江苏省苏州市2021-2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题
江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题
江苏省苏州市2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b> 2．不等式(4)3x x -<的解集为A ．{}13x x x <>或 B ．{}04x x x <>或 C ．{}13x x << D ．{}04x x <<3．双曲线221916y x-=离心率为 A ．53 B ．54C ．73D ．744．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ．2212012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为A ．12B ．13C ．22D ．327．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是 A ．201斤 B ．191斤 C ．184斤 D ．174斤 8．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是 A ．(32-，43-](43，32] B ．(32-，43-][43，32) C ．[32-，43-)(43，32] D ．[32-，43-)[43，32) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A ．在△ABC 中，“B ＝60°”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B ．“x ＝1”是“x 2﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ＞0，使得x 2＋x ＋1＜0”，则p 的否定：“x ∀≤0，都有x 2＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅＝(1，2，3)，b ＝(3，0，﹣1)，c ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列等式中正确的是A ．()a b c b c ⋅=⋅B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．2222()a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a a =-(其中a 为常数)，则下列说法正确的是 A ．数列{}n a 一定是等比数列 B ．数列{}n a 可能是等差数列 C ．数列{}n S 可能是等比数列 D ．数列{}n S 可能是等差数列12．已知方程mx 2＋ny 2＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ，n ∈R ，p ＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，4，3)，b ＝(﹣2，t ，﹣6)，若a ∥b ，则实数t 的值为 ． 14．己知正实数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11x y+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为 ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （本题第一空2分，第二空3分）．第15题16．已知一族双曲线E n ：2221x y n n-=+(N n *∈，且n ≤2022)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，由A n 向E n 的两条渐近线作垂线，垂足分别为B n ，C n ．记△A n B n C n 的面积为n a ，则1232020a a a a ++++＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解下列不等式：（1）24120x x --≤；（2）223x x +<-． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为20000(cm 2)，设该铝合金窗的宽和高分别a (cm)，b (cm)，铝合金的透光部分的面积为S (cm 2)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少?20．（本小题满分12分）已知抛物线24x y =，过点P(4，2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ． （1）求k 的取值范围；（2）若△OMN 为直角三角形，且OM ⊥ON ，求k 的值． 21．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2 AF ＝t ，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1，求二面角A —DF —B 的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF ⊥BE ，求t 的最大值．22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF SSS==．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率．（2）若2PAF S，12PF F S，1PBF S成等差数列，且∠F 1BO ≤30°，求直线PF 1的斜率的取值范围．。
数学-江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试卷(含答案)
苏州市2021－2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学 2022.01一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设i 为虚数单位，若复数(1－i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．22．设集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}，B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B 的元素个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知圆锥的高为6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 2 4．在△ABC 中，∠BAC ＝π2，点P 在边BC 上，则“AP ＝12BC ”是“P 为BC 中点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 3＋S 6＝15，则a 3a 3＋a 6＝A ．215B ．14C ．516D ．136．北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A ，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是A ．59B ．89C ．1718D ．35367．已知a ＞b ＋1＞1，则下列不等式一定成立的是A ．|b －a |＞bB ．a ＋1a ＞b ＋1b C ．b ＋1a －1＜e bln a D ．a ＋ln b ＜b ＋ln a8．若斜率为k (k ＞0)的直线l 与抛物线y 2＝4x 和圆M ：(x －5)2＋y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D 两点，且AC ＝BD ，则当△MCD 面积最大时k 的值为A ．1B ． 2C ．2D ．2 2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则(图1) (图2)A ．→EH ∥→FCB ．→AH ·→BE ＝0C ．→EG ＝→EH ＋→EFD ．→EC ·→EH ＝→EC ·→ED 10．下列命题正确的是A ．若z 1，z 2为复数，则|z 1z 2|＝|z 1|⋅|z 2|B ．若→a ，→b 为向量，则|→a ·→b |＝|→a |·|→b |C ．若z 1，z 2为复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0D ．若→a ，→b 为向量，且|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则→a ·→b ＝0 11．已知函数f (x )＝14x 3＋12ax 2＋1，则A ．∀a ∈R ，函数f (x )在R 上均有极值B ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在R 上无极值C ．∀a ∈R ，函数f (x )在(－∞，0)上有且仅有一个零点D ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在(－∞，0)上有两个零点12．甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2，2.4]内，则这五个点数A ．众数可能为1B ．中位数可能为3C ．一定不会出现6D ．出现2的次数不超过两次 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．记数列{a n }的前n 项积为T n ，写出一个同时满足①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ． ①{a n }是递增的等比数列；②T 3＝T 6．14．设点P 是曲线y ＝x －32ln x 上的任意一点，则P 到直线y ＝－x 的最小距离是 ．15．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点E 在C 上，则双曲线C 的离心率为 ．16．已知直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝BB 1＝2，D ，E 分别为棱A 1C 1，AB 的中点过点B 1，D ，E 作平面α将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为V 1，V 2(V 1＜V 2)，则V 2＝ ；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 在①MC ＝2MB ；②sin C ＝2114；③S △ABM ＝3这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝27，b sin B ＋C2＝a sin B ．(1)求A ；(2)若M 为边AC 上一点，且∠ABM ＝∠BAC ， ，求△ABC 的面积． (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a n ＋m ＝a n ＋d (m ∈N *，d 是不等于0的常数)对任意n ∈N *恒成立，则称{a n }是周期为m ，周期公差为d 的“类周期等差数列”．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：{a n }是周期为2的“类周期等差数列”，并求a 2，a 2022的值； (2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n ．19．(本小题满分12分)2021年8月国务院印发《全民健身计划2021－2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关?附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关?(2)为了推广全面健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元)．20．(本小题镇分12分)如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．(1)若AG//平面CEF，求线段CF的长；(2)若二面角A－BD－C的大小为30°，求CE与平面ABD所成角的大小．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线P A与直线PB的斜率之积为－14．记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点D(0，1)，直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G，记直线AQ的斜率为k1，直线GQ的斜率为k2，求证：k1－2k2为定值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(e x－1)－ln x．(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；(2)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)，求证：对任意n∈N*，a n＞a n＋1＞12n ．苏州市2021—2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学参考答案一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分． 每小题给出的四个选项中， 只多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得0 分．13． 5) (1>n a a - 14．15． 16． 726;69π四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解： (1)由条件 sinsin 2B C b a B += 得 sin 90sin 2A b a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以 cos sin 2A b a B =， 由正弦定理得 sin cos sin sin 2A B A B =， 又 ABC 中， sin 0B ≠， 所以 cos sin 2AA =， 即2sin cos cos 222A A A =，又 0180A <<， 所以 cos 02A ≠， 则 1sin 22A =， 所以 60A =．