北师大新版九年级上图形的相似综合测试题知识讲解

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北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

北师大数学九年级上册---图形的相似知识点详细(一)

图形的相似（一）一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b =m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b =c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c b b a =或a ：b =b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质（1）基本性质①a ：b =c ：d ⇔ad =bc②a ：b =b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）d b c a =（交换内项） ⇒=d c b a ac bd =（交换外项） ab c d =（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( n m b a =dc b a =3、黄金分割1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2.618.0215≈-=AB AC 二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF===推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

北师大版初三数学上册《图形的位似》知识讲解及例题演练

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。

北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》重点题型归纳.doc

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式技巧1中间比代换法证比例式1.如图，已知在AABC中，点D, E, F分别是边AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.An np(1)求证：—:(2)若AD:DB二3:5,AB BC技巧2等积代换法证比例式2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是AABC 内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:PE PA类型3 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5.如图，已知AC 〃FE 〃BD.求证：AE BE ,--- + ——=1AD BC技巧3等比代换法证比例式3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求类型2证线段相等技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC. 求CF:CB的值.AD AF 证：------- = ----专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)己知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等吋，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.• • •方法1利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC丄AD,垂足为C, AD二6. 4, CD=1. 6,BC=9. 3, CE=3. 1.求证：AABC^ADEC.方法2利用角判定两三角形相似3.如图，AABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABDs/\CED； (2)方法3利用边角判定两三角形相似4.如图,AB=3AC, BD=3AE,又BD/7AC，点B, A,E在同一条直线上.求证：△ABDs^CAE.方法4利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB,ADEF^AABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题吋，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类儿何证明题的一种重要方法.常作的辅助线有以下儿种：（1）由比例式作平行线；（2）有中点吋，作中位线；（3）根据比例式，构造相似三角形.训练角度1巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在Z\ABC中，E, F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE, AF 于点P, Q,求BP:PQ:QD・A训练角度2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在AABC中，AC=BC, F为底边AB 上一点，BF:AF = 3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求BE:EC的值. 4.如图，在厶ABC中,AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD = AE,直线DE和BC 的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在AABC中，点M为AC边的中点, 点E为八B上一点，且八E二丄AB,连接EM并4延长交BC的延长线于点D.求证：BC = 2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二:3.如图，过AABC的顶点C任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB・训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形作辅助线的方法四: 作辅助线的方法三:9.如图，在口ABCD 中,AM 丄BC, AN 丄CD,垂足分别为M, N.求证：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧名师点金证比例式或等积式，若遇问题小无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中 I'可比代换.技巧1构造平行线法1.如图，在AABC 中，D 为AB 的中点，DF技巧3构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB,交AC 于点E,交BC 的延长线于点F, 求证：AE ・CF=BF ・EC.技巧4等比过渡法6.如图，在ZkABC 中,AB=AC, DE//BC,点 F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G,且ZEDF =Z ABE.求证：⑴△ DEF s △ RDE ；⑵ DG ・ DF = DB ・EF.2.如图，已知Z\ABC 的边AB 上有一点D,边 BC的延长线上有一点E,且AD=CE, DE 交 AC 于点F,试证明：AB ・DF=BC ・EF.7.如图，CE 是RtAABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P,连接AP,作BG 丄AP 于点G,技巧2三点找三角形相似法3.如图，在°ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证: DC_CFAE =AD*技巧5 8.如图，高，ZABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于卜.求证：BE _BC ，两次相似法在航△八BC 中，AD 是斜边BC 上的 4.如图，在△ABC 中，ZBAC=90° , M 为 BC 的中点，DM 丄BC 交CA 的延长线于D,交AB 于 E.求证：AM 2=MD • ME.AC 于点M, N.D(1) AAMB^AAND； (2)鑒=x-lD技巧6等积代换法10.如图,在ZkABC 中，AD丄BC 于D, DE1AB 于E, DF丄AC于F.求证：普=話A卜AB技巧7等线段代换法11.如图，等腰AABC 中，AB=AC, AD丄BC 于点D,点P是M）上一点，CF〃八B,延长BP交AC 于点E,交CF于点F,求证：BP2 =PE • PF.12.已知：如图，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2=PB - PC・MNAC专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：1.平行线型训练角度3子母型3.如图，在Z\ABC 中，ZBAC = 90° , AD丄BC于点D, E为AC的中点，ED的延长线交ABAR DR的延长线于点F.求证：話=环.训练角度4 旋转型4.如图，已知ZDAB=ZEAC, ZADE=ZABC. 求证：(1)Z\ADE S/\ABC； (2)学=架.AE CE训练角度1平行线型1.如图，在ZXABC中，BE平分ZABC交AC 于点E,过点E作ED〃BC交AB于点D. (1) 求证：AE ・BC=BD ・ AC； (2)如果S ZSADE=3,S ABDE=2, DE=6,求BC 的长.训练角度2 相交线型2.如图，点D, E分别为AABC的边AC, AB 上的点，BD, CE交于点0,且器=怜，试问AADE与AABC 相似吗？请说明理由.3.子母型A4.旋转型B C2.相交线型C DB专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金: 判断两线段之间的数量和位置关系是几何屮的基本题型z—.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.训练角度1 证明两线段的数量关系类型1:证明两线段的相等关系1.如图，已知在AABC中，DE〃BC, BE与CD 交于点0,直线A0与BC边交于点M,与DE2.如图，一直线和AABC的边AB, AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AE:CE = BF:CF.求证：AD = DB.类型2证明两线段的倍分关系3.如图，在AABC中，BD丄AC于点D, CE丄AB 于点E, ZA=60° ,求证：DE=*BC. 训练角度2 证明两线段的位置关系类型证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接CE, AE.求证：AE〃BC・6.在AABC 中,D, E, F 分别为BC, AB, AC 上的点，EF//BC, DF〃AB,连接CE 和AD,分别交DF, EF于点N, M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；⑵如图②，若E不为AB的屮点，写出与MN 平行的直线，并证明.