数学分析 重要知识小结(考研复习用)
考研数学必备知识点总结
考研数学必备知识点总结一、数学分析1. 极限与连续2. 导数与微分3. 微分方程4. 积分5. 级数极限与连续是数学分析中最基础的概念之一。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一数值时，函数的值趋于某一确定的值的过程。
而连续则是指在一定的区间内，函数在任意一点都有定义，并且在该点的极限等于该点的函数值。
导数与微分则是描述函数变化率的概念。
导数是函数在某一点的变化率，而微分则是用微分形式来表示函数的变化。
微分方程则是描述函数及其导数之间关系的方程，是数学分析的一个重要分支。
积分是对函数在一定区间内的求和过程。
而级数则是无穷多项的和，是一种特殊的积分形式。
二、线性代数1. 矩阵与行列式2. 线性方程组3. 线性空间与线性变换4. 特征值与特征向量5. 正交性与对称性线性代数是研究向量空间和线性映射的代数结构的一个分支。
矩阵与行列式是线性代数中最重要的概念之一，矩阵是一种数学工具，可以用来表示线性映射。
而行列式则是对矩阵的一种特殊运算，可以用来描述线性映射对向量空间的扭曲程度。
线性方程组是研究线性代数中的一类重要问题，是矩阵和向量的组合。
线性空间与线性变换是描述向量空间和线性映射的概念，是线性代数的核心概念。
特征值与特征向量是描述线性映射变换性质的重要概念。
正交性与对称性则是描述向量空间内向量之间的关系的重要概念。
三、概率论与数理统计1. 随机事件与概率2. 随机变量与概率分布3. 大数定律与中心极限定理4. 参数估计与假设检验5. 相关与回归分析概率论与数理统计是数学中重要的应用分支，研究随机现象的规律和性质。
随机事件与概率是描述随机现象与其概率发生的概念，是概率论的基础。
随机变量与概率分布则是描述随机现象的数学模型，是概率论与数理统计的核心概念。
大数定律与中心极限定理是描述随机现象大量重复实验的规律。
参数估计与假设检验是描述推断统计中统计量的性质和推断的方法。
相关与回归分析是描述随机变量之间关系的重要概念。
考研数学分析重要考点归纳
考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。
数学分析的重要知识点总结
数学分析的重要知识点总结数学分析是研究数学连续性和变化的基础学科，它提供了许多有关函数、极限、导数、积分和级数等方面的重要概念和工具。
在本文中，我们将总结数学分析中的一些重要知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数与极限函数是数学分析的基本概念之一。
函数描述了两个变量之间的关系，并将输入映射到输出。
函数可以是连续的、可微分的或可积分的，它在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。
极限是函数连续性和变化的关键概念。
在数学中，极限描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。
根据函数的定义域和值域，我们可以讨论函数在某个点的左极限、右极限和无穷极限。
二、导数与微分导数是函数变化率的量度。
对于一个函数，它在某一点的导数表示了函数在该点的变化速率。
导数的概念和性质对于研究函数的变化特性和优化问题至关重要。
微分是导数的应用。
通过微分，我们可以研究函数的最值、曲线的凹凸性和曲率等性质。
微分学在科学和工程领域中广泛应用，如物理学中的运动学和力学、经济学中的边际分析等。
三、积分与积分应用积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
积分在计算图形面积、求解微分方程和描述物理量等方面具有重要应用。
不定积分是对函数的原函数进行定义，可以计算出函数的一个特定形式。
定积分是对函数在一定区间上的累积效应进行计算。
定积分在求解曲线下面积、计算变量期望和求解微分方程初始条件等问题中发挥着重要作用。
四、级数与收敛性级数是由一系列项组成的无穷和。
级数的和可以是有限的或无限的。
通过研究级数的收敛性，我们可以确定级数是否趋于一个有限的极限值。
收敛性是级数是否趋于一个固定值的性质。
根据级数的项的大小和符号，我们可以使用各种测试方法来判断级数的收敛性，如比值测试、根值测试和积分测试等。
通过学习数学分析的重要知识点，我们可以更好地理解和应用这些概念。
数学分析对于数学的发展和各个领域的应用都具有深远的影响，它为我们解决问题提供了强有力的工具和方法。
研究生数学分析基础知识点归纳总结
研究生数学分析基础知识点归纳总结数学分析是研究实数、函数、极限、导数、积分等数学概念和运算规则的基础学科。
作为研究生的基础课程之一，熟悉数学分析的基础知识点对于进一步深化数学研究和解决实际问题具有重要意义。
本文将对研究生数学分析的基础知识点进行归纳总结。
一、实数与数列实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比值，无理数则不能表示为有理数的比值。
数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列中，每个数与它的前一个数之差是一个常数，称为公差；等比数列中，每个数与它的前一个数之比是一个常数，称为公比。
二、函数与极限函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
在数学分析中，我们常常研究的是实值函数，即定义域和值域都是实数集合。
极限是研究函数在某一点附近趋于无穷时的性质。
我们通常用函数在该点附近取值的情况来描述这种趋势。
常见的极限包括左极限、右极限和无穷极限。
三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要概念。
它刻画了函数在某一点附近的局部性质。
导数的定义是函数在该点的极限，可以通过求导数来研究函数的变化情况。
微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点的线性逼近。
微分可以用来求解优化问题、近似计算等。