(2)由(1)得 60A =， 由条件 ABM BAC ∠∠= 可知 ABM 为等边 三角形， 若选①： 2MC MB =， 不妨设 ,2MB x MC x ==，在 BCM 中申余弦定理得 222244cos120x x x a +-=， 解得 2x =， 所以 2,4MA MB MC ===，ABC 的面积为11sin sin 22AB AM A MBMC BMC ∠⋅⋅+⋅⋅=；若选②sin C = 由止弦定理得 sin sin ac A C =， 解得 2c =， 由余弦远理 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，所以ABC 的而积为 1sin 2bc A =若选③， ABM S =， 由等边二角形 ABM 的面积为 ， 可得其边长为 2 ， 即 2c AB ==， 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，所以 ABC 的面积为 1sin 2bc A =18．(1)证明： 由 141,1n n a a n n ++=+= 时， 125a a +=， 所以 24a =，且 1245n n a a n +⋅+=+，两式相减得 24n n a a +-=， 所以 {}n a 是周期为 2 的 “类周期等差数列”，且周期公差为 4 ， 所以 ()2022220222244044a a =+-÷⨯=． (2) 因为 +1n n n b a a =-，所以 {}n b 的前 n 项和 11n n T a a +=-，由(1)得 {}n a 是周期为 2 ， 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”，所以当 n 为奇数时， 1n + 为偶数， ()12122422n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 21n T n =+；当n 为偶数时， 1n + 为奇数， ()11112421n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 2n T n = ；综上，*21,21,.2,2,n n n k T k n n k +=-⎧=∈⎨=⎩N19．解：(1)设 0H ：“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关．()()()()222()100(2501000)9.8907.879,50506535n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯ 则能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作：为主要健身方式” 与性别有关． 答： 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 标关．(2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人，则有男性： 2513565⨯= 人， 女性： 4013865⨯= 人， 设补贴金额为变量 X ， 则 X 的可能值为 1000,1500,2000．()()()211285852221313142051000,1500,2000393939C C C C P X P X P X C C C =========()142051000150020001385393939E X =⨯+⨯+⨯≈元 答： 补贴金额的数学期望是 1385 元．20．解： (1) 由 //AG 平面 ,CEF AG ⊂ 平面 ABD ， 平面 CEF ⋂ 平面 ABD EF =， 得 //AG EF ， 又 E 为线段 AB 的中点， 所以 F 是 BG 中点．因为 ABD 是边长为 2 的等边 三角形， G 为线段 BD 的中点， AG BD ⊥，BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形， 得 12FG =．连结 CG ， 得 CG BD ⊥ 且1CG =．Rt CFG 中，CF == (2)CG ⊥ ,BD AG BD ⊥， 作 AH ⊥ 而 AGC ， 垂足为 H ，由二面角 A BD C -- 的大小为 30 ， 得 AGH ∠ 为二面角 A BD C -- 的平面角， 30AGH ∠=，易求 32HG =， 在 AG 上取 Q 点， 使 13AQ AG =， 连接 CQ ， 以 C 为坐标原点，分别以 CB ，,CD CQ 为 ,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系．则 ())()0,0,0,,,C BD A ⎛ ⎝⎭，2,,884442E AD ⎛⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．设面 ABD 的法向量为 (),,x yz =n ， 由0,0.BD AD ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 令 1x =， 则 1,y z ==所以一个法向量(=n ，38cos ,2CE CE CE ⋅===n n n 则 ,,4CE π=n21．（1）解： 设 (),P x y ， 则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为1224y y x x ⋅=-+-， 且 2x ≠±，所化简得 221,24x y x +=≠±且，所以曲线 C 的方程为 221,24x y x +=≠±且．(2) 设 ()00,M x y ， 则 001:1y DM y x x -=+， 令 0y =， 则 001x x y -=-， 所以 00,01x G y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， ()001:2,:1,22y AM y x BD y x x =+=-++所以Q 点坐标满足 ()000000000244,2,222 41.1,222x y y x y x x y x y y y x x y ⎧-+⎧==+⎪⎪+++⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-+⎪⎪++⎩⎩解得 所以00000002444 ,,2222x y y Q x y x y ⎛⎫-+ ⎪++++⎝⎭所以()()()()00000200000000000044122244244122221y y y x y k x y x x y y x x y x y y -++==-+-+-++++++-()()000002220000000000041411,448484822y y y y y x y x y y y x y y y x ---===-++--++-++ 所以()()()()()00000001200000022221122222222y y x x y y y k k x y x x y x --++---=+=+--+-- 22000000002200000000224224124442482y x y x y x y x x x y x y x y x +--+--===-+--+--所以122k k -为定值1222．解：(1)()f x 的定义域为 ()0,∞+，()()1ln 1ln ln ,r re f x e x x-=--=()()()()()()2111,0,,11,0,0,x x x x x e e g x x g x x x h x x e x h x xe -+-'=>=='-+>=>令则令则 所以 ()()11x h x x e =-+ 在()0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时，()()()1100x h x x e h =-+>=，所以 ()0g x '>， 所以 ()1re g x x-= 在 ()0,∞+上单调递增，所以 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增．(2) 设 ()1,0xn x e x x =-->，则 ()10rn x e =->'，所以 ()n x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时 ()0n x >， 所以 0x > 时， ()()ln 1ln ln ln 0xf x e x x x =-->-=，故 ()10n n a f a +=>，11a =， 所以 ()()()()211ln 10,1a f a f e ===-∈， 所以 21a a <， 由(1)知 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 ()()21f a f a <， 即 32a a <， 以此类推， 则有 1n n a a +<，所以 10n n a a +<<，所以()112ln 1ln .11,2n n n a n n n n a a n n n e a a a a a a e e a ++--=>⇔>- 只需证明 01x << 时， 21x x xe e >-， 设 ()()21,0,1xx k x xe e x =-+∈，则 ()22221022x x x x x x x k x e e e e e '⎛⎫=+-=+-< ⎪⎝⎭， 所以 ()k x 在 ()0,1 上单调递减， 所以 ()()00k x k >=， 故 01x << 时， 21x x xe e >- 成立，所以 21n n a a na e e >-， 所以 112n n a a +>． ， 故 112n n a a +>， 所以 211111222n n n n a a a +-⎛⎫>>>>⎪⎝⎭． 综上所述， 对任意 *11,2n n n n a a +∈>>N ．。
江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题
【市级联考】江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的焦点坐标为______．3．在平面直角坐标系xOy 中，三点()1,0A ，(),3B a ，()0,2C 共线，则实数a 的值为___．4．在平面直角坐标系xOy 中，方程22121x y k k +=--表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值范围是____．5．在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 在直线40x y +-=上，则OP 的最小值为______．6．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,2B ，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______．7．函数()xf x e x =-的单调递增区间为______．8．已知直线l ，m 及平面α，l α⊄，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的______条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) 9．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若“阳马”11B A ACC -的体积为320cm ，则“堑堵”111ABC A B C -的体积为______3cm ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和右焦点，点B ，C 分别是椭圆的上、下顶点.若AB CF ⊥，则该椭圆离心率为______．11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中，正确命题的序号是______.①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ③若m ⊂β，α∥β，则m ∥α.12．已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222(3)(4)x y r -+-=和点(0,A ，(B ，若在圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=，则半径r 的取值范围是______．14．若函数()()21()1f x x x a a =---+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是___．二、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD ，//AB DC ，4AD BC ==，8AB =， 6.DC =以A ，B 为焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过C ，D 两点．()1求双曲线的方程；()2写出该双曲线的离心率和渐近线方程．16．如图，AC ，DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ，N 分别是线段AC ，DF 上的点，且12AM MC =，12DN NF =．()1证明：//MN 平面BCF ； ()2证明：MN DC ⊥．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y ++-+=．()1若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l 的方程； ()2已知点()11,P x y 为直线26y x =-上一点，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，若PM =，求点P 的坐标．18．光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k 1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k 2(k 1,k 2均为正常数).如图，强度分别为8，1的两个光源A ，B 之间的距离为10，物体P 在连结两光源的线段AB 上(不含A ，B).若物体P 到光源A 的距离为x ．(1)试将物体P 受到A ，B 两光源的总照度y 表示为x 的函数，并指明其定义域； (2)当物体P 在线段AB 上何处时，可使物体P 受到A ，B 两光源的总照度最小？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>右准线方程为3x =()1求椭圆C 的标准方程；()2已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在第三象限内.M为椭圆C 的上顶点，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ．①若直线l 经过原点，且1254k k -=，求点A 的坐标； ②若直线l 过点()2,1--，试探究12k k +是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．20．