类型2证明两线垂直7.如图，在AABC中,D是AB上一点,AC2&如图，已知矩形ABCD, AD=|AB,点E, F 把AB 三等分，DF交AC于点G,求证：EG丄DF.4.如图，AM为AABC的角平分线，D为AB 的屮点,CE〃AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC=2CE.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：（1）两个图形相似；（2）对应点的连线相交于一点；（3）对应边互相平行或在同一直线上.类型1三角形的内接正三角形问题 1•如图，用下血的方法可以画AAOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应问题.画法:①在AAOB 内画等边三角形CDE,使点 C 在0A 上，点D 在0B 上;②连接0E 并延长, 交AB于点E'，过点E'作E‘ C‘ 〃EC,交 0A 于点C'，作E‘ D' 〃ED,交0B 于点D'； ③连接C‘ D'，则2 D' E'是ZkAOB 的内接等边三角形.求证：△（/ D‘ E'是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作：内接于已知AABC 的矩形DEFG,使它的边EF 在BC 上,顶点D, G 分别在AB, AC 上, 并且有 DE : EF=1 : 2.类型3 三角形的内接正形问题（方程思想）3.如图,AABC 是一块锐角三角形余料，边 BC= 120mm ,高AD 二80mm ,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P,N 分别在AB, AC 上，则这个正方形零件的边长是多少？在 AB , AC , BC 上，且 DE //BC , AQ 交 DE 于点 P.求证：DP ： BQ=PE ： QC.（2）在AABC 中,ZBAC =90°，正方形 DEFG 的四个顶点在AABC 的边上，连接AG ,AF , 分别交DE 于M ,N 两点.① 如图②，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ② 如图③，求证:MN 2 =DM ・EN.B专训五：图形的相似中的五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点.考点一：比例线段及性质1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是 () A. 2 cm, 4 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cmC. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmD. 2. 1 cm, 3. 1 cm, 4. 3 cm, 5. 2 cm c “a b c d …“a+b + c + d2-若厂厂厂汙则—c —=3. 如图，乐器上的一-根弦AB=80 cm,两个端点A, B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点 A 的距离约为 ___________ ・(&~2. 236,结果精确到0.01)AC B考点二：平行线分线段成比例4. 如图，若AB 〃CD 〃EF,则下列结论中，与BC D — BEABC =60° ,以AC 为边向三角形外作正方形 ACDE,连接 BE 交 AC 于 F,若 BF=p5 cm, 则 EF=5.如图, 在 RtAABC 中，ZACB=90°AI) 环相等的是(CD EFA6.如图，在AABC 屮，AM : MD=4 : 1, BD : DC=2 : 3,求AE : EC 的值.考点三相似三角形的性质与判定7.己知△ABCs^DEF,若ZXABC 与Z\DEF 的相似比为3 : 4,则△八BC与ZXDEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C. 16:9D.9:16&在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE : ED = 3 ： 1, CE的延长线与BA的延长线交于点F,贝|J S AA EF : S四边形ABCE为( ) A. 3 ： 4 B. 4 ： 3 C. 7 ： 9 D. 9 ： 79.若两个相似多边形的面积Z比为1 ： 4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分另I」是______ .10.如图，AABC是直角三角形，ZACB = 90° , CD 丄AB于D, E是AC的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F.⑴求证：FD'=FB・FC； (2)若FB = 5, BC =4,求FD的长.11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分ZDBC交DC于点E,点F是BC 的延长线上一点，且CE=CF, BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM丄DF；(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME・MB.考点四12.—天晚上，李明和张龙利用灯光下的影了长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明⑵连接⑴中的AA',求四边形AA‘ C' C 的周长.（结果保留根号）走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB = 1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高度CD.（结果精确到0. 1 m）// 1 // • :M// \ / ■■」E A B C13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD, BC=20 cm, BC, EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm, 8 cm.为使板凳两腿底端A, D之间的距离为50 cm,那么横梁EF的长应为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）A D考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD,以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A' B/C‘ D',则点C'的坐标为. 15.如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均在小正方形的顶点上.（1）以0为位似中心,在网格图中作AA，B z C'和△ABC位似，且相似比为1 ： 2；相似三角形的应用专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是屮考的髙频考点.其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A. 3cm, 6cm,7cm,9cmB. 2cm,5cm,0.6dm, 8cmC・ 3cm, 9cm, 1. 8dnb 6cm D. icm, 2cnb 3cm, 4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m,在图纸上，这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是___________ m.概念2：相似多边形3.如图，已知Z1' =Z1, Z2‘ =Z2, Z 3' =Z3, Z4‘ =Z4, ZD' =ZD,试判断四边形"B z C‘ D z 与四边形ABCD是否相似，并说明理由.概念3：位似图形4.如图，在AABC屮，A, B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把AABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是AA' B' C.设点B的对应点L的坐标是(a, b),求点B的坐标.A j y/\ 1-o !7考点二：2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtAABC 中，ZA=90° , AB=8, AC=6.若动点D从点B岀发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE〃BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范圉；(2)当x为何值时，ABDE的面积有最大值, 最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE 与BA 相交于点E, EC 与AD相交于点F.(1)求证：AABC^AFCD； (2)若S AFCD=5,BC=10,求DE的长.考点三：1个判定一一相似三角形的判定7.如图，AACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接AE,过C作C0±AB于0.求证：△八CE s/XOCD.8.如图,在00的内接AABC中，ZACB= 90° , AC=2BC,过点C作AB的垂线/交00 于另一点、D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点，射线AP交/于点F,连接PC 与PD, PD 交AB 于点G. (1)求证：Z\PACs △PDF；(2)若AB = 5,弧八卩=弧!3卩，求PD 的长.考点四：2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB,在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m,此时树的影子有一部分落在地而上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少？例的技巧12.如图，已知AABC, ZB AC的平分线与Z DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P, Q.⑴求ZPAQ的度数;（2）若点M为应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的, 在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.考点五：1个作图一一作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点0和AABC.请以点0 为位似中心，把AABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出AABC的位似图形.考点六：1个技巧一一证明四条线段成比IIIIIIIIIIIII r-i-7-r->-T-rn-r-rn-r-i。

