第二讲不确定性下的期望效用理论

确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。

案例圣·彼得堡悖论

圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：

彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔1

2n -个盾。这个博

局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？

尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则

23211111

()*1()*2()*2...()*2...

22221111

......

2222n n E w -=+++++=+++++=∞

按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。

如何解释这个悖论？

大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。 2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述

假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。如果集合所有结果数目有限，则可以用

{}12,,n C x x x =L 来表示。假设12,,n x x x L 状态发生的概率分别为12,,n p p p L （任意一种状态i

x 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且1

i i p ==∑），我们称1212(,,;,,)n n L x x x p p p =L L 表示一个简

单博彩。

（说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：

1122(,;,;;,)n n L x p x p x p =L ，不同的书可能有不同的表示方法，但是内涵是相同的。）举例如下：

投资1相当于博彩1

(1050,1200;0.5,0.5)L =，当未来只有两种状态时，简单博彩还可以简化为

1(,;)

L x y p =，

1(,;)

L x y p =表示以p 的概率获得结果x ，以1－p 的概率获得y 。请大家写出投资2

和投资3的博彩形式。

相比绝对收益，人们更关注相对收益，即收益率。可以计算出以上三种投资的或有状态收益率。

在简单博彩中，可能出现的结果本身是确定的。一种更为复杂的博彩是复合博彩，其可能出现的结果是一个博彩（即结果还是随机的）。对于任何复合博彩，都可以计算出一个引致博彩。

将复合博彩简化为简单博彩，称此简单博彩为引致博彩。举例：1

(,,)L x y π=，复合博彩1(,,)

x L p 的引致博彩为(,;

(1))x y p p π+-

注：在有风险条件下，理性人是如何决策，或本质上是理性人如何对随机变量进行排序(比较)的。人们对资产本身没有偏好，而是对资产产生的收益及其发生的概率分布感兴趣。在不确定性条件下的决策理论，本质上就是在收益的概率分布上做选择。

例1，一袋中有100 个球，编号从0 到99，有四种搏彩，其货币结果分别以不同方式取决于从袋中取出球的偏号，具体见下表。请分别写出四种搏彩。

0 1-10 11-99 A 50 50 50 B 0 250 50 C 50 50 0 D 0 250 0

例2：某超市店庆搞活动，凡属是购物者满50元可获得一次抽奖机会。抽奖程序如下：先由顾客随机抛一枚硬币，字朝上参加L1博彩，花朝上则退出游戏。L1是一个摸奖活动，分为一二三等奖，一等奖以万分之一的概率获得免单机会，二等奖以百分之一的概率获得50元购物卡；三等奖获得价值5元的小礼品一个。请你写出该博彩和引致博彩。