四、积分与函数的面积积分是对函数进行求和的过程，它可以用来求解曲线下面积、函数的平均值等。
积分的定义是将函数分成无穷小的小区间，然后对每个小区间的值进行求和并取极限。
函数的面积是积分的一个重要应用。
通过计算函数与坐标轴之间的面积，我们可以得到函数在一段区间上的积分值，进而研究函数的性质。
五、级数与收敛性级数是由无穷多个数相加而成的表达式。
级数的部分和是指级数的前n个数相加的结果。
级数的收敛性是研究级数求和是否存在有限结果的性质。
当级数的部分和趋于某个有限值时，我们称该级数收敛；当级数的部分和不趋于有限值时，我们称该级数发散。
六、泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将函数表示为一系列无穷次多项式相加的形式。
有关考研数学的知识点总结
有关考研数学的知识点总结一、数学分析数学分析是考研数学中非常重要的一部分，其中包括实数、极限、连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程等内容。
1. 实数实数包括有理数和无理数，所有有理数都可以表示为分数形式，而无理数则不可以。
2. 极限极限是数学分析中非常重要的一个概念，它是函数逼近的概念，通常用符号lim表示。
极限有左极限、右极限和无穷极限等不同形式。
3. 连续连续是函数的一个非常重要的性质，连续函数在一定范围内有非常好的性质，例如连续函数的介值定理等。
4. 导数与微分导数是函数变化率的表示，微分则是函数在某点附近的线性近似。
导数和微分在数学分析中有非常重要的应用。
5. 不定积分不定积分是求导的逆运算，通常用积分符号∫表示。
不定积分需要考生掌握一些积分的常见法则和方法。
6. 定积分定积分是区间上函数值的累积和，通常用积分符号∫表示。
定积分在数学分析和物理等领域有非常广泛的应用。
7. 微分方程微分方程描述了变化的规律，它在物理、工程、生物等领域有非常重要的应用。
微分方程是考研数学中比较难的一部分，考生需要掌握一些基本的解微分方程的方法。
二、高等代数高等代数是考研数学中另一个非常重要的一部分，其中包括线性代数和群论两个部分。
1. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的一门数学学科，其中包括向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量、正交、对称矩阵等内容。
2. 群论群论是研究代数结构的一门数学学科，其中包括群的基本概念、子群、正规子群、同态映射、同构等内容。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是考研数学中的另一个非常重要的一部分，其中包括概率的基本概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的函数的概率分布、大数定律和中心极限定理、参数估计和假设检验等内容。
总的来说，考研数学的知识点非常丰富，需要考生有扎实的数学基础才能顺利通过考试。
希望考生能够认真复习，掌握好这些知识点，顺利通过考研数学。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
考研数学分析重点知识点总结
考研数学分析重点知识点总结数学分析是考研数学中非常重要的一门学科，它涉及到微积分、级数、极限等概念。
对于考生来说，掌握数学分析的重点知识点是提高成绩的关键。
本文将从微积分、级数、极限三个方面总结考研数学分析的重点知识点。
一、微积分微积分是数学分析的基础，也是考研数学分析中的重点内容。
在微积分部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 导数与微分：掌握导数和微分的定义和性质，熟练运用导数的几何意义和微分的物理意义来解决相关问题。
2. 高阶导数与高阶微分：理解高阶导数和高阶微分的定义和概念，能够求解高阶导数和高阶微分的相关问题。
3. 隐函数与参数方程：了解隐函数和参数方程的定义及其求导法则，能够应用隐函数与参数方程求导解题。
4. 极值与最值：熟悉极值与最值的判定条件和求解方法，能够应用极值与最值的知识解决相关问题。
5. 泰勒展开：理解泰勒展开的概念和应用条件，能够应用泰勒展开解决近似计算和误差估计的问题。
二、级数级数也是考研数学分析中的重点考点，它包括数列、数列极限和级数等概念。
在级数部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限与函数极限的关系：了解数列极限与函数极限的关系，能够利用数列极限与函数极限之间的关系解决相关问题。
2. 收敛级数与发散级数：能够判断级数的收敛性和发散性，熟悉判别法和判定条件。
3. 常见级数的性质与求和：掌握常见级数的性质与求和公式，如等比级数、调和级数等。
4. 级数收敛的判别法：熟悉级数收敛的判别法，如比较判别法、积分判别法等，能够灵活运用判别法解决问题。
三、极限极限是数学分析中的基础概念，也是考研数学分析的重点内容。
在极限部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限的定义与性质：了解数列极限的定义和性质，熟悉极限的四则运算规则。
2. 函数极限的定义与求解：掌握函数极限的定义和求解方法，理解函数极限与数列极限之间的关系。
3. 极限存在性的判定：熟悉极限存在性的判定法则，如夹逼定理、单调有界原理等。
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结数学分析是数学的基础学科之一，对于考研数学的复习来说，数学分析的重要性不言而喻。
在准备考研数学分析时，我们需要熟练掌握各种定理和公式，才能在考试中高效解题。
本文将对山东省考研数学分析的重要定理进行总结，供考生参考。
一、极限与连续1. 函数极限定义：对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于某一值$a$时，如果$f(x)$的值无限接近于某一常数$A$，则称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a} f(x) = A$。