2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)

第四章测试卷(时间:100分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

专题04图形的相似(9大考点串讲)九年级数学上学期期末考点大串讲(北师大版)

∵余下的矩形 EBCF∽矩形 BCDA，
∴
，
即
，
∴CF＝1，故答案为：1．
期末复习
变式 4：（2022 秋•双牌县期末）已知相似三角形的相似比为 9：4，那么这两个三角形的周长比为（）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．81：16
【解答】解：三角形的周长比等于相似多边形的相似比为 9：4．故周长比也为 9：4．故选：A．
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7
【解答】解：A、1×4≠2×3，所以 A 选项不符合题意；
B、1×6＝2×3，所以 B 选项符合题意；
C、2×5≠4×3，所以 C 选项不符合题意；
D、1×7≠3×4，所以 D 选项不符合题意；
故选：B．
期末复习
考点2：平行线分线段成比例
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴ ＝，∴CD2＝AD•DB， ∵AD＝6，BD＝AB﹣AD＝2，∴CD2＝12，∵CD＞0，∴CD＝2 ．
知识点 2 利用相似三角形测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长. 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.
期末复习
典例 9：（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处．点 E 到地面的高度 DE＝3.5m，点 F 到地面的高度 CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为 CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同一水平面上．（1）求 BC 的长．（2）求灯泡到地面的高度 AG．

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似单元测试(解析版)

