2017-2018学年高中数学课下能力提升(十八)新人教A版必修4

课下能力提升(十八)
[学业水平达标练]
题组1 向量的坐标表示 1．已知
＝(－2，4)，则下面说法正确的是( )
A ．A 点的坐标是(－2，4)
B ．B 点的坐标是(－2，4)
C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)
D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)
( )
A ．(－2，3)
B ．(2，－3)
C ．(2，3)
D ．(－2，－3)
3．若A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，则
题组2 平面向量的坐标运算
4．设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝( ) A ．(6，3) B ．(7，3) C ．(2，1) D ．(7，2)
5．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则( ) A ．x ＝1，y ＝3 B ．x ＝3，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝－5 D ．x ＝5，y ＝－1
6．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4
.设 (λ∈R )，则λ＝________．
题组3 向量共线的坐标表示
8．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8)
9．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________．
11．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
[能力提升综合练]
1．已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝1
2ax 与线段AB 交于C ，且
，则实数a
等于( )
A ．2
B ．1 C.45D.5
3
2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2，6)
B ．(－2，6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
3．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
4．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
等于( ) A ．－12B.1
2
C ．－2
D ．2
6．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且.则P 点的坐标
为________．
7．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且
，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由．
8．如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，
AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．
答 案 [学业水平达标练]
1. 解析：选D 由任一向量的坐标的定义可知：当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4)．
2.
3. 解析：∵A (2，－1)，B (4，2)，C (1，5)，
＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)． 答案：(－4，9)
4. 解析：选B ∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，
∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．
5. 解析：选B 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 6. 解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π
4
知，|OE |＝|CE |＝2，
所以(－2，0)＝λ(－3，0)， 故λ＝2
3
.
答案：23
7.
∴(x 1＋1，y 1－2)＝1
3(3，6)＝(1，2)，
(－1－x 2，2－y 2)＝－1
3
(－3，－6)＝(1，2)．
则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，
y 2＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)， 因此
＝(－2，－4)．
8. 解析：选D
＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；
(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．
9. 解析：＝(x ＋1，－6)，
＝(4，－1)，
∵
∥
，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.
答案：23
10. 证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，23；
所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1，
故F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0. 所以
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8
3
，－23.
又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－8
3
×(－1)＝0，
11. 解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，
∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝8
9.
(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，
又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－16
13
.
[能力提升综合练]
1. 解析：选A 设C (x 0，y 0)，则y 0＝1
2ax 0，
∴
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0－7，12ax 0－1，＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－x 0，4－12ax 0，
∵
，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2（1－x 0），12
ax 0－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧x 0＝3，
a ＝2. 2. 解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4
b －2
c )＋2(a －c )＋
d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
3. 解析：选D ∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，
－1)，显然c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．
4. 解析：选A 由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －
2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－1
2
.
5.
∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：0
6.
∴(x －2，y ＋1)＝2
3
(－1－x ，3－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2
3×（－1）1＋23
，
y ＝－1＋2
3×31＋23
，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35.
故P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35
.
∴(x －2，y ＋1)＝－2
3
(－1－x ，3－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2－2
3×（－1）1－23，
y ＝－1－23
×3
1－23
，
即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8，
y ＝－9. 故P 点坐标为(8，－9)．
综上可得，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9)． 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，35或(8，－9) 7. 解：由题可知
＝(1，2)，
＝(3，3)，
＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )． (1)若P 在x 轴上， 则有2＋3t ＝0，t ＝－2
3；
若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，
t ＝－1
3
；
若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，
解得－23＜t ＜－1
3.
(2)＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4，5)＝(3－3t ，3－3t )．
若四边形OABP 是平行四边形，则有
即⎩
⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解． ∴四边形OABP 不可能是平行四边形．
8.
∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②
联立①②，解得x ＝12
7，y ＝2，
故点M 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫127，2.。