已知函数()()()ln 12f x a x b x x =+--，其中a ，b R ∈．()1当1b =时，若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的值； ()2当1a =时．①若函数()f x 在区间()1,2上单调递增，求b 的取值范围；②若存在实数01x >，使得()00f x <，求b 的取值范围．参考答案1．2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题. 2．(2,0) 【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标． 【详解】抛物线y 2＝8x 的开口向右，P ＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）． 故答案为（2，0）． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题. 3．12-【解析】 【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a 的方程，解出即可． 【详解】 由题意得：3020101a --=--， 解得：a 12=-，故答案为12-．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题． 4．1k <或2k > 【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k ）（k ﹣1）＜0，解之可得k 的范围． 【详解】若方程22121x y k k +=--表示的曲线为双曲线，则（2﹣k ）（k ﹣1）＜0，即（k ﹣2）（k ﹣1）＞0， 解得k ＜1或k ＞2， 故答案为k ＜1或k ＞2． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k ）（k ﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5．【解析】 【分析】OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4＝0上， ∴OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离：d ==故答案为 【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．()2215x y +-= 【分析】求出线段AB 的中点为圆心，半径为12|AB |，再写出圆的标准方程． 【详解】A （﹣2，0），B （2，2），则以线段AB 为直径的圆的圆心为C （0，1），半径为r 12=|AB |12==∴所求的圆的标准方程为x 2+（y ﹣1）2＝5． 故答案为x 2+（y ﹣1）2＝5． 【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题． 7．()0,∞+ 【解析】 【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间． 【详解】函数f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f ′（x ）＝e x ﹣1， 由f ′（x ）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e 0， 解得x ＞0，故答案为（0，+∞）． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题． 8．必要不充分 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l ⊥α又m ⊂α，得：“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件，反之，当l //α时，α内仍有直线与l 垂直，得“l ⊥m ”时，可能直线l //α，所以不充分. 【详解】由“l ⊥α “则直线l 垂直平面α中的任意直线，又m ⊂α，则“l ⊥m ”，即“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件，反之，当l //α时，α内仍有直线与l 垂直，即“l ⊥m ”可能有l //α成立，所以“l ⊥m ”是“l ⊥α”的不充分条件，即“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要不充分条件， 故答案为必要不充分条件 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题. 9．30 【解析】 【分析】连接A 1，C ，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解． 【详解】 如图，连接A 1C ， 根据等底等高，易得：11111111B AA C B A C C A BCC A BC B V V V V ----===，∵B ﹣A 1ACC 1的体积为20cm 3， ∴ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为30cm 3， 故答案为30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10 【解析】 【分析】利用已知条件AB ⊥CF ，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点A ，F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的右顶点和右焦点，点B ，C 分别是椭圆的上、下顶点．若AB ⊥CF ， 可得：b a -•b c=-1，可得b 2＝ac ＝a 2﹣c 2，可得e 2+e ﹣1＝0，e ∈（0，1），解得e 12=．故答案为12．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力． 11．③ 【解析】 【分析】在①中，m 与n 相交、平行或异面；在②中，n ∥α或n ⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m ∥α． 【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在①中，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故②错误；在③中，若m ⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m ∥α，故③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．2ln2+ 【分析】根据题意，设切线的坐标为（m ，lnm +m ），求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1，代入化简得到lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m++1，求出g ′（m ），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g （m ）的最小值，即可得答案． 【详解】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m =+1， 则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y ＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1， 则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=， 在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2； 故答案为ln 2+2． 【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13．2⎡⎤⎣⎦【分析】点A （0，，B （0，求出点P 的轨迹方程，使得∠APB ＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r 的取值范围． 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，，B （0，使得∠APB ＝60°，可知P 在以AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在AB 的中垂线即x 轴上，半径为：12=2，由垂径定理可得圆心到y 轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0） 则P 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝22， 或：（x +1）2+y 2＝22，已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝r 2，若在圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝60°，≤r +2，并且2r -≤r ∈[2，2]．故答案为[2，2]． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14．,1122⎛⎛⎫-∞-⋃++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可． 【详解】f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣a ）2﹣a +1，∴f ′（x ）＝（x ﹣a ）（3x ﹣a ﹣2） 令f ′（x ）＝0，解得x ＝a 或x 23a +=， ∵f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣a ）2﹣a +1有三个不同的零点， ∴f （x ）极大值f （x ）极小值＜0，∴f （a ）f （23a +）＜0， 即（﹣a +1）[（23a +-1）（23a +-a ）2﹣a +1]＜0， 整理可得（a ﹣1）2（24(1)2727a --）＞0，即4（a ﹣1）2﹣27＞0且a 1≠,解得a ＜1或a ＞1故答案为（﹣∞，1）∪（1，+∞） 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、解决问题的能力．15．（1）221412x y -=（2）离心率2e =,渐近线方程为y =【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A ，B ，C ，D 的坐标，可得CA ，CB 的距离，由双曲线的定义可得a ，再由a ，b ，c 的关系可得b ，即可得到双曲线的方程； （2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求． 【详解】（1）因为等腰梯形ABCD ，AB DC ，4AD BC ==，8AB =，6DC =.所以()4,0A -，()4,0B ，(C ，(3,D .所以8CA ==，4CB ==. 因为24a CA CB =-=，所以2a =.又因为A ，B 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦点，所以28c AB ==，所以4c =.所以b ==.所以双曲线的方程为221412x y -=.（2）由（1）知，24a c ==，，所以双曲线的离心率2ce a==.又b =双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取DC的三等分点P，通过平面MNP∥平面FCB可得线面平行；（2）利用DC垂直平面FBC，得到CD⊥平面MNP，易证．【详解】(1)取DC的三等分点P，使DP12PC =，∵12AM MC=，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵12DN NF=，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础题．17．（1）10x y ++=或30x y +-=；（2）点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0. 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM 2＝PC 2﹣MC 2，又由PM =，则2PO 2＝PC2﹣MC 2，代入点的坐标变形可得：x 12+y 12﹣2x 1+4y 1﹣3＝0，①，又由点P （x 1，y 1）为直线y ＝2x ﹣6上一点，则y 1＝2x 1﹣6，②，联立①②，解可得x 1的值，进而计算可得y 1的值，即可得答案． 【详解】（1）将圆22:2430C x y x y ++-+=化标准方程为()()22122x y ++-=，所以圆心()1,2C -，半径r =又因为圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零， 所以设切线l 的方程为0x y a +-=.因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=解得：1a =-或3a =.所以切线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=.（2）因为PM 为切线且M 为切点，所以222PM PC MC =-.又因为PM =，所以2222PC MC PO -=.又因为()11,P x y ，()0,0O ，MC r ==所以()()()222211111222x y x y ++--=+，化简可得：2211112430x y x y +-+-=①；因为点P 在直线26y x =-上，所以1126y x =-②.联立①②可得：22111111243026x y x y y x ⎧+-+-=⎨=-⎩，消去1y 可得：21151890x x -+=，解得135x =或13x =. 将135x =代入②可得：1245y =-，所以点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.将13x =代入②可得10y =，所以点P 的坐标为()3,0. 综上可知，点P 的坐标为324,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0. 【点睛】本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题． 18．（1）y =8k 1k 2x +k 1k 210−x ，x ∈(0,10)；（2）在连接两光源的线段AB 上，距光源A 为203处.