第四章图形的相似单元测试一、单选题1．下列各组线段中，能成比例的是（）A ．1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．2 cm ，1 cm ，4 cm ，1.5 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．3 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 【答案】D【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A 、1×6≠3×4，故不符合题意；B 、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C 、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D 、3×8=4×6，故正确．故选：D ．【点睛】根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．如图，123l l l ，2AB =，4BC =，3DB =，则DE 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例解答本题即可．解：∵123l l l ∵AB DB BC BE= ∵2AB =，4BC =，3DB =∵6BE =∵369DE DB BE =+=+=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出BE 的长．3．如图，AB ∵CD ∵MN ，点M ，N 分别在线段AD ，BC 上，AC 与MN 交于点E ．则（）A．DM CEAE AM=B．AM BNCN DM=C．DC ABME EN=D．AE CEAM DM=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例列出比例式，进然后行判断即可．解：A、∵AB∵CD∵MN，∵DM CEAM AE=，本选项结论不正确；B、∵AB∵CD∵MN，∵AM BNDM CN=，本选项结论不正确；C、∵AB∵CD∵MN，∵DC ACME AE=，AC ABEC EN=，∵DC ABME EN≠，本选项结论不正确；D、∵AB∵CD∵MN，∵AE CEAM DM=，本选项结论正确；故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，找准对应关系是解题的关键．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A ．2BC ．25+D ．2【答案】B【解析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，∵AD=BC=ycm ，由折叠的性质得：AE=12AB=12x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∵AE AD AD AB =，即12x y y x=， ∵x 2=2y 2，y ，∵x y=．故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．5．在下列条件中，不能判断∵ABC 与∵DEF 相似的是（）A ．∵A ＝∵D ，∵B ＝∵EB ．BC EF ＝AC DF且∵B ＝∵EC．ABDE＝BCEF＝ACDFD．ABDE＝ACDF且∵A＝∵D【答案】B【解析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．解：A、∵A＝∵D，∵B＝∵E，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；B、BCEF＝ACDF，且∵B＝∵E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出∵ABC∵∵DEF，故此选项符合题意；C、ABDE＝BCEF＝ACDF，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；D、ABDE＝ACDF，且∵A＝∵D，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A．2米B．2.5米C．3米D．4米【答案】B【解析】根据光沿直线传播的道理可知AD∵BE，则∵BCE∵∵ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．由题意知，可得，∵，∵（米），米，∵，∵米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．7．∵∵∵∵∵∵ABCD∵∵∵∵AC∵BD∵∵∵∵O∵∵ACB∵∵∵∵∵∵∵∵AB∵BD∵M∵N∵∵∵∵AM∵2∵∵∵∵O N∵∵∵( )A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】作MH∵AC 于H ，如图，根据正方形的性质得∵MAH=45°，则∵AMH 为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到AB=2，OC=12+1，所以CH=AC -，然后证明∵CON∵∵CHM ，再利用相似比可计算出ON 的长．【详解】试题分析：作MH∵AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∵∵MAH=45°，∵∵AMH 为等腰直角三角形，， ∵CM 平分∵ACB ，），∵OC=12，CH=AC ﹣+2， ∵BD∵AC ，∵ON∵MH ，∵∵CON∵∵CHM ，∵ON OCMH CH == ∵ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是（）A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】解：点()2,4A -，()8,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是112,422⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭或112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2-或()1,2-. 故选：D.【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.9．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（）A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:13【答案】C【解析】【分析】根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD =2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ∵AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G∵平行四边形的面积是6ab∵FG =3b∵AD ∵BC∵∵AED ∵∵CEM∵M 是BC 边的中点， ∵2EF AD EG MC==, ∵EF =2b ，EG =b ∵1122CEM S EG CM ab =⨯=∵1322CDM ACM S SFG CM ab ==⨯= ∵CDE CDM CEM S S S ab =-= ∵阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∵阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=5:65:122ab ab = 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，MN 垂直平分AC ，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接．DN 若5DN ，则AB 等于（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】根据垂直平分线的性质证明AMN ABC ，可得到12MN BC =，即可得到MN CD =，得到△△Rt AMN Rt NDC ≅，即可得到结果；【详解】由题意知：MN 垂直平分AC ，∵12AN CN AC ==，90ANM ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∵MN BC ，90ACD ∠=︒，∵AMN ABC ，90ANM ACB ∠=∠=︒， ∵12AN AM NM AC AB BC ===， ∵12MN BC =， ∵12CD BC =， ∵MN CD =，在Rt∵AMN 和Rt∵NDC 中，AN NC NM CD⎧=⎨=⎩， ∵△△Rt AMN Rt NDC ≅，∵AM DN =，∵5DN ，∵5AM =，512AB =， ∵10AB =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．11．如图，D∵E分别是∵ABC的边AB∵BC上的点，且DE∵AC∵AE∵CD相交于点O，若S∵DOE∵S∵COA=1∵25，则S∵BDE与S∵CDE的比是（）A．1∵3B．1∵4C．1∵5D．1∵25【答案】B【解析】【详解】∵DE∵AC∵∵∵DOE∵∵COA∵∵S∵DOE∵S∵COA=1∵25∵∵15 DEAC=∵∵DE∵AC∵∵15 BE DEBC AC==∵∵14 BEEC=∵∵S∵BDE∵S∵CDE∵∵∵1∵4∵∵∵B∵12．如图，在线段BD上任取一点C，将线段CB逆时针旋转90︒得到线段AB，将线段CD顺时针旋转90︒得到线段ED，连接AE，AC，CE，M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q．直线PQ分别交AB，ED于F，G两点，有下列结论：∵BM DM⊥；∵四边形AFGE为平行四边形；∵FP GQ PQ+=；∵2BF DGAF=⋅．其中正确的结论是（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】D【解析】【分析】∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=12BD，则∵BMD=90°，判断∵正确；∵先由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出∵BPC=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AP=PC，同理得出EQ=QC，则PQ是∵CAE的中位线，由三角形中位线定理得到PQ∵AE，PQ=12AE，又AF∵EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断∵正确；∵先由平行四边形的性质得出FG=AE，又由∵知PQ=12AE，则FP+GQ=12AE=PQ，判断∵正确；∵先证明∵APF=∵DQG，又∵FAP=∵GDQ=45°，根据两角对应相等的两三角形相似得出∵APF∵∵DQG，由相似三角形对应边成比例得出AF PFDG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，PF BFQG EG=，则AF BFDG EG=，AF•EG=BF•DG，又AF=EG，判断∵正确．