2. 极限的四则运算法则：设$\lim_{x\to a} f(x) = A$，$\lim_{x\to a} g(x) = B$，则有：a) $\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$b) $\lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$c) $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）3.连续函数的性质：若函数$f(x)$在$x=a$处连续，则有：a) $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$b) 连续函数的和、差、积、商仍为连续函数二、导数与微分1. 导数的定义：设函数$f(x)$在$x_0$处有定义，当$x$无限接近于$x_0$时，若极限$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称此极限为函数$f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
2. 常用导数公式：a) $(x^n)' = nx^{n-1}$（其中$n$为正整数）b) $(e^x)' = e^x$c) $(\ln x)' = \frac{1}{x}$3. 高阶导数与隐函数导数：a) 函数$f(x)$的二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$b) 隐函数导数：对于方程$F(x,y)=0$，若存在导数$\frac{dy}{dx}$，则称$\frac{dy}{dx}$为隐函数导数。
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数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx xln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin22c axx a dx (13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。
注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。
2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。
(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。
(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ϕ=，若,)()())((c t F dt t t f +='⎰ϕϕ则⎰+=-.)]([)(1c x F dx x f ϕ① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，ta x a cos 22=+③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。
④ 遇含有,m x nx 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。
(4)分部积分设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则⎰⎰'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。
形如⎰,arctan xdx ⎰xdx arcsin ，⎰xdx x kln ，,dx e x xk ⎰dx e x xβα⎰cos ，dx ex xβα⎰sin 的积分必须用分部积分。
注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。
(5)三角有理式的积分①xdx x m n sin cos ⎰：“有奇换元一，无奇就降幂”。
降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=，)2cos 1(21sin 2x x -=。
②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 212tdtdx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分遇c bx ax ++2或cbx ax ++21，应先进行配方：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++，令u abx =+2，消掉一次项。
对ab ac au c bx ax 44222-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。
第九章 定积分1、定积分定义定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要,δ<T 就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ⎰badx x f )(2定积分计算牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。
但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。
3定积分性质(1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(，(2)⎰⎰⎰±=±bab ab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,(3)dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=)()()(,(4))()()(b a dx x f dx x f ba ba<≤⎰⎰,(5)),()(x g x f ≤⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(. (6)积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。
