不等式选讲习题

知识网络§ 1绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x) =| x-1| +1 x—2|.(1)解不等式f (x) > 3;(2)若f(x) >a对x € R恒成立，求实数a的取值范围.3 2x, x v1,【解析】(1)因为f (x) = |X- 1| + | x- 2| = 1,1 W x <2, 2x-3,x> 2.所以当x v 1时，3- 2x> 3,解得x v 0; 当 1 < x< 2 时，f (x) >3 无解；当x>2 时，2x- 3> 3,解得x>3.所以不等式f (x) > 3的解集为(一汽0) U (3，+ ^).3 2x, x v 1,(2)因为f (x) = 1,1 <x <2,所以f(X)min= 1.2x-3, x>2.因为f (x) > a恒成立，所以a v 1,即实数a的取值范围是_( -^，1). ________________________________________【变式训练1】设函数f (x) = | x + 1| + | x-2| + a.(1)当a=- 5时，求函数f (x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知|x+ 1| + |x-2| -5>0,如图,在同一坐标系中作出函数y =|x + 1| + | x- 2|和y= 5的图象，知定义域为(一汽—2] U [3 , + ^).(2)由题设知，当x € R 时，恒有| x + 1| +1 x-2| + a> 0,即| x + 1| + |x - 2| > -a,又由(1)知|x + 1| + |x- 2| > 3,所以一a< 3,即a> -3. 题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x) = | x- 1| +1 x-2|，若不等式| a+ b| + | a- b| > | a| f (x) 对a^0, a、b€ R恒成立，求实数x的范围.| a+ b| + | a—b| 【解析】由| a+ b| + | a- b| > | a| f (x)且a^0 得> f (x).|1a,| a+ b| + | a- b| | a+ b+ a- b| 亠又因为----- \a\—》 ------- Pa|— = 2,则有2>f(x).1 5解不等式|x—1\ + \ x-2\ < 2 得x< ^._ _ 4【变式训练2】(2010深圳)若不等式\x + 1\ + \x- 3\ > a+-对任意的实数xa恒成立，则实数a的取值范围是 ________________ .【解析】(-%, 0) U {2}.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f(x) = |x —1| + |x —a|.(1)若a=—1,解不等式f(x) >3;(2)如果?x € R, f(x) > 2,求a的取值范围.【解析】(1)当a=— 1 时，f (x) =|x —1| + | x + 1|.由f (x) > 3 得|x —1| +1 x +1| > 3,①当x< —1时，不等式化为1—x —1—x> 3,即一2x> 3,3不等式组X W 1,的解集为(一X,—-];f(x) >3 \ ，2」'②当一1v x< 1时，不等式化为1 —x + x +1 > 3,不可能成立，不等式组1<X三1,的解集为?；f(x) >3③当x> 1时，不等式化为x — 1 + x + 1>3,即卩2x>3, 不等式组x>1,的解集为[厂+旳.f(x) >3 23 3综上得f(x) >3的解集为(—汽—刁u【2，+旳.(2)若a= 1, f (x) = 2| x —1|不满足题设条件.2x a 1, x w a,若a< 1, f (x) = 1 a, a<x< 1,2x-(a 1),x >1,f (x)的最小值为1 —a.由题意有1 —a>2,即a w — 1.2x a 1,x w1,若a> 1, f (x)= a 1,1 < x< a,2x-(a 1),x >a,f (x)的最小值为a—1,由题意有a— 1 >2,故a>3. 综上可知a的取值范围为(—汽—1] U [3 ,+旳.1 1【变式训练3】关于实数x的不等式| x —2(a+1)2| w ya—1)2与x2—3(a+ 1)x + 2(3a+ 1) w0 ( a€ R)的解集分别为A, B.求使A?B的a的取值范围.111 1 1【解析】由不等式|x —2(a+ 1)2| w/a—1)2? —2(a—1)2w x —^(a+1)2w^(a—1)2,解得2a w x w a2+ 1,于是A= {x|2 a w x w a2+ 1}.由不等式x2—3(a+ 1)x+ 2(3a+1) w 0?(x —2)[ x —(3 a+ 1)] w 0,1①当3a+ 1 >2, 即卩a>-时，B= {x|2 w x w 3a+ 1},2 w9o因为A?B,所以必有2w ,解得1w a w 3;a2 1 w3a 1,1②当3a+ 1<2, 即卩a<-时，B= {x|3a+1 w x w2},3因为A?B,所以3； 1 w2a,解得a= — 1.a2 1 w2,综上使A?B的a的取值范围是a= —1或1< a< 3.1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，| x| v a的解集是(一a, a) ；| x| >a的解集是(一汽一a) U(a, +旳,它可以推广到复合型绝对值不等式| ax + b| <c, | ax+ b| > c 的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，女口| 3x+ 1| < x —1?1 —x< 3x + 1 冬x — 1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如| x —a| + | X—b| >c和| x—a| +| x —b| < c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§ 2不等式的证明(一)典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：a+ b b+ c a+clg 2 + lg 2 + lg 2 >lg a+ lg b+ Ig c.【证明】由a，b，c为正数，得a+ b , — b+ c , — a+ c i—lg ~Y~> lg . ab; lg ~Y~>lg be; lg >lg . ac.而a，b，c不全相等，所以lg a-^b+ lg +lg 号^> lgab+ lg bc+ lg ac= lg a2b2c2 =lg( abc) = lg a+ lg b+ lg c.” a+ b b+ c a+ c即lg ~2~ + lg ~2~ + lg 厂 >lg a+ lg b+ lg c.【点拨】本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2+ b2= 1，c2+ d2= 1.求证：| ac+ bd| < 1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，22222222a + cb + d a + b +c + d所以| ac+ bd| 冬| ac| +1 bd| 冬 2 + 2~ — 2 .又因为a2+ b2= 1，c2+d2= 1，所以| ac + bd| < 1.