习题1.1-1.2参考答案

习题参考答案第1章 数理逻辑1.1命题1．解（a ）(ⅰ)┐P ∧R →Q (ⅱ)Q →R(ⅲ)┐P (ⅳ)P ∧┐Q ( b)(ⅰ)我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。

(ⅱ)我有时间并且去镇上。

(ⅲ)如果我去镇上，那么我有时间；如果我有时间，那么我去镇上（或：我去镇上当且仅当我有时间）。

(ⅳ)说我有时间或我去镇上是不对的。

2．解（a ）上海并非处处清洁。

（b ）并非每一个自然数都是偶数。

3．解（a ）逆命题：如果我不去，那么天下雨。

逆反命题：如果我去，那么天不下雨。

（b ）逆命题：如果你去，我将逗留。

逆反命题：如果你不去，我将不逗留。

（c ）逆命题：如果方程nnnz y x =+无正整数解，那么n 是大于2的正整数。

逆反命题：如果方程nnnz y x =+有正整数解，那么n 不是大于2的正整数。

（d ）逆命题：如果我不能完成这个任务，那么我没有获得更多帮助。

逆反命题：如果我能完成这个任务，那么我获得了更多帮助。

4．给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值： （a ）P ∨Q ∧R(b) P ∨Q ∧R ∨┐((P ∨Q)∧(R ∨S))(c) (┐(P ∧Q)∨┐R)∨(P ┐∧Q ∨┐R)∧S (d) ┐(P ∧Q)∨┐R ∨((Q ↔┐P)→R ∨┐S) (e) (P ↔R)∧(┐Q →S)(f) P ∨(Q →R ∧┐P)↔Q ∨┐S解：做出各个命题的真值表，求出真值。

（a(b) T(c) T(d) T(e)F (f)T (b) (c) (d) (e) (f) (表略) 5．解：（b）6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关：(a)P∧(P→Q)→Q(b)(P→Q)→(┐P∨Q)(c)(P→Q)∧(Q→R)→(P→R)(d)(P↔Q)↔ (P∧Q∨┐P∧┐Q)证明：做出各个命题的真值表，证明公式的真值与他们的变元值无关(a)7．证明由表可知，P↔Q 在第一，四行上取真值，这时，P→Q ，Q→P也为真；另一方面，在第一，四行上P→Q 和Q→P同时为真，这时P↔Q也为真。

于是本题得证。

8．对P和Q的所有值，证明P→Q与┐P∨Q有同样真值。

证明(P→Q)↔(┐P∨Q)总是真的。

9．解（a）∧、∨、↔是可交换的。

（b）作出P∧Q、Q∧P；P∨Q、Q∨P；P ↔Q、Q ↔P和P→Q、Q→P的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价（表略）。

10．设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果（x*y）*z和x*(y*z)逻辑等价，那么运算符*是可结合的。

(a)确定逻辑运算符∧、∨、→、↔那些事可结合的。

(b)用真值表确定你的断言。

解：(a)∧、∨、↔是可结合的。

(b)做出（P∧Q）∧R、P∧(Q∧R)；(P∨Q)∨R、P∨(Q∨R)；(P↔Q)↔R、P↔ (Q↔R)；(P→Q)→R、P→(Q→R)的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价。

