初二数学试题及复习资料免费
初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP=．二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能．所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB 与DF 垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM 、DO 与DN 为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，5b=．所以直线DE的解析式为152y x=-+．(3) 由152y x=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即510NP PO==NP=，PO=．此时点N的坐标为(-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG ，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF ，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM =BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t =；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
初二数学经典试题及答案
初二数学经典试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333...D. √2答案：D2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是？A. 16B. -16C. 4D. 2答案：A4. 一个正数的倒数是1/8，这个正数是？A. 8B. 1/8C. 1/7D. 7答案：A5. 一个二次方程x² - 5x + 6 = 0的解是？A. x = 2, 3B. x = 3, 4C. x = 1, 6D. x = 2, 4答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是2，这个数是______。
答案：87. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是______平方厘米。
答案：78.58. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。
答案：5，-59. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，它的体积是______立方米。
答案：2410. 一个数的平方是25，这个数可以是______或______。
答案：5，-5三、计算题（每题5分，共15分）11. 计算下列表达式的值：(1) (-2)³ + √4 - 2π答案：-7 + 2 - 6.28 = -11.28(2) √(3² + 4²) - 1/2答案：√(9 + 16) - 0.5 = √25 - 0.5 = 5 - 0.5 = 4.5(3) (-3)² ÷ 2 - 1/3答案：9 ÷ 2 - 1/3 = 4.5 - 0.333... = 4.166...四、解答题（每题10分，共20分）12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1答案：首先将方程两边的x项聚集在一边，得到2x - 3x = 1 + 5，即-x = 6，解得x = -6。
初二上数学期末专题复习试题及答案全套
最新初二上数学期末专题复习试题及答案全套一.类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算——全方位求角度◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于()A．50°B．55°C．45°D．40°2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法确定3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD 于F，求∠DEF的度数．◆类型二综合内外角的性质5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是()A．20°B．30°C．40°D．60°第5题图第6题图6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．120°B．105°C．90°D．75°9．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是()A．10°B．15°C．20°D．25°10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________．◆类型四与平行线结合12．如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE 的度数为()A．35°B．40°C．115°D．145°13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB等于()A．80°B．100°C．110°D．120°14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________．15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD 交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．◆类型五与截取或折叠相关16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A．∠A＝∠1－∠2B．2∠A＝∠1－∠2C．3∠A＝2∠1－∠2D．3∠A＝2(∠1－∠2)17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．第17题图第18题图18．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．19．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2、∠A与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．参考答案与解析1．C 2.C3．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝90°－∠C ＝90°－72°＝18°.方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．4．解：∵△ABC 中，∠B ＝26°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－26°－70°＝84°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝12×84°＝42°.在△ACE 中，∠CAE ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝42°－20°＝22°.∵∠DEF ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠DAE ＝90°，∴∠DEF ＝∠DAE ＝22°.5．B 6.80°7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B ；(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∵∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，∴3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．