【详解】解：∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，∵点M是AE的中点，∵N为BD中点，即MN垂直平分BD，∵BM=DM．∵MN是梯形ABDE的中位线，∵MN=12（AB+ED）=12（BC+CD）=12BD=BN=ND，∵∵BMD=90°，即BM∵DM，故∵正确；∵∵∵BMD、∵ABC均是等腰直角三角形，∵∵MBD=∵ACB=45°，∵∵BPC=90°，即BP∵AC，∵AP=PC，同理EQ=QC，∵PQ是∵CAE的中位线，∵PQ∵AE，PQ=12 AE，又∵AF∵EG，∵四边形AFGE为平行四边形，故∵正确；∵∵四边形AFGE为平行四边形，∵FG=AE，∵PQ=12 AE，∵FP+GQ=FG-PQ=AE-12AE=12AE=PQ，即FP+GQ=PQ，故∵正确；∵∵∵ACB=∵MDB=45°，∵AC∵DM，∵∵CPQ=∵MQP，∵∵APF=∵CPQ，∵MQP=∵DQG，∵∵APF=∵DQG，∵∵FAP=∵GDQ=45°，∵∵APF∵∵DQG，∵AF PF DG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，∵PF BF QG EG=，∵AF BF DG EG=，∵AF•EG=BF•DG，∵四边形AFEG是平行四边形，∵AF=EG，∵AF2=BF•DG，故∵正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三角形与梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形、平行四边形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题13．8与2的比例中项是_____________．【答案】4或﹣4【解析】【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：设8与2的比例中项是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案为：4或﹣4【点睛】本题主要考查了比例线段问题，关键是利用比例中项和比例的基本性质解答．14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝__（结果保留根号）．【答案】5【解析】【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有1110522AP AB -==⨯=故答案为：5．【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．15．如图，在∵ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC∵CD 为__________．【答案】2∵1【解析】【分析】过C 点作CP∵AB ，交DE 于P ，由PC∵AE 知PC CM AE AM =，由AM=CM ，得PC=AE ，根据AE ＝14AB 得CP ＝14AB ，CP ＝13BE ，由CP∵BE 得13CP CD BE BD ==，可得BD=3CD ，继而得到答案. 【详解】过C 点作CP ∵AB ，交DE 于P ，如图，∵PC ∵AE ， ∵PC CM AE AM=，而AM =CM ，∵PC =AE ，∵AE =14AB ， ∵CP =14AB ， ∵CP =13BE ， ∵CP ∵BE ， ∵13CP CD BE BD ==， ∵BD =3CD ，∵BC =2CD ，即BC :CD 为2:1，故答案为：2:1.【点睛】本题考查平行线分线段成比例.16．如图，在ABC △中，若21BD DC CE EA ==∶∶∶，AD 与BE 交于F ，则AF FD =∶________.【答案】34【解析】【分析】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案.【详解】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，∵2EH BD HC DC ==，∵23EH CE =，∵::2:1BD DC CE EA ==，∵1324AE CE EH ==，∵34AF AE FD EH ==.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.17．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm ，则较大多边形周长为_____．【答案】48cm【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为xcm ，则有36x ＝43，解得：x ＝48大多边形的周长为48cm ．故答案为48cm ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．18．如图，∵ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：∵∵AC P=∵B ；∵∵APC =∵ACB ：∵∵CAP =∵BAC ；∵AC AP AB AC．能确定∵APC 和∵ACB 相似的是___________（只填写序号）．【答案】∵∵∵【解析】【分析】∵和∵根据两组角相等证明相似，∵根据两组对应边成比例且夹角相等证明相似．【详解】解：∵∵ACP B ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵∵APC ACB ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵不可以证明； ∵∵AC AP AB AC =，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ．故答案是：∵∵∵．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．19．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【解析】根据题意画出图形，构造出∵PCD∵∵PAB ，利用相似三角形的性质解题．解：过P 作PF∵AB ，交CD 于E ，交AB 于F ，如图所示设河宽为x 米．∵AB∵CD ，∵∵PDC=∵PBF ，∵PCD=∵PAB ，∵∵PDC∵∵PBA ， ∵AB PF CD PE=， ∵AB 15x CD 15+=，依题意CD=20米，AB=50米， ∵1520 5015x =+，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．20．已知：如图，()6,2-E ，()2,2--F ，以原点O 为位似中心，相似比1:2，把EFO △在点O 另一侧缩小，则点E 的对应点'E 的坐标为________．【答案】()31-,【分析】根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限，又由E 的坐标，计算可得答案．【详解】解：根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限；又由E 的坐标为()6,2-，则对应点'E 的坐标为()3,1-．故答案是：()3,1-【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键． 21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在AB 上，连接CD ，2ADC A ∠=∠，4AC =，5BC =，则线段CD =___________________．【解析】【分析】作CE ＝AC 交AB 于E ，证明∵DCE 是等腰三角形，过点D 作DF∵CE 于F ，求出CF ＝2，然后证明∵ABC∵∵CDF ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∵A＝∵CEA，CE＝4，∵∵ADC＝∵DCE＋∵CEA，∵ADC＝2∵A，∵∵DCE＝∵A＝∵CEA，∵DC＝DE，过点D作DF∵CE于F，则CF＝EF＝12CE＝2，∵∵DCE＝∵A，∵DFC＝∵BCA＝90°，∵∵ABC∵∵CDF，∵CF CD AC AB，在Rt∵ABC中，AB，∵2441，∵41 CD，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中， 6,,AD AE BD =⊥垂足为,3E ED BE =，点,P Q 分别在,BD AD 上，则AP PQ +的最小值为 ___________【答案】【解析】【分析】在Rt∵ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明∵ADA′为等边三角形，当PQ∵AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q∵AD 时AP+PQ 最小，从而可求得AP+PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案.【详解】解：设BE=x ，则DE=3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE∵BD ，∵∵ABE∵∵DAE ，∵AE 2=BE•DE ，即AE 2=3x 2，，在Rt∵ADE 中，由勾股定理可得AD 2=AE 2+DE 2，即62=）2+（3x ）2，解得∵AE=3，如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连接A′D ，PA′，则A′A=2AE=6=AD ，AD=A′D=6，∵∵AA′D 是等边三角形，∵PA=PA′，∵当A′、P 、Q 三点在一条线上时，A′P+PQ 最小，又垂线段最短可知当PQ∵AD 时，A′P+PQ 最小，∵AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明∵A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．三、解答题23．已知::3:4:5x y z =．（1）求x y z+的值；（2）若6x y z ++=，求x 、y 、z ．【答案】（1）75x y z +=；（2） 1.5,2, 2.5x y z === 【解析】（1）根据比例的意义，用a 表示x ，y ，z ，根据分式的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得a ，可得答案．【详解】（1）设3,4,5x a y a z a ===，34755x y a a z a ++==；（2）将3,4,5x a y a z a ===代入6x y z ++=，得3456a a a ++=，解得0.5a =所以3 1.5,42,5 2.5x a y a z a ======【点睛】本题考查了比例的性质与分式的性质，利用a 表示出x ，y ，z 是解题关键．