【解析】 【分析】（1）求出P 点受A 光源的照度，P 点受B 光源的照度，求和即可；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可． 【详解】（1）因为物体P 到光源A 的距离为x ，所以物体P 到光源B 的距离为10−x . 因为P 在线段AB 上且不与A ，B 重合，所以0<x <10.因为光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比. 所以P 点受A 光源的照度为：8k 1k 2x 2，P 点受B 光源的照度为：k 1k 2(10−x )2， 所以物体P 受到A ，B 两光源的总照度y =8k 1k 2x 2+k 1k 2(10−x )2，x ∈(0,10).（2）因为f (x )=8k 1k 2x 2+k 1k2(10−x )2，x ∈(0,10). 所以f ′(x )=−16k 1k 2x 3+2k 1k 2(10−x )3=2k 1k 2(3x−20)(3x 2−60x+400)x 3(10−x )3. 令f ′(x )=0，解得x =203.当0<x <203时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,203)上单调递减； 当203<x <10时，f ′(x )>0，所以在(203,10)上单调递增. 因此，当x =203时，f (x )取得极小值，且是最小值.所以在连接两光源的线段AB 上，距光源A 为203处，物体P 受到光源A ，B 的总照度最小. 【点睛】本题考查了函数模型中求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19．（1）2214x y +=；（2）①83,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②为定值1. 【分析】（1）由已知列关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆C 的标准方程可求；（2）①设A （x 1，y 1），M （0，1），由椭圆对称性可知B （﹣x 1，﹣y 1），由点A （x 1，y 1）在椭圆上，得到221114x y -=-，求出k 1•k 2，结合k 1﹣k 254=，可得k 1＝1，则直线MA 的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A 的坐标；②直线l 过点（﹣2，﹣1），设其方程为y +1＝k （x +2），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k 1+k 2是定值． 【详解】（1x =所以223c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩.又因为1b =.所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为椭圆的上顶点，则()0,1M . ①因为直线l 经过原点，由椭圆对称性可知()11,B x y --.因为点()11,A x y 在椭圆上，所以221114x y +=，即221114x y -=-.因为1111y k x -=，2122111y y k x x -+==.所以211112211111114y y y k k x x x -+-=⨯==-. 所以12125414k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12114k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12141k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. 因为点A 在第三象限内，所以112k >，所以11k =，则直线MA 的方程为1y x =+. 联结方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得1101x y =⎧⎨=⎩或228535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以83,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（解出11k =，214k =-，也可根据11111y k x -==，121114y k x +==-，求出点A 的坐标）②直线l 过点()2,1--，设其方程为()12y k x +=+.联列方程组221421x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，消去y 可得（4k 2+1）x 2+8k （2k ﹣1）x +16k （k ﹣1）＝0．当0∆>时，由韦达定理可知()12282141k k x x k -+=-+，()12216141k k x x k -=+.又因为()()()12111212121212121221112x y x y x x k x x y y k k k x x x x x x +-+-+--+=+==+()()()()21821 22121161k k k k k k k k ⎡⎤-⨯--⎣⎦=+=+-=-.所以12k k +为定值1. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，其中第二问关键是体现椭圆的对称性并能用坐标表示，考查计算能力，是中档题． 20．（1）-2；（2）①1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②()(),01,-∞⋃+∞. 【分析】(1）代入b 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a 的值即可；（2）代入a 的值，①求出函数的导数，通过讨论b 的范围求出函数的单调区间，从而确定b 的范围即可；②通过讨论b 的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b 的范围即可． 【详解】（1）当1b =时，因为()()()ln 12f x a x x x =+--，所以()23af x x x+'=-. 因为()f x 在2x =处取得极小值，所以()20f '=，解得：2a =-. 此时，()()()212223x x f x x x x+-=-+-='， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()f x 在2x =处取得极小值. 所以2a =-符合题意.（2）当1a =时，因为()()()ln 12f x x b x x =+--，所以()()2123123bx bx f x b x x x-+=+-='.令()2231g x bx bx =-+.①因为()f x 在()1,2上单调递增，所以()0f x '≥在()1,2上恒成立， 即()0g x ≥在()1,2上恒成立.1︒当0b =时，则()1g x =，满足题意.2︒当0b ≠时，因为()g x 的对称轴为314x =<， 所以()()1020g g ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得102b -≤<或01b <≤.综上，实数b 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ②1︒当0b =时，()ln f x x =，与题意不符.2︒当0b ≠时，取013x b=-，则01x >. 令()ln 1h x x x =-+，则()11h x x'=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()()10h x h ≤=，即ln 1x x ≤-.所以()()()()()()0000000ln 12112210f x x b x x x b x x b =+--≤-+--=-<， 所以0b <符合题意.3︒当01b <≤时，因为()2231g x bx bx =-+在()1,+∞递增且()110g b =-≥所以()()0g x f x x='≥在()1,+∞上恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=恒成立，与题意不符.4︒当1b >时，因为()110g b =-<，()2210g b =+>，由零点存在性原理可知，存在()11,2x ∈，使得()10g x =，所以当()11,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 取011x x =>，则()()010f x f <=，符合题意. 综上可知，实数b 的取值范围为()(),01,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查了不等式有解问题，关键是转化为求解最小值，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，属于较难题型.。
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ） A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝93．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513) B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513)D ．(−3，−1513)∪(1513，3)4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√35．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32 D ．k ≤−12或k ≥326．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ）A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行 D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√5108．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√10210．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 ． 14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 ． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3． （Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．18．已知梯形BFEC 如图1所示，其中BF ∥EC ，EC ＝3，BF ＝2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，沿AD 将四边形EDAF 折起，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4和直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0．（1）判断直线l和圆C的位置关系？（2）若直线l和圆C相交，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．如图正三棱柱ABC﹣A'B'C'的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA'、AB、AC、B'C'的中点．（1）求证：B'C'∥面EFG；（2）求三棱锥H﹣EFG的体积；（3）求二面角E﹣FG﹣H的余弦值．22．过椭圆W：x22+y2＝1的左焦点F作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合，过F作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求椭圆W的离心率和B点坐标；（Ⅱ）求证：E，G两点关于x轴对称．2021-2022学年江苏省苏州市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量{a →，b →，c →}是空间向量的一组基底，向量{a →+b →，a →−b →，c →}是空间向量的另外一组基底，若一向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3），则向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（ ）A ．（−12，32，3）B ．（32，−12，3）C ．（3，−12，32）D ．（12，32，3）解：因为向量p →在基底{a →，b →，c →}下的坐标为（1，﹣2，3）， 则p →=a →−2b →+3c →，设向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为（x ，y ，z ）， 则p →=x(a →+b →)+y(a →−b →)+zc →=(x +y)a →+(x −y)b →+zc →， 所以{x +y =1x −y =−2z =3，解得x =−12，y =32，z =3，所以向量p →在基底{a →+b →，a →−b →，c →}下的坐标为(−12，32，3)． 故选：A ．2．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ＝0关于直线l 1：y ＝x 对称的圆为C ，则圆C 的方程为（ ） A ．x 2+（y +3）2＝9 B ．x 2+（y ﹣3）2＝9 C ．（x +3）2+y 2＝9D ．（x ﹣3）2+y 2＝9解：易知圆心C 1与圆心C 关于直线y ＝x 对称，且两圆半径相等， 方程x 2+y 2+6x ＝0可化为：（x +3）2+y 2＝9，故C 1（﹣3，0），半径为3，结合两点关于y ＝x 对称，则它们的横纵坐标互换，可知C （0，﹣3），半径r ＝3， 故圆C 方程为x 2+（y +3）2＝9． 故选：A ．3．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的右顶点为A 2，直线l ：x ＝m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当∠AA 2B 为钝角时，m 的取值范围是（ ） A ．(0，1513)B ．(1513，3)C ．(−1513，0)∪(0，1513) D ．