离散数学形成性考核作业7答案

一、填空题
1．命题公式()
→∨的真值是 1 ．
P Q P
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q )→R ．3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为x
P
Q
x∧
∃．
(x
(
))
(
)
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)
x
∨
∃消去量词后的等值式为
xA∀
yB
)
(
(y
b
B
a
A
B
∨．
∨
A∧
a
)
(b
(
))
(
(
)
)
(
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0 ．
7．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：设P：今天是晴天，
命题“今天是晴天”翻译成命题公式为P。

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游．
命题“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式为P∧Q。

3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．
解：设P：明天天下雪，Q：我就去滑雪．
命题“如果明天天下雪，我就去滑雪”翻译成命题公式为P→Q。

4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P ：他去旅游，Q ：他有时间．
命题“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式为P →Q 。

5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作．
命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x ⌝∧∃。

6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 努力工作．
命题“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x →∀
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式⌝P ∧P 的真值是1．
答：不正确。

因为当P 是真命题时，┐P 是假命题，当P 是假命题时，┐P 是真命题，所以┐P ∧P 是假命题，真值是0。

2．命题公式⌝P ∧(P →⌝Q )∨P 为永真式．
答：正确。

因为┐P ∧（P →┐Q ）P Q P P ⌝⇔⌝∨⌝∧⌝⇔)(，┐P ∨P 1⇔，所以命题公式是永真式。

3．谓词公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是永真式．
答：正确。

因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃→∀⇔
)(),()())(),(()(x xP y x yG x xP x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔ 1),(1),())()((⇔⌝∃∨⇔⌝∃∨∀∨⌝∀⇔y x yG y x yG x xP x xP 。

所以命题公式是永真式。

4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (∀x )A (x )→ B (x ) 前提引入
(2) A (y ) →B (y ) US (1)
答：不正确。

因为x ∀的辖域是)(x A ，不包含)(x B ，所以根据全称量词消去规则，只能得到)()(x B y A ∧，而不能得到)()(y B y A ∧。

四．计算题
1． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：4M R Q P R Q P ⇔∨∨⌝⇔∨→
所以P →Q ∨R 的析取范式为R Q P ∨∨⌝，
合取范式为)(R Q P ∨∨⌝，
主合取范式为)(R Q P ∨∨⌝，即4M 。

则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨，
2．求命题公式(P ∨Q )→(R ∨Q ) 的主析取范式、主合取范式．
解：)()()()()()(Q R Q P Q R Q P Q R Q P ∨∨⌝∧⌝⇔∨∨∨⌝⇔∨→∨
1)()1()()()(∧∨∨⌝⇔∨∧∨∨⌝⇔∨∨⌝∧∨∨⌝⇔R Q P R Q R P Q R Q Q R P 4M R Q P ⇔∨∨⌝⇔
所以(P ∨Q )→(R ∨Q )的主合取范式为)(R Q P ∨∨⌝，即4M 。

则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨，
3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．
（1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：（1）量词)(x ∃的辖域为),,()(),(z x y Q z y x P ∀→，量词)(z ∀的辖域为),,(z x y Q ，量词)(y ∀的辖域为),(z y R ；
（2）该公式的自由变元为z y ,，y 自由出现2次，z 自由出现1次，约束变元为z y x ,,，x 约束出现2次，z y ,各约束出现1次。

4．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式；
解：谓词公式∀y ∃xP(x,y)消去量词后的等值式为：⇒∃∧∃),(),(21a x xP a x xP )),(),(()),(),((22211211a a P a a P a a P a a P ∨∧∨
五、证明题
1．试证明 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝ (P ∨⌝Q )等价．
证明：Q P R Q P Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨∨⌝⇔∧⌝∧⌝∨→))(())((
)()))(((Q P Q P Q P R Q P ⌝∨⌝⇔∧⌝⇔∧⌝∧⌝∨∨⌝⇔ 所以，(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝ (P ∨⌝Q )等价
2．试证明(∃x )(P (x ) ∧R (x ))⇒(∃x )P (x ) ∧ (∃x )R (x )．
证明：(1) (∃x )(P (x ) ∧R (x )) P
(2) P (c) ∧R (c) ES(1)
(3) P(c) T (2) E
(4) R(c) T (2) E
(5) (∃x )P (x ) EG(3)
(6) (∃x ) R (x ) EG(4)
(7) (∃x )P (x ) ∧(∃x )R (x ) T (5) (6) E。