题型二用作差法证明不等式【例2】设a，b，c ABC的三边，求证：a2+ b2+c2v 2(ab+ bc + ca).【证明】a2+ b2+ c2—2(ab+ bc+ ca) = (a—b)2+ ( b —c)2+ (c —a)2—a2—b2—2c=[(a —b)2—c2] + [( b —c)2—a2] + [( c —a)2—b2].而在△ ABC 中, | b — a | v c ,所以(a — b )2v c 2，即(a — b )2-c 2v 0.同理(a — c )2— b 2v 0, (b — c )2— a 2v 0,所以 a 2 + b 2+ c 2— 2(ab + bc + ca ) v 0.故 a 2 + b 2+ c 2v 2( ab + bc + ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法， 而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第二边，任意两边之差小于第二边【变式训练2】设a, b 为实数，0v n v 1,0 v m v 1, n =1,求证:+ b )2.2 2 2 2 2 2a b , 2 na + mb nma + 2ab + b ) 【证明】因为一+-— (a + b )2= — m n mn mnn a 2(1 — m 土 mb (1 — n ) — 2mnab — mn2 2 2 2na + mb — 2mnab (na — mbmn2.2所以不等式m n '(a + b)2成立.题型三用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c € R+,且a + b + c = 1.求证：(1 + a )(1 + b )(1 + c ) > 8(1 — a )(1 — b )(1 — c ).【证明】因为a 、b 、c € R+,且a + b + c = 1,所以要证原不等式成立， 即证[(a + b + c ) + a ][( a + b + c ) + b ][( a + b + c ) + c ] 》8[( a + b +c ) — a ][( a + b + c ) — b ][( a + b + c ) — c ],也就是证[(a + b ) + (c + a )][( a + b ) + (b + c )][( c + a ) + (b + c )] >8(b + c )( c + a )( a + b ).①因为(a + b ) + (b +c ) >2 (a + b )( b + c ) >0, (b +c ) + (c + a ) >2 ( b + c )( c + a ) >0, (c + a ) + (a + b ) >2 (c + a )( a + b ) >0, 三式相乘得①式成立，故原不等式得证 . 【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等 式成立的充分条件的方法叫分析法， 概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找 证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程 .【变式训练 3】设函数 f (x ) = x — a (x + 1)1 n( x + 1)( x >— 1, a >0). (1) 求f (x )的单调区间；(2) 求证：当 m > n > 0 时，(1 + nr)n v (1 + n ) m【解析】(1)f (x ) = 1— a ln( x + 1) — a ,① a = 0时，f (x ) >0,所以f (x )在(一1,+旳上是增函数；1- a1-a② 当a >0时，f (X )在(—1, e T— 1]上单调递增，在[e 盲—1, +旳单调递减. (2)证明：要证(1 + n )n v (1 + n )m,只需证 n ln(1 + m v m n(1 + n )，只需证2 2a b + - > (a m n2mn,ln(1 + n) in(1 + m v由(1)知x — (1 + x )l n(1 + x )在(0,+旳 单调递减, 所以 x — (1 + x )ln(1 + x ) v 0,即卩 g (x )是减函数， 而m >n ,所以g (m ) v g (n ),故原不等式成立.总结提高1. 一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”， 用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法2. 用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、 性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等3. 用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结 论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成 立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题成立.4. 所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正 意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放 缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法 (或者手段)，而只是两种互逆 的证明题的书写格式.§ 3不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式25 【例 1】已知 a , b € R,且 a + b = 1,求证：(a + 2)1 2+ (b + 2)2^^. 【证明】 方法一：(放缩法) 因为a + b = 1,22(a + 2) + (b + 2) 2 1225所以左边=(a + 2) + (b + 2)》2[ 2] = ?[( a + b ) + 4]=—右边.方法二：(反证法)2225 2 225 假设(a + 2) + ( b + 2) v-^，贝9 a + b + 4(a + b ) + 8<空.2 2由 a + b = 1,得 b = 1 — a ,于是有 a + (1 — a ) + 12v 而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a +b = 1,得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式•当然本题也可1 2 1 2 所以(a — 2)v 0,这与(a — p >0矛盾.【点拨】 根据不等式左边是平方和及 a + b = 1这个特点，选用重要不等式 + b 2>a +b 22 22( 厂)2来证明比较好，它可以将具备a 2+ b 2形式的式子缩小设 g (x )ln(1 + x )x(x >0)，则 g (x ) —ln(1 + x )1 + x 'x — (1 + x )l n(1 +x )25 2 . 故假设不成立，所以(a + 2)2+ (b + 2)2> 2以用分析法和作差比较法来证明•【变式训练1】设a o , a i , a 2，…，a n -1, a n 满足a o = a n = 0,且有 a 。