(表略)11. 解：（b）、（c）不是命题公式，因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。

（a）和（d）是命题公式，它们的构造过程如下：（a）①P是命题公式根据条款1②Q是命题公式根据条款1③（P∧Q）是命题公式根据①、②条款2④（┐P）是命题公式根据①条款2⑤（（┐P）→（P∧Q））是命题公式根据③、④条款2⑥R是命题公式根据条款1⑦（（┐P→（P∧Q））∨R）是命题公式根据⑤、⑥条款2（d）①P是命题公式根据条款1②Q是命题公式根据条款1③(P→Q)是命题公式根据①、②条款2④(Q∧(P→Q))是命题公式根据②、③条款2⑤(Q∧(P→Q)→P)是命题公式根据①、④条款21.2 重言式1.指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式：重言式有：a c d e f h i k l偶然式有：g j m n矛盾式有：b2. (a)= P∨Q∨┐R= ┐（┐P∧┐Q∧R）(b)= P∨┐（┐Q∧R）∨P= P∨Q∨┐R= ┐（┐P∧┐Q∧R）(c)= ┐P∨（┐Q∨R）= T(d)= F(e)=（┐P∨（Q∨┐R））∧┐P∧Q= ┐P∧Q= ┐（P∨┐Q）(f)= ┐P∧┐Q∧（R∨P）= ┐P∧┐Q∧R∨┐P∧┐Q∧P= ┐P∧┐Q∧R∨F= ┐（P∨Q∨┐R）3. (a)= ┐（P∧Q）∨P=┐P∨┐Q∨P=T(b)= ┐(┐(P∨Q)→┐P)= ┐(P∨Q∨┐P)= F(c)= (┐Q∨P)∧(P∨Q)∧T =P(d)=┐P∧P=F4.(a)=┐P∨┐Q∨P= P∨(┐P∨┐Q)= ┐P→(P→┐Q)(b)= (┐P∨Q)∧(┐R∨Q)= (┐P∧┐R)∨Q= ┐(P∨Q)∨Q= P∨R→Q(c)= ┐((P→Q)∧(Q→P)= ┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))= ┐(┐P∨Q)∨┐(P∨┐Q)= (P∧┐Q)∨(┐P∧Q)= (P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)= (P∨Q)∧┐(P∧Q)(d)=┐(┐P∨Q)= P∧┐Q5．使用恒等式证明下列各式，并写出与他们对偶的公式。

(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)⇔P(b)(P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔┐(┐P∨Q)(c)Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔T证明：(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)⇔((P∧Q)∨(P∧┐Q)⇔ (P∧(Q∨┐Q))⇔P对偶公式: (┒(┒P∧┒Q)∧┒(┒P∧Q)(b) (P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔ (P∨(┒Q∧Q))∧(┐P∨┐Q)⇔ P∧(┐P∨┐Q)⇔ P∧┐P∨P∧┐Q⇔┐(┐P∨Q)对偶公式: (P∧┒Q)∨(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)(c) Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔ Q∨┐(Q∧P)⇔ Q∨┐Q∨┐P⇔T∨┐P⇔T对偶公式: Q∧┐((┐P∧Q)∨P)6.求出下列公式的最简等价式。

(a)((P→Q)↔(┐Q→┐P))∧R(b)P∨┐P∨(Q∧┐Q)(c)(P∧(Q∧S))∨(┐P∧(Q∧S))解：(a)((P→Q)↔(┐Q→┐P))∧R⇔ ((┐P∨Q)↔ (Q∨┐P))∧R⇔T∧R⇔ R(b)P∨┐P∨(Q∧┐Q)⇔T∨F⇔ T(c)(P∧(Q∧S))∨(┐P∧(Q∧S))⇔ (P∨┐P)∧(Q∧S)⇔ Q∧S7.证明下列蕴含式。

(a)P∧Q⇒(P→Q)(b)P⇒ (Q→P)(c)(P→(Q→R))⇒ (P→Q)→(P→R)证明：(a)方法一：只要证明P∧Q→(P→Q)是永真式P∧Q→(P→Q)⇔┐(P∧Q)∨(┐P∨Q)⇔ (┐P∨┐Q)∨(┐P∨Q)⇔┐P∨┐Q∨Q⇔T既为永真式，故P∧Q⇒ (P→Q)方法二：设P∧Q为T，则P和Q为T，则P→Q为T，故P∧Q⇒(P→Q)方法三：设P→Q为F，则P为F且Q为F，则P∧Q为F，故P∧Q⇒(P→Q)(b)因为P→(Q→P)⇔┐P∨(┐Q∨P)⇔T故P⇒ (Q→P)(c)因为(P→(Q→R))→(P→Q)→(P→R)⇔┐(┐P∨(┐Q∨R))∨(┐(┐P∨Q)∨(┐P∨R))⇔ (P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q)∨┐P∨R⇔ (P∧Q∧┐R)∨((P∨┐P) ∧(┐Q∨┐P)) ∨R⇔ (P∧Q∧┐R)∨┐(Q∧P∧┐R)⇔T故(P→(Q→R))⇒ (P→Q)→(P→R)8.不构成真值表而证明下列蕴含式。

