叶中豪平面几何讲座1.
平面几何入门(全等三角形：六)
平面几何入门（全等三角形：六）叶中豪（老封）等腰三角形和直角三角形的性质等腰三角形的两底角相等；底角相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形三线合一定理：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，并且它所在的直线是等腰三角形的对称轴。
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形的斜边、直角边公理（HL）：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形彼此全等。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方的和。
特殊的直角三角形：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；如果直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，则它的对角一定等于30°。
例题和习题1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E是斜边AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC。
求：∠DCE的度数。
2．在△ABC中，AD是中线，也是角平分线。
求证：AD⊥BC。
3．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，N为EF的中点。
求证：MN⊥EF。
B C4．如图，已知：MN∥PQ，AC⊥PQ，BD和AC交于E，且DE＝2AB。
求证：∠DBC＝13∠ABC。
5．已知△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且DE ⊥DF。
求证：BE2＋CF2＝EF2。
B思考题1．已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，联结CE、DE。
求证：EC＝DE。
2．已知△ABC是等腰直角三角形，E、F是斜边BC上两点，满足∠EAF＝45°。
求证：BE2＋CF2＝EF2。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。
叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。
而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。
借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。
学生兴趣高，思维启动，效果显著。
叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。
地点:学生可以在家享受国内顶尖教授的知识盛宴。
受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。
学生所需设备：一台电脑或者笔记本或者手机或者Pad。
张老师：于老师：吴老师：。
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》
数学花园大，请来看小花rn——介绍《平面几何中的小花》叶中豪【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2001(000)002【摘要】@@ 在数学的大花园里，几何是最美丽的部分.它既有优美的图形，令人赏心悦目；又有众多的问题，供大家思考探索.它的论证严谨而优雅，命题美丽而精致.入门不难，魅力无限，因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者(包括叱咤风云的拿破仑一世)，在这里大显身手.一些历史上有名的大数学家，像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、高斯他们，也禁不住在这里留连驻足，为花园增添奇葩.rn 伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道：rn “在我12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的.这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能.这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象.……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前，有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我.经过艰巨的努力以后，我根据三角形的相似性成功地‘证明了’这条定理.……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”(《爱因斯坦文集(第一卷)》)【总页数】2页(P40-封四)【作者】叶中豪【作者单位】上海教育出版社200031【正文语种】中文【中图分类】G623【相关文献】1.花园盛典——公共公园和小花园,蓬蒂-迪利马,葡萄牙 [J],2.通过植物配置激发和创造错觉使小花园变“大” [J], 刘婷;刘娜3.家庭花园营建案例自建药用小花园 [J], 园辑4.家庭花园设计ABC小花园的基本格局 [J], 一文5.在小花园里建造大世界——记邵钦祥和他的花园村 [J], 徐乐俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数学完整系统课程
爱尖子-高中数学联赛加试初级课程（共5期）
A62.【2018暑】高中数学联赛加试初级课程
A75.【2018秋】高中数学联赛加试初级课程
A89.【2019寒】高中数学联赛加试初级课程
A104.【2019春】高中数学联赛加试初级课程
A115.【2019暑】高中数学联赛加试初级课程
爱尖子-2019年春季数学专题课（二试）
冲刺数学高联省一，冲刺CMO
A107.1【平面几何专题】4讲杨运新
A107.2【组合专题】4讲邹瑾
A107.3【解析几何、函数专题】4讲张明宇
A107.4【代数专题】4讲班昌
A107.5【数论专题】4讲胡晓君
A161.爱尖了【2020寒】数学高联寒假集训营提高班8天16讲（强化二试内容）
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A156.北斗学友【2020寒】数学竞赛集训（姚博文）
清北学堂（适合二试专题学习）
2020春季清北学堂数论线上课程(纪春岗老师)
2020春季清北学堂组合线上课程(冯跃峰老师)
M03-【2020寒】数学竞赛三阶课程-CMO几何7讲
M04.2020春-数学竞赛三阶课程-CMO代数-15讲
M11.【2020五一】数学竞赛综合集训[达到cmo难度]付云皓
M13.【2020国庆】数论专题班（基础知识+思想方法+新题为主）11讲吴宇培
M36.【2020秋】2020数学CMO集训营27讲苏宇坚、潘成华、
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
平面几何入门(1)
平面几何入门（1）(上海叶中豪)知识要点一、相关概念基本概念：点，直线（线段、射线、直线）点：两点间的距离直线：垂线（垂足），对顶角，平行线（同位角，内错角，同旁内角）线段：中点，垂直平分线（中垂线），垂线段，斜线段，射影角：顶点，边，邻角，余角，补角，邻补角，锐角，直角，钝角，平角，周角，角平分线三角形：边，角，面积，周长，中线，高，角平分线四边形：正方形，长方形（矩形），平行四边形，菱形，梯形等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形推理：定义，命题（真命题，假命题），公理，定理，逆命题（逆定理），证明，直接证法，间接证法（反证法，同一法）其它：辅助线，尺规作图，轨迹二、基本性质1 公理过两点有且只有一条直线2 公理两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 对顶角相等6 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直7 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行10 两直线平行，同位角相等11 两直线平行，内错角相等12 两直线平行，同旁内角互补13平行线间的距离处处相等14 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补15 一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角相等或互补16 同位角相等，两直线平行17 内错角相等，两直线平行18 同旁内角互补，两直线平行19 定理三角形两边的和大于第三边20 推论三角形两边的差小于第三边21 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°22 推论1 直角三角形的两个锐角互余23 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和24 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角25 等腰三角形的底角相等；底角相等的一定是等腰三角形26 等边三角形的的三个内角都等于60°三、全等三角形两个全等三角形的对应边、对应角相等；对应边上的中线、高线相等；对应角的角平分线相等。
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5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
相关直线及相关三角形
Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形
重心坐标和三线坐标
四边形和四点形
质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
几何变换及相似理论
平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理
内接三角形，外接三角形，Miquel点
根轴
圆幂，根轴，共轴圆系，极限点
）
12．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp
）
13．如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D、E、F各点，AD交内切圆于X，在AD上截取DY＝AX，联结YB、YC分别交内切圆于P、Q。求证：FP ∥EQ ∥AD。（09021801.gsp
）
16．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp
）
17．过⊙O外一点A做其切线AB、AC，在AB延长线上取一点D，△ACD的外接圆和圆O交于另一点P，Q是B到CD的垂足。
求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp
）
18．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。
特殊直线、圆
Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆
特殊三角形
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形பைடு நூலகம்弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
反演
反演，分式线性变换（正定向和反定向）
配极
极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点
射影几何
点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理
著名定理
三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理
）
14．已知⊙O 1与⊙O 2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp
）
15．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp
求证：OQ ⊥PQ。（09022301.gsp
）
19．已知：D、E、F是△ABC各边中点，I、U、V是内心与顶点联线与内切圆的交点。求证：DT、EU、FV三线共点。（09022601.gsp
高中平面几何
(上海教育出版社叶中豪知识要点
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线
）
3．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD ⊥BC于D，PE ⊥CA于E，PF
⊥AB于F。求证：(BC/PD＝(AC/PE+(AB/PF。（09012201-7.1.gsp
）
4．已知△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线PO与AB、AC分别交于M、
N，与弧AB相交于点D，与BC的延长线交于点P，以OP为直径作圆与⊙O的另一个交点为G。求证：GN ⊥DP。（09012202.gsp