(−3，−1513)∪(1513，3) 解：设A （m ，y 0），则B （m ，﹣y 0），且|m |＜3，则y 02＝4（1−m 29），所以|y 0|=23√9−m 2，A 2（3，0），当∠AA 2B 为钝角时，则∠AA 2O ＞45°， 所以|y 0|＞3﹣m ，即23√9−m 2＞3﹣m ，|m |＜3，整理可得：13m 2﹣54m +45＜0， 解得：1513＜m ＜3，故选：B ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1D 上一点，当AP +PB 取得最小值时，直线BP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为（ ） A ．√22B ．√33C ．√2D ．√3解：将正方体中的正△A 1BD 沿A 1D 翻折至与点A 共面，如图所示， 因为AA 1＝AD ，所以当P 为线段A 1D 的中点时，AP +PB 最小值．连接AP ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AP ， 所以直线BP 与平面ADD 1A 1所成角为∠APB ．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1D =√2a ，又点P 为A 1D 的中点，所以AP =12A 1D =√2a2，tan∠APB =ABAP =√2．故选：C ．5．已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤32 B ．k ≥−12 C ．−12≤k ≤32D ．k ≤−12或k ≥32解：直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0化为：k （x ﹣1）﹣（y +1）＝0，令{x −1=0y +1=0，解得x ＝1，y＝﹣1，可得直线经过定点：P （1，﹣1）． k PM =−1−11+3=−12，k PN =−1−21−3=32．∵直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （﹣3，1），N （3，2）为端点的线段相交， 则实数k 的取值范围为：k ≥32或k ≤−12． 故选：D ． 6．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，则双曲线：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2√55x 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左、右顶点为A 、B ，P 是椭圆C 上一点，cos ∠APB最小值为−35，可知P 在椭圆的短轴端点，cos ∠APB ＝2cos 2（12∠APB ）﹣1＝2(b√a 2+b )2−1=−35，解得a ＝2b ， 双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：x ±2y ＝0．故选：B ．7．已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列命题中错误的是（ ） A ．AE ⊥平面P ABB ．直线PD 与平面ABC 所成角为45°C ．平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 不平行D ．直线CD 与PB 所成的角的余弦值为√510解：对于A ，∵P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥P A ， ∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，∴AE ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面P AB ，故A 正确；对于B ，∵六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ， ∴P A ⊥AD ，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°是直线PD 与平面ABC 所成角，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥AD ∥BC ，EF ⊂平面PEF ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC 与平面PEF 的交线与直线AD 平行，故C 错误；对于D ，设AB ＝1，则P A ＝2，AE =√12+12−2×1×1×cos120°=√3， PE =√4+3=√7，BE ＝2，PB =√4+1=√5，∵CD ∥BE ，∴∠PBE 是直线CD 与PB 所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD 与PB 所成的角的余弦值为： cos ∠PBE =2×2×√5=√510，故D 正确．故选：C ．8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ）的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝7：1：4√3，则a b=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．12解：由题意设|PF 2|＝m （m ＞0），则|PF 1|＝7m ，|F 1F 2|＝4√3m ， ∴2a ＝8m ，a ＝4m ，2c ＝4√3m ，c =2√3m ， ∴b =√a 2−c 2=√16m 2−12m 2=2m ， ∴ab =4m 2m=2．故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率可以是（ ）A ．√33B ．√153C ．√3D ．√102解：三个数1，a ，9成等比数列，可得a ＝±3， 当a ＝3时，曲线x 23+y 22=1的离心率为：e =ca =√3=√33， 当a ＝﹣3时，曲线y 22−x 23=1的离心率为：e =c a =√5√2=√102． 故选：AD ．10．已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ） A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3， 所以向量i →+j →+k →的模是√3， 故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直， 所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面， 所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底， 故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α， 则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33， 故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2， 同理可得|k →−j →|=√2， 则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°， 则向量i →+j →与k →−j →不共线， 故选项D 错误． 故选：BC ．11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A （﹣3，﹣4），B （6，3），交通枢纽C （0，﹣1），计划经过C 修建一条马路l （l 看成一条直线，l 的斜率为k ），则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =79或13B ．若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则k =97或32C ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(23，1)D ．若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则k 的取值范围为(−∞，23)∪(1，+∞) 解：设直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 根据点到直线的距离公式d =00√A +B ，若A ，B 两个镇到马路l 的距离相等，则√1+k 2=√1+k 2，解得k =79或13，故A正确，B 错误；若A ，B 两个镇位于马路的两侧，则（﹣3k +4﹣1）•（6k ﹣3﹣1）＜0，解得k ＜23或k ＞1，故D 正确，C 错误． 故选：AD ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F ﹣AE ﹣C 的正切值为√52C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，显然D 1D ∥A 1A ，且A 1A 与AF 不垂直，故D 1D 与AF 不垂直，选项A 错误；过点C 作CM ⊥AE ，交AE 的延长线于M ，连接FM ，由二面角的定义可知，∠FMC 即为二面角F ﹣AE ﹣C 的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则CF =1，CM =1×2√2+1=2√55，∴tan∠FMC =FC CM =2√55=√52，选项B 正确； 取B 1C 1中点H ，连接A 1H ，GH ，则GH ∥EF ，故异面直线A 1G 与EF 所成的角即为直线A 1G 与GH 所成角∠A 1GH ，而A 1H =√22+1=√5，A 1G =√22+1=√5，GH =√1+1=√2，故在△A 1C 1G 中，由余弦定理可得cos∠A 1GH =A 1G 2+GH 2−A 1H 22A 1G⋅GH =2×√5×√2=√1010，选项C 正确；连接CG 交EF 于点N ，则点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离之比为GN CN，而△GNF ∽△CNE ，故GN CN=GF CE=2，选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2），且a →，b →夹角的余弦值为 49．解：∵向量a →=（1，2，2），b →=（2，﹣1，2）， ∴cos ＜a →，b →＞=43×3=49， ∴a →，b →夹角的余弦值为49．故答案为：49．14．经过点P （4，2）作圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的切线，则切线的一般式方程是 2x +y ﹣10＝0 ．解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0的圆心C （2，1），半径r =√5，点P （4，2）在圆上， 因为PC 的斜率2−14−2=12且切线与PC 垂直，所求切线的斜率K ＝﹣2，故切线方程y ﹣2＝﹣2（x ﹣4）即2x +y ﹣10＝0 故答案为：2x +y ﹣10＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作x轴的垂线l ，与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于点A ，B ，且FB →=2FA →，则双曲线C 的离心率为 2√33． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，由题意可得l ：x ＝c ，F （c ，0），渐近线方程y ＝±b ax ，则A （c ，b 2a），B （c ，bc a），又FB →=2FA →，所以bc a=2b 2a，即c ＝2b ＝2√c 2−a 2，可得2a =√3c ，则双曲线的离心率为e =ca =2√33， 故答案为：2√33． 16．已知F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，P 是椭圆C 上一点，且PF 垂直于x 轴，若直线AP 的斜率为√33，则椭圆C 的离心率为 3−√33． 解：设直线AP 的倾斜角为：θ，在Rt △P AF 中， 由题意可得tan θ=b 2aa+c=√33，整理可得3b 2=√3（a 2+ac ），即3（a 2﹣c 2）=√3（a 2+ac ），可得3e 2+√3e ﹣3+√3=0，解得e ＝﹣1（舍去），e =3−√33． 故答案为：3−√33．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分） 17．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件： （1）PF 2→⋅F 1F 2→=0；（2）tan∠PF 1F 2=√312；（3）PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3．（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵PF 2→⋅F 1F 2→=0， ∴PF 2→⊥F 1F 2→，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P （c ，b 2a），∴tan ∠PF 1F 2=b 2a2c =b22ac =√312，∵PF 1→在F 1F 2→方向上的投影为2√3，∴2c＝2√3，即c=√3，∵a2＝b2+c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的离心率为e=ca=√32，椭圆方程为x24+y2＝1；（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x＝my−√3，两交点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2），设线段AB为直径的圆与y相切于点D，由{x=my−√3x24+y2=1，消去x得：（m2+4）y2﹣2√3my﹣1＝0，∴y1+y2=2√3m4+m2，y1y2=−14+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2√3=−8√34+m2，所以AB的中点到y轴的距离d=|x1+x2|2=4√34+m2，所以弦长|AB|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4•1+m2 4+m2=2d=8√34+m2，解得m2＝2√3−1，所以m＝±√2√3−1直线方程为x=√2√3−1y−√3，或x=−√2√3−1y−√3，即x−√2√3−1y+√3=0或x+√2√3−1y+√3=0．18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ； （2）求点F 到平面ABE 的距离；（3）若点H 在线段BD 上，且EH 与平面BEF 所成角的正弦值为13，求线段DH 的长度．