B 9.B 10.75° 11.35° 12.C 13.C 14.15° 15．解：(1)∵EH ⊥BE ，∴∠BEH ＝90°.∵∠HEG ＝55°，∴∠BEG ＝∠BEH －∠HEG ＝35°.又∵EG ∥AD ，∴∠BFD ＝∠BEG ＝35°；(2)∵∠BFD ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠BAD ＝∠EBC ，∴∠BFD ＝∠EBC ＋∠ABE ＝∠ABC .由(1)可知∠BFD ＝35°，∴∠ABC ＝35°.∵∠C ＝44°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝180°－35°－44°＝101°.16．B 17.14° 18.250°19．解：(1)延长BE 、CD ，交于点P ，则△BCP 即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE ＝∠DPE .连接AP .由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP ＋∠EP A ，∠2＝∠DAP ＋∠DP A ，则∠1＋∠2＝∠DAE ＋∠DPE ＝2∠DAE ，即∠1＋∠2＝2∠A ；(2)图②中，∠2＝2∠A ；图③中，∠1＝2∠A ； (3)图④中，∠2－∠1＝2∠A .二.类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线． (1)已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；(2)设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点． (1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1. (1)求证：∠A 1＝12∠A ；(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO 平分△ABC 的外角∠CBD ，CO 平分△ABC 的外角∠BCE ，则∠BOC 与∠A 的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)． 2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°. (2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A .三. 解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证◆类型一 全等三角形的基本模型1．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，∠A ＝50°，∠B ＝90°，则∠C ＝________.第1题图 第2题图2．如图，锐角△ABC 的高AD ，BE 相交于F ，若BF ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AF 的长为_________.3．如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，AB ∥EF ，AB ＝EF ，∠B ＝∠F ，AE ＝10，AC ＝6，则CD 的长为 （ ）A ．2B ．4C ．4.5D ．34．如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 在同一直线上，连接BD 交AC 于点F .(1)求证：△BAD ≌△CAE ；(2)猜想BD ，CE 有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？请说明理由．二、截长补短法6．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．三、倍长中线法7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定参考答案与解析1．110° 2.3 3.A4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD ＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又∵AE ＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.6．解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，在AE上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，∴△BAC≌△F AC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝∠DCE.又∵C为BD的中点，∴BC＝DC，∴DC＝FC.又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE(SAS)，∴DE ＝FE，∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE.7．C四.难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC 和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP ＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.5.易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳，各个击破◆类型一求长度时忽略三边关系1．(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（）A．12 B．16C．20 D．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_____，理由是_____________________．3．已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论4.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．100°B．40°C．40°或100°D．60°5．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．80°，80°D．50°，50°或80°，20°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_____.◆类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____.9．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则_________(用含x的代数式表示)．10．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．◆类型四 一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解11．(2016·武汉中考)平面直角坐标系中，已知A (2，2)、B (4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵图中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C 点有_____个．参考答案与解析1．C2．不正确 没考虑三角形三边关系3．解：设腰长为x cm ，①腰长与腰长的一半是6cm 时，x ＋12x ＝6，解得x ＝4，∴底边长＝10－12×4＝8(cm)．