三角函数化简题

４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期

,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、

用、

(１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值；

②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。

3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或

、三角函数得求值:

,化非特殊角为特殊角;

ﻩ2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值;

ﻩ3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、

1、三角函数式得化简:

三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、

ﻩ2、三角恒等式得证明:

三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、

( A)

A、B、C、D、

2、函数得最小正周期( B)

Ａ、B、C、D、

3、等于( Ｄ）

A、1

B、2

C、－1

D、-２

４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。

_＿＿_。

,(),则ﻩ( )

ﻩﻩﻩ或

略解:由得或(舍)，∴,∴、

例2、已知,就就是第三象限角,求得值、

解：∵就就是第三象限角，∴（）,

∵,∴就就是第四象限角,∴,

ﻩ∴原式

221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)

3αααα

+

=---=+-+=-、

例3、已知，求得值、

解:由题意,,

ﻩ∴原式2

2

3sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=、 例４、已知,求得值、 ﻩ解:∵,, ﻩ∴, 得,若,则, ﻩ若,无意义、

ﻩ说明:角得与、差、倍、半具有相对性,如,,等,解题过程中应充分利用这种变形、 例5、已知关于得方程得两根为,

ﻩ求:（1）得值；(2）得值;（3)方程得两根及此时得值、

解:(1)由根与系数得关系,得,

ﻩ

∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ

-=+==+=---、

ﻩ（2)由①平方得:,,即,故、

ﻩ(3）当,解得， ∴或, ∵，∴或、 例１、化简： ﻩ(1)； ﻩ(2); (3)、

解:(1)

原式213

sin12cos12)

3cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos 24

--==- 、

（２)原式 、 (3)原式 ﻩ∵，∴,∴, ∴原式、

例3、证明:(1);(２）、

ﻩ证：(1)左边2244222222222

2sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24

x x x x x x x x

x x x x x ++-=+== 2222211

1sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48

x x

x x x x x x ---+====

--- 右边,∴得证、

说明:由等式两边得差异知：若选择

“从左证到右”,必定要“切化弦”；若“从右证到左”,

必定要用倍角公式、 (2）左边 ( ) ﻩ 2、 ( ) ﻩ2ﻩ4 ８ 16

① ②

3、化简:答案:

4、设,求得值。答案：

6、已知,求得值。答案:

7、（０5北京卷)已知=2,求(I)得值;(IＩ)得值、

解:(I)∵ taｎ=2，∴;

所以=;

(II)由（Ｉ),tanα=-,所以＝=、

８、(05全国卷)已知函数求使为正值得得集合、

解:∵………………………………………………2分

…………………………………………………4分

…………6分

…………………………８分

…………………………………………1０分

又∴………………………12分

９、(０５浙江卷)已知函数f(ｘ)＝-siｎ2ｘ+siｎxｃｏs x、

(Ⅰ) 求ｆ()得值; (Ⅱ) 设∈(０,),ｆ()＝－,求sin得值、

解:(Ⅰ)

(Ⅱ)

解得

1、ﻩ（）

ﻩﻩ

2、已知,当时,式子可化简为( )

ﻩ

日期:２０09年月日星期

一、选择题

1、已知,则得值等于( D)

A、B、Ｃ、Ｄ、

２、已知、就就是方程得两根,且,则等于(B)

Ａ、B、C、或Ｄ、或

3、化简为( B )

A、Ｂ、C、D、

4、(全国卷Ⅲ)( B)

(A)(B) (C) 1 (Ｄ)

５、(山东卷）函数,若，则得所有可能值为（ B ）

（Ａ)1 (B）(C) (D)

二、填空题

6、(全国卷Ⅱ)设a为第四象限得角,若,则tan ２a＝_________＿____、

7、(北京卷）已知taｎ=2,则tanα得值为-,ｔａn得值为-

8、已知,则得值为____＿_＿。