24．如图，已知AD∵EB∵FC ，AC=12，DB=3，BF=7，求EC 的长．【答案】EC 的长为425．【解析】【分析】根据AD∵EB∵FC ，由平行线分线段成比例可得EC ：AC= BF ：DF ，代入数据计算即可．∵AD∵EB∵FC，∵EC：AC= BF：DF，∵EC：12=7：10，∵EC=425．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．25．如图，B、C、D、N分别是∵AMO边AO、MO上的点，MC∵ND，OB ODAB CD=，求证：NB∵MA【答案】证明过程见解析【解析】【分析】利用平行线分线段成比例就可解决问题．【详解】解：∵MC∵ND∵OD ON CD MN=∵ OB OD AB CD=∵OB ON AB MN∵NB∵MA【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∵BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∵AFE=∵B（1）求证：∵ADF∵∵DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似∵ADF∵∵DEC.（2）利用∵ADF∵∵DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt∵ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD，AD∵BC∵∵C+∵B=180°，∵ADF=∵DEC∵∵AFD+∵AFE=180°，∵AFE=∵B，∵∵AFD=∵C在∵ADF与∵DEC中，∵∵AFD=∵C，∵ADF=∵DEC，∵∵ADF∵∵DEC（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∵CD=AB=8．由（1）知∵ADF∵∵DEC，∵AD AF DE CD=，∵AD CDDE12AF⋅===在Rt∵ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在∵ABC中，BA＝BC，过C点作CE∵BC交∵ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE 上的一点，且∵BAD＝∵CAE.求证：∵ABD∵∵ACE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BE∵AC，利用等角代换可证明出∵ABD＝∵ACE，继而可得出结论.【详解】∵BA＝BC，BE平分∵ABC，∵∵ABE＝∵CBE，BE∵AC(等腰三角形三线合一的性质)，∵∵CBE+∵ACB＝90°，又∵CE∵BC，∵∵ACE+∵ACB＝90°，∵∵CBE＝∵ACE，∵∵ABE＝∵ACE，∵∵BAD＝∵CAE，∵∵ABD∵∵ACE.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质及等角代换的知识得出∵ABE=∵ACE，另外要求同学们掌握相似三角形的判定定理．28．如图，∵ABC中，∵BAC＝90°，∵B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将∵ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．（1）求∵BDE的度数．（2）求证：∵DEB∵∵ADB．（3）若BC＝4，求BE的长．【答案】（1）36°；（2）详见解析；（31【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∵C=90°-∵B=54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，利用三角形内角和定理求出∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．再根据折叠的性质得出∵ADF=∵ADC=72°，然后根据平角的定义得出∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=36°．（2）根据∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD证明即可；（3）由∵DEB∵∵ADB得BE BDBD AB，设BE＝x得方程x(x+2)=4∵求解方程即可.【详解】（1）∵在Rt∵ABC中，∵BAC=90°，∵B=36°，∵∵C=90°-∵B=54°．∵AD是斜边BC上的中线，∵AD=BD=CD，∵∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，∵∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．∵将∵ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∵∵ADF=∵ADC=72°，∵∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=180°-72°-72°=36°．（2）∵∵BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∵AD＝BD，∵∵B＝36°，∵∵BAD＝36°，∵∵BDE＝36°，∵∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD，∵∵DEB∵∵ADB．（3）∵∵DEB∵∵ADB，∵BE BDBD AB=，设BE＝x，∵BC＝4，∵(2)4x x+=，∵BE＝x1【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【答案】13.5m【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用∵CGE∵∵AHE，得出CG EGAH EH=，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【详解】解：∵CD∵FB，AB∵FB，∵CD∵AB∵∵CGE∵∵AHE∵CG EG AH EH=即：CD EF FD AH FD BD-=+∵3 1.62215 AH-=+∵AH＝11.9∵AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键.30．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在∵ABC 中，∵A=36°，AB=AC ，∵C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线CD 是∵ABC 的黄金分割线．【答案】∵1∵详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明∵BCD∵∵BCA,得到BC BD AB BC =.则有AD BD AB AD =,所以点D 是AB 边上的黄金分割点;(2)证明::ACD ABC BCD ACD SS S S =,直线CD 是∵ABC 的黄金分割线;【详解】解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∵A=36o ,∴∵B=∵ACB=72o .∴CD 是角平分线, ∴∵ACD=∵BCD=36o ,∴∵A=∵ACD,∴AD=CD.∴∵CDB=180o 180-∵B -∵BCD=72o ,∴∵CDB=∵B,∴BC=CD.∴BC=AD.在∵BCD 与∵BCA 中, ∵B=∵B,∵BCD=∵A=36o ,∴∵BCD∵∵BCA, ∴BC BD AB BC= ∴AD BD AB AD= ∴点D 是AB 边上的黄金分割点.(2)直线CD 是∵ABC 的黄金分割线.理由如下:设ABC 中,AB 边上的高为h,则12ABC S AB h =⋅,12ACD S AD h =⋅,12BCD S BD h =⋅, ∴::ACD ABC S S AD AB =::BCD ACD S S BD AD =由（1）得点D 是AB 边上的黄金分割点，AD BD AB AD= ∴::ACD ABC BCD ACD S S S S =∵∴直线CD 是∵ABC 的黄金分割线【点睛】本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.31．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∵ABC 中，点O 在线段BC 上，∵BAO ＝20°，∵OAC ＝80°，AO ＝BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∵AC，交AO的延长线于点D，通过构造∵ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∵ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC∵AD，AO＝∵ABC＝∵ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【答案】（1）80，（2）DC＝【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∵ADB＝∵OAC＝80°，即可证明∵BOD∵∵COA，可得13OD OBOA OC==，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∵ABD＝180°﹣∵BAD﹣∵ADB＝80°＝∵ADB，即可得出AB＝AD＝8（2）过点B作BE∵AD交AC于点E，通过证明∵AOD∵∵EOB，可得BO EO BEOD AO DA==，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．【详解】解：（1）∵BD∵AC，∵∵ADB＝∵OAC＝80°，∵∵BOD＝∵COA，∵∵BOD∵∵COA ， ∵13OD OB OA OC ==∵AO ＝∵OD ＝13AO ＝∵AD ＝AO+OD ＝，∵∵BAD ＝20°，∵ADB ＝80°，∵∵ABD ＝180°﹣∵BAD ﹣∵ADB ＝80°＝∵ADB ，∵AB ＝AD ＝，故答案为：80，（2）过点B 作BE∵AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∵AD ，BE∵AD ，∵∵DAC ＝∵BEA ＝90°，∵∵AOD ＝∵EOB ，∵∵AOD∵∵EOB ， ∵BO EO BE OD AO DA== ∵BO ：OD ＝1：3， ∵13EO BE AO DA ==∵AO ＝∵EO ＝13AO ＝∵AE ＝AO+EO ＝∵∵ABC ＝∵ACB ＝75°，∵∵BAC ＝30°，AB ＝AC ，∵AB ＝2BE ，在Rt∵AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∵AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∵CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似复习测试题(含详解)

