尼比 一定是大 于零的。
s2 n n 2 1
二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns n2
输入为阶跃函数 R(s) 1 时，则系统的输出量为：
C(s)
sR(s)
s s2
n2 2ns n2
1 s
c(t ) L1[C(s)] L1[sR(s)]
1
L1
n
(s n)2 s s (s n)2 s n
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为
临界阻尼响应
L1
s
1
an
n
11!t
e n1 at
c(t) 1 ntent ent 1 ent (1 nt), t 0
当 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的
无超调单调上升过程。
判断依据：
超调量仅是阻尼比 的函数，而与自然频率 n 无关。阻 尼比 越大，超调量越小，为了保证既减小超调量又保持
一定的响应速度，工程上一般 0.4 ~ 0.8 30
,
0 1
一定，n td ,延迟时间越短
n一定， td ,延迟时间越短