金老师教育培训---中考数学压轴题专题16函数动点问题中三角形存在性17题9页
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专题16 函数动点问题中三角形存在性
模型一、等腰三角形存在性问题
以腰和底分类讨论,借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.
模型二、直角三角形存在性问题
以直角顶点不同分类讨论,借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-3
2
x+c经过点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,点P
是x轴下方的抛物线上一动点(包含点A、B).作直线BC,若过点P作x轴的垂线,交直线BC于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在点P的运动过程中,是否存在点P,使△CPQ是等腰三角形?若存在,直接写出点P的横坐标,若不存在,请说明理由.
2.如图,抛物线L:y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,已知点B(3,0),抛物线的对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线向下平移h个单位长度,使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部(包含△OBC边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=-3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,写出符合条件的点P的坐标,若不能,请说明理由.
3.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,顶点为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC 两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,交直线l于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
5.已知:如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图所示,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(3
2
,0),在第一象限内与直线
y=x交于点B(2,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3)如图2所示,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
图1 图2
7.如图,在矩形OABC中,点O为原点,边OA的长度为8,对角线AC=10,抛物线y=
4
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-x2+bx+c经过
点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值;
②在S最大的情况下,在抛物线y=
4
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-x2+bx+c的对称轴上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请
直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
x-+与x轴交于A,C(A在C的左侧),
10.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=2
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点B在抛物线上,其横坐标为1,连接BC,BO,点F为OB中点.
图1 图2
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)如图2,若点G与点B关于抛物线对称轴对称,直线BG与y轴交于点M,点N是线段BG上的一