(a)P→Q⇒P→P∧Q(b)(P→Q)→Q⇒P∨Q(c)((P∨┐P)→Q)→((P∨┐P)→R)⇒ (Q→R)(d)(Q→(P∨┐P))→(R→(P∧┐P))⇒ (R→Q)证明：证法一：(a)设P→Q为T，则P为F或Q为T。

若P为F，则P→P∧Q为T；若Q为T，则P为T时为T，则P→P∧Q为T，P为F时P→P∧Q为T。

故P→Q⇒P→P∧Q。

(b) 因为(P→Q)→Q→P∨Q⇔┐(┐(┐P∨Q)∨Q)∨(P∨Q)⇔ ((┐P∨Q)∧┐Q)∨P∨Q⇔┐P∧┐Q∨P∨Q⇔T故(P→Q)→Q⇒P∨Q证法二：(a)设P→P∧Q为F，则P为T，Q为F，则P→Q为F，故P→Q⇒P→P∧Q。

(b) 设P∨Q为F，则P为F，Q为F，则(P→Q)→Q为F，故(P →Q)→Q ⇒P ∨Q 。

9 (a).与非运算符用下述真值表定义，可以看出:P ↑Q => ¬（P ∧Q ）,试证明 1.)P ↑P => ¬P2.)(P ↑P) ↑(Q ↑Q) => P ∨Q3.)(P ↑Q) ↑(P ↑Q) => P ∧Q(b).或非运算符号用下述真值表定义，它与¬（P ∨Q ）逻辑等价。

对下述每一式，找出仅用↓表示的等价式。

1.) ¬P 2.)P ∨Q 3.)P ∧Q10． □和*是具有2个运算符对象的逻辑运算符,如果P □（Ｒ*R ）和(P □Q)*(P □R)逻辑等价，那么说□在*上可分配。

（a ）∧和V 可以互相分配吗？（b ）∧和Vj 及→ 可以对自己分配吗？(c).数的加法和乘法可以对自己分配马？11．对一个重言式使用代入规则后，仍然得重言式，对一个偶然式和矛盾式，使用代入规则后，结果如何？ 对一个重言式，使用替换规则后是否仍然得到重言式？对一个偶然式和矛盾式使用替换规则后，结果如何？12求出下列各式的代入实例：（a ）.(((P → Q ) → P) →P);用P →Q 代P,用（（P →Q ）→R ）代Q. (b) .((P →Q) →(Q →P));用Q 代P ，用Ｐ∧¬Ｐ代Q解答： 1.2-9 (a)1.)P ↑P => ¬(P ∧P) => ¬Ｐ2.)(P ↑P) ↑(Q ↑Q) => ¬Ｐ↑¬Q => ¬(¬P ∧¬Q) => P ∨Q3.) (P ↑Q) ↑(P ↑Q)=>¬(P ↑Q)=>¬(¬(P ∧Q)) b.) 1.) ¬P => ¬(P ∨P) => P ↓P 2.)P ∨Q => ¬(¬(PVQ)) => ¬(P ∨Q) => (P ↓Q) ↓(P ↓Q) 3.)P ∧Q => ¬(¬(P ∧Q)) => ¬(¬PC¬Q) => ¬P ↓¬Q => (P ↓P) ↓(Q ↓Q)1.2-101.)证明如下：由表可知，∨和∧可以互相分配2.) ∧和∨可以对自己分配，而→对自己不可分配3.) 数的加法和乘法对自己不可分配1．2-11偶然式使用代入规则后，不一定是偶然式，例如P∨Q是偶然式，当用¬P代Q时，得P 重言式式使用代入规则后，一定是重言式矛盾式使用代入规则后，一定是矛盾式1.2-121.) ((((P →Q) →((P →Q)) →(P →Q ) →(P →Q)2.) (Q →P∧¬P) →(P∧¬P →Q)。