∵4＋4＝8，∴4cm 、4cm 、8cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是10cm 时，x ＋12x ＝10，解得x ＝203，∴底边长＝6－12×203＝83(cm)，∴三角形的三边长为203cm 、203cm 、83cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为203cm ，底边长为83cm.4．C 5.D 6．120°或20° 7.C 8.70°或20° 9．x 或90－x 解析：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，∴腰上的高相等．①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y ＝x ，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y ＝90－x .故答案为x 或90－x .10．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部．如图①所示，得顶角∠ACB ＝∠D ＋∠DAC ＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A ＝90°－∠ABD ＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.11．A 12.56.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝__________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .(1)求证：DE ＝DF ； (2)若∠A ＝90°，图中与DE 相等的有哪些线段(不说明理由)？3．如图，△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC ，求证：EB ⊥AB .二、构造等腰三角形4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为( )A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．0.7cm25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．40°2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE ，CF .3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：如图，连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：如图，过P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .(2)解：∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.7.类比归纳专题：证明线段相等的基本思路——理条件、定思路，几何证明也容易◆类型一 已知“边的关系”或“边角关系”用全等1．如图，已知AB ＝AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足，求证：(1)AC ＝AD ； (2)CF ＝DF .2．如图，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 、E 分别在BC 和AC 上，且BD ＝CE ，M 是AB 的中点．求证：△MDE 是等腰三角形．◆类型二 已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”3．如图，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG ，EF ∥BC 交AC 于点D ，求证：DE ＝DF .4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD 于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF .6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB .参考答案与解析1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ；(2)在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，AC ＝AD ，AF ＝AF ，∴△ACF ≌△ADF ，∴CF ＝DF . 2．证明：连接CM ，则BM ＝CM ，且CM ⊥MB ，∴∠B ＝∠MCE ＝45°，∴BM ＝AM ＝CM .在△MBD 和△MCE 中，BM ＝CM ，∠B ＝∠MCE ，BD ＝CE ，∴△MBD ≌△MCE ，∴DM ＝EM ，∴△MDE 是等腰三角形．3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE .∵CF 为△ABC 外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF ＝∠GCF .∵EF ∥BC ，∴∠GCF ＝∠F ，∠BCE ＝∠CEF .∴∠ACE ＝∠CEF ，∠F ＝∠DCF ，∴CD ＝ED ，CD ＝DF ，∴DE ＝DF .4．(1)证明：∵CN ⊥AD ，∴∠AHN ＝∠AHC ＝90°.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠NAH ＝∠CAH .又∵在△ANH 和△ACH 中，∠AHN ＋∠NAH ＋∠ANH ＝180°，∠AHC ＋∠CAH ＋∠ACH ＝180°∴∠ANH ＝∠ACH ，∴AN ＝AC ；(2)解：BN ＝CD .理由如下：连接ND .在△AND 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝AC ，∠NAD ＝CAD ，AD ＝AD ，∴△AND ≌△ACD (SAS)，∴DN ＝DC ，∠AND ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B .又∵△BND 中，∠AND ＝∠B ＋∠NDB ，∴∠B ＝∠NDB ，∴NB ＝ND ，∴BN ＝CD .5．证明：连接BD 、CD .∵AD 是∠F AE 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .∴Rt △CDF ≌Rt △BDE .∴BE ＝CF .6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .又∵BD ＝DF ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，AD ＝AD ，DC ＝DE ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .8.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ） A ．9995 B ．9896 C ．9996 D ．99972．计算20152－2014×2016的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 3．计算：(1)512＝____________； (2)298×302＝____________. 4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值 6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b的值为（ ）A ．－12 B.12C ．1D ．27．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9D ．