（1）证明：∵平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面EDAF ， 平面EDAF ∩平面ABCD ＝AD ，DE ⊥AD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵DE 、BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDE …（3分） （2）解：过点F 作FG ⊥AE 于点G ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，又FG ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥FG ， 又AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，所以FG ⊥平面ABE ， 所以线段FG 的长即为点F 到平面ABE 的距离，在△AEF 中，AF =1，AE =√5，EF =√2，由等积变换AE •FG ＝AF •AD ， 得FG =√55，即点F 到平面ABE 的距离为√55． （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面BEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，E （0，0，2），F （1，0，1），B （1，1，0）， {EF →⋅n →=0BF →⋅n →=0，{x −z =0y −z =0，令x ＝1，则y ＝z ＝1， 则n →=(1，1，1)，设H （a ，a ，0），EH →=(a ，a ，−2)，则|cos ＜EH →，n →＞|=2a−2√3√2a +4=13解得a =25或a ＝2（舍）…（10分）故H(25，25，0)，∴DH =25√2⋯（12分） 19．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4和直线l ：kx ﹣y ﹣4k +3＝0．（1）判断直线l 和圆C 的位置关系？（2）若直线l 和圆C 相交，求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时的直线方程． 解：（1）证明：由直线l 的方程可得，y ﹣3＝k （x ﹣4），则直线l 恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C 方程，得（4﹣3）2+（3﹣4）2＝2＜4，所以点（4，3）在圆C 的内部，又因为直线l 恒过点（4，3），所以直线l 与圆C 总相交；（2）设定点为A （4，3），由题可知当直线l 与CA 直线垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，因为k CA =4−33−4=−1，所以直线l 的斜率为k ＝1，所以直线l 的方程为y ﹣3＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣1＝0…（10分）设圆心C （3，4）到直线l 距离为d ，则d =√2=√2，所以直线l 被圆C 截得最短的弦长为2√4−(√2)2=2√2．20．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（2，0），点P 满足PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，记点P 的轨迹为E ．（1）证明：|P A |+|PB |为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线y ＝kx ﹣1（k ∈R ）与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为AB →=AP →+PB →，两边平方得|AB →|2=|AP|2+|PB|2+2AP →⋅PB →，而PA →•PB →+|PA →|•|PB →|＝8，且|AB |＝4，从而16=|AP|2+|PB|2+2(|AP →|⋅|PB →|−8)，即（|AP |+|PB |）2＝32，所以|AP|+|PB|=4√2，由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，从而E 的方程为x 28+y 24=1．（2）设存在点Q （0，m ）满足条件，记C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y =kx −1x 2+2y 2=8消去 y ，得 （1+2k 2）x 2﹣4kx ﹣6＝0． 显然其判别式△＞0， 所以x 1+x 2=4k 1+2k 2，x 1x 2=−61+2k 2， 于是k QC k QD =y 1−m x 1⋅y 2−m x 2=[kx 1−(m+1)]⋅[kx 2−(m+1)]x 1x 2 =k 2x 1x 2−(m+1)k(x 1+x 2)+(m+1)2x 1x 2=[1+23(m +1)−(m+1)23]⋅k 2−(m+1)26． 上式为定值，当且仅当 1+23(m +1)−(m+1)23=0． 解得 m ＝2 或 m ＝﹣2． 此时，k QC k QD =−(m+1)26=−32 或 −16． 从而，存在定点 Q （0，2）或者 Q （0，﹣2）满足条件．21．如图正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，E 、F 、G 、H 分别是棱AA '、AB 、AC 、B 'C '的中点．（1）求证：B 'C '∥面EFG ；（2）求三棱锥H ﹣EFG 的体积；（3）求二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值．（1）证明：因为ABC ﹣A 'B 'C '是三棱柱，所以B 'C '∥BC ，又AF ＝FB ，AG ＝GC ，所以BC ∥FG ，所以B 'C '∥FG ，FG ⊂平面EFG ，B 'C '⊄面EFG ，所以B 'C '∥面EFG ；（2）解：由（1）可得，V H ﹣EFG ＝V B ﹣EFG ＝V G ＝EFB ，所以V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ，其中h 为点G 到平面ABB 'A '的距离，因为正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的所有棱长均为2，所以h =12×√22−12=√32， 故V G−EFB =13S △EFB ⋅ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34，所以三棱锥H ﹣EFG 的体积为√34； （3）解：设二面角E ﹣FG ﹣A ，H ﹣FG ﹣B ，3﹣FG ﹣H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ＝π﹣α﹣β，所以cos γ＝cos （π﹣α﹣β）＝﹣cos （α+β）＝sin αsin β﹣cos αcos β，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE ＝α，所以sin α=2√7，cos α=√3√7， 同理可得，cos β=√3√19，sin β=4√19， 所以cos γ＝sin αsin β﹣cos αcos β=2√74√19√3√19√3√7=5√133133， 故二面角E ﹣FG ﹣H 的余弦值为5√133133． 22．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合， 因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0）， 设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得 （2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0，因为Δ＝（4k 2）2﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 所以x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，所以y G +y E =(1−k)(2⋅2k 2−22k 2+1−3⋅4k 22k 2+1+4)3x 1x 2+4x 2=0，所以y G ＝﹣y E ，综上所述：E ，G 两点关于x 轴对称．。
江苏省苏州市高二数学上学期学业质量阳光指标调研卷试题(含解析)
高二数学2019.1 一、填空题：本大题14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．1.命题“”的否定是_______________.【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.2.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标．【详解】抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，三点，，共线，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．【详解】由题意得：，解得：a，故答案为：．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．4.在平面直角坐标系中，方程表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得k的范围．【详解】若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1或k＞2，故答案为：k＜1或k＞2．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5.在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d2．故答案为：2．【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系中，，，则以线段为直径的圆的标准方程．．．．为______. 【答案】【解析】【分析】求出线段AB的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程．【详解】A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r|AB|，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．7.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．【详解】函数f（x）＝e x﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线，及平面，，，则“”是“”的______条件.（请用“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”，“既不充分也不必要”填空）【答案】必要不充分【解析】【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥又m⊂，得：“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，得“l⊥m”时，可能直线l，所以不充分.【详解】由“l⊥“则直线l垂直平面中的任意直线，又m⊂，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，即“l⊥m”可能有l成立，所以“l⊥m”是“l⊥”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题.9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱：“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______.【答案】30【解析】【分析】连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解．【详解】如图，连接A1C，根据等底等高，易得：，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆（）的右顶点和右焦点，点，分别是椭圆的上、下顶点.若，则该椭圆离心率为______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力．11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列命题中，正确命题的序号是______.①若，，则；②若，，则；③若，，则.【答案】③【解析】【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m∥α．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知是函数的切线，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1，b＝lnm﹣1，则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系中，已知圆和点，，若在圆上存在点，使得，则半径的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】点A（0，），B（0，），求出点P的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r的取值范围．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为：2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0）则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．故答案为：[2，42]．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）。
江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期学业质量阳光指标调研(期末)数学试卷含答案
苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高 二 数 学2023.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S , 且{}n S 是等比数列，且11a =，32a =，则5a =A ．16B ．4C ．8D ．182．直线40x +=的倾斜角是A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3．设数列{}n a 各项非零，且平面α的法向量为32(,,0)a a =−n ，直线l 的方向向量为67(,,)n a a a =m ，则“数列{}n a 为等比数列”是“平面α平行于直线l ”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．记椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点和右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A . 过F 1且倾斜角为30°的直线l 与椭圆的一个交点为B ，且B 在x 轴上的投影为F 2. 连接AB ，AB 的方向向量)3=−v ，则椭圆的离心率为A ．12B ．2C ．35D ．35．如图，正方形1111A B C D 的边长为14 cm ，A 2，B 2，C 2，D 2依次将A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1分为3:4的两部分，得到正方形2222A B C D ，依照相同的规律，得到正方形3333A B C D 、4444A B C D 、…、n n n n A B C D . 一只蚂蚁从A 1出发，沿着路径A 1A 2A 3…A n 爬行，设其爬行的长度为x ，K 为正整数，且x 与K 恒满足不等式x ≤K ，则K 的最小值是（第5题图）A ．19B ．20C ．21D ．226．已知数列{}n a ，且12a =，记其前n 项和为S n . 若n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，则S 100＝A ．200B ．20200C ．10500D ．101007．如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像. 已知圆柱O 1O 2的轴线在Oyz 平面内且平行于x 轴，圆锥与圆柱的高相同. AB 为圆锥底面圆的直径，2AB =，且2AB OS =. 若O 1到圆O 所在平面距离为2. 若AO 1⊥BO 2，则SO 1与SO 2夹角的余弦值为（图1） （图2）（第6题图）A．65B．13C．65D ．188．在写生课上，离身高1.5 m 的絮语同学不远的地面α上水平放置着一个半径为0.5 m 的正圆C ，其圆心C 与絮语同学所站位置A 距离2 m. 若絮语同学的视平面π⊥α，π⊥AC ，且ACD π=，1CD =m ，则絮语同学视平面上的图形的离心率为A ．56B．5C．6D ．35二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．已知直线1:230l kx y k +−+=，2:340l x ky k −+−=，设两直线分别过定点A 、B ，直线1l 和直线2l 的交点为P ，则下列结论正确的是A ．直线1l 过定点(2,3)A −，直线2l 过定点(4,3)B B ．0P P B A ⋅=C ．△P AB 面积的最大值为5D ．若(1,0)C −，(1,0)D ，则P恒满足|||PD PC =10．设平面直角坐标系中，双曲线Γ :2231x y −=的左焦点为F 1，且与抛物线C :28y x =有公共的焦点F 2. 若P 是C 上的一点，下列说法正确的是 A ．Γ 和C 不存在交点B ．若(2,4)P ，则直线F 1P 与C 相切C ．若△F 1PF 2是等腰三角形，P 的坐标是(4,4)D ．若∠F 2PF 1＝90°，则P的横坐标为25−+11．Farey 数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用。
江苏省苏州市2021届高二上学期数学期末教学质量检测试题
江苏省苏州市2021届高二上学期数学期末教学质量检测试题一、选择题 1．函数()ln 11x f x x-=-的图象大致为 ( )A. B.C. D.2．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A.①③B.①②③C.②D.①②3．下列说法正确的是 ( )A ．“若2x 1=，则x 1=，或x 1=-”的否定是“若2x 1=则x 1=，或 x 1≠-”B ．a,b 是两个命题，如果a 是b 的充分条件，那么a ⌝是b ⌝的必要条件．C ．命题“0x R ∃∈，使 得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有 2x x 10++<”D ．命题“ 若αβ=，则sin αsin β=”的否命题为真命题. 4．下列命题中，不是真命题的是（ ） A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题. B.“1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件. C.命题“若29x =，则3x =”的否命题. D.“1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ） A ．为真命题 B ．为真命题 C ．为真命题 D ．为真命题7．要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位8．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ ）A ．D 、E 、FB ．F 、D 、EC ．E 、F 、D D ．E 、D 、F9．已知正方体ABCD-A B C D 中,E 、F 分别为BB 、CC 的中点,那么异面直线AE 与D F 所成角的余弦值为( ) A.45 B.45- C.35D.3510．已知函数31(),f x x a x e e ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦e （是自然对数的底数)与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.30,e 4⎡⎤-⎣⎦ C.31,3e ⎡⎤-⎣⎦D.)3e 4,,∞⎡-+⎣11．如果函数323y x x ax =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A.()3,+∞ B.[)3,+∞C.(),3-∞D.(],3-∞ 12．已知集合 ，，则（ ） A.B.C.D.二、填空题13．执行如下图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为____．14．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是_____．15．已知A是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C P于、Q两点，若APQ∆是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为________.16．双曲线的渐近线方程为三、解答题17．设命题函数在上是减函数，命题函数的定义域为全体实数，如果是真命题，求实数的取值范围.18．已知过点且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线上的任意一点与两点连线的斜率之积为．（1）求曲线的方程；（2）过原点作射线，分别平行于，交曲线于两点，求的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点，设线段的中点为．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为（其中为坐标原点）且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点，使得当直线运动时，为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．20．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.21．某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取人进行统计（已知这个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为．（）补全频率分布直方图；（）根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数；（）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本，从样本中任意抽取位男生，求这两位男生身高都在内的概率．22．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.(Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B B A A A B B C C C A二、填空题13．1514．15．216．三、解答题17．【解析】试题分析：分别讨论真，真时的值，再根据是真命题，进而求得实数的取值范围解析：若真，则，即若真，则，解得，是真命题，∴真真，∴.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出圆C的方程，再利用直接法求曲线的方程.(2) 设，射线的斜率为，则射线的斜率为,求出，再换元求其取值范围.详解：（1）∵圆过点，，∴圆心在直线上，又圆心在直线上，∴当时，，即圆心为.又与的距离为，∴圆的方程为.令，得.不妨设，，由题意可得，，∴,∴曲线的方程为：()．（2）设，射线的斜率为，则射线的斜率为.解得，∴．同理，…9分∴．设，则，∴，又∵，∴.点睛：（1）本题主要考查圆的方程的求法，考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是利用换元后利用函数求的取值范围. 19．（1）；（2）存在点，或，，使得为定值．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由于已知离心率为，这样可得，从而可得，从而可设可椭圆方程为，再把椭圆上点的坐标代入可解得，得椭圆方程；（2）由题设结论可知中点的坐标适合一个椭圆方程，即点在椭圆上，那么题中要求的定点就是椭圆的焦点．实质上从问题出发，就让我们想到点应该在某个椭圆上．因此从这方面入手，就要求的轨迹方程，因此我们从已知出发先找出参数的关系，再求出弦中点的坐标（用表示），然后消去参数可得．具体方法：由直线方程，与椭圆方程联立方程组，消去后得的一元二次方程：，已知保证，即直线与椭圆一定相交，设，可得，于是有，从而点的坐标，由直线圆锥曲线相交弦长公式可得弦长，由点到直线距离公式可得原点点到直线的距离为，利用的面积为可得满足的关系：，试题解析：（1）由于椭圆的离心率为，则，故椭圆：又椭圆过点，从而，从而椭圆的方程为．（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，联立方程，得，则从而，从而点的坐标为由于，点到直线的距离为，则的面积由题得：，从而化简得：故，即或，又由于，从而．当时，由于，，从而即点在椭圆上．由椭圆的定义得，存在点，或，，使得为定值．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合．20．（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数g′（x）=，得当时，；当时，且，从而得单调性；（2）由在上恒成立，得，从而，故当，即时，，即可求解.试题解析：（I）由已知得函数的定义域为,函数,当时,，所以函数的增区间是;当且时,，所以函数的单调减区间是, .....6分（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．21．（1）见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全直方图；（2）借助加权平均数的计算公式建立方程求解；（3）先借助分层抽样的特征求出第四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算公式求解：解：（1）第六组与第七组频率的和为：∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为，则∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种，因此所求事件的概率为．22．（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件【解析】【分析】(Ⅰ)由命题A为真命题，解得，再由椭圆的长轴长为短轴长的2倍，列出方程即可求解. （Ⅱ）由(Ⅰ)命题成立的条件为，根据一元二次不等式解法，求得命题成立的条件为，再利用充要条件的判定方法，即可求解.【详解】(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，∴实数的值为.（Ⅱ）命题成立的条件为.由，得，∴命题成立的条件为，，∴命题是命题的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，即充分不必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，以及合理利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.。
江苏省苏州市2020-2021学年高二第一学期学业质量阳光指标调研数学试卷 含答案
