湖南省2014年高中数学竞赛
湖南省十三校2014届高三第二次联考数学理试题Word版含解析
湖南省2014届高三·十三校联考 第二次考试理科数学试卷考试时间:2014年4月12日15:00～17:00得分:【试卷综析】 本套试卷是湖南省13校第二次联考试题，试卷在题型、题量、分值、难度、知识点分布及覆盖面上都和高考试题比较接近。
从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。
试题注重考查了基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的考查。
例如第6题，第8题，9题都很好地考查了学生的数学能力。
在学生熟悉的背景下进行命题，进行创新，这是高考的要求，也是中学教学的要求。
在本套试卷中，有所体现，这是一大亮点。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知集合1{|1}1A x x =≤-，{|ln 0}B x x =≤,则A B =( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1) 【知识点】借助分式不等式和对数不等式考查集合的运算。
【答案解析】D {|1A x x =<或2}x ≥，{|01}B x x =<<，所以AB =(0,1)【思路点拨】解分式不等式时，要时刻注意，移项通分。
利用数轴求集合的交集。
2.已知a R ∈,则“”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【知识点】本题考查了复数知识和充分必要条件的判断。
【答案解析】C 复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数的充要条件是22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，所以2a =。
【思路点拨】复数为纯虚数，必须保证实部等于0，虚部不等于0.先求出充要条件，然后再把充要条件的范围放大或缩小。
3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行 后输出的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7【知识点】程序框图问题。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
湖南省师大附中、长沙市一中等六校2014届高三4月联考数学(理)试题-含答案
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
6．设 {a n} 是等比数列，则 “ａ1<a2 <a4”是 “数列 {a n} 是递增数列 ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为
A．4 3
a 的取值范围；
（2）当 a=1 时，若 f （ x） >n 恒成立，求满足条件的正整数 n 的最大值；
3 2n
（3）求证：（ 1+1 ×3）×（ 1+3 ×5）×… ×[1+ （ 2n－ l）（ 2n+l ） ]>e 2 ．
参考答案
uuur ⊥ OB ？若存在， 写出该圆的方程， 并求该切线在 y 轴上截距的取值范围及 | AB| 的取值范围； 若
不存在，说明理由．
22．（本小题满分 13 分）
x(1 a1nx)
已知函数 f（x） =
(x 1)．
x1
（1）若 g（ x ） =（ x-l ） 2f ′（ x ）在（ 1， +
）是增函数，求实数
息中按一定规则对信息加密，设定原信息为
A 0=a1a2… an， ai∈{0 ， 1} （ i=1 ， 2， 3… n），传输当
中原信息中的 1 都转换成 01，原信息中的 0 转换成 10，定义这种数字的转换为变换丁，在多次
的加密过程中，满足 A k=T（ A k－1）， k=1， 2， 3，…．
（ 1）若 A 2： 10010110，则 A 0 为 ____
；
（ 2）若 A 0 为 10，记 A K 中连续两项都是 l 的数对个数为 l K，k=l ，2，3，…，则 l K=
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。
2014年全国高中数学联赛湖南赛区预赛_黄仁寿
分 共
，
3 0
分 5 如图
）
．
． ｝
1
，
在 三 棱 Ｆ
、
1
．
设似
2
2
＝
｜
ａ
ｌ
ａ ＝ ？
ｙ
，
ａ
：
、
ｙ
Ｇ Ｚ
则 选 柱中 已 知点 ＾
，
册
，
，
的
‘
项正 确 的是 中 点
（
）
．
Ｍ
及ＡＣ 的中
（
Ａ）
Ｂ
）
9 9
Ｇ Ｍ 迗 Ｍ Ｍ
，
1
0 £
Ｍ 点
ｉ
Ｖ
所 决 定 的 平面