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ）A ．10B ．23C ．25D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为1.10．(2016·巴中中考)若a ＋b ＝3，ab ＝2，则(a －b )2＝__________.11．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)899964．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋13⎝⎛⎭⎫40－13＝402－⎝⎛⎭⎫132＝159989； (2)原式＝10002（250＋2）2－（250－2）2＝100022502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）＝100022000＝500. 5．解：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B 9.1 10.111．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.(2)∵a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，∴(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.9.解题技巧专题：选择合适的方法因式分解——学会选择最优方法◆类型一 一步(提公因式或套公式)分解因式 1．(2016·宁德中考)下列分解因式正确的是（ ） A ．－ma －m ＝－m (a －1)B ．a 2－1＝(a －1)2C ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2D ．a 2＋3a ＋9＝(a ＋3)2 2．分解因式：(1)3x 3y 3－x 2y 3＋2x 4y ；(2)2(x ＋y )2－(y ＋x )3.◆类型二 两步(先提后套或二次分解)分解因式2．3．(2016·梅州中考)分解因式a 2b －b 3，结果正确的是（ ）A．b(a＋b)(a－b) B．b(a－b)2C．b(a2－b2) D．b(a＋b)24．分解因式：(1)－2a3＋12a2－18a;(2)(x2＋1)2－4x2.*◆类型三特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法、配方法)5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝______________________＝______________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18；【方法22】(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.参考答案与解析1．C2．解：(1)原式＝x2y(3xy2－y2＋2x2)；(2)原式＝(x＋y)2·[2－(x＋y)]＝(x＋y)2·(2－x－y)．3．A4．解：(1)原式＝－2a(a2－6a＋9)＝－2a(a－3)2；(2)原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y－1)(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．6．解：(1)原式＝(x＋9)(x－2)．(2)7，－7，2，－2解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)；(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．10.易错专题：分式中常见的陷阱——易错全方位归纳，各个击破◆类型一 分式值为0时求值，忽略分母不为01．分式x 2－4x －2的值等于0时，x 的值为（ ）A ．±2B ．2C ．－2 D. 22．要使m 2－9m 2－6m ＋9的值为0，则m 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．不存在3．若分式3－|x |x ＋3的值为零，则x 的值为_________.◆类型二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为04．(2016·安顺中考)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1÷x －2x ＋1，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入．5．(2016·巴中中考)先化简：x 2＋xx 2－2x ＋1÷⎝⎛⎭⎫2x －1－1x ，然后再从－2＜x ≤2的范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值．◆类型三 无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况6．★若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，则m 的值为（ ）A ．－32 B ．1C ．－32或2D ．－12或－327．已知关于x 的分式方程ax ＋1－2a －x －1x 2＋x＝0无解，求a 的值．◆类型四 已知方程根的情况求参数的取值范围，应舍去公分母为0时参数的值8．(2016·齐齐哈尔中考)若关于x 的分式方程x x －2＝2－m 2－x的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ） A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，39．已知关于x 的分式方程a －xx ＋1＝1的解为负数，求a 的取值范围．参考答案与解析1．C 2.B 3.34．解：原式＝x x ＋1·x ＋1x －2＝x x －2，当x ＝3时，原式＝33－2＝3(x 不能取－1和2)．5．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1.其中⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1≠0，（x －1）x ≠0，x ＋1≠0，即x ≠－1，0，1.又∵－2<x ≤2且x 为整数，∴x ＝2.∴原式＝222－1＝4.6．D 解析：方程两边同乘x (x －3)，得x (2m ＋x )－x (x －3)＝2(x －3)，化简得(2m ＋1)x＝－6，解得x ＝－62m ＋1.由分式方程无解，得x ＝0或x ＝3或2m ＋1＝0.当x ＝0时，－62m ＋1＝0，解得m ＝－12；当x ＝3时，－62m ＋1＝3，解得m ＝－32；当2m ＋1＝0时，m ＝－12.故m 的值为－12或－32.故选D.7．解：去分母得ax －2a ＋x ＋1＝0，分两种情况讨论：①分式方程有增根，由x (x ＋1)＝0，得x ＝－1或0，当x ＝－1时，－a －2a －1＋1＝0，解得a ＝0；当x ＝0时，－2a ＋1＝0，解得a ＝12；②方程ax －2a ＋x ＋1＝0无解，即(a ＋1)x ＝2a －1无解，∴a ＋1＝0，a ＝－1.综上可知a ＝0或12或－1.8．C 解析：方程两边都乘以x －2，得x ＝2(x －2)＋m ，解得x ＝4－m .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，4－m －2≠0，解得m ＜4且m ≠2，∴满足条件的正整数m 的值为1和3.故选C.9．解：由a －x x ＋1＝1，解得x ＝a －12.由题意得⎩⎨⎧a －12<0，a －12＋1≠0，∴a <1且a ≠－1.11.解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ） 2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二 先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－18．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入 10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a. 当a ＝－12时，原式＝－2.4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x2－1－x2＋2xx（x＋1）·（x＋1）2x（2x－1）＝x＋1x2.∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1，∴原式＝1.。