江苏省苏州市2020—2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．命题“∀x ∈R ，210x x −+>”的否定为A ．∀x ∈R ，210x x −+≤B ．∀x ∈R ，210x x −+<C ．∃x ∈R ，210x x −+≤D ．∃x ∈R ，210x x −+< 2．已知复数z ＝﹣i(1＋2i)(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2 3．不等式(5)(32)6x x +−≥的解集为A ．912x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或B ．912x x ⎧⎫−≤≤⎨⎬⎩⎭C ．912x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或D ．912x x ⎧⎫−≤≤⎨⎬⎩⎭4．若0＜b ＜1，则“a >是“a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即md k=，其中d 是距离（单位cm ），m 是质量（单位g ），k 是弹簧系数（单位g/cm ）．弹簧系数分别为1k ，2k 的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足12111k k k =+，并联时得到的弹簧系数k 满足k ＝1k ＋2k ．已知物体质量为20g ，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为A ．14cmB ．12cm C ．1cm D ．2cm6．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 与焦点F 的距离为10，点M 到x 轴的距离为2p ，则p 的值为A ．1B ．2C ．4D ．8 7．若正整数m ，n满足4321n n n n ++<++，则所有满足条件的n 的和为 A ．6 B ．4 C ．3 D ．18．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如2115315=+，71112962458=+++ 1187232+，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记21111101606x y z=+++，其中x ，y ，z 是以101为首项的等差数列，则y ＋z 的值为A ．505B ．404C ．303D ．202二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．早在古巴比伦吋期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z −=的根的是A ．12+ B ．12−+ C ．12−− D ．1 10．已知a ＞b ＞0＞c ＞d ，则A ．a c b d −>−B ．ad bc >C ．b b c a a c −<−D ．22c d a b<11．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2214y x −=与直线y kx m =+(k ≠±2，m ∈R)有唯一的公共点，则动点P(k ，m )与定点Q(0，2)的距离可能为A ．2BC ．D ．3 12．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和1n n S pa r +=+(n N *∈，p ＞0)． A ．数列{}n a 的公比为p B ．数列{}n a 为递增数列 C ．1r p =−− D ．当14p r−取最小值时，13n n a −=三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝3＋4i （i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 14．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则12ab a b++的最小值为 ． 15．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染R 0个人为第一轮传染，这R 0个人每人再传染R 0个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数R 0＝3，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到 人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第 轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）（本小题第一空2分，第二空3分）16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，过O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2，1)，则椭圆C 的方程为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b +=与双曲线22221x y a b−=的离心率分别为1e ，2e ，其中a ＞b ＞0．（1）求2212e e +的值； （2）若双曲线渐近线的斜率小于2，求1e 和2e 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知不等式ax 2＋(3﹣a )x ﹣3b ＜0(a ，b ∈R)的解集为A ＝{}31x x −<<． （1）求实数a ，b 的值；（2）设22()2ax bx f x x +−=−(x ∈A)，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．19．（本小题满分12分）在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ， ．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =，求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 20．（本小题满分12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“W”形状的曲线，它由抛物线C 1的部分和椭圆C 2的一部分构成（如图1），已知在平面直角坐标系xOy 中，C 1：x 2＝2py (p ＞0)和C 2：22221y x a b+=(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，F 1是公共焦点，1OF ＝1，1AF ＝53（如图2）．（1）求C 1和C 2的方程；（2）过点F 1作直线l 与“W”形状曲线依次交于C ，D ，E ，F 四点，若CF DE λ=，求实数λ的取值范围．已知数列{}n a 满足11a =，112(1)n n a a n+=+(n N *∈)．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，称数列{}n b 是数列{}n a 的“中程数数列”．①求“中程数数列”{}n b 的前n 项和n S ；②若m k b a =(m ，k N *∈且m ＞k )，求所有满足条件的实数对(m ，k )． 22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，过原点O 的直线交该椭圆于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点E(4，0)．当直线AB 垂直于x 轴时，AE =（1）求a ，b 的值；（2）设直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．①若OC ∥BE ，求△ABE 的面积；②是否存在x 轴上的一定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省苏州市2020—2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学参考答案1．C 2．D 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A9．BCD 10．CD 11．BCD 12．BD1314．4 15．64，6 16．221 306x y+=17．18．19．20．21．22．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省苏州市2021-2022高二数学上学期期末学业质量阳光指标调
研考试试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是
A ．若a b >，则2
2
ac bc > B ．若a b >，则2
2
a b > C ．若0a b <<，则2
2
a a
b b << D ．若0a b <<，则11a b
> 2．不等式(4)3x x -<的解集为
A ．{}
13x x x <>或 B ．{}
04x x x <>或 C ．{}
13x x << D ．{}
04x x <<
3．双曲线
22
1916
y x -=离心率为
A ．
53 B ．5
4
C D
4．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8，0)，F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为
A ．
22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036
x y += D ．22
12012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．16
6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为
A ．
1
2
B ．13
C ．2 D
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，
次第每人多十七，要将第八数来言”，题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A ．201斤
B ．191斤
C ．184斤
D ．174斤 8．关于x 的不等式2
2
(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是
A ．(32-
，43-](43，32] B ．(32-，43-][43，32)
C ．[32-，43-)(43，32]
D ．[32-，43-)[43，3
2
)
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选
项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是 A ．在△ABC 中，“B ＝60°”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”
B ．“x ＝1”是“x 2
﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件
C ．命题p ：“∃x ＞0，使得x 2＋x ＋1＜0”，则p 的否定：“x ∀≤0，都有x 2
＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅＝(1，2，3)，b ＝(3，0，﹣1)，c ＝(﹣1，5，﹣3)， 下列
等式中正确的是
A ．()a b c b c ⋅=⋅
B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+
C ．222
2()a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a a =-(其中a 为常数)，则下列说法正确
的是
A ．数列{}n a 一定是等比数列
B ．数列{}n a 可能是等差数列
C ．数列{}n S 可能是等比数列
D ．数列{}n S 可能是等差数列
12．已知方程mx 2
＋ny 2
＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ，n ∈R ，p ＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知向量a ＝(1，4，3)，b ＝(﹣2，t ，﹣6)，若a ∥b ，则实数t 的值为 ． 14．己知正实数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则
11
x y
+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的
冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy中，桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔与桥拱交点B的坐标为（本题第一空2分，第二空3分）．
第15题
16．已知一族双曲线E n：22
2
1
x y
n n
-=
+
(N
n*
∈，且n≤2021)，设直线x＝2与E n在第一象限内的交点为A n，由A n向E n的两条渐近线作垂线，垂足分别为B n，C n．记△A n B n C n
的面积为
n
a，则
1232020
a a a a
++++＝．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解下列不等式：（1）24120
x x
--≤；（2）
2
2
3
x
x
+
<
-
．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a的前n项和为n S，公差0
d≠，且
35
50
S S
+=，
1
a，
4
a，
13
a成等比数列．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）已知数列n
n
b
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b的前n项和n T．
19．（本小题满分12分）
如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结
构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1：2，此铝合金窗占用的墙
面面积为20000(cm 2
)，设该铝合金窗的宽和高分别a (cm)，b (cm)，铝合金的透光部分的面
积为S (cm 2
)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．
（1）试用a ，b 表示S ；
（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少?
20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
4x y ，过点P(4，2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ． （1）求k 的取值范围；
（2）若△OMN 为直角三角形，且OM ⊥ON ，求k 的值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2， AF ＝t ，M 是
线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t＝1，求二面角A—DF—B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．
22．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶
点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若12
2
1
PF F PAF PBF S S
S
==．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率． （2）若2PAF S ，12PF F S
，1
PBF S
成等差数列，且∠F 1BO ≤30°，求直线PF 1的斜率的取
值范围．。