(7) 推广的积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ4、变限积分(1)若)(x f 连续，则①),())((x f dx t f xa='⎰ ②),())((x f dx t f bx-='⎰③).())(()())(())(()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎰几个重要积分结果：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==⎰⎰.2,2!!!)!1(12,!!!)!1(cos sin 2020k n n n k n n n dx x dx x nn πππ（2）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f（3）设)(x f 是以T 为周期的周期函数，则对于任意实数a ，有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(（4）若)(x f 为奇函数，则⎰-=aa dx x f 0)(。
（5）若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(第十章 定积分应用1、平面区域面积 ①在直角坐标系下设区域由),(),(x g y x f y ==b a b x a x <==,,所围成 ⎰-=BA dx x g x f S )()(。
②曲线用参数方程表示设区域由βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，)(αx x =，)(βx x =，x 轴所围成。
⎰'=βα.)()(dt t x t y S③ 曲线用极坐标表示设区域由)(θr r =，,αθ=βθ=，βα<所围成。
⎰=βαθθd r S )(212。
2、截面积已知的体的体积(1) 设体在直线l 上的投影区域为],[b a ，而过],[b a 上每一点做直线l 的垂面去截体，所得截面积为)(x A ，则该体的体积为 ⎰=ba dx x A V )((2)旋转体的体积由b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积。
dx x f V ba ⎰=)(2π若曲线为参数方程：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积 dt t x t y V ⎰'=βαπ)()(23、平面曲线的弧长(1)设曲线方程为：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，则弧长为 dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([。
(2)设曲线方程为：b x a x f y ≤≤=),( dx x f s b a⎰'+=2)]([1(3)设曲线方程为：)(θr r =，βθα<< θθθβαd r r s ⎰'+=22)]([)]([4、旋转体的侧面积(1)旋转体是由曲线b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周所得dx x f x f S ba ⎰+=)(1)(22π(2) 旋转体是由曲线βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周所得 dt t y t x t y S ba ⎰'+'=22)]([)]([)(2π5、物理中的应用(1)液体静压力 (2)引力 (3)做功 注意书中的题和练习题。
第十一章 反常积分1、无穷积分 (1)无穷积分的定义 若⎰+∞→uau dx x f )(lim存在，称此极限值为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分，记作⎰+∞adx x f )(若极限不存在，称此积分发散。
(2)无穷积分收敛的判别法定理1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存在0>M ，对于任意的M u u >''',，有ε<⎰'''u u dx x f )(。
①非负函数的无穷积分收敛判别法定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。
则 (i) 若⎰+∞a dx x g )(收敛，则⎰+∞a dx x f )(收敛。
(ii)若⎰+∞adx x f )(发散，则⎰+∞adx x f )(发散。
定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=+∞→)(lim x f x p x ， 则有(i) 当+∞<≤λ0，1>p 时，⎰+∞adx x f )(收敛，(ii)当1,0≤+∞≤<p λ时，⎰+∞adx x f )(发散。
②一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。
定理5(阿贝尔判别法)若 (i) ⎰+∞adx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调有界，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。
定理6(狄利克雷判别法)若(i) ⎰=ua dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调趋向于零，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。