初二数学经典试卷及答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. -2.5D. 32. 已知a < b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 1 < b + 1B. a - 1 > b - 1C. a + 1 > b + 1D. a - 1 < b - 13. 下列图形中，中心对称图形是（）A. 等腰三角形B. 矩形C. 正方形D. 等边三角形4. 下列等式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^25. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式Δ = b^2 - 4ac，若Δ < 0，则方程（）A. 一定有实数根B. 一定没有实数根C. 至少有一个实数根D. 至少有两个实数根6. 下列函数中，反比例函数是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = kx (k ≠ 0)D. y = 3/x7. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A. A（2，-3）B. A（-2，3）C. A（2，-3）D. A（-2，-3）8. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. πC. √4D. √259. 下列各式中，分式方程是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 2C. (x - 1)/(x + 2) = 3D. x^2 + 4 = 910. 下列图形中，轴对称图形是（）A. 等腰三角形B. 矩形C. 正方形D. 等边三角形二、填空题（每题5分，共20分）11. 若a + b = 5，a - b = 1，则a = __________，b = __________。
12. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则其面积为 __________。
初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP=．二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1思路点拨：1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能．所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展：在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB 与DF 垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM 、DO 与DN 为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2) 因为OE＝2EB，所以223E Bx x==，243E By y==，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,2 4.bk b=⎧⎨+=⎩解得12k=-，5b=．所以直线DE的解析式为152y x=-+．(3) 由152y x=-+，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NP PO NODO OF DF==，即510NP PO==NP=，PO=．此时点N的坐标为(-．图3 图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5 图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG ，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF ，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM =BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t =；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
(完整word版)初二数学复习资料
初二数学上册期末复习资料因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化•2•因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法” •3•公因式的确定：系数的最大公约数•相同因式的最低次幕.注意公式：a+b=b+a a-b=-(b-a) (a-b)2=(b-a)2 (a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：⑴平方差公式：a2-b2= (a+ b) (a- b ；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5•因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；(5)因式分解的最后结果要求加以整理；(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6. 因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2)提负号；(3)全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项.f-PLq7. 完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q,有"x2+px+q是完全平方式二2”.分式全等三角形：16•等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半•（如图）A17.关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线（如图）18•勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.（如图）19. Rt△斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）又•••/BAD= / CAD •••BD = CDAD 丄BC⑶•「△ABC是等边三角形••/A= /B=/C =60°几何表达式举例：(1) v/B=/C•AB = AC(2) v/A= /B= /C•△ABC是等边三角形⑶•••/A=60°又「AB=AC•△ABC是等边三角形(4) v/C=90°/ B=30°1•AC = 2AB几何表达式举例：（1）••• △ABC> △ EGF 关于MN轴对称•△ABC也△EGF（2）T △ABC> △ EGF 关于MN 轴对称•OA=OE MN丄AE几何表达式举例：（1）「△ABC是直角三角形• a2+b2=c2⑵•••a2+b2=c2•△ABC是直角三角形几何表达式举例：「△ABC是直角三角形•••D是AB的中点1•CD = 2AB（2）V CD=AD=BD。
八年级数学知识点总结,初二数学复习练习题(含答案与解析)