：
若不 等 式
则 实数
三
1
＋
2
ｙ
）
＾
（
＾ ＋
2
ｒ）
恒成立
，
数组
（
ａ
，
6
）
，
使得
Ａ
、
巧
均 为 不 动 点 并证 明
？
ａ
的 最 大 值为
（
、
解答 题 共
1
7 2
你 的 结 论 分 Ｉ 6 2 0 分 已 知 数列 Ｗ 满 足
？
．
）
．
（
）
3 （
．
6
2
，
已知
一
0
ｉＣ 内 为ＡＡｆ
，
丨
处
．
…厂
ｒ
，
则
Ｐ
、
Ｐ
1
＇
关于圆 周
2014年全国高中数学联赛获奖名单
县市区 新干县 万安县 新干县 新干县 吉安县 永新县 吉水县 永丰县
吉水中学 万安中学 白鹭洲中学
学校 新干中学 县立中学 县立中学 县立中学 万安中学 吉水中学 新干中学 新干中学
吉水中学
县立中学 吉水中学 吉安一中 吉安一中 新干中学 新干二中 县立中学 峡江中学 吉安一中 吉水中学 吉安一中 白鹭洲中学 安福中学 永丰中学 峡江中学 吉安一中 吉安一中 白鹭洲中学 白鹭洲中学 吉水二中
市直 市直 市直 吉州区 安福县 吉安县 吉安县 吉水县 吉水县 吉水县 井冈山
吉水中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 白鹭洲中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 县立中学 峡江中学 泰和中学 吉安一中 吉安一中 吉安一中 吉安一中 白鹭洲中学 白鹭洲中学
彭慧翔 曾永红
吉安县 县立中学
李祖文 傅新彪
永新县 任弼时中学
汤景泰 裴奋开
吉州区 吉安一中
习剑坤
王虎
吉州区 吉安一中
康佳
罗爱军
吉安县 县立中学
宋蕾 周湖平刘秋华 吉安县 县立中学
罗玉畦 曾志松
吉安县 县立中学
曾昭呼 张子路
泰和县 泰和中学
谢志伟
周涛
吉安市 吉安一中
陈雨轩 傅伟鑫
市直 白鹭洲中学
李双智 廖冬平
吉州区 吉安一中 杨铖
吉安一中 曾庆兴 罗爱军
吉安市 吉安一中 郭柳君
吉安一中 王高峰 罗爱军
全国三等奖（全省265人，我市28人）
学 校 姓 名 辅导老师 县市区 学校
姓名
县立中学 郭文君 李小强昌庆煌 吉水县 吉水中学 肖雄
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页 共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
湖南省岳阳市部分省重点高中2014级高一期考联考数学试题(含详细解答)
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湖南省岳阳市部分省重点高中
2014级高一期考联考数学试题
时量：120分钟
总分：100分
命题：周军才
审题：彭志龙
一、本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的. 1、函数x
x x f 2
11
)
(的定义域是
（
）
A ．|1x x
B ．|12
x x x 且C ．
|12
x x
x
且D ．|1
x x
2、下列函数中，在
(1, 1)-内有零点且在定义域内单调递增的是
（
）
A ．12
log y x
=B ．21
x
y =-C ．2
12
y x =-
D ．3
y x
=-3、关于循环结构的论述正确的是
（
）
A ．①是直到型循环结构④是当型循环结构
B ．①是直到型循环结构③是当型循环结构
C ．②是直到型循环结构④是当型循环结构
D ．④是直到型循环结构①是当型循环
结构
4、下列选项中不是．．右图中几何体的三种视图之一的是
（
）
满足条件？
循环体
是
否
①
满足条件？
循环体
否
是
②满足条件？
循环体是
否
③满足条件？
循环体
否
是
④。
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湖南省2014年高中数学竞赛
湘西自治州赛区学生获奖情况通报
湖南省2014年高中数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于六月二十八日进行。
湘西自治州赛区的有关工作已经完成。
本次竞赛实行交叉巡考，集中评卷，各项工作认真、严格、有序。
全州评出高三年级一等奖32人，二等奖 50人，三等奖 80人；高二年级一等奖 52人，二等奖 74人，三等奖 132人。
现将学生获奖情况（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。
湘西州教育科学研究院
2014年7月5日
附件：2014年湖南省高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报
高三组
一等奖（32人）
二等奖（50人）
三等奖（80人）
高二组
一等奖（52人）
三等奖（132人)。