离散数学形成性考核作业7答案
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一、填空题
1.命题公式()
→∨的真值是 1 .
P Q P
2.设P:他生病了,Q:他出差了.R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q )→R .3.含有三个命题变项P,Q,R的命题公式P∧Q的主析取范式是
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) .
4.设P(x):x是人,Q(x):x去上课,则命题“有人去上课.”可符号化为x
P
Q
x∧
∃.
(x
(
))
(
)
5.设个体域D={a, b},那么谓词公式)
x
∨
∃消去量词后的等值式为
xA∀
yB
)
(
(y
b
B
a
A
B
∨.
∨
A∧
a
)
(b
(
))
(
(
)
)
(
6.设个体域D={1, 2, 3},A(x)为“x大于3”,则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0 .
7.谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y .8.谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x,y))中的约束变元为x .
三、公式翻译题
1.请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式.
解:设P:今天是晴天,
命题“今天是晴天”翻译成命题公式为P。
2.请将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式.
解:设P:小王去旅游,Q:小李去旅游.
命题“小王去旅游,小李也去旅游”翻译成命题公式为P∧Q。
3.请将语句“如果明天天下雪,那么我就去滑雪”翻译成命题公式.
解:设P:明天天下雪,Q:我就去滑雪.
命题“如果明天天下雪,我就去滑雪”翻译成命题公式为P→Q。
4.请将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式.
解:设P :他去旅游,Q :他有时间.
命题“他去旅游,仅当他有时间”翻译成命题公式为P →Q 。
5.请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式.
解:设P(x):x 是人,Q(x):x 去工作.
命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x ⌝∧∃。
6.请将语句“所有人都努力工作.”翻译成谓词公式.
解:设P(x):x 是人,Q(x):x 努力工作.
命题“所有人都努力工作.”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x →∀
四、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.命题公式⌝P ∧P 的真值是1.
答:不正确。因为当P 是真命题时,┐P 是假命题,当P 是假命题时,┐P 是真命题,所以┐P ∧P 是假命题,真值是0。
2.命题公式⌝P ∧(P →⌝Q )∨P 为永真式.
答:正确。因为┐P ∧(P →┐Q )P Q P P ⌝⇔⌝∨⌝∧⌝⇔)(,┐P ∨P 1⇔,所以命题公式是永真式。
3.谓词公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是永真式.
答:正确。因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃→∀⇔
)(),()())(),(()(x xP y x yG x xP x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔ 1),(1),())()((⇔⌝∃∨⇔⌝∃∨∀∨⌝∀⇔y x yG y x yG x xP x xP 。
所以命题公式是永真式。
4.下面的推理是否正确,请给予说明.
(1) (∀x )A (x )→ B (x ) 前提引入
(2) A (y ) →B (y ) US (1)
答:不正确。因为x ∀的辖域是)(x A ,不包含)(x B ,所以根据全称量词消去规则,只能得到)()(x B y A ∧,而不能得到)()(y B y A ∧。
四.计算题
1. 求P →Q ∨R 的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.
解:4M R Q P R Q P ⇔∨∨⌝⇔∨→
所以P →Q ∨R 的析取范式为R Q P ∨∨⌝,
合取范式为)(R Q P ∨∨⌝,
主合取范式为)(R Q P ∨∨⌝,即4M 。
则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨,
2.求命题公式(P ∨Q )→(R ∨Q ) 的主析取范式、主合取范式.
解:)()()()()()(Q R Q P Q R Q P Q R Q P ∨∨⌝∧⌝⇔∨∨∨⌝⇔∨→∨
1)()1()()()(∧∨∨⌝⇔∨∧∨∨⌝⇔∨∨⌝∧∨∨⌝⇔R Q P R Q R P Q R Q Q R P 4M R Q P ⇔∨∨⌝⇔
所以(P ∨Q )→(R ∨Q )的主合取范式为)(R Q P ∨∨⌝,即4M 。
则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨,
3.设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀.
(1)试写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
解:(1)量词)(x ∃的辖域为),,()(),(z x y Q z y x P ∀→,量词)(z ∀的辖域为),,(z x y Q ,量词)(y ∀的辖域为),(z y R ;
(2)该公式的自由变元为z y ,,y 自由出现2次,z 自由出现1次,约束变元为z y x ,,,x 约束出现2次,z y ,各约束出现1次。
4.设个体域为D ={a 1, a 2},求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式;