A
（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． M
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作 CM∥AB 由于 B、C、D 共线
12
B
CD
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。
8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
AC AC
-5-
CF CE
CD BC
CDF CBE (HL)
F CEB 90
∴BE＝DF
设 BE DF x ，则 AE AB BE 21 x，AF AD DF 9 x
AE AF， 21 x x 9， x 6
在 RtBCE 中， CE BC 2 BE 2 102 62 8
A. 10 B 20 B. 20 B 30 C. 30 B 45 D. 45 B 60 分析： 因为 ABC 为锐角三角形，所以 0 B 90 又∠C＝2∠B，0 2B 90 0 B 45 又∵∠A 为锐角，为锐角 B C 90 3B 90 ,即 B 30 30 B 45 .故选 C。
2 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得 2 AM AB AC ，然后通过倍长中
线的方法，相当于将 AMC 绕点旋转 180°构成旋转型的全等三角形，把 AC、AB、2AM
转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有
1 AB AC AM 1 AB AC 。请同学们自己试着证明。
2
2
∠ABD ∠CBD ∴BD 平分∠BAC
说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。
人教版数学初二上学期期中试题与参考答案(2024年)
2024年人教版数学初二上学期期中复习试题(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、题目：已知一个长方形的长为8cm，宽为5cm，求该长方形的对角线长度。
A. 6cmB. 10cmC. 12cmD. 13cm2、题目：一个班级有学生40人，其中男生人数是女生人数的1.5倍，求该班级男生和女生的人数。
A. 男生30人，女生10人B. 男生25人，女生15人C. 男生35人，女生5人D. 男生20人，女生20人3、若一个矩形的长是宽的3倍，且其周长为48厘米，则该矩形的面积是多少平方厘米？A. 64B. 108C. 128D. 1444、已知直角三角形的两个锐角之比为1∶2，那么这两个锐角分别是多少度？A. 30°, 60°B. 45°, 45°C. 60°, 30°D. 以上都不正确5、一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是（）A. 25平方厘米B. 50平方厘米C. 100平方厘米D. 200平方厘米6、一个正方形的周长是24厘米，那么它的边长是（）A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米7、已知一个正方形的边长为(a)，如果它的边长增加到原来的1.5倍，则新正方形的面积与原正方形面积之比是多少？A.(1.5:1)B.(2.25:1)C.(3:1)D.(1.52:1)8、若一个等腰三角形的底角为(70∘)，则顶角的度数是多少？A.(40∘)B.(50∘)C.(60∘)D.(70∘)9、若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（）A. 5B. 7C. 8D. 10 10、一个长方形的长是10厘米，宽是8厘米，那么它的面积是（）A. 80平方厘米B. 90平方厘米C. 100平方厘米D. 120平方厘米二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）1、若(x−3=7)，则(x=)______ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初二数学试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（ ） A. x 的次数是0 B.y1是单项式 C.21是单项式 D. a 5- 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是 （ ）A .单项式中的数字因数叫这个单项式的系数B .单独一个数或字母也是单项式C .一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数D .多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）4、只含有z y x ,,的三次多项式中，不可能含有的项是 （ ） A .32x B .xyz 5 C .37y - D .yz x 241 5、与方程12x x -=的解相同的方程是( )A 、212x x -=+B 、21x x =+C 、21x x =-D 、12x x += 6、把方程1123x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-=A ．B ．C ．D ．7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( )A 、赚16元B 、赔16元C 、不赚不赔D 、无法确定 8、已知线段AB 长3cm.现延长AB 到点C ，使BC=3AB.取线段BC 的中点D ， 线段AD 的长为（ ） A 、4.5cm B 、6cm C 、7cm D 、7.5cm. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（ ）A ．-21x 2y 和-yx 2 B ．-3和0 C ．-a 2bc 和ab 2c D ．-mnt 和-8mnt 10、若M,N 都是4次多项式, 则多项式M+N 的次数为( ) A.一定是4 B.不超过4. C.不低于4. D.一定是8. 11、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ）A ;8-B ;0C ;2D .812、某市举行的青年歌手大奖赛今年共有a 人参加，比赛的人数比去年增加 20%还多3人，设去年参赛的人数为x 人，则x 为( ) A 、3120%a ++ B 、(120%)3a ++C 、3120%a -+ D 、(120%)3a +-13、下列运算中,结果正确的是( )A 、4+5ab=9abB 、6xy-x=6yC 、6a 3+4a 3=10a 6D 、8a 2b-8ba 2=014、如下图，为做一个试管架，在a cm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径2cm ，则x 等于 （ ） A .58+a cm B .516-a cm C .54-a cm D .58-a cm二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果。
15、 叫一元一次方程.16、写一个解为2的一元一次方程 .17、在同一平面内有不重合的三条直线，那么这三条直线最多有个交点.18、如果m-n=50,则n-m=_________.19、观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，……，按此规律写出第6个单项式是______。
三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答要写出必要的文字说明和解答步骤．20、（本题满分15分）：（1）化简后求值：3(2b-3a)+(2a-3b) , 其中a=2，b=3.（2）化简4x2-3xy+y2+3（x2+xy-5y2）.（3）一个长方形的周长为68a b +，其一边长为23a b +，求另一边长.21、解方程（本题满分15分）： （1）10(1)5x -= （2）12136x x x -+-=-（3）() ()x x =585627＋－－22、（本题满分7分）若()23340x y -++=，求xy 的值。