2019下学期九年级数学第四章图形的相似复习测试题一、选择题1、如图4-2-6所示，已知直线a∥b∥c，直线m分别交a,b,c于点A,C,E,直线n分别交a,b,c于点B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为（）A. B. C.6 D.2、若图4-3-4中的两个四边形相似，则的∠α度数是（)A.87°B.60°C.75°D.120°二、填空题3、在比例尺为1 ：5 000的地图上，量得中、乙两地的图上距离是3.2 cm，把它画在新的比例尺是1：8000的地图上，应画 cm.5、如图4-2-11所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE=2AD，AE= 2,则 EC = .6、如图4-4-8所示，在△ABC中，AB= 9, AC=6,点M在AB边上,且AM=3,点N在AC边上，当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7、如图4-8-8所示，在平面直角坐标系中，点A，B，E，D，F的坐标分别是A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变换得到的，则位似中心的坐标是。

三、解答题8、如图4-1-2所示，点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，9、已知1，，2三个数，请再添上一个数，写出一个比例式.10、如图4-2-8所示，在△ABC中，线段AD平分∠BAC，求证:.11、如图4-3-2所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，己知AB = 4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.12、如图4-3-6所示，点E为矩形ABCD的边AB上一点且满足A EA B =B EA E，当四边形ADFE为正方形时，矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？13、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺为1 : 400)的长和宽分别为3 cm和2 cm,该厂所用原料是边长为4 m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形至少要用几块边长为4 m的正方形钢板(焊制损耗不汁)？14、根据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.(1)AB=3.5,BC=2.5,CA=4, A′B′=24.5, B′C′=17.5, C′A′=28;(2)∠A=35°,∠B=104°, ∠C′=44°, ∠A′=35° ；(3)AB=3,BC=2.6, ∠B=48°,A′B′=1.5, B′C′=1.3, ∠B′=48°.15、如图4-4-11所示，已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm,求线段BF的长.16、如图4-4-13所示，在边长为1的正方形网格中有△ABC和△DEF,试说明这两个三角形相似.17、在人体脚底到肚脐的高度与身高的比例上，理想的肚胳的位置是黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的高度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她选择穿多高的高跟鞋看起来会更美？18、如图4-5-4所示，△A BC为等边三角形，D,E分別是AC,BC上的点（不与顶点重合），∠BDE =60° .(1)求证：△DEC ∽△BDA;(2)若△ABC的边长为 4,并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式.19、如图4-5-6所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC，垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC;(2)若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长.20、如图4-5-8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置，使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.21、如图4-5-10所示，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，直线l∥BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P.求证：PM•PN=PR•PS.22、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一幢楼下，发现对面墙上有这幢楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：示意图如图4-6-7①所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这幢楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子的高度CD=1.2m，且测得CE=0.8m，CA=30m（点A,E,C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).23、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C,A共线.已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m，DE=1.5m，BC=8.5m.测量示意图如图4-6-9所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.24、如图4-6-11①所示，小华在测量电线杆AB的高度时，发现电线杆的影子恰好落在坡面CD和水平地面BC上，影子CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m长的标杆的影长为2m，求电线杆的高度（结果精确到0.1m，取1.41，取1.73）.25、如图4-7-5所示，在△ABC中,D,E分别为BC, AC边的中点，AD, BE相交于点G,若S△DEG = 1,求S△ABC.26、如图4-7-7所示，路边的两根电线杆(AB，CD)相距4 m,分别在离地面高3 m的A处和高6m的C处用铁丝将两电线杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度.27、如图4-7-9所示，已知△ABC中, AB= 5, BC= 3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.图4-7-9(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长，(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.28、如图4-8-11所示，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）。

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△ABC 与△ A′B′相C′似，那么△ A′B′的C′第三边长应该是 (
)
1 和 3 ，如果
A． 2
B． 2 2
C． 6 2
5．地图上的比例尺为 1： 200000，小明家到单位的图距为
位到家用了 4 小时，他骑自行车的平均速度为每小时 ( )
D． 3 3
20cm ，小明骑自行车从单
A ． 40000 米
13 、如果 2x 5y ，那么 x =____ y
14.人体下半身0.618 越给人以美感，遗憾的
是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美
.某女士身高 1.68m，下半身 1.02m，她应
选择
高跟鞋看起来更美丽？（精确到 1cm）
15．把一个矩形的各边都扩大 4 倍，则对角线扩大到
20．顶角为 36o的等腰三角形为黄金三角形，如图 9，△ ABC 、△ BDC 、△ DEC 都是黄金
三角形，已知 AB=1 ，则 DE=_____ （精确到 0.001）．
A A
ED
21．如图 10，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，
EF⊥ BE 交 CD 于 F，连接 BF，则图中与△ ABE 一定
b
ac
2
(2 ) a b
1 , 3a b 4 2b
____
25． (8 分 ) 如图 11，在 4× 4 的正方形方格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在边长为 1
的小正方形的顶点上．
（ 1）填空：∠ ABC=
o， BC=
；
A
B
（ 2）判断△ ABC 和△ DEF 是否相似，并证明你的结论．
B． 4000 米
6．两个相似三角形的最长边分别是
为（）
C． 10000 米
D． 5000 米
35 和 14，它们的周长差是 60，则大三角形的周长
A ． 80
B． 36
C． 40
D． 100
7．如图 1，已知 D 、E 分别是△ ABC 的的 AB 、AC 边上的一点， DE∥ BC ，且△ ADE
与四边形 DBCE 的面积之比为 1: 3，则 AD : AB 为（）
A ． 1: 4
B． 1: 3
C．1: 2
D ． 2: 3
8．如图 2，已知梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，对角线 AC 、BD 相交于 O，腰 BA 、CD 的
延长线相交于 M ，图中相似三角形共有（
）
A．1 对
B．2 对
C D
FE 图 11
26． (8 分) 如图 12，△ ABC 中， CD 平分∠ ACB 交 AB 于 D ，DE ∥ BC 交 AC 于 E，若
AD ∶ DB=2 ∶ 3， AC=15 ，求 DE 的长．
D． 3.24 米 2
10．如图 4，△ ACD ∽△ ABC ，则下列式子：① CD2= AD ·DB ；② AC 2= AD ·AB ；③
AC AB
= ．其中一定成立的有（
）
CD BD
A．3 个
B．1 个
C．2 个
D．0 个
1
11．如图，在 □ABCD 中， E 为 AD 上一点， DE︰ CE＝2
倍，其面积扩大到
倍．
16．如图 5，已知 OB=4 ， OA=8 ， OC=6，则当 OD=
时， AC ∥ BD ．
AE AD 2
17．如图 6，在△ ABC 中，点 D、E 分别在边 AC 、AB 上，且
，若 DE=4 ，
AC AB 3
则 BC=
．
18．如图 7，A 、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知
D
F
相似的三角形是
．
B
C
22．在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36 o，以点 A 为位
B
EC
图 10
似中心把△ ABC 放大 2 倍后得到△ A 1B 1C1，则∠ B 1=_____o．图 9
23．已知等边△ A1B1C1 的边长为 1，△ A 1B1C1 的三条中位线组成△ A 2B 2C2，△ A 2B2C2 的
米， DE//AB ，则 AB=
米．Ａ
CA=60 米， CD=24 米， DE=32 C
D
O
A 图5
B Ｅ
CＢ图6
Ｄ A
Ｃ
D
E
B 图7
图8
19．如图 8，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，两腰 BA 与 CD 的延长线相交于 P， PF⊥ BC ， AD=3.6 ， BC=6 ， EF=3 ，则 PF=_____．
九年级数学上册图形的相似综合 1
一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )
1．已知 x: y=2 : 3，则 (x+y) : y 的值为（
）
Ａ． 2: 5
Ｂ． 5: 2
Ｃ． 5: 3
Ｄ． 3: 5
2．将一个菱形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是 (
)
A ．菱形的各角扩大为原来的 2 倍
B．菱形的边长扩大为原来的 2 倍
︰3，连结 AE、 BE、BD，且 AE、BD 交于点 F ，则 S△DEF
︰S△ EBF︰ S△ABF 等于（
）
（A ） 4︰ 10︰ 25 （ B） 4︰ 9︰ 25
（C） 2︰3︰ 5 （ D） 2︰ 5︰ 25
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
12、已知 a、 b、 c、d 是成比线段 ,a=4cm,b=6cm,d=9cm, 则 c=____
C．菱形的对角线扩大为原来的 2 倍
D．菱形的面积扩大为原来的 4 倍
3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比
例的两个直角三角形相似； ③两个等边三角形一定相似； ④任意两个矩形一定相似．其中正
确的个数是（
）
A．1 个
B． 2 个
C．3 个
D． 4 个
4．已知△ ABC 的三边长分别为 2 ， 6 ， 2，△ A′ B′的C两′边长分别是
三条中位线又组成△ A3B 3C3，…，以此类推，得到△ A nB nCn，则△ A 3B3C3 的边长为
；
△A nBnCn 的边长为
．（其中 n 为正整数）
三、解答题 (共 60 分 )
24、填空及计算。
x y 17 x
(1)
, _____
y 9y
3、已知：a
b
c .
357
求（1）a b c 的值（ 2）a 2b 3c的值
C． 3 对
D．4 对
A
C
D
E
B
C
A
D
B
图1
图2
图3
图4
9．如图 3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示
意图 . 已知桌面半径为 0.6 米，桌面离地面 1 米．若灯泡离地面 3 米，则地面上阴影部分的
面积为（ -）
A ． 0.36 米 2 B ．0.81 米 2
C． 2 米 2