23、（本题满分7分）已知线段AB=8cm,在直线AB 上作线段BC ，使BC=3cm,求线段AC 的长.（提示：分两种情况解答）24、（本题满分8）计算（2x 3-3x 2y ）-(x 3+y 3)+(-x 3+3x 2y-y 3)的值，其中x=21，y=-1。
有一位同学指出，题目中给出的条件x=21是多余的，他的说法有道理吗？为什么？25、（本题满分10分）一架飞机在两城之间飞行，顺风需5小时，逆风需6小时，已知风速是每小时24千米，求飞机的速度和两城之间的距离。
26、（本题满分12分）某超市在亚运会期间举行促销活动，只要消费者花80元购买会员证，凭此证到该商店购买商品，均按标价的“九折”付款；若无会员证，所有商品一律按原价付款.设要购买标价总值为x元的商品。
（1）用式子表示出两种消费方式各自的支出费用分别是多少？（2）在什么情况下，购买会员证与不购买会员证支出一样多的钱？（3）当小张买标价为200元商品时，怎么做合算?能省多少钱？（4）当小张买标价为1000元商品时，怎么做合算?能省多少钱？初二数学试题考生注意：1、考试时间120分钟2、全卷共三大题，总分120分一、填空（1——12，每小题3分，共36分）1. 斜边长为13cm ，一条直角边长为5cm ，这个直角三角形的面积为 ．2. 2+29x +的最小值是 ．3. 菱形两条对角线的长为6cm 、8cm,则菱形两对边间的距离为 ．4. 若点A 在第二象限，且到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则点A 的坐标为 ．5. 写出一个y 关于x 的函数关系式，使自变量x 的取值范围是x ≥2且x ≠3，则这个函数关系式可以是 ．6. 若51242=+--n y m x 是 关于x,y 的二元一次方程，则m ,n ．7. 一次函数 y=x+b 与坐标轴围成的三角形面积为8，则这个一次函数解析式为 ．8. 有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数 是 ． 9. 化简=---2)4(2)5(x x ．10. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 . 11. 以正方形ABCD 的BC 边为一边作等边三角形BCE,则∠AED= ．12. 如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有 对. 二、选择题（13-22小题,每小题3分,共30分）13.如果一个三角形的三边之比为1:2:1，那么最小边所对的角为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 14. 满足52<<-x 的整数的个数是（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D.415. 下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形16. 已知一次函数y=kx-k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 17. 如果单项式b a y x y b a x +--331243与是同类项,那么这两个单项式的积是( )A. 46y xB. 23y x -C. 2338y x - D. 46y x - 18. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，若A 恰好落在DC 边上的点A ′处，若 ∠A ′BC=20°，则∠A ′BD 的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°19. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 沿路线B →C →D 作匀速运动（不含B 点），那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）20. 二元一次方程2x+y=5的正整数解有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个21. 如图,在平行四边形ABCD 中,已知AD=8cm,AB=6cm,DE 平分∠ADC 交BC 边于点E,则BE 等于( )A. 2cmB.4cmC.6cmD.8cm 22. 已知点P （x,y ）在函数x x y -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 三、解答题(共54分)BD AC PE BADC23．(4分)化简：212)23)(23(--+24．(4分)解方程组：⎩⎨⎧=-=+82332n m n m25．(8分)一商贩在市场销售土豆。
为了方便，他带了一些零钱备用。
按市场价售出一些后，又降价出售。
土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图，结合图象回答：（1） 商贩自带的零钱有多少元？（2） 降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3） 降价后他按每千克0.8元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是62元，问他一共带了多少千克土豆？26．(8分)某商场购进商品后，加价40%作为销售价。
商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣。
某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元。
两种商品原销售价之和为490元。
两种商品进价分别为多少元？27．(10分)某市按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息。
王红家购得一套现价120000元的房子。
购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元及上一年剩余欠款利息和，设剩余欠款年利率为0.4%。
（1）若第x年（x≥2）王红家交付房款y元，求y与x之间的函数关系式；（2）求第十年应付的房款。
28．(10分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝BC又AE⊥BC 于E，求证：CD＝CEA29．(10分)如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，点F在BC上且AE 平分∠DAF，求FC的长。
AB初二数学答案一、1、30cm2 2、5 3、4.8cm 4、（-2，3）5、(答案不唯一) 6、m=3 n=07、8、11 9、1 10、32或42 11、30°或150°12、5二、13、B 14、D 15、A 16、C 17、D 18、C 19、B 20、B 21、A 22、B三、解答题(共54分)23：1- 24：25、解：(1)10元2分(2)1.2元3分(3)50千克3分26、解：设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元，则1分5分解方程得：7分答：甲、乙两种商品的进价分别为150元、200元8分27、解：(1)y=5000+[90000-5000(x-2)]0.4%=-20x+5400 7分(2)5200 3分28、证明：连结AC∵DC∥AB∴∠BAC=∠ACD 2分∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB 4分∴∠ACD=∠ACB 6分在Rt△ACD和Rt△ACE中∠ACD=∠ACBAC=AC∠D=∠AEC=90°∴Rt△ACD≌Rt△ACE 8分∴CD=CE 10分29、解：连结EF，作EG⊥AF，垂足为G设FC＝x△ADE≌△AGE2分AG=AD=4 DE=GE 3分△FEG≌△FEC5分FG=FC 6分在Rt△ABF中42＋（4－